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2024-2025 学年安徽省宿州市省市示范高中皖北高二下学期期中考试
教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列选项正确的是( )
A. (sin10 )′ = cos10 B. (cos )′ = sin
C. ( )′ = D. [(2 + 1)(2 1)]′ = 8
2.已知平面 内有两个向量 = (2,0,1)， = (2,1,0)，设平面 的法向量为 ，则 可以为( )
A. (1,2,2) B. ( 1,2,2) C. (1,2, 2) D. ( 1, 2,2)
3.已知圆 2 + 2 = 4 与圆 2 + 2 + 4 4 + 4 = 0，则两圆圆心所在直线的方程为( )
A. = 或 = + 2 B. = 2
C. = D. = + 2
4 1.记 为等比数列{ }的前 项和，若 = ， 21 3 4 = 6，则 5 =( )
A. 40 B. 91 C. 121 D. 3643 3 3 3
2 2
5.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，过点 作垂直于 轴的直线 ， ， 分别是 与双曲线
及其渐近线在第一象限内的交点.若 是线段 的中点，则 的渐近线方程为( )
A. =± 55 B. =±
3
3 C. =±
2
2 D. =±
6.2025 年 1 月 16 日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，
展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力。若音乐节共 6 个节目，其中 2 个是个人歌唱表演，2 个是
舞蹈表演，1 个大合唱，1 个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定
节目顺序，则不同的排法种数为( )
A. 280 B. 336 C. 360 D. 408
7.已知函数 ( ) = 2 + 3 有两个不同的零点，则实数 的最大值为( )
A. 0 B. 2 C.
6
3 D. 2
8 .已知各项非零的递增数列{ }满足： +1 = 2 ，则实数 1的取值范围是( )
A. ( ∞,0) B. ( ∞, 1)
C. (1, + ∞) D. ( ∞,0) ∪ (1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知( 1 2 2 )
的展开式共有 7 项，则( )
A.展开式的所有项的系数和为 1 B.二项式系数和为 128
C.展开式中 3的系数与 6的系数和为 128 D.所有项的系数绝对值之和为 729
10.已知点 是抛物线 : 2 = 8 的焦点，直线 经过点 交抛物线于 ， 两点，与准线交于点 ，且 为
中点，则下面说法正确的是( )
A. = 2 B.设原点为 ，则△ 26的面积为 3
C. | | = 9 D.直线 2的斜率是 =± 4
11.已知数列{ }的前 项和为 ，且满足 1 = 1， 2 = 3， +1 = 3 2 1( ≥ 2)，则下列说法正确的
有( )
A.数列{ +1 }为等差数列
B.数列{ +1 2 }为等比数列
C. +1 = 2 2
D. 2
2 +1 2
若 = ，则数列{ }的前 项和 = +1 2 +1 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.直线 3 + 4 1 = 0 与直线 6 + 8 + 9 = 0 的距离为
13.记 为等差数列 的前 项和．已知 1 = 3 + 4 = 10，则 的最小值为 ．
14.设函数 ( ) = ln(4 ) + ln + ( > 0)，若 ( )在[1,2]上的最大值不小于 4，则实数 的取值范围
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 2 在 = 1 处取得极值．
(1)求函数 ( )的单调区间;
(2)求函数 ( )在区间[ 1,2]的最大值与最小值．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ， = ， 为线段 的中点， 为线段 上的动点．
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(1)若 ⊥ ，证明：平面 ⊥平面 ;
(2) 若底面 为正方形，当平面 与平面 夹角为6时，求 的值．
17.(本小题 15 分)
已知数列{ }的首项 1 = 1，且满足 +1 = 3 + 2 1．
(1)求 2， 3;
(2)证明：数列{ + }为等比数列，并求数列{ }的通项公式;
(3) { 1记数列 + }的前
3
项和为

，证明： < 4．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)上的点到其右焦点 (1,0)的最大距离为 3．
(1)求椭圆 的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为 、 ，过点 的直线 与椭圆交于 ， 两点(不与 ， 两点重合).若△
的面积为 15，求直线 的方程;
(3)在(2)的条件下，若直线 与直线 交于点 ，证明：点 在一条定直线上．
19.(本小题 17 分)
对于无穷数列{ }和函数 ( )，若 +1 = ( )( ∈ )，则称 ( )是数列{ }的生成函数．
(1)定义在 上的函数 ( )满足：对任意 ∈ ，有 (2 +1) = 2 (2 ) + 2 ，且 (2) = 1;又数列{ }满足 =
(2 ). ( ) = + 1求证： 2是数列{

2 }的生成函数;
(2)在(1)的条件下，求数列{ }的前 项和 ．
(3)已知 ( ) = 2025 +2 +2026是数列{ }的生成函数，且 1 = 2 {
1
。若数列 +2 }的前 项和为 ，求证：25(1
0. 99 ) < < 250(1 0. 999 )( ∈ , ≥ 2). (参考数据：0.99 <
2024
2027 < 0.999)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1110
13. 30
14.[2 ln2, + ∞)
15.解：(1) ′ = 3 2 + 2 2，
由题意得 ′ 1 = 0，即 3 + 2 2 = 0 1，解得 = 2，
故解析式为 = 3 1 22 2 ，定义域为 ，
2
令 ′ = 3 2 2，令 ′ > 0 得 > 1 或 < 3，
令 2′ < 0 得 3 < < 1，
故 在 ∞, 23 , 1, + ∞
2
上单调递增，在 3 , 1 上单调递减，
1
显然 = 1 为极小值点， = 2 符合题意，
2 2单调递增区间为 ∞, 3 , 1, + ∞ ，单调递减区间为 3 , 1 ，
(2)由(1)知， 在 1, 23 , 1,2 上单调递增，在
2
3 , 1 上单调递减，
表格如下：
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2 2
1, 23 ,1 1 1,23 3
′ + 0 0 +
22 3单调递增 极大值27 单调递减 极小值 2 单调递增
又 1 = 12 , 2 = 2，
3
故 的最大值为 2，最小值为 2．
16.解：(1)证明：∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ，而 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ = ， 为 的中点，
∴ ⊥ ，而 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(2)由底面 为正方形及 ⊥底面 ，∴ ， ， 两两垂直，
以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设 = = 2，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， (0,0,2)， (2,2,0)， (1,0,1)，
设 (2, , 0)(0 ≤ ≤ 2)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)， = (1,0,1)， = (2, , 0)，
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= + = 0
则： 1 1

，
= 2 1 + 1 = 0
取 1 = 2，则 1 = ， 1 = ，
得 = ( , 2, )，
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)， = (2,2, 2)， = (0,2, 2)，
= 2 2 + 2 则 2 2 2 = 0 ,
= 2 2 2 2 = 0
取 2 = 1，则 2 = 1， 2 = 0，
得 = (0,1,1)，
则|cos < , > | = cos , | | |2+ | 36 | | | | = cos 6 , =2 2 ，+2 2
解得 = 1，
= 1即 2．
17.解：(1) 2 = 3 1 + 1 = 4，
3 = 3 2 + 3 = 15．
(2)由 +1 = 3 + 2 1 得 +1 + ( + 1) = 3( + )，
且 1 + 1 = 2 ≠ 0，
所以数列{ + }是首项为 2，公比为 3 的等比数列，
所以 + = 2 × 3 1 ，
所以数列{ }的通项公式为 = 2 × 3 1 ．
(3)由(2) 1 1 1可知， 1 + = 2 × ( 3 ) ，
1
2×[1 (
1) ]
所以 3 3 = 1 = 4 [1 (
1
3 )
] = 3 3 1
1 4
4 × ( 3 ) ，
3
3 1 3
又因为 × ( ) 4 3 > 0，所以 < 4．
18.解：(1)由题意可知， = 1， + = 3，所以 = 2．
2 2
又 2 = 2 2 = 4 1 = 3，所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
(2)设过点 (1,0)的直线方程为 = + 1，点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
4 + 3 = 1联立 ，得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，
= + 1
则 1 + 2 =
6 9
3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
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2
则| | = 1 + 2 ( 2 12( +1)1 + 2) 4 1 2 = 3 2+4 ，
又因为点 ( 2,0)到直线 的距离 = 3 ，
1+ 2
= 1
2
令 2 | | =
18 1+ 6
3 2+4 = 15，解得 =± 3 ，
所以直线 的方程为 3 ± 6 3 = 0．
(3) 证明：因为直线 ： = 1 ( 2)，直线 ： =
2 ( + 2)，
1 2 2+2
= 1 2 ( 2)1 +2 ( +2) +3 由 2 ，整理得 =
2 1 = 1 2 1，
= ( + 2) 2 ( 1 2) 2 1 2 2 2+2
6 9
由(2)知 1 + 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
得 31 2 = 2 ( 1 + 2)，
9 3
+2 +
所以 2 =
1 2+3 1 2 1 2 2
1
=
2 2 3 1
= 3，
2 1+2 2
+2
即 2 = 3，解得 = 4，所以点 在直线 = 4 上．
19.解：(1)由题意知： +1 1 = 2 = 1， 2 = 2 2 + 2 ，
又 = 2 ，∴ +1 = 2 + 2
1
，即 +1 2 +1 = 2 + 2，
1
所以 = + 2是数列

2 的生成函数；
(2)由(1) 1 1知： +1 12 +1 = 2 + 2，又21 = 2，
∴ 数列 1 12 是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴ = 1+ 1 × 1 = 12 2 2 2 ，∴
1
= × 2 ，
所以 = 1 × 20 + 2 × 21 + 3 × 22 + + × 2 1
2 = 1 × 21 + 2 × 22 + 3 × 23 + + × 2
= 20 + 21 + 22 + + 2 1 × 2 = 1× 1 2

两式相减得： 1 2 × 2
= 1 × 2 1
所以 = 1 × 2 + 1．
(3) 2025 +2由题意知： +1 = +2026， 1 = 2，
∴ 1 = 2025 +2 +2026 = 2024 1 +1 +2026 +2026 ，
+ 2 = 2025 +2+ 2 +4052 = 2027 +2 +1 ， +2026 +2026
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∴ +1 1 = 2024 1 ，又 1 1 1 +1+2 2027 +2 1+2
= 4，
∴ 数列 1 1 2024 +2 是以4为首项，2027为公比的等比数列，
∴ 1 = 1 2024
1
+2 4 2027 ，又 0.99 <
2024
2027
< 0.999，
∴ 1 × 0.99 1 < 1 2024
1 1 1
4 4 2027 < 4 × 0.999 ，( ∈
, ≥ 2)，
则当 ≥ 2 1 0 . 99 1 < < 1时， 0 . 999 14 =1 4 =1 ，
1 1 0.99

< < 1 1 0.999

即4 1 0.99 4 1 0.999，
∴ 25 1 0.99 < < 250 1 0.999 ( ∈ , ≥ 2).
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