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2024-2025 学年江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学高一下学期第一
次阶段联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. + =( )
A. B. C. D. 0
2.若 sin( + ) 2 = cos( )，则下列结论一定正确的是( )
A. tan( ) = 1 B. tan( + ) = 1 C. tan( ) = 1 D. tan( + ) = 1
3.已知 = (1,4), = ( ,2)，且 , , 三点共线，则 =( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 4
4.已知向量 , , 满足 + + = 0, = 2, = 2, = 1，则 cos , =( )
A. 1 1 1 12 B. 2 C. 4 D. 4
5.已知向量 ， 满足 = 2， = 1， + = 2，则 在 上的投影向量为( )
A. 1 B. 1 2 2 C.
3 3
2 D. 2
6 1.如图，在 中，点 在线段 上，且 = 3 .若 = 9

，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 52 D. 1
°
7.已知 = cos1° sin1°, = 2 2cos222.5° 2, = 1+tan11 tan1°，则 ， ， 的大小顺序为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.已知△ 中，| | = 6，且| | = 2，且| + (3 3 ) |( ∈ )的最小值为 3 2，若 为边 上任
意一点，则 的最小值是( )
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的值正确的是( )
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A. sin15°cos15° = 12 B. cos
2 π 2 π 2
8 sin 8 = 2
C. tan22.5°1 tan222.5° = 1 D. 2cos
222.5° 1 = 22
10.已知函数 ( ) = cos22 + 12 sin4
1
2，则下列说法正确的是( )
A. 函数 ( )的最小正周期为2
B.函数 ( ) 3 在区间( 16 , 8 )上单调递增
C.函数 ( ) 的图象的一条对称轴方程为 = 8
D.函数 ( )的图象可由 = 22 sin4

的图象向左平移16个单位长度得到
11.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知 的外心
为 ，重心为 ，垂心为 ， 为 中点，且 = 4， = 2，则下列各式正确的有( )
A. = 4 B. = 6
C. = + + D. 3 = + 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 π.已知 sin( + 6 ) + cos =
3 3 sin(2 + π4 ，则 6 ) = ．
13.如图， ， 分别是四边形 的对角线 与 的中点，设 = ， = ，且 ， 不是共线向量，
向量 = (.试用基底 ， 表示)
14.已知 sin + sin = ，cos + cos = ( ≠ 0)，则 cos( ) = ，sin( + ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (2,3), = (1,2), = + ( ∈ )．
(1)若向量 与 3 共线，求实数 的值；
(2)若 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围．
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16.(本小题 15 分)
(1) sin15°cos5° sin20°求值：cos15°cos5° cos20°．
(2)在 中，已知 tan + tan + tan tan = 1，求角 的大小．
17.(本小题 15 分)
如图，在 中，点 、 满足 = ， = ( > 0, > 0) 1，点 满足 = 3 ， 为 的中
点，且 、 、 三点共线．
(1)用 、 表示 ；
(2) 1 1求 + 2 的值．
18.(本小题 17 分)
长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度 = 1 .一艘游船从南岸码头 出发航行到北岸.已知游船在静水中
的航行速度 1的大小为 1 = 10 / ，水流的速度 2的大小为 2 = 4 / .设 1和 2的夹角为 (0 < <
180 )，北岸的点 ′在 的正北方向．
(1)当 = 120 时，试判断游船航行到达北岸的位置是在 ′的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当 cos 多大时，游船能到达 ′处 需要航行多长时间 (不必近似计算)
(3)当 = 120 时，游船航行到达北岸的实际航程是多少
19.(本小题 17 分)
已知函数 = sin + cos cos > 0 ，且 ≤ 6 恒成立．
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(1)求 的值；
(2) 设 = sin + cos sin cos ，若 1 ∈ 0, 4 ， 2 ∈ 6 , 0 ，使得 1 ≤ 2 ，求实数 的取
值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.18
13. 12
1
2

2 2
14. + 2 2 2 ； 2+ 2
15.解：(1)因为 = (2,3), = (1,2)，
所以 = + = (2,3) + (1,2) = (2 + 1,3 + 2)，
3 = (2,3) 3(1,2) = ( 1, 3)，
因为向量 与 3 共线，
所以 3(2 + 1) + (3 + 2) = 0，
1
解得： = 3 ;
(2)由 与 的夹角是钝角，
则 < 0 且 与 不共线反向，
由 < 0，
得 = 2(2 + 1) + 3(3 + 2) < 0，
8
解得 < 13，
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若 与 共线，
2 +1 3 +2
得 2 = 3 ，无解，
故 与 不共线，
所以实数 的取值范围是 ．
16. (1) sin15°cos5° sin20° = sin15°cos5° sin(15°+5°)解： cos15°cos5° cos20° cos15°cos5° cos(15°+5°)
= sin15°cos5° sin15°cos5° cos15°sin5° cos15°sin5° 1cos15°cos5° cos15°cos5°+sin15°sin5° = sin15°sin5° = tan15°，
1 3
∵ tan15° = tan(45° 30°) = 1 tan30° 31+tan30° = 1+ 3
= 2 3，
3
∴ == 1原式 2 3 = 3 + 2 ．
(2) 中，已知 tan + tan + tan tan = 1，
若 tan tan = 1，则 tan + tan = 0，不合题意；
∴ tan tan ≠ 1 tan( + ) = tan +tan ， 1 tan tan ，
由已知，tan + tan = 1 tan tan ，
∴ tan( + ) = 1，0° < + < 180°，
∴ + = 45°，∴ = 180° ( + ) = 135°．
17.解：(1)因为 = 1 3 ，则 =
1 ，所以 = 2 1 3 3 + 3 ，
因为 为 的中点，故 = 1 = 1 2 + 1 = 1 + 1 2 2 3 3 3 6 ．
(2)因为 、 、 三点共线，则 // ， = ， = ( > 0, > 0)，
所以存在 ∈ ，使得 = ，即 = ，
所以 = (1 ) + = (1 ) + ，
= 1又因为 3
+ 1 6
，且 、 不共线，
(1 ) = 1 1
所以 3 3
= 1
，则 ,
= 1 16 6 =
1 1
所以3 + 6 = (1 ) + = 1
1 1
，故 + 2 = 3．
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18.解：(1)
由题意可知船在水流方向的分速度| 1|sin30° = 5，故| 1| > 2
′
，故在 左侧．
(2)如图，设游船航行 小时到达 ′处，向量 1, 2对应的平行四边形设为 ′ ．
则 ′ ⊥ , = 4 , ′ = 10 , > 0，
cos = cos = = 4 = 2
′ 10 5，
由勾股定理知 ′ 2 = 2 + ′2，所以 100 2 = 16 2 + 1，解得： = 21．42
当 cos = 25时，游船到达 处，需航行
21
′ 小时．42
(3) 3由(1)知：垂直方向航行时间为 1 sin60°
= 15 ,
∴水平方向航行距离为 1 cos60°
3 3
2 × 15 = 15 ,
2
∴游船航行到达北岸的实际航程 12 + 3 = 2 5715 15
19.解：(1) = sin + cos cos = sin cos + 2 = 12 sin2 +
1+cos2
2
=
2+1sin 2 + + 1 14 2，其中 tan = ，
由于 > 0， ≤ 6 ，故 sin 3 + = 1，
+ = 所以3 2 + 2 , ∈

，故 = 6 + 2 , ∈ ，
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1 3
= tan 6 + 2 = 3 , ∈ ，解得 = 3；
(2) (1) = = sin 2 + + 1由 取 6，故 6 2，
1 ∈ 0,

4 ， 2 ∈ 6 , 0 ，使得 1 ≤ 2 ，
则只需 max ≤ max，
其中 ∈ 6 , 0 时，2 + 6 ∈ 6 ,

6 ，故 = sin 2 +

6 +
1
2 ∈ 0,1 ，
则 max = 1，
2
令 sin + cos = 1，则 sin cos = 2 ，
2 = sin + cos sin cos = 1 1 1+
2
则 2 =
2
2 + 2 ，
其中 = sin + cos = 2sin + 4 ，
因为 ∈ 0, 4 ，所以 + 4 ∈ 4 , 2 ， = 2sin +

4 ∈ 1, 2 ，
2
若 ≤ 1 1 1+ ，此时 = 22 + 2 在 ∈ 1, 2 上单调递减，
故 max = 1 = ，故 ≤ 1，
2 2
若 1 < < 2 1+ 1+ ，此时 max = = 2 ，令 2 ≤ 1，
故 2 ≤ 1，解得 1 ≤ ≤ 1， 1 ≤ ≤ 1 与 1 < < 2取交集得 ，
≥ 2 = 1
2
若 ，此时 2
2 + 1+ 2 在 ∈ 1, 2 上单调递增，
故 max = 2 = 2
1
2，
1 3 2
令 2 2 ≤ 1，解得 ≤ 4 ， ≥ 2
3 2
与 ≤ 4 取交集得 ，
综上， ≤ 1．
即实数 的取值范围为( ∞,1]．
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