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2024-2025 学年江苏省丹阳高级中学高一预备年级下学期第一次阶段
考试（3 月）数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = < 1 ， = 2, 1,0,1,2,3 ，则 ∩ =( )
A. 2, 1,0,1,2 B. 0,1,2,3 C. 1,2,3 D. 2,3
2.若关于 的不等式 > 0 的解集为{ | > 1} + ，则关于 的不等式 2 > 0 的解集为( )
A. { | < 2，或 > 1} B. { |1 < < 2}
C. { | < 1，或 > 2} D. { | 2 < < 1}
3.已知 > 0 2 6，且 是关于 的方程
2 + 8 = 0 的一个根，则 + 的最小值是( )
A. 2 B. 4 C. 4 2 D. 8
4.若关于 的不等式 2 + 2( 1) + 2 < 0 的解集为( 1, 2)
1 1
，且 + = 2，则实数 的值为( )1 2
( )
A. 4 B. 1 C. 1 D. 4
5.当 ∈ ( 1,1) 3时，不等式 2 2 8 < 0 恒成立，则 的取值范围是( )
A. 3, 18 B. 0,
1 C. 0, 18 8 D. 3,
1
8
6.2023 年 5 月 10 日 21 时 22 分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射
场点火发射，约 10 分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度 (单位：
km/s) 与燃料质量 (单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量 (单位：kg)的函数关系为 = 2ln 1 + .若已知
火箭的质量为 3100kg，火箭的最大速度为 11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为( )(参考数值：ln2 ≈
0.69, ln244.69 ≈ 5.50，结果精确到 0.01 , 1 = 1000 )
A. 890.23t B. 755.44t C. 244.69t D. 243.69t
7.已知 = 4log6 9log6 ， = 9log4 + 6log4 ，则 的值为( )
A. 5+1 5 1 5+12 B. 2 C. 2 D.
5 1
2
8.若命题“ > 0，( 1)( 2 2 1) ≥ 0”是真命题，则实数 的取值集合为( )
A. { 33 } B. { 3} C. { | ≥
3
3 } D. { |0 < ≤ 3}
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知正数 ， 满足 2 + = 1，则( )
A. 8 ≤ 1 B. 1 4 + ≥ 12 C. 4
2 + 2 ≥ 12 D. ( + 1) ≤
1
4
10.下列计算正确的有( )
A. 2 0.50.5 = 1
2
B. 83 × 31 32 = 6
C.若 lg3 = ，lg2 = 2 + ，则 518 = 1
1 1
D.若 2 + 2 = 2，则 + 1 = 2
11.已知函数 = ( )和 = ( )在[ 2,2]上的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.方程 ( ) = 0 有且只有 6 个不同的解 B.方程 ( ) = 0 有且只有 3 个不同的解
C.方程 ( ) = 0 有且只有 5 个不同的解 D.方程 ( ) = 0 有且只有 4 个不同的解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.方程log2( + 1) log4( + 4) = 1 的解为 ．
13.已知集合 = { |2 2 + 5 3 = 0}， = { | = 1}，若 ，则实数 的取值集合为 ．
14.正实数 、 、 满足 2 3 + 16 2 = 0 2 1 5，当 取得最大值时， + 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 17 分)
求下列各式的值：
1 3
(1) 81 4 + (3 16) + 1
0 3
2 eln216 2025 ；
(2) log34 + log12 log4 3 + log163 ；
3
3 + 3 (3)已知 2 = 3，求 + 的值．
16.(本小题 15 分)
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已知集合 = { || 1| ≤ 1}， = { | 2 + 1 = 0}， = { | 1 ≥ 0}．
(1)当 = 1，求 ∩ ;
(2)当 = 且 [1, + ∞)，求 的范围．
17.(本小题 15 分)
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发
现：某珍稀水果树的单株产量 (单位：千克)与施用肥料 (单位：千克)满足如下关系： ( ) =
5( 2 + 3), 0 ≤ ≤ 2
50 ，肥料成本投入为 10 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20 元．已知这
1+ , 2 < ≤ 5
种水果的市场售价大约为 15 元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为 ( )(单位：元)．
(1)求 ( )的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
18.(本小题 17 分)
法国数学家佛郎索瓦 韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于
韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于

一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)，它的两根 、 有如下关系： + = , = .”

韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数 和 满足如下关系： + = , = ，那么这两个数
和 是方程 2 + + = 0( ≠ 0)的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系
构造一元二次方程
例如： + = 3, = 2，那么 和 是方程 2 + 3 + 2 = 0 的两根．请应用上述材料解决以下问题：
(1)已知 、 是两个不相等的实数，且满足 2 2 = 4 2 2 = 4 1 + 1， ，求 的值；
(2)已知实数 、 满足 + ( + ) = 13， 2 + 2 = 42，求 2 + 2的值；
(3) 已知 1， 2是二次函数 ( ) = 4 2 4 + + 1 的两个零点，且 ∈ ，求使 1 2 + 的值为整数的所有2 1
的值．
19.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + + 1( ∈ )；
(1)若不等式 ( ) > 0 的解集是( ∞, 1) ∪ (3, + ∞)且 = 1，求实数 的值；
(2)若 = 0， > 0，解不等式 ( ) > 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = 5
13. 13 , 0,2
14.94/2.25
1 1 3
15.(1) 3 4原式= ( 2 )
4 + (16 ) + 1 33 2 2，
1
= 32 + 16
3
2 + 1 2 =
3
2 + 4 + 1
3
2 = 5．
1
(2)原式= log 223 + log3 12 log2232 + log243 ，
= 2log 132 log32 4 log23 +
1
4 log23 = log
1 1
32 × 2 log23 = 2．
( + (3) = )(
2 1+ 2 )
原式 + =
2 1 + 2 ，
因为 2 = 3 1，所以 2 = 2 3，故 1 +
2 = 3 1 + 1 = 73 3．
16.解：(1)由题意得，集合 = [0,2]，
= 1 1 5 1+ 5当 时， = { 2 , 2 }.
所以 ∩ = { 1+ 52 }；
(2)由题意 = ，
当 = 0 时， = 恒成立，
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当 ≠ 0 时， = 2 4 < 0，解得 0 < < 4，
所以当 0 ≤ < 4 时， = ，
由题意，同时满足集合 [1, + ∞)，
当 = 0 时， = [1, + ∞)成立，
当 0 < < 4 = [ 1时， , + ∞)
1
，则 ≥ 1，所以 0 < ≤ 1，
综上，0 ≤ ≤ 1，即 的范围为 , 1 ．
75 2 30 + 225,0 ≤ ≤ 2
17.解：(1) ( ) = 15 ( ) 10 20 = 750 ．
1+ 30 , 2 < ≤ 5
(2)由(1)得
75 2 30 + 225,0 ≤ ≤ 2
( ) = 750
1+ 30 , 2 < ≤ 5
75( 15 )
2 + 222,0 2,
= ，
780 30[ 251+ + (1 + )], 2 < 5
当 0 ≤ ≤ 2 时， ( )max = (2) = 465；
25
当 2 < 5 时， ( ) = 780 30[ 1+ + (1 + )]
≤ 780 30 × 2 251+ (1 + ) = 480，
25
当且仅当1+ = 1 + 时，即 = 4 时等号成立．
因为 465 < 480，所以当 = 4 时， ( )max = 480．
故当施用肥料为 4 千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为 480 元．
18.(1)由 2 2 = 4， 2 2 = 4， ≠ ，
可将 , 可看作方程 2 2 4 = 0 的两个不相等的实数根，
由韦达定理， + = 2, = 4，
1
所以 +
1 = + 2 1 = 4 = 2；
(2)由 + ( + ) = 13， 2 + 2 = ( + ) = 42，
可将 , + 可看作方程 2 13 + 42 = 0 的两个实数根，
由 2 13 + 42 = 0 解得 = 6 或 = 7，
则有 = 6, + = 7 或 = 7, + = 6，
①当 = 6, + = 7 时， 2 + 2 = ( + )2 2 = 49 12 = 37；
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②当 = 7, + = 6 时， 2 + 2 = ( + )2 2 = 36 14 = 22．
所以 2 + 2的值为 22 或 37．
(3) +1由题意和韦达定理，可得 ≠ 0， 1 + 2 = 1, 1 2 = 4 ，
且Δ = (4 )2 4 × 4 ( + 1) = 16 > 0，解得 < 0，
2+ 21 + 2
2
= 1 2 = 1+ 2 2 1 2 = 1+ 2
2
2 = 4 2 = 4 +4 4 4故 2 1 1 2 1 2 1 2 +1 +1
2 = 2 +1
1 因 2 + = 2
4
+1 ∈ Z，又 ∈ Z，故 + 1 必为 4 的因数，2 1
则 + 1 的值可能为 4, 2, 1,1,2,4，
则实数 的值可能为 5, 3, 2,0,1,3，又 < 0，
故 的所有取值为 5, 3, 2．
19.(1)由 = 1 得， ( ) = 2 2 + + 1，
因为不等式 ( ) > 0 的解集是( ∞, 1) ∪ (3, + ∞)，
则 1,3 是方程 2 2 + + 1 = 0 的两根，
所以有 1 × 3 = + 1，解得 = 4．
则 ( ) = 2 2 3，
验证：由 2 2 3 > 0 解得 < 1，或 > 3，满足题意．
故实数 的值为 4．
(2)若 = 0，则 ( ) = 2 2 + 1，
不等式 ( ) > 0 即 2 2 + 1 > 0，
当 = 0 时，1 > 0 恒成立，则 ∈ ，又已知 > 0，则 > 0；
当 ≠ 0 时， = 4 2 4 = 4 ( 1)．
①当 < 0 时， > 0，且函数 ( )开口向下，过定点(0,1)，
则方程 2 2 + 1 = 0 有且只有一个正根，
2 +2 2 2
设方程的两根为 1, 2( 1 < 2)，由 < 0，则 1 = 2 = 1 + < 0
2 2
2 =
2 2
2 = 1

> 0，
由不等式 2 2 + 1 > 0 解得 1 < < 2，又 > 0，所以 0 < < 2；
②当 0 < < 1 时， < 0，且函数 ( )开口向上，
则 ( ) > 0 恒成立，则 > 0；
③当 = 1 时， = 0，不等式为 2 2 + 1 > 0，
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解得 ≠ 1，由 > 0，得 0 < < 1，或 > 1；
④当 > 1 时， > 0，且函数 ( )开口向上，
设方程 2 2 + 1 = 0 的两根为 1, 2( 1 < 2)，
1 + 2 = 2 > 0
则由韦达定理知， = 1 > 0，则方程两根 1, 2均为正根，1 2
2 2 2 2
= 2 2 = 1 = 2 +2 = 1 + 且 1 2 ， 2 2 ，
故由不等式 2 2 + 1 > 0 解得 < 1，或 > 2，
又 > 0，所以 0 < < 1，或 > 2；
综上所述，若 > 0，
2
则当 < 0 时，不等式的解集为 0,1 ；
当 0 ≤ < 1 时，不等式的解集为(0, + ∞)；
当 = 1 时，不等式的解集为(0,1) ∪ (1, + ∞)；
2 2
当 > 1 时，不等式的解集为 0,1 ∪ 1 + , + ∞ ．
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