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2024-2025 学年浙江省金砖高中联盟高二下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2,4}， = { || 1| ≥ 2 }，则 ∩ =( )
A. { 1,0} B. {0,1} C. { 1,0,1} D. { 1,0,1,2}
2.已知复数 = ( + 1) ( ∈ )，则“ = 0”是“| | = 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知向量 = ( ,2)， = (2,3)，若 ⊥ (2 )，则 =( )
A. 12 B.
1 1 1
4 C. 4 D. 2
4.某人在一次考试中每门课得分如下：60，59，76，90，85，100，则数据的第 75 百分位数为( )
A. 87.5 B. 85 C. 90 D. 100
5.已知 2tan 2tan = 1 tan tan ，tan( ) = 2，则 tan tan =( )
A. 35 B.
5
3 C.
4
5 D.
6
5
6 .等差数列{ }的前 项和为 ，若 7 < 5 < 6，则数列{ }中最小项为( )
A. 5 B. 6 C.
7 D. 8
5 6 7 8
7.函数 ( ) = 5 + sin + 1， (3 ) + ( 1) = 2 3 1，且 > 0， > 0，则 + 的最小值为( )
A. 8 B. 10 C. 14 D. 16
8.设点 是圆 : 2 + 2 = 4 与圆 : 2 + 2 6 + 2 = 0 的一个交点，过点 作直线 交圆 于另一点 ，
交圆 于另一点 ，若 2 = + ，则直线 的斜率为( )
A. ± 5 3 B. ± 53 3 C. ±
3
5 D. ±
3
5 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 服从正态分布 (4, 2)，且 ( < ) = ( > )，则下列选项正确的是( )
A. (3 + 1) = 12
B. + = 8
C. ( ≥ 3 + ) > ( ≤ 3 )
D.若 ( ≥ 3) = 0.68，则 (3 ≤ < 5) = 0.36
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10 2 1.已知随机事件 、 满足： ( ) = 3， ( ) = 6，则下列选项正确的是( )
A. 1若 ( ) = 9，则 与 相互独立
B.若 5与 相互独立，则 ( ) = 6
C.若 与 1互斥，则 ( ) = 6
D. 1 1若 ( ) ( | ) = 12，则 ( | ) = 8
11.下面这些图中，能一笔画连成的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12 .若双曲线 2 4 = 1( > 0)，它的一条渐近线与直线 3 2 + 1 = 0 垂直，则该双曲线的离心率
= ．
13.( + )(1 + )4的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 = ．
14.如图，现有棱长为 4 的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥 1 ，且 ， ， 分别为
棱 1 ， 1 1， 1 1是离 1最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最
大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (2,0)，3
2 = 6 ， 为 轴上一点。
(1)求椭圆 的方程;
(2)过 点作与直线 垂直的直线交 于 ， 两点，当△ 的面积为 2 3时，求直线 的方程。
16.(本小题 15 分)
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如图 1，在平面五边形 中， // ，且 = 4 ∠ = 60 5， ， = = 2 7，cos∠ = 7，
将△ 沿 折起，使点 到点 的位置，且 = 2 3，得到如图 2 所示的四棱锥 ．
(1)求证： ⊥平面 ;
(2)若 = 2，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( ) = ( + 1)2， ∈ .
(1)若 = 12，判断 ( )的单调性;
(2)若 ( )存在两个零点，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
甲、乙两盒子中各有 2 枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄.称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚
棋子交换，记 次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为 ．
(1)求 1， 2的值;
(2)求数列{ }的通项公式;
(3)并求使不等式|
2 1
3 | ≤ 3×104成立 的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知集合 为平面中点的集合， 为正整数，若对任意的 ∈ 且 1 ≤ ≤ ，总存在平面中的一条直线恰通
过 中的 个不同的点，称集合 为 连续共线点集。
(1).若 = {( , )| ∈ {0，1，2}， ∈ {0,1,2,3,4}}，判断 是否为 3 连续共线点集 是否为 4 连续共线点集
(2).已知集合 为 连续共线点集，记集合 的元素个数为| |
(ⅰ)若| | = 6，求 的最大值;
(ⅱ)对给定的正整数 ，求| |的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 133
13.3
14.9 3 32
= 2
15.解：(1) 2 = 2 2 ,得 = 6， = 2， = 2，
3 2 = 6
2 2
∴ 的方程为 6 + 2 = 1．
(2).直线 的方程为 = + 2，
则直线 的斜率为 = ，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 2
联立 2 2 ,
6 + 2 = 1
得( 2 + 3) 2 + 4 2 = 0．
4 2则 1 + 2 = 2+3， 1 2 = 2+3，
所以| | = 2 + 1 ( 1 + 22) 4 1 2
2 2
= 2 + 1 24 +24 2 6( +1)( 2+3)2 = 2+3 ．
又因为| | = 1 + 2| | = 2 1 + 2，
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2
∴ 1 = 2 | || | =
1 · 2 6( +1) 22 2+3 ·2 1 + = 2 3，解得 =± 1，
所以 的方程为 =± + 2．
16.(1) 5证明：在△ 中， = = 7，cos∠ = 7，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，即 = 2，
又因为 = 2，∠ = 60 ，所以△ 为正三角形，
设 中点为 ，连接 、 ，由△ 为正三角形可知 ⊥ ，
由 = 可知 ⊥ ， 、 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，故 BD⊥ ．
在△ 中，可得 = 2 2 = 6，在△ 中，可得 = 2 2 = 3，
又因为 = 3，可得 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又因为 、 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
(2)解：因为 / / ，所以 ⊥ ，再由 ⊥平面 可知， ⊥ ， ⊥ ，
故可以 为坐标原点， ， ， 别为 轴， 轴， 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
在坐标系中，各点坐标别为： (1,0,0)， (1, 3, 0)， (0, 3, 0)， (0,0, 3)，
则 = (0, 3, 0)， = ( 1,0, 3)， = ( 1, 3, 3)， = ( 1,0,0)，
3 = 0
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, )
=
1 ，则
1 1 ,
1 = 1 + 3 1 = 0
取 1 = 3，可得 1 = 0， 1 = 1，所以 1 = ( 3, 0,1)，
= 3 + 3 = 0设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，则 2 2 2 2 , 2 = 2 = 0
取 2 = 1，可得 2 = 0， 2 = 1，所以 2 = (0,1,1)，
设平面 与平面 所成的角为 ，由图象可得 为锐角，
cos = | 1· 2 1 2则 | 1||
| =
2| 2× 2
= 4 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 2．
4
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17.解：(1)依题意可得 ′( ) = 2 ( + 1)，
∵ = 1 2，故 ′( ) = ( + 1)，
设 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 1，
∵ > 0，∴ ′( ) > ′(0) = 0，
∴ ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
∴ ′( ) > ′(0) = 0，
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增．

(2)令 ( ) = 0 ，可得 = ( +1)2，

所以 = 与 = ( +1)2恰有两个交点，

设 ( ) = ( 1)( +1)2，则 ′( ) = ( +1)3 ，
令 ′( ) = 0 可得 = 1，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0;当 > 1 时， ′( ) > 0，
∴ ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) ≥ (1) = 4，
∵当 → 0 时， ( ) → 1;
当 →+∞时， ( ) →+∞，
∴ 的取值范围是( 4 , 1)
18.解：(1) = 11 2，
2 = ×
1 3
1 2 + (1 1) × 1 = 4．
(2) 1因为 +1 = × 2 + (1 ) × 1，
2 1 2所以 +1 3 = 2 ( 3 )，
2 2 1 1 1
即 1 13 = ( 1 3 )( 2 ) = ( 6 )( 2 ) ，
2+( 1)
所以 = 23 ．
( 1)
(3) 1代入得| 23 | 3×104，
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整理得2 ≥ 104，
所以 的最小值为 14．
19.解：(1)直线 = 0 经过(0,0)，(0,1)，(0,2)3 个点，直线 = 1 经过(1,0)，(2,1)2 个点，
直线 = 2 经过(2,0)1 个点，所以 为 3 连续共线点集，
没有直线经过 中的 4 个点，所以不是 4 连续共线点集；
(2)( )因为| | = 6，即直线最多经过 中的 6 个点，所以 ≤ 6.
= 6 时，6 个点在一条直线上，没有一条直线恰经过 5 个点，不满足．
= 5 时，5 个点在一条直线上，则仅剩 1 个点，没有一条直线恰经过 4 个点，不满足．
又当 = {(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(2,0)}时， = 0， = 0， = + 1， = 分别恰经过
中 4，3，2，1 个点，为 4 连续共线点集，所以 max = 4．
( )设 恰经过 中的 个点( = 1,2, , )
由于 经过 个点， 1恰经过 1 个点，最多与 交 1 个点，即最少需要多 1 1 个点;
2恰经过 2 个点，最多分别与 ， 1各交 1 个点，即最少需要多 2 2 = 4 个点;

依次类推， (0 ≤ ≤ 2 , ∈ )恰经过 个点，最多分别与 ， 1 +1各交 1 个点，即最少需要
多 = 2 个点，
2+2
所以当 是偶数时，最少需要2 =0 ( 2 ) = 4 个点，
1
( 2 ) = ( +1)
2
当 是奇数时，最少需要 2 =0 4 点.
( +1)2
所以| | ∈ [ 4 ]([ ]为不超过 的最小整数)．
| ( +1)
2
下面用归纳法构造 4 |个元素的点集，为 连续共线点集
(1) = 1，2 时，显然成立;
2
(2)假设 = 时， [ +1)中有 4 个点，直线 恰经过 中的 个点( = 1,2, , )，
( +1)2
作一条直线 +1不经过原来的[ 4 ]个点，且与 1， 2， ， 均各有一个交点 ， 2， ， ，并在 +1
上取异于 1， 2， ， 的两个点 +1， +2，则 1， 2， ， ， +1各经过 2，3， ， + 1， + 2
( +1)2
个点，然后任选一点，过该点作不经过其余[ 4 ] + + 2 个点的直线 0，
则 0， 1， 2， ， ， +1各经过 1，2，3， ， + 1， + 2 个点，则点集 ′ = ∪ { 1, 2, , , +1, +2}
为 + 2 连续共线点集，
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| | = [ ( +1)
2 ( +1)2 2
此时 4 ] + + 2 = [ 4 + + 2] = [
( +3)
4 ].
| | ( +1)
2
所以 min = [ 4 ].
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