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2024-2025 学年江苏省泰州中学高一下学期 4 月期中数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.下列命题是真命题的是( )
A. 1 1若 2 = ，则 = B.若 = 4，则 = 2
C.若 = ，则 = D.若 < ，则 2 < 2
2.若 = ∈ 28 ≤ 0 ， = { |log5 < 1}，则 ∩ =( )
A. {2,3,4} B. C. {1,2} D. {2,3}
3 2 .函数 = ln 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.“ = 2”是“向量 = (1, )， = ( ,4)，则 / / ”的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
5.某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数 与生物个体总数 研究生态瓶水质，设立
= 1生物丰富度指数 ln 作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数 越大，水质越好.若经过老师指导调整以
后生态瓶生物种类数 没有变化，生物个体总数由 1变为 2，生物丰富度指数由 3.1 提高到 4.65，则( )
A. 3 2 = 2 1 B. 2 2 3 3 22 = 3 1 C. 2 = 1 D. 2 = 1
6.在正方形 中，点 满足 = 2 1，点 满足 = 2
+ 1 2 ，若 =
+ ，则 =( )
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A. 1 B. 1 C. 32 2 2 D.
1
6
7.已知 = 3，tan tan = 2，则 cos + 的值是( )
A. 3 1 B. 3+1 C. 3+1 D. 3 12 2 4 4
8.若 的三个内角均小于 120 ，点 满足∠ = ∠ = ∠ = 120 ,则点 到三角形三个顶点的
距离之和最小，点 被人们称为费马点．根据以上性质，已知 是平面内的任意一个向量，向量 , 满足 ⊥ ，
且| | = 3，| | = 3，则| | + | | + | + |的最小值是( )
A. 9 B. 4 3 C. 6 D. 3 3
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.下列各式的值为 1 的是( )
A. tan20
°+tan25° 1
tan20°tan25° 1 B. log627 + log68 (
1
8 )
3
C. sin72°cos18° cos108°sin18° D. 2cos222.5° 1
10.已知曲线 = 1 + 1( > 0 且 ≠ 1)过定点 ，且 的坐标满足方程 + 1 = 0 > 0, > 0 ，
则( )
A. 1的最大值为 B. 2 + 4 2 18 的最小值为4
C. 1 + 1 4 25 的最小值为 1 + 2 2 D. 2 + +1的最小值为 6
11.对于函数 = ( )，若对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ∈ ，并且 ( ) ( ) = 1，则称
函数 = ( )为倒函数．以下选项正确的有( )
A.函数 ( ) = 3 是倒函数
B.函数 ( ) = 1 1+ 是倒函数
C.若 = ( ) 1是 R 上的倒函数，当 ≤ 0 时， ( ) = 2 + 2，方程 ( ) = 2025没有正整数解
D.若 = ( )是 R 上的倒函数，其函数值恒大于 0，且在 R 上是增函数．记 ( ) = ( ) 1 ( )，则 1 + 2 > 0
是 1 + 2 > 0 的充要条件
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12.幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布。三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡
广(即长)从(即宽)相乘谓之乘。”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原
本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”。幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即 .函数 ( ) =
(2 2 ) + 2 1 为幂函数，则 = ．
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13.已知函数 ( ) = sin( + )( , 为常数， > 0)的部分图象如图所示，则
( 5 12 ) = ；若将函数 ( )图象上的点 (0, )向右平移 ( > 0)个单位长度
得到点 ，且点 仍在函数 ( )的图象上，则 的最小值为 ．
2
14 π.已知 , , 是平面向量， 是单位向量，若非零向量 与 的夹角为 4，向量
满足 6 + 8 = 0，则
的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13 分）单位圆 与 轴正半轴的交点为 ，点 ， 在圆 上，且点 在第一象限，点 在第二象限．

(1) 如图，当 的长为3时，求线段 与 所围成的弓形(阴影部分)面积；
(2)记∠ = 4， ∈ 2 , ，当 ⊥ ，点 的横坐标为5时，求 sin + cos 的值．
16.（15 分）已知集合 = { ∣ 2 2 < 0}, = { || 52 |
3
2 }．
(1)求 ∪ , ∩ ;
(2)记关于 的不等式 2 2 + 4 + 2 + 4 ≤ 0 的解集为 ，若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
17.（15 分）已知函数 ( ) = log 2 2 + 1 在 上为奇函数， > 1, > 0．
(1)求实数 的值；
(2)指出函数 ( )的单调性(说明理由，不需要证明)；
(3)设对任意 ∈ ，都有 2cos + 2 + 5 + 2sin 2 ≤ 0 成立，求 的取值范围．
18.（17 分）已知向量 = (cos 3 , sin 3 ) = (cos 2 2 ， 2 , sin

2 )，函数 ( ) =
| + | + 1， ∈
3 ,

4 , ∈ ．
(1)若 的最小值为 1，求实数 的值；
(2) 24 是否存在实数 ，使函数 = + 249 ， ∈ 3 , 4 有四个不同的零点？若存在，求出 的取值范
围；若不存在，请说明理由．
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19.（17 分）设函数 ( )的定义域为 ，对于区间 = [ , ]( < ， )，若满足以下两条性质之一，则称
为 ( )的一个“ 区间”．
性质 1：对任意 ∈ ，有 ( ) ∈ ；
性质 2：对任意 ∈ ，有 ( ) ．
(Ⅰ)分别判断区间[1,2]是否为下列两函数的“ 区间”(直接写出结论)；
① = 3 ；
= 3② ；
(Ⅱ)若[0, ]( > 0)是函数 ( ) = 2 + 2 的“ 区间”，求 的取值范围；
(Ⅲ) ( ) ( )已知定义在 上，且图象连续不断的函数 ( )满足：对任意 1， 2 ∈ ，且 1 ≠ 2，有 2 1 < 1.2 1
求证： ( )存在“ 区间”，且存在 0 ∈ ，使得 0不属于 ( )的所有“ 区间”．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.0 ； 3
14.3 22 1
15.解：(1)设 所对的圆心角为 ，弧长为 ，弓形的面积为 ．

因为 = 3，圆 的半径为 = 1，所以 = = 3，
= 1 2 = 1 扇形 2 2 3 1
2 = 1 3 36， △ = 2 1 2 = 4 ，
= 扇形 △ =

6
3
4 ．
(2) 4设∠ = ，由题知 ( 5 ,
3
5 )，于是 sin =
3
5，cos =
4
5，
sin + cos = sin(90 + ) + cos(90 + ) = cos sin = 4 35 5 =
1
5．
即 sin + cos = 15．
16.解：(1)因为 2 2 < 0，解得 1 < < 2，所以 = 1 < < 2 ，
又因为 5 32 ≥ 2，解得 ≥ 4 或 ≤ 1，所以 = ≤ 1或 ≥ 4 ，
所以 ∪ = < 2或 ≥ 4 ；
又因为 = 1 < < 4 ，
所以 ∩ = 1 < < 2 ．
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(2)因为 2 2 + 4 + 2 + 4 ≤ 0 + 4 ≤ 0，
所以 = ≤ ≤ + 4 ，
≤ 1
若 ∪ = ，则 + 4 ≥ 4，解得 0 ≤ ≤ 1，
所以 的取值范围是 0 ≤ ≤ 1 ．
17.解：(1)由已知结合奇函数的性质可得 ( ) + ( ) = 0，
即log 2( )2 + 1 + log 2 2 2 2 + 1 + = log 2 + 1 2 + 1 + =
2
log 2 2 + 1 2 2 = log 2 2 2 + 1 = 0，
所以 2 2 2 = 0，解得 =± 2(舍去负值)，所以 = 2．
此时有 ( ) = log 2 2 + 1 2 ，定义域为 ，满足题意．
(2)令 = 2 2 + 1 2 ，
因为 > 1，所以函数 = log 在(0, + ∞)上单调递增．
2 2+1 2 2 2+1+ 2
≥ 0 = 2 2 + 1 2 = = 1又当 时，有 在[0, + ∞)上单调递减；
2 2+1+ 2 2 2+1+ 2
当 < 0 时， = 2 2 + 1与 = 2 均为减函数，
所以有 = 2 2 + 1 2 在[0, + ∞)上单调递减．
综上所述， = 2 2 + 1 2 在 上单调递减．
根据复合函数的单调性可知， ( ) = log 2 2 + 1 2 在 上单调递减．
(3)由已知 2cos + 2 + 5 + 2sin 2 ≤ 0，
结合奇函数的性质可得 2cos + 2 + 5 ≤ 2sin 2 = 2 2sin ．
又由(2)知， ( ) = log 2 2 + 1 2 在 上单调递减，
所以有 2cos + 2 + 5 ≥ 2 2sin ，整理即有 2 cos + sin ≥ 2 2 5．
设 ( ) = 2 cos + sin ，要使该式恒成立，则应满足 ( ) 2min ≥ 2 5．
又 ( ) = 2 cos + sin = 2sin + π4 ，
+ π = π+ 2 π, ∈ Z = 3π当 4 2 ，即 4 + 2 π, ∈ Z 时， ( )有最小值 2，
则有 2 2 5 ≤ 2，整理可得 2 2 3 ≤ 0，解得 1 ≤ ≤ 3．
18.解(1) ∵ = cos 3 2 cos

2 + sin
3
2 ( sin

2 ) = cos2 ，
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+ = (cos 3 2 + cos
3
2 , sin 2 sin 2 )，
∴ | + | = (cos 3 2 + cos

2 )
2 + (sin 3 2 sin
2 2
2 ) = 2 + 2cos2 = 4cos ，
∵ ∈ , 3 4 ， ，
= cos2 2 cos + 1 = 2cos2 2 cos ，令 = cos ∈ 12 , 1 ，
∴ = 2 2 2 ，∵ min = 1，对称轴为 =

2，
1 1 1 3
①当2 < 2即 < 1 时，当 = 2时， min = 2 = 1，∴ = 2舍，
1 2
②当2 2 1 即 1 ≤ ≤ 2 时，当 = 2时， min = 2 = 1，∴ = 2，
3
③当2 > 1 即 > 2 时，当 = 1 时， min = 2 2 = 1，∴ = 2舍，
综上， = 2．
2 2
(2)令 = + 24 = 0 24 49 ，即 2cos
2 2 cos + 49 = 0，
∴ cos = 3 4 7 或 7 ，∵ = ， ∈
, 3 4 有四个不同的零点，
∴方程 cos = 3 cos = 4 7 和 7 在 ∈

3 , 4 上共有四个不同的实根，
2
2
3 7 2 7
7 < 1 6 < 3
∴ 2 4 < 1 , ∴
7 2 7
7 2 7 , ∴
2 7 < 6
≤ < 4．
3 8 4
7 ≠
4
7 ≠ 0
19.解：(Ⅰ)①是，②不是；
(Ⅱ)记 = [0, ]， = { ( )| ∈ }，易知 (0) = 0 ∈ [0, ]，故若 为 ( )的“ 区间”，则不满足性质②，
必满足性质①，即 ；
( ) = 2 + 2 = ( 1)2 + 1，当 0 < < 1 时， ( )在[0, ]上单调递增，且 ( ) = ( 1) >
0，所以 = [0, ( )]不包含于 = [0, ]，不合题意；
当 1 ≤ ≤ 2 时， = [ (0), (1)] = [0,1] [0, ] = ，符合题意；
当 > 2 时， ( ) < (2) = (0) = 0，所以 ( ) ，不合题意；
综上可知， ∈ [1,2]；
(Ⅲ)证明：对于任意区间 = [ , ]( < )，记 = { ( )| ∈ }，由已知得 ( )在 上单调递减，故 =
[ ( ), ( )]，
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( ) ( )
因为 < 1，故 ( ) ( ) > ，即 的长度大于 的长度，故不满足性质①，所以若 为 ( )的
“ 区间”，必须满足性质②，即 ∩ = ，
即存在 ∈ 使得 ( ) < ，或存在 ∈ ，使得 ( ) > ，因为 ( ) = 不恒成立，所以上述条件满足，所
以 ( )一定存在“ 区间“；
记 ( ) = ( ) ，先证明 ( )有唯一零点，
因为 ( )在 上是减函数，所以 ( )在 上是减函数，则若 (0) = 0，则 0 = 0 是 ( )的唯一零点，
若 (0) = > 0，则 ( ) < (0) = ，即 (0) > 0， ( ) < 0，
由零点存在性定理，结合 ( )的单调性，可知存在唯一 0 ∈ (0, )，使得 ( 0) = 0，
综上可知， ( )有唯一零点 0，即 ( 0) = 0，
所以 ( )的所有“ 区间” 都满足性质②，故 0 ．
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