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专题 二元一次方程组应用题分类训练（5种类型50道）
【题型1 工程问题】 1
【题型2 行程问题】 11
【题型3 年龄问题】 16
【题型4 图形问题】 21
【题型5 古代问题】 28
【题型1 工程问题】
1．某建筑公司有甲、乙两个工程队，先后接力完成河以道路整治任务，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时25天．
(1)若这段河边道路长为300米，求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米？
(2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的别用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，甲工程队至少工作多少天？
【答案】(1)甲、乙两个工程队分别整治河道150米和150米
(2)10天
【分析】（1）根据题意可设甲工程队整治河道x天，乙工程队整治河道y天，列出二元一次方程组求出即可；
（2）设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天，根据总费用不超过18万元，列出不等式求解即可.
【详解】（1）解：设甲工程队整治河道x天，乙工程队整治河道y天，
由题意得，
，得：
，得：，即，
把代入①中得：，
∴，，
答：甲、乙两个工程队分别整治河道150米和150米；
（2）解：设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天．
由题意可得：，
解得：，
答：甲工程队至少工作10天．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用及不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式.
2．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若让两队合做，天可以完工，需费用万元；若让两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元．问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
(3)若工程完成的时间不能超过天，请你设计合理方案，使得完成此项工程的费用最少？
【答案】(1)甲队单独完成此项工程需天，乙队单独完成此项工程需天
(2)甲队单独完成此项工程需费用万元，乙队单独完成此项工程需费用万元
(3)甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，乙队天完成，使得完成此项工程的费用最少
【分析】（1）甲队单独完成此项工程需a天，乙队单独完成此项工程需b天，由题意得，，进行计算并检验，即可得；
（2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，由题意得，，进行计算即可得；
（3）根据甲工程队单独完成此项工程各需天得工程完成的时间不能超过天，有三个方案，方案一：甲工程队单独完成此项工程需天，所需费用万元，方案二：甲、乙工程队天可以完工，所需费用万元；方案三：甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元；将费用进行比较即可得．
【详解】（1）解：甲队单独完成此项工程需a天，乙队单独完成此项工程需b天，
由题意得，，
解得，，
经检验，是原方程组的解，
答；甲队单独完成此项工程需天，乙队单独完成此项工程需天；
（2）解：设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，
由题意得，，
解得，，
∴甲队单独完成此项工程需费用万元，乙队单独完成此项工程需费用万元；
（3）解：∵甲工程队单独完成此项工程各需天
∴工程完成的时间不能超过天，有三个方案，
方案一：甲工程队单独完成此项工程需天，所需费用万元，
方案二：甲、乙工程队天可以完工，所需费用万元；
方案三：甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元；
∵，
∴甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，乙队天完成，使得完成此项工程的费用最少．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．
3．为了促进乡村特色产品的销售，某村政府准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程．
(1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？
【答案】(1)甲、乙两个工程队每天各施工30米，20米
(2)乙工程队每天的施工费用最多是万元
【分析】（1）设甲、乙两个工程队每天各施工x米，y米，根据甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程列出方程组求解即可；
（2）设乙工程队每天的施工费用为m万元，根据总费用不超过12万元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队每天各施工x米，y米，
由题意得，，
解得，
答：甲、乙两个工程队每天各施工30米，20米；
（2）解：设乙工程队每大的施工费用为m万元，
由题意得，，
解得，
∴m的最大值为，
∴乙工程队每天的施工费用最多是万元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组，找到不等关系建立不等式是解题的关键．
4．某新修公路沿线需要进行绿化施工，由甲、乙两工程队合作完成．已知若由甲工程队单独施工，需要30天才能完成此项工程；若由乙工程队先施工30天，剩下的由甲、乙合作施工，则还需10天才能完成此项工程．
(1)求乙工程队单独完成此项工程需要多少天？
(2)若甲工程队每天所需费用为1万元，乙工程队每天所需费用为1.5万元．甲、乙两工程队合作完成此项工程，总费用恰为56万元，则应安排甲工程队施工多少天？
【答案】(1)60天
(2)17天
【分析】（1）设乙工程队单独完成此项工程需要天，根据题意，列出方程求解即可；
（2）分甲乙工程队不同合作方式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，
由题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：乙工程队单独完成此项工程需要60天．
（2）解：①设甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲、乙工程队一起施工，共施工天，
则，
解得：，不符合题意，舍去；
②设乙工程队单独施工天，剩下的部分由甲、乙工程队合作施工，合作施工天，
则，
解得：，
③设甲工程队单独施工天，乙工程队单独施工天，剩下的部分由甲、乙工程队合作施工，
则，
解得：，
综上所述，应安排甲工程队施工17天．
【点睛】本题考查了分式方程和二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
5．一个汽车零件制造车间可以生产甲，乙两种零件，生产4个甲种零件和3个乙种零件共获利120元，生产2个甲种零件和5个乙种零件共获利130元．
(1)求生产1个甲种零件，1个乙种零件分别获利多少元？
(2)若该汽车零件制造车间共有工人30名，每名工人每天可生产甲种零件6个或乙种零件5个，每名工人每天只能生产同一种零件，要使该车间每天生产的两种零件所获总利润超过2800元，至少要派多少名工人去生产乙种零件？
【答案】(1)生产1个甲种零件获利15元，生产1个乙种零件获利20元
(2)至少要派11名工人去生产乙种零件
【分析】（1）设生产1个甲种零件获利元，生产1个乙种零件获利元，根据“生产4个甲种零件和3个乙种零件共获利120元，生产2个甲种零件和5个乙种零件共获利130元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得到答案；
（2）设要派名工人去生产乙种零件，则名工人去生产甲种零件，根据“要使该车间每天生产的两种零件所获总利润超过2800元”，列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：设生产1个甲种零件获利元，生产1个乙种零件获利元，
根据题意得：，
解得：，
答：生产1个甲种零件获利15元，生产1个乙种零件获利20元；
（2）解：设要派名工人去生产乙种零件，则名工人去生产甲种零件，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为11，
答：至少要派11名工人去生产乙种零件．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式组．
6．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务．
（1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？
（2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
【答案】（1）公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务；（2）该公司出售这些加工后的蔬菜共获利元
【分析】（1）通过理解题意可知，排粗加工的天数+安排精加工的天数=15，精加工的吨数+粗加工的吨数=140，根据这两个等量关系可列出方程组，求解即可；
（2）根据题意，列式计算获利即可．
【详解】（1）解：设该公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务，
解得：；
答：公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务；
（2）（元）
答：该公司出售这些加工后的蔬菜共获利元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
7．今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？
【答案】（1）甲、乙两队单独完成此项工程分别需180天、45天；（2）甲、乙两队单独完成此项工程分别需要费用1050万元、487.5万元．
【分析】（1）设甲、乙单独完成此项工程分别需要x、y天，然后根据题意列出方程求解即可；
（2）设单独完成此项工程，甲需要费用m万元，乙需要费用n万元，找到等量关系列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）设甲、乙单独完成此项工程分别需要x、y天，
由题意得： ，
解得： ，经检验，所得的解就是原分式方程组的解，且符合题意，
因此甲、乙单独完成此项工程分别需要180天、45天；
（2）设单独完成此项工程，甲需要费用m万元，乙需要费用n万元，依题意得：
，
解得： ．
答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需180天、45天；甲、乙两队单独完成此项工程分别需要费用1050万元、487．5万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，分式方程的应用，找到等量关系并列出方程是解题的关键．
8．近几年我省高速公路建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设．正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队合做24天可以完成，需费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？
【答案】(1)甲需要30天，乙需要120天；
(2)甲费用135万元，乙要的费用60万．
【分析】（1）设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成此项工程需y要天
可得等量关系甲的效率+易的效率=合作的效率及甲的工作总量+乙的工作总量=总工作量，解方程即可．
（2）求出甲乙每天的费用，再乘以时间即可．
【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成此项工程需y要天．根据题意，得
解之得．
答；甲队单独完成需要30天，乙队单独完成需要120天．
（2）设甲队每天费用为a万元，乙队每天费用为b万元，根据题意，得
解之得，
∴甲队单独完成这项工程所需要的费用为(万元)
乙队单独完成这项工程所要的费用为(万元)
【点睛】本题考查了分式方程，二元一次方程组的应用，正确找出等量关系列方程组是解题的关键．
9．我市在一项市政工程招标时，接到甲、乙工程队的投标书；每施工一天，需付甲工程队工程款为1.5万元，付乙工程队1.1万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案1：甲队单独施工完成此项工程刚好如期完工；
方案2：乙队单独施工完成此项工程要比规定工期多用5天；
方案3：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做也正好如期完工．
（1）你认为哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
（2）如果工程领导小组希望能够提前4天完成此项工程，请问该如何设计施工方案，需要工程款多少万元？（天数必须为整数）
【答案】（1）方案2最节省工程款，理由见解析；（2）甲乙合作5天后再由甲队独做11天，需要工程款29.5万元
【分析】（1）求得规定天数的等量关系为：甲乙合作4天的工作总量+乙做（规定天数-4）天的工作量=1，算出三种方案的价钱之后，再根据题意进行选择；
（2）设甲乙合作a后再由甲队独做提前4天完成或由乙独做提前4天完成，求出其解就可以得出结论．
【详解】解：（1）设甲队单独完成此项工程需天，则乙队单独完成此项工程需天．
依题意，得：，
解得：．
经检验：是原分式方程的解．
这三种施工方案需要的工程款为：
方案（万元）；
方案（万元）；
方案（万元）．
，
第二种施工方案最节省工程款；
（2）设甲乙合作天后再由甲队独做天完成或由乙独天完成，由题意，得
或
或，
不是整数舍去，
．
需要的工程款为：万元．
答：需要的工程款为：29.5万元．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，有理数大小比较的运用，解答时求出工程的施工规定天数是关键．
10．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
【答案】(1)30
(2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元
(3)70
【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可．
【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，
∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天），
∴，
解得，，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
故乙队单独施工30天完成全部工程；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,
∴，
解得，，
故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键．
【题型2 行程问题】
11．小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：
(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？
(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？
【答案】(1)2倍
(2)20圈
【详解】（1）设哥哥的速度为米/秒，小勇的速度为米/秒，环形跑道的周长为米，依题意，得
∴．
答：哥哥的速度是小勇速度的2倍．
（2）设哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了圈，则哥哥跑了圈，依题意，得
，解得．
答：哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了20圈．
12．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答）
【答案】水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流的速度为千米/时，甲、乙码头间的距离为千米，则顺流的速度为千米/时，逆流的速度为千米/时，根据顺流、逆流时行驶路程相等列方程组，解方程即可．根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】设水流的速度是千米/时，甲、乙码头间的距离为千米，
根据题意得：
解得：
答：水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米.
13．一辆公交车从站出发匀速开往站，在行驶时间相同的前提下，如果车速是千米/小时，就会超过站千米；如果车速是千米/小时，就还需行驶千米才能到达站，求站和站相距多少千米？行驶时间是多少？
【答案】；小时
【分析】设行驶的时间是小时，站和站相距千米，根据题意列方程组解答即可．
【详解】解：设行驶的时间是小时，站和站相距千米，
根据题意得：
解之得：，
答：站和站相距，行驶小时．
【点睛】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键．
14．小红和小明是好朋友，小红每天步行上学且所需时间保持不变，小明骑自行车或步行上学，骑自行车速度为240米/分，步行速度为80米/分，下面是两人的对话，请根据对话内容计算：小明从家到学校的路程和小红从家到学校的时间．
小明：如果我骑车，你步行，那么我从家到学校比你少用4分钟
小红：如果我俩都步行，那么我从家到学校比你少用2分钟．
【答案】小明从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟．
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．根据这两个等量关系可列出方程组．
【详解】解：设小明同学从家到学校的路程为x米，小红从家到学校所需时间是y分钟．
由题意，得，
解得，
答：小明从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟．
【点睛】本题是二元一次方程组的应用，解题关键是找出题中存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．
15．小明步行从家到学校，其中有一段为上坡路，另一段为平路．如果保持走上坡路的速度为，走平路的速度为，走下坡路的速度为，从家到学校需要分钟，从学校到家需要分钟，那么小明家到学校的距离是多少？
【答案】
【分析】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．设从家到学校的上坡路为x千米，平路为y千米，由时间关系列出方程组，即可求解．
【详解】解：设从家到学校的上坡路为x千米，平路为y千米，由题意得
解得，
所以．
答：小明家到学校的距离是．
16．某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟．
(1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？
(2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？
【答案】(1)比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米
(2)该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时
【分析】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米，利用“从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟”完成求解即可；
（2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，根据“从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟”列方程求解即可．
【详解】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米．
根据题意，得：，
解这个方程组，得，
答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米；
（2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时．
根据题意，得：，
解这个方程，得，
经检验，是原方程的解，
答：该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时．
【点睛】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
17．某班学生从教室到食堂需要先走楼梯下楼，再走一段平路．
(1)假定人在平路上行走的速度始终是60米/分，下楼梯的速度始终是20米/分，上楼梯的速度始终是10米/分，则从教室到食堂需要4分钟，从食堂回教室需要6分钟．请问从教室到食堂的楼梯路有多少米，平路有多少米；
(2)已知楼梯路有40米，平路有120米，人在平路上行走的速度始终是60米/分，下楼梯的速度是上楼梯速度的2倍，若从食堂回教室比从教室到食堂多用2分钟，求上楼梯的速度．
【答案】(1)从教室到食堂的楼梯路有40米，平路有120米
(2)10米/分
【分析】（1）根据行程问题中主要数量关系，理解题意中等量关系，建立方程组求解；
（2）根据行程问题中主要数量关系，理解题意中等量关系，建立分式方程求解；
【详解】（1）解：设教室到食堂的楼梯路有x米，平路有y米，则
，
变形，得
解得；
答：从教室到食堂的楼梯路有40米，平路有120米
（2）解：设上楼的速度为m米/分，则
，
去分母，得，
解得，，
经检验，是原方程的解．
答：上楼的速度为10米/分．
【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确题意中的等量关系是解题的关键．
18．从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程．
【答案】从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为
【分析】设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意得，
解得：
答：从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
19．甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，
(1)求小车和摩托车的速度．
(2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？
【答案】(1)小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时
(2)小时或小时或小时或小时
【分析】（1）小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两车速度间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度；
（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，利用路程速度时间，结合两车相距30千米，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：1小时20分小时．
设小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，
根据题意得：，
解得：．
答：小车的速度为135千米时，摩托车的速度为45千米时；
（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，
根据题意得：或或或，
解得：或或或．
答：相遇后，摩托车继续行驶小时或小时或小时或小时两车相距30千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解．
20．从小明家到公园有一段上坡路和一段平路．周末，小明到公园玩耍，如果上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，小明从家到公园需要1小时，从公园回到家需要48分钟．请问从小明家到公园的上坡路和平路各多少千米．
【答案】上坡路为千米，平路长为2千米
【分析】设从小明家到公园上坡路为千米，平路长为千米，根据时间路程速度结合小明从家到公园需要1小时，从公园回到家需要48分钟，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：从小明家到公园上坡路为千米，平路长为千米，根据题意得：
，
解得．
答：从小明家到公园上坡路为千米，平路长为2千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【题型3 年龄问题】
21．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【答案】大头儿子现在的年龄为10岁
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．
【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
22．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
【答案】5岁．
【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得：
即由此可得：，
∴，即甲比乙大5岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键．
23．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁
【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．
【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则
解得
答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
24．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？
【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁
【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可
【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意，
得
解得
答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
25．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，
依题意，得： ，
解得： ．
答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
26．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.
【答案】聪聪现在的年龄为14岁，妈妈现在的年龄为41岁.
【分析】设聪聪的年龄为(10x+y)岁，妈妈的年龄为(10y+x)岁，根据“过10年，妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)设聪聪的年龄为(10x+y)岁，则妈妈的年龄为(10y+x)岁，
根据题意得： ，
解得： ．
答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于设聪聪的年龄为(10x+y)岁.
27．小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？
【答案】小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．
【分析】设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120-x-y）岁，根据“爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120–x–y）岁，
根据题意得，，
解得，
∴120–x–y=66．
答：小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
28．师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？
【答案】老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁
【分析】设老师的年龄是 x岁，学生的年龄是y岁，根据老师和学生年龄差不变来列方程组解答．
【详解】设老师的年龄是x岁，学生的年龄是y岁，由题意得：根据题意列方程组得：
，
解得．
答：老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目的关键，老师和学生年龄差不变．
29．南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话：
记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了．
妹妹：我比哥哥少4岁；
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加．恰好等于爸爸的年龄；
根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄．
【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，
根据题意得：，
解得：，
答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
30．兄弟二人，弟弟5年后的年龄与哥哥5年前的年龄相等，3年后兄弟二人的年龄和是他们年龄差的3倍，则兄弟二人今年的年龄分别是多少？
【答案】兄弟二人今年的年龄分别是17岁，7岁．
【分析】设兄弟二人今年的年龄分别是x岁，y岁，根据弟弟5年后的年龄与哥哥5年前的年龄相等，3年后兄弟二人的年龄和是他们年龄差的3倍，列方程组求解．
【详解】解：设兄弟二人今年的年龄分别是x岁，y岁，
由题意得，，
解得：．
答：兄弟二人今年的年龄分别是17岁，7岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
【题型4 图形问题】
31．如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是，设小长方形的长为，宽为，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？

【答案】一个小长方形的周长为，面积为．
【分析】本题考查了二元一次方程组，找到正确的数量关系是解题的关键．由大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是列出方程组，可求解．
【详解】解：由题意可得：
∴
答：一个小长方形的周长为，面积为．
32．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形．若，求长方形的面积．

【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据图形列出二元一次方程组求解即可得出长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意，得
解得
∴长方形的长为：（cm），宽为．
∴长方形的面积为（）．
33．列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成．

(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）首先设一块长方形墙砖的长为，宽为，然后用的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为，，宽为,进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案．
【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为．
依题意得：
，
解得：
，
答：一块长方形墙砖的长为，宽为．
（2）求电视背景墙的面积为：．
答：电视背景墙的面积为．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键．
34．列二元一次方程组解应用题：如图，在大长方形中，放置个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积之和．
【答案】阴影部分的面积之和为．
【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再利用阴影部分的面积之和大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：阴影部分的面积之和为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
35．现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别和，小长方形的相邻两边长分别为和．
(1)如图1，若，求x和y的值；

(2)如图2，

①若小长方形的周长为，求大长方形的周长；
②若y比x大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为，列出方程组计算可求小长方形的相邻两边长．
（2）①由小长方形的周长为，求得，列式求得大长方形的周长，再整体代入计算即可求解；
②依题意得，去括号，整理，再将整体代入即可求解．
【详解】（1）解：依据题意得，，
解得，
所以x和y的值分别为10和25；
（2）解：①由题意得，，所以，
所以大方形的周长为．
②因为，
所以
．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
36．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积之和．

【答案】
【分析】设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，，
依题意得，
解得，
小长方形的长、宽分别为，，
．
【点睛】本题考查了从图中获取信息列方程组，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．
37．如图，在大长方形中，放入9个相同的小长方形，

(1)求出小长方形的长和宽
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)小长方形的长是，宽是
(2)阴影部分的面积为
【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据图形列方程求出小长方形的长与宽即可；
（2）利用总面积减去各小长方形的面积即可．
【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得，
答：小长方形的长是，宽是．
（2）解：，
答：阴影部分的面积为．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系进行列式．
38．如图，大长方形中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，求图中空白部分的面积．
【答案】53
【分析】设小长方形的长为，宽为，据图形得大长方形的边长为，宽为，再跟题意建立二元一次方程组，解方程组可得到小长方形的长和宽，再计算出大长方形的长和宽，用大长方形的面积减去9个小长方形的面积即可得到空白部分的面积．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形得大长方形的边长为，宽为
根据题意得： ，
化简得，
解方程组：，
∴大长方形的长为，宽为，
∴大长方形的面积为：，
∴小长方形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：，
∴空白部分的面积为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程组．
39．某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？
【答案】小长方形的长为10米，宽为4米
【分析】设小长方形的长为米，宽为米，由大长方形的周长及上下两边相等，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组：
解得：
答：小长方形的长为10米，宽为4米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
40．小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【答案】小长方形的面积为135．
【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题．
【详解】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，
则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示为cm或cm，
那么可得出方程组为：，
解得：，
则小长方形的面积为：9×15＝135，
答：小长方形的面积为135．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【题型5 古代问题】
41．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”其大意为：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为一斤．问雀、燕每1只各重多少斤？
【答案】每只雀重斤，每只燕重斤
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
根据题意，得，
解得，
答：每只雀重斤，每只燕重斤．
42．《算法统宗》中有这样一道数学问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！”大意是说：“用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？”试求甜果，苦果的个数．
【答案】苦果买343个，甜果买657个
【分析】设苦果买x个，甜果买y个，根据用999文钱可以买甜果和苦果共1000个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再解方程组即可．
【详解】解：设苦果买x个，甜果买y个，
根据题意，得，
解得
答：苦果买343个，甜果买657个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
43．在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十九两；牛二羊五，值金十六两，问牛羊各值金几何？”译文：“五头牛和两只羊共值金19两，两头牛和五只羊共值金16两，问牛和羊各值金多少两？”请你解决这个问题．
【答案】牛和羊各值金3两、2两
【分析】设牛和羊各值金x、y两，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】设牛和羊各值金x、y两，
根据题意有：，
解得：，
答：牛和羊各值金3两、2两．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出方程组，是解答本题的关键．
44．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题，大致意思是：“用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余尺：将绳子三折再量木条，木条剩余尺问绳子、木条各长多少尺？”请你解答．
【答案】绳子长尺，木条长尺
【分析】设绳子长尺，木条长尺，根据“用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余尺：将绳子三折再量木条，木条剩余尺”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设绳子长尺，木条长尺，
依题意得：，
解得：．
答：绳子长尺，木条长尺．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
45．明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作，其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？请用学过的知识解决这个问题．
【答案】有好酒10瓶，薄酒9瓶
【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意，
得
解得
答：有好酒10瓶，薄酒9瓶．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
46．我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，求每头牛、每只羊各值多少两银子？
【答案】每头牛值两银子，每只羊值两银子
【分析】设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：．
答：每头牛值两银子，每只羊值两银子．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以，解题的关键是找准数量关系．
47．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，问甲、乙持钱各几何？意思是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙的钱数各有多少？
【答案】甲原有的钱数为，乙原有的钱数为25
【分析】设甲原有的钱数为x，乙原有的钱数为y，根据甲原有的钱乙原有的钱的一半；甲原有的的钱乙原有的钱，列方程即可解答．
【详解】解：设甲原有的钱数为x，乙原有的钱数为y，
根据题意得：，
解得：，
答：甲原有的钱数为，乙原有的钱数为25．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，找到正确的等量关系是解题的关键．
48．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种头脚的兽与一种头脚的鸟，若兽与鸟共有个头与只脚．若设兽有个，鸟有只，则兽、鸟各有多少？
【答案】兽有只，鸟有只
【分析】设兽有个，鸟有只，根据兽与鸟头的总数是头和脚的总数为只，列方程即可解答．
【详解】解：设兽有个，鸟有只，
根据题意可得，
原方程组可化简为，
解得，
答：兽有只，鸟有只．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题，找准等量关系正确列出二元一次方程是解题的关键．
49．清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？
【答案】每亩山田相当于实田亩，每亩场地相当于实田 亩
【分析】设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据“若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田亩”列出方程组，求解即可．
【详解】解：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，
可列方程组为 ，
解得 ，
答：每亩山田相当于实田亩，每亩场地相当于实田 亩．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准数量关系是解题关键．
50．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
【答案】兽有8只，鸟有7只
【分析】设兽有只，鸟有只，根据“今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设兽有只，鸟有只，根据题意得：
，
解得，
答：兽有8只，鸟有7只．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 二元一次方程组应用题分类训练（5种类型50道）
【题型1 工程问题】 1
【题型2 行程问题】 3
【题型3 年龄问题】 4
【题型4 图形问题】 5
【题型5 古代问题】 8
【题型1 工程问题】
1．某建筑公司有甲、乙两个工程队，先后接力完成河以道路整治任务，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时25天．
(1)若这段河边道路长为300米，求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米？
(2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的别用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，甲工程队至少工作多少天？
2．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若让两队合做，天可以完工，需费用万元；若让两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元．问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
(3)若工程完成的时间不能超过天，请你设计合理方案，使得完成此项工程的费用最少？
3．为了促进乡村特色产品的销售，某村政府准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程．
(1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？
4．某新修公路沿线需要进行绿化施工，由甲、乙两工程队合作完成．已知若由甲工程队单独施工，需要30天才能完成此项工程；若由乙工程队先施工30天，剩下的由甲、乙合作施工，则还需10天才能完成此项工程．
(1)求乙工程队单独完成此项工程需要多少天？
(2)若甲工程队每天所需费用为1万元，乙工程队每天所需费用为1.5万元．甲、乙两工程队合作完成此项工程，总费用恰为56万元，则应安排甲工程队施工多少天？
5．一个汽车零件制造车间可以生产甲，乙两种零件，生产4个甲种零件和3个乙种零件共获利120元，生产2个甲种零件和5个乙种零件共获利130元．
(1)求生产1个甲种零件，1个乙种零件分别获利多少元？
(2)若该汽车零件制造车间共有工人30名，每名工人每天可生产甲种零件6个或乙种零件5个，每名工人每天只能生产同一种零件，要使该车间每天生产的两种零件所获总利润超过2800元，至少要派多少名工人去生产乙种零件？
6．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务．
（1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？
（2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
7．今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？
8．近几年我省高速公路建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设．正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队合做24天可以完成，需费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？
9．我市在一项市政工程招标时，接到甲、乙工程队的投标书；每施工一天，需付甲工程队工程款为1.5万元，付乙工程队1.1万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案1：甲队单独施工完成此项工程刚好如期完工；
方案2：乙队单独施工完成此项工程要比规定工期多用5天；
方案3：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做也正好如期完工．
（1）你认为哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
（2）如果工程领导小组希望能够提前4天完成此项工程，请问该如何设计施工方案，需要工程款多少万元？（天数必须为整数）
10．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
【题型2 行程问题】
11．小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：
(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？
(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？
12．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答）
13．一辆公交车从站出发匀速开往站，在行驶时间相同的前提下，如果车速是千米/小时，就会超过站千米；如果车速是千米/小时，就还需行驶千米才能到达站，求站和站相距多少千米？行驶时间是多少？
14．小红和小明是好朋友，小红每天步行上学且所需时间保持不变，小明骑自行车或步行上学，骑自行车速度为240米/分，步行速度为80米/分，下面是两人的对话，请根据对话内容计算：小明从家到学校的路程和小红从家到学校的时间．
小明：如果我骑车，你步行，那么我从家到学校比你少用4分钟
小红：如果我俩都步行，那么我从家到学校比你少用2分钟．
15．小明步行从家到学校，其中有一段为上坡路，另一段为平路．如果保持走上坡路的速度为，走平路的速度为，走下坡路的速度为，从家到学校需要分钟，从学校到家需要分钟，那么小明家到学校的距离是多少？
16．某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟．
(1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？
(2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？
17．某班学生从教室到食堂需要先走楼梯下楼，再走一段平路．
(1)假定人在平路上行走的速度始终是60米/分，下楼梯的速度始终是20米/分，上楼梯的速度始终是10米/分，则从教室到食堂需要4分钟，从食堂回教室需要6分钟．请问从教室到食堂的楼梯路有多少米，平路有多少米；
(2)已知楼梯路有40米，平路有120米，人在平路上行走的速度始终是60米/分，下楼梯的速度是上楼梯速度的2倍，若从食堂回教室比从教室到食堂多用2分钟，求上楼梯的速度．
18．从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程．
19．甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，
(1)求小车和摩托车的速度．
(2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？
20．从小明家到公园有一段上坡路和一段平路．周末，小明到公园玩耍，如果上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，小明从家到公园需要1小时，从公园回到家需要48分钟．请问从小明家到公园的上坡路和平路各多少千米．
【题型3 年龄问题】
21．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
22．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
23．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
24．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？
25．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
26．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.
27．小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？
28．师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？
29．南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话：
记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了．
妹妹：我比哥哥少4岁；
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加．恰好等于爸爸的年龄；
根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄．
30．兄弟二人，弟弟5年后的年龄与哥哥5年前的年龄相等，3年后兄弟二人的年龄和是他们年龄差的3倍，则兄弟二人今年的年龄分别是多少？
【题型4 图形问题】
31．如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是，设小长方形的长为，宽为，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？

32．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形．若，求长方形的面积．

33．列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成．

(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
34．列二元一次方程组解应用题：如图，在大长方形中，放置个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积之和．
35．现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别和，小长方形的相邻两边长分别为和．
(1)如图1，若，求x和y的值；

(2)如图2，

①若小长方形的周长为，求大长方形的周长；
②若y比x大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？
36．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积之和．

37．如图，在大长方形中，放入9个相同的小长方形，

(1)求出小长方形的长和宽
(2)求图中阴影部分的面积．
38．如图，大长方形中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，求图中空白部分的面积．
39．某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？
40．小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【题型5 古代问题】
41．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”其大意为：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为一斤．问雀、燕每1只各重多少斤？
42．《算法统宗》中有这样一道数学问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！”大意是说：“用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？”试求甜果，苦果的个数．
43．在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十九两；牛二羊五，值金十六两，问牛羊各值金几何？”译文：“五头牛和两只羊共值金19两，两头牛和五只羊共值金16两，问牛和羊各值金多少两？”请你解决这个问题．
44．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题，大致意思是：“用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余尺：将绳子三折再量木条，木条剩余尺问绳子、木条各长多少尺？”请你解答．
45．明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作，其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？请用学过的知识解决这个问题．
46．我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，求每头牛、每只羊各值多少两银子？
47．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，问甲、乙持钱各几何？意思是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙的钱数各有多少？
48．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种头脚的兽与一种头脚的鸟，若兽与鸟共有个头与只脚．若设兽有个，鸟有只，则兽、鸟各有多少？
49．清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？
50．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
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