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专题 二元一次方程组应用题分类训练
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【题型1 行程问题】 1
【题型2 工程问题】 2
【题型3 销售问题】 4
【题型4 几何图形】 6
【题型5 古代问题】 9
【题型1 行程问题】
1．青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据：
（1）火车完全在主桥上的时间为35秒．
（2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒．
知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？
2．学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米．
3．A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度．
4．用二元一次方程组解决问题：
A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度．
5．A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度．
6．甲、乙两人骑车分别从相距40千米的两地相向而行，如果甲、乙同时出发，那么在出发后1.6小时两人相遇：如果乙比甲先出发1小时，那么在甲出发后1小时两人相遇．求甲、乙两人每小时各骑行多少千米？
7．甲乙两人分别从两地出发相向而行（不同时），甲骑自行车，乙步行．两人在距地450米处第一次相遇，甲继续骑车到地后返回地拿东西，同时将速度提高，在距地350米处追上乙．到达地后立即前往地，在距地250米处再次与乙相遇，最后两人同时到达目的地．求两地的距离．
8．一列快车长168m，一列慢车长184m，如果两车相向而行，从相遇到离开需4s，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16s，求两车的速度．
9．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，求汽车在平路和坡路上各行驶了多长时间．
10．周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
【题型2 工程问题】
11．一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？
12．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
13．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
(1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？
(2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由．
14．为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成．
(1)甲、乙工程队每天各施工多少米？
(2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？
15．伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______；
(2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程．
16．一家商场进行装修，若请甲、乙两个装修队同时施工，天可以完成，需付两个装修队费用共元；若先请甲装修队单独施工天，再请乙装修队单独施工天也可以完成，需付两个装修队费用共元．
(1)求甲、乙两个单独装修一天，商场各应付多少元？
(2)若只选一个装修队单独完成，从节约开支角度考虑，应选______装修队，比另一装修队少花______元．
17．一项工程，甲队独做需12天完成，乙队独做需15天完成，丙队独做需20天完成．按原计划，这项工程要在7天内完成，现在甲、乙两队先合作若干天，以后为加快进度，丙队同时加入这项工作，这样比原计划提前一天完成，求甲、乙两队先合作了多少天．
18．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务．
（1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？
（2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
19．为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积．
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米；
(2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？
20．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？
【题型3 销售问题】
21．七年级某班的一个综合实践活动小组去两个超市调查去年和今年春节假期期间的销售情况，如下图所示的是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出两个超市今年春节假期期间的销售额．
22．列二元一次方程组解决下面问题：为落实教育部门安排的学生社会实践活动，八年级（9）班开展了一次蔬菜售卖体验．其中第一小组花128元从蔬菜批发市场批发了豆角和土豆共到蔬菜市场去卖，豆角和土豆当天的批发价与零售价如表所示：
品名 豆角 土豆
批发价/（元/） 2.4 2.2
零售价/（元/） 3.8 3.3
该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚多少元？
23．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变），A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
24．近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元．
(1)求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？
(2)根据市场需求，甲、乙房地产公司决定调整2024年3月份的房价，甲房地产公司每平方米的售价上涨，销售量预计比2024年2月减少200平方米；乙房地产公司决定以降价促销的方式应对当前的形势，每平方米的售价下调，销售面积预计将比2024年2月增加900平方米，预计2024年3月份两家的总销售额恰好为32437万元，求a的值．
25．某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划．
(1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价；
(2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本，不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元；销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？
26．目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：
进价元只 售价元只
甲种节能灯 30 40
乙种节能灯 35 50
(1)求甲、乙两种节能灯各进多少只？
(2)全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？
27．某一天蔬菜经营户张师傅花180元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共80kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价（元） 2
零售价（元）
(1)他黄瓜批发了多少千克？茄子批发了多少千克？
(2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？
28．“才见岭头云似盖，已惊岩下雪如尘”，2022新年到来的寒潮，使得重庆的气温骤降，围巾和手套的需求量增加．已知一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，2021年12月共售出围巾20条和手套30副，总销售额为2700元．
(1)该店2021年12月围巾和手套的销售单价分别为多少元？
(2)由于供不应求，该商店开始调整价格，2022年1月围巾销售价格在2021年12月基础上增长了，销量减少了5条；2022年1月手套的销售价格在2021年12月基础上增加m元，销量下降了最终2022年1月总销售额比2021年12月总销售额多了552元，求m的值．
29．暑假将至，为满足消费者需求，某超市提供了冰淇淋和雪糕，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等．
(1)求一支冰淇淋和一支雪糕的进价．
(2)超市购进冰淇淋和雪糕各10箱、20箱，每箱均有10个冰淇淋或雪糕，因为保温不当，实际在运输中均产生了1箱冰淇淋和雪糕不得售出，商店决定按进价的出售，但出售完3箱冰淇淋和6箱雪糕后发现冰淇淋销量不佳，决定将冰淇淋下降a元出售，最后售出获利，求a的值．
30．某水果店购进一批柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子．
(1)求购进的这两种水果的单价．
(2)若该水果店共购进柚子，橘子，柚子和橘子的售价分别为元和元，现柚子以折销售，橘子以折销售，则这两种水果售完后，该水果店可获利多少元？
【题型4 几何图形】
31．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长．
32．如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块小长方形的长和宽．
33．将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？
34．如图1，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图1），求图中阴影部分的面积．小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去8个小长方形的面积得到阴影部分的面积．请按照小许的思路完成上述问题．
35．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为．
(1)求每块小长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
36．在长方形中，放入5个形状、大小相同的小长方形，其中，．
(1)求小长方形的长和宽；
(2)求阴影部分图形的总面积．
37．如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是，设小长方形的长为，宽为，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？

38．在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积．
39．如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
(1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长；
(2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【题型5 古代问题】
40．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
41．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？
设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学：
乙同学：
请你判断上述两位同学所列方程组是否正确，如正确并解答；若不正确，请你重新列方程组并解答．
42．《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3 人乘1辆车，最终剩余2辆车，若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？
43．《九章算术》中有这样一道题，原文如下：
今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何 大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱
请解答上述问题．
44．《九章算术》是我国古代数学经典著作，书中记载着这个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？大意是甲袋中装有9枚质量相等的黄金，乙袋中装有11枚质量相等的白银，两袋质量相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？
45．成语“锱铢必较”出自《荀子·富国》，用来形容很少的钱也要计较，比喻气量狭小．其中“锱”、“铢”均是古代的重量单位，比喻极其微小的数量．已知在唐朝时期1锱和1铢的总重量为10.85克，10锱和20铢的总重量为124克，求该时期1锱和1铢的重量分别为多少克？
46．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法．
47．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载有一题：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七，四疋绢价九十贯，三疋布价该五十，欲问绢布各几何？”其大意为：今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢布各有多少？
48．我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只．
49．《孙子算经》是一本十分有名的中国古代数学典籍，许多问题浅显有趣．其中下卷第31题“鸡兔同笼”流传尤为广泛，甚至飘洋过海到了日本等国．
“鸡兔同笼”问题为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”你能列出方程组解决这个有趣的问题吗？
50．《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何 ”译文“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛，问大、小容器的容积各是多少斛 ”
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 二元一次方程组应用题分类训练
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【题型1 行程问题】 1
【题型2 工程问题】 6
【题型3 销售问题】 12
【题型4 几何图形】 20
【题型5 古代问题】 26
【题型1 行程问题】
1．青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据：
（1）火车完全在主桥上的时间为35秒．
（2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒．
知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？
【答案】次列车的长度为，速度为．
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案．
【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得：
，
解得：
答：次列车的长度为，速度为．
2．学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米．
【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系 ，列方程组求解．
设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据小明走小时的路程小强走2小时的路程千米，他们共同走1个小时，俩人走的路程差为11千米，据此列方程组求解．
【详解】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得
，
解这个方程组，得
答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米．
3．A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度．
【答案】甲的骑行速度为，乙的骑行速度为
【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为，
依题意得
解得
答：甲的骑行速度为，乙的骑行速度为．
4．用二元一次方程组解决问题：
A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度．
【答案】甲的速度为，乙的速度为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；
设甲的速度为，乙的速度为，根据“第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍”即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】设甲的速度为，乙的速度为．
由题意，得
解得
答：甲的速度为，乙的速度为．
5．A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度．
【答案】甲的骑行速度为，乙的骑行速度为．
【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为，
依题意得
解得
答：甲的骑行速度为，乙的骑行速度为．
6．甲、乙两人骑车分别从相距40千米的两地相向而行，如果甲、乙同时出发，那么在出发后1.6小时两人相遇：如果乙比甲先出发1小时，那么在甲出发后1小时两人相遇．求甲、乙两人每小时各骑行多少千米？
【答案】甲每小时行驶10千米，乙每小时骑行15千米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
设甲每小时行驶千米，乙每小时骑行千米，根据“如果甲、乙同时出发，那么在出发后1.6小时两人相遇：如果乙比甲先出发1小时，那么在甲出发后1小时两人相遇”可列方程求解．
【详解】解：设甲每小时行驶千米，乙每小时骑行千米，依题意得：
，
解得：，
答：甲每小时行驶10千米，乙每小时骑行15千米．
7．甲乙两人分别从两地出发相向而行（不同时），甲骑自行车，乙步行．两人在距地450米处第一次相遇，甲继续骑车到地后返回地拿东西，同时将速度提高，在距地350米处追上乙．到达地后立即前往地，在距地250米处再次与乙相遇，最后两人同时到达目的地．求两地的距离．
【答案】1100米
【分析】本题考查二元一次方程组，设乙的速度为，甲的速度为，距地450米处与地相距米，根据题意列出方程组，再设到的距离为米，再列出方程，即可求出答案．
【详解】解：设乙的速度为，甲的速度为，距地450米处与地相距米．
则，
解得：，
再设到的距离为米，
则，
解得：．
答：两地的距离为1100米．
8．一列快车长168m，一列慢车长184m，如果两车相向而行，从相遇到离开需4s，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16s，求两车的速度．
【答案】快车速度为，慢车速度为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确的列出方程组，是解决本题的关键．
首先设快车速度为，慢车速度为，由题意得等量关系：两车速度和 =两车长之和；两车速度差=两车长之和，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【详解】解：设快车速度为，慢车速度为，由题意得：
解得：
答：快车速度为，慢车速度为．
9．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，求汽车在平路和坡路上各行驶了多长时间．
【答案】汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了，再利用汽车从学校到自然保护区一共行驶了，前路段为平路，建立方程组求解即可．
【详解】解：设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了，
由题意，得，
解得
答：汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了．
10．周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为
(2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有
【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决．
（1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可；
（2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可．
【详解】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为，
则依题意得：，于是，
，得，即有：，
，得，即有：，
答：小明的速度为，爸爸的速度为．
（2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有．
理由：爸爸跑到半圈所用时间为，
此时小明所跑路程为，
爸爸和小明的距离，
因此小明接下来追上爸爸所需时间，
追上时，小明的爸爸总路程，
因此小明能在400米终点前追上爸爸．
追上当时距离终点还有．
【题型2 工程问题】
11．一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？
【答案】女工要比男工多18人．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算．
设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可．
【详解】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，
根据题意得，，
解得，，
如果单独让男工加工或单独让女工加工，
需要女工（人），
需要男工（人），
女工比男工多（人）．
故女工比男工要多18人．
12．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
(2)两组还需要190天才能完成任务
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组．
（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；
（2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果．
【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
由题意得，
解得
答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米；
（2）按此施工进度，还需要：（天），
答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务．
13．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
(1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？
(2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由．
【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元
(2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可；
（2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可．
【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
依题意得：，
解得：，
所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元．
（2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n，
由题意得，
解得：，
所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天．
选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）；
选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）；
选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）．
因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营．
14．为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成．
(1)甲、乙工程队每天各施工多少米？
(2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？
【答案】(1)甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米
(2)需支付的总费用为60000元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题；
（2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，根据题意列出方程求出a的值，再根据“总费用甲工程队费用乙工程队费用求解”即可解题．
【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，
根据题意，得，
解得．
答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米；
（2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，
则，
解得，
（元）．
答：需支付的总费用为60000元．
15．伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______；
(2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组．
（1）根据题意，可以列出方程，本题得以解决；
（2）根据题意，可以列出方程组，然后求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
故答案为：；
（2）解：由题意可得：，
解得，
答：甲、乙两个工程队分别整治河道75米、150米．
16．一家商场进行装修，若请甲、乙两个装修队同时施工，天可以完成，需付两个装修队费用共元；若先请甲装修队单独施工天，再请乙装修队单独施工天也可以完成，需付两个装修队费用共元．
(1)求甲、乙两个单独装修一天，商场各应付多少元？
(2)若只选一个装修队单独完成，从节约开支角度考虑，应选______装修队，比另一装修队少花______元．
【答案】(1)元，元
(2)乙，
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
（1）设甲每天费用为元，乙每天费用为元，根据题意可得等量关系：①甲、乙两个工程队同时施工，天可以完成，需付两队费用共元；②甲队单独做天，再请乙队单独做天可以完成，需付两队费用共元，根据费用列出方程组，解方程组即可；
（2）设甲每天完成，乙每天完成，根据题意可得等量关系：①甲和乙天的工作量，②甲天的工作量乙天的工作量，根据等量关系列出方程组，求解可得甲和乙的工作效率，再求费用即可．
【详解】（1）解：设甲每天费用为元，乙每天费用为元，由题意得：
，
解得．
答：甲每天的费用为元，乙每天的费用为元．
（2）解：设甲每天完成，乙每天完成，由题意得：
，
解得，
所以甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成．
甲单独做需要元，乙单独做需要元．
∴只选一个装修队单独完成，从节约开支角度考虑，应选乙装修队，比另一装修队少花元
17．一项工程，甲队独做需12天完成，乙队独做需15天完成，丙队独做需20天完成．按原计划，这项工程要在7天内完成，现在甲、乙两队先合作若干天，以后为加快进度，丙队同时加入这项工作，这样比原计划提前一天完成，求甲、乙两队先合作了多少天．
【答案】甲、乙两队先合作了4天
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲、乙先合作做了天，丙队加入后又做了天，根据题意列出二元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设甲、乙先合作做了天，丙队加入后又做了天．根据题意，得
解得
答：甲、乙两队先合作了4天．
18．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务．
（1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？
（2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
【答案】（1）公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务；（2）该公司出售这些加工后的蔬菜共获利元
【分析】（1）通过理解题意可知，排粗加工的天数+安排精加工的天数=15，精加工的吨数+粗加工的吨数=140，根据这两个等量关系可列出方程组，求解即可；
（2）根据题意，列式计算获利即可．
【详解】（1）解：设该公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务，
解得：；
答：公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务；
（2）（元）
答：该公司出售这些加工后的蔬菜共获利元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
19．为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积．
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米；
(2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？
【答案】(1)原计划拆、建面积分别是、
(2)在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约
【分析】（1）根据新旧校舍的总面积，列出方程组，即可求解，
（2）根据节约资金原计划资金实际资金，列出算式，即可求解，
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式．
【详解】（1）解：设原计划拆、建面积各是，由题意得：，解得：，
故答案为：原计划拆、建面积分别是、，
（2）解：，
，
．
故在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约．
20．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？
【答案】4天；2天
【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组．
①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”．
根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可．
【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天
根据题意有解得
答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天．
【题型3 销售问题】
21．七年级某班的一个综合实践活动小组去两个超市调查去年和今年春节假期期间的销售情况，如下图所示的是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出两个超市今年春节假期期间的销售额．
【答案】A超市今年春节假期期间的销售额为69万元，B超市今年春节假期期间的销售额为99万元
【分析】本题是有关二元一次方程组的应用的题目，解题的关键分析题目的等量关系．
设A超市去年春节期间的销售额为x万元，B超市去年春节期间的销售额为y万元，然后根据今年和去年两超市的销售额之和超市的销售额超市的销售额，列出关于x、y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可解题．
【详解】解：设A超市去年春节假期期间的销售额为x万元，B超市去年春节假期期间的销售额为y万元．
由题意，得，
解得：，
（万元），（万元）．
答：A超市今年春节假期期间的销售额为69万元，B超市今年春节假期期间的销售额为99万元．
22．列二元一次方程组解决下面问题：为落实教育部门安排的学生社会实践活动，八年级（9）班开展了一次蔬菜售卖体验．其中第一小组花128元从蔬菜批发市场批发了豆角和土豆共到蔬菜市场去卖，豆角和土豆当天的批发价与零售价如表所示：
品名 豆角 土豆
批发价/（元/） 2.4 2.2
零售价/（元/） 3.8 3.3
该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚多少元？
【答案】71元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该小组当天购买了豆角，土豆，利用总价单价数量，结合该小组花128元从蔬菜批发市场批发了豆角和土豆共，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：设该小组当天购买了豆角，土豆，
根据题意得：，
解得：，
∴该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚．
答：该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚71元．
23．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变），A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
【答案】每棵A种树苗的价格是40元，每棵B种树苗的价格是10元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每棵种树苗的价格是元，每棵种树苗的价格是元，根据“第一次购进种树苗30棵，种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进种树苗24棵，种树苗10棵，共花费1060元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每棵种树苗的价格是元，每棵种树苗的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每棵种树苗的价格是40元，每棵种树苗的价格是10元．
24．近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元．
(1)求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？
(2)根据市场需求，甲、乙房地产公司决定调整2024年3月份的房价，甲房地产公司每平方米的售价上涨，销售量预计比2024年2月减少200平方米；乙房地产公司决定以降价促销的方式应对当前的形势，每平方米的售价下调，销售面积预计将比2024年2月增加900平方米，预计2024年3月份两家的总销售额恰好为32437万元，求a的值．
【答案】(1)甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米
(2)a的值为10
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用．
（1）设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了y平方米，根据2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，两家销售的总金额为30520万元．列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总销售额销售单价销售数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了y平方米，
依题意得：，
解得：，
答：2024年2月，甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米；
（2）解：依题意得：，
解得：
答：a的值为10．
25．某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划．
(1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价；
(2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本，不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元；销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？
【答案】(1)A图书标价27元，B图书标价25元
(2)购进A图书40本，B图书160本，利润最大
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一次函数是解此题的关键．
（1）设图书标价x元，图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
（2）设购进图书a本，图书本，利润为w元．根据题意得出关于的关系式，根据一次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：设图书标价x元，图书标价y元．
由题意得：，
解得，
答：图书标价27元，图书标价25元；
（2）解：设购进图书a本，图书本，利润为w元．
则
随a的增大而减小，
，
当时，w最大值为（元），（本），
答：购进图书40本，图书160本，利润最大．
26．目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：
进价元只 售价元只
甲种节能灯 30 40
乙种节能灯 35 50
(1)求甲、乙两种节能灯各进多少只？
(2)全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？
【答案】(1)甲、乙两种节能灯分别购进40只、60只
(2)该商场获利1300元
【分析】本题主要考查了列方程组解应用题的步骤和方法，利润问题，求出两种节能灯的数量是解本题的关键．
（1）利用节能灯数量和所用的价钱建立方程组即可；
（2）每种灯的数量乘以每只灯的利润，最后求出之和即可；
【详解】（1）解：设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，
根据题意，得，
解这个方程组，得 ，
答：甲、乙两种节能灯分别购进40、60只；
（2）解：商场获利为元，
答：商场获利1300元．
27．某一天蔬菜经营户张师傅花180元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共80kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价（元） 2
零售价（元）
(1)他黄瓜批发了多少千克？茄子批发了多少千克？
(2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？
【答案】(1)此蔬菜经营户批发的黄瓜有50千克，茄子有30千克；
(2)卖完这些黄瓜和茄子共赚了84元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
（1）设他购进黄瓜千克，茄子千克，根据黄瓜的批发价是元，茄子批发价是2元，共花了180元，列出方程，求出的值，即可求出答案；
（2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数．
【详解】（1）解：设当天批发了黄瓜千克，茄子千克．根据题意，
得，
解得．
答：此蔬菜经营户批发的黄瓜有50千克，茄子有30千克；
（2）解：（元）．
卖完这些黄瓜和茄子共赚了84元．
28．“才见岭头云似盖，已惊岩下雪如尘”，2022新年到来的寒潮，使得重庆的气温骤降，围巾和手套的需求量增加．已知一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，2021年12月共售出围巾20条和手套30副，总销售额为2700元．
(1)该店2021年12月围巾和手套的销售单价分别为多少元？
(2)由于供不应求，该商店开始调整价格，2022年1月围巾销售价格在2021年12月基础上增长了，销量减少了5条；2022年1月手套的销售价格在2021年12月基础上增加m元，销量下降了最终2022年1月总销售额比2021年12月总销售额多了552元，求m的值．
【答案】(1)该店2021年12月围巾和手套的销售单价为分别为60元，50元
(2)
【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，一元一次方程解销售问题应用题，掌握列二元一次方程组解应用题，一元一次方程解销售问题应用题的方法与步骤是解题关键．
（1）设该该店2021年12月围巾的销售单价为元，手套的销售单价为元，根据等量关系一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，总销售额为2700元．列方程组，解方程组即可；
（2）根据围巾涨价后销售价格减少后销量+手套涨价后的销售价格降低后的销量月份销售额，列方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：设该该店2021年12月围巾的销售单价为元，手套的销售单价为元，
根据题意，得，
解得：，
答：该店2021年12月围巾和手套的销售单价为分别为60元，50元；
（2）解：，
整理得，
解得：．
29．暑假将至，为满足消费者需求，某超市提供了冰淇淋和雪糕，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等．
(1)求一支冰淇淋和一支雪糕的进价．
(2)超市购进冰淇淋和雪糕各10箱、20箱，每箱均有10个冰淇淋或雪糕，因为保温不当，实际在运输中均产生了1箱冰淇淋和雪糕不得售出，商店决定按进价的出售，但出售完3箱冰淇淋和6箱雪糕后发现冰淇淋销量不佳，决定将冰淇淋下降a元出售，最后售出获利，求a的值．
【答案】(1)一支冰淇淋的进价为6元，一支雪糕的进价为4元
(2)1
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，
（1）设一支冰淇淋的进价为x元，一支雪糕的进价为y元，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等．据此列方程组并解方程组即可；
（2）根据最后售出获利出一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设一支冰淇淋的进价为x元，一支雪糕的进价为y元，则
，
解得，
答：一支冰淇淋的进价为6元，一支雪糕的进价为4元；
（2）根据题意可得，
解得，
答：a的值为1．
30．某水果店购进一批柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子．
(1)求购进的这两种水果的单价．
(2)若该水果店共购进柚子，橘子，柚子和橘子的售价分别为元和元，现柚子以折销售，橘子以折销售，则这两种水果售完后，该水果店可获利多少元？
【答案】(1)购进的柚子的单价为元，橘子为元
(2)则这两种水果售完后，该水果店可获利元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意正确建立方程组是解题的关键．
（1）根据题意建立方程组求解即可；
（2）根据题意列示求解即可．
【详解】（1）解：设购进的柚子的单价为元，橘子为元，
根据题意可得：，
解得：，
答：购进的柚子的单价为元，橘子为元；
（2）解：此时柚子的售价为：（元千克）
橘子的售价为：（元千克）
则这两种水果售完后，该水果店可获利元；
【题型4 几何图形】
31．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长．
【答案】
【分析】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确列出方程组解决问题．设小长方形的长为，宽为，由图可知，长方形展厅的长是，宽为，由此列出方程组求解即可．
【详解】解：小长方形的长为，宽为，由图可得：
，
两式相加得，，
∴，
则小长方形的周长为．
32．如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块小长方形的长和宽．
【答案】每块地砖的长为，宽为
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设每块地砖的长为，宽为，根据题意，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设每块地砖的长为，宽为，根据题意得：
，
解得：，
答：每块地砖的长为，宽为．
33．将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？
【答案】小长方形的长是，宽是
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：
整理得：
解得：，
答：小长方形的长是，宽是．
34．如图1，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图1），求图中阴影部分的面积．小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去8个小长方形的面积得到阴影部分的面积．请按照小许的思路完成上述问题．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形的关系得到，求出，即可求出阴影面积．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
，
解得，
∴阴影部分的面积为 ．
35．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为．
(1)求每块小长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
【答案】(1)长为，宽为
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组解实际应用题、长方形面积等知识，读懂题意列出方程是解决问题的关键．
（1）设一块长方形墙砖的长为，宽为，列方程组求解即可得到答案；
（2）利用面积公式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为，
依题意得，解得，
答：一块长方形墙砖的长为，宽为；
（2）解：求电视背景墙的面积为，
答：电视背景墙的面积为．
36．在长方形中，放入5个形状、大小相同的小长方形，其中，．
(1)求小长方形的长和宽；
(2)求阴影部分图形的总面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据题意，得，解方程组解答即可；
（2）根据题意，阴影部分图形的总面积为，解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得，
解得，
故小长方形的长为，宽为．
（2）根据题意，阴影部分图形的总面积为．
37．如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是，设小长方形的长为，宽为，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？

【答案】一个小长方形的周长为，面积为．
【分析】本题考查了二元一次方程组，找到正确的数量关系是解题的关键．由大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是列出方程组，可求解．
【详解】解：由题意可得：
∴
答：一个小长方形的周长为，面积为．
38．在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积．
【答案】每个小长方形花圃的面积为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，根据长方形空地长、宽与小长方形长、宽之间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其相乘即可得出结论．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
依题意，得：，
解得：，
．
答：每个小长方形花圃的面积为．
39．如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
(1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长；
(2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)小长方形的相邻两边长分别是，．
(2)为定值，过程见解析
【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用和代数式：
（1）设小长方形的宽为，长为，依题意，得，求解即可；
（2）根据题意可知个小长方形的周长，根据题意可知，，大长方形的周长．
【详解】（1）设小长方形的宽为，长为．
根据题意，得
解得
答：小长方形的相邻两边长分别是，．
（2）是定值，理由如下：
根据题意可知个小长方形的周长．
根据题意可知，，大长方形的周长．
可得
．
所以，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为．
【题型5 古代问题】
40．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可．
【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
41．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？
设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学：
乙同学：
请你判断上述两位同学所列方程组是否正确，如正确并解答；若不正确，请你重新列方程组并解答．
【答案】两位同学所列的方程组都是错误的，详见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找准等量关系，列出方程组求解即可．设合伙人为人，羊价为钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”列出方程组，即可判断两位同学所列的方程组都是错误的，再解方程组即可解题．
【详解】解：两位同学所列的方程组都是错误的，
设合伙人为人，羊价为钱，
根据题意可得：，
解得：．
答：合伙人为21人，羊价为150钱．
42．《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3 人乘1辆车，最终剩余2辆车，若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？
【答案】有人，共辆车
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设有人，共辆车，根据题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设有人，共辆车，由题意，得：
，解得：，
答：有人，共辆车．
43．《九章算术》中有这样一道题，原文如下：
今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何 大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱
请解答上述问题．
【答案】甲有钱 ，乙有钱25
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出等量关系是解题的关键．
设甲有钱x，乙有钱y，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设甲有钱x，乙有钱y，
由题意得： 解得：
答：甲有钱 乙有钱25．
44．《九章算术》是我国古代数学经典著作，书中记载着这个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？大意是甲袋中装有9枚质量相等的黄金，乙袋中装有11枚质量相等的白银，两袋质量相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？
【答案】黄金每枚重两，白银每枚重两
【详解】解：设黄金每枚重a两，白银每枚重b两．
根据题意列方程组为
解得
故黄金每枚重两，白银每枚重两．
45．成语“锱铢必较”出自《荀子·富国》，用来形容很少的钱也要计较，比喻气量狭小．其中“锱”、“铢”均是古代的重量单位，比喻极其微小的数量．已知在唐朝时期1锱和1铢的总重量为10.85克，10锱和20铢的总重量为124克，求该时期1锱和1铢的重量分别为多少克？
【答案】该时期1锱和1铢的重量分别为10.85克和1.55克．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设该时期1锱和1铢的重量分别为x克和y克，根据“唐朝时期1锱和1铢的总重量为10.85克，10锱和20铢的总重量为124克”列方程组求解即可．
【详解】解：设该时期1锱和1铢的重量分别为x克和y克，
根据题意可得：
解得：
答：该时期1锱和1铢的重量分别为10.85克和1.55克．
46．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法．
【答案】(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子；
(2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可．
【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得：
，
解得：，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
（2）解：设购买m头牛，n只羊，
依题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴，
∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．．
47．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载有一题：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七，四疋绢价九十贯，三疋布价该五十，欲问绢布各几何？”其大意为：今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢布各有多少？
【答案】绢有12疋，布有18疋
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设绢有x疋，布有y疋，根据今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯列出方程组求解即可．
【详解】解：设绢有x疋，布有y疋，
由题意得，，
解得 ，
答：绢有12疋，布有18疋．
48．我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只．
【答案】公鸡买4只，母鸡买18只
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设公鸡买x只，母鸡买y只，根据用一百钱买一百只鸡列方程组求解即可．
【详解】解：设公鸡买x只，母鸡买y只，
依题意，得，
解得：，
答：公鸡买4只，母鸡买18只．
49．《孙子算经》是一本十分有名的中国古代数学典籍，许多问题浅显有趣．其中下卷第31题“鸡兔同笼”流传尤为广泛，甚至飘洋过海到了日本等国．
“鸡兔同笼”问题为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”你能列出方程组解决这个有趣的问题吗？
【答案】笼中有鸡23只，兔12只
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，审清题意，找出题中数量关系是解题的关键．设鸡有只，兔有只，根据题意列二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：设鸡有只，兔有只，
由题意得，，
解得．
答：笼中有鸡23只，兔12只．
50．《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何 ”译文“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛，问大、小容器的容积各是多少斛 ”
【答案】大容器的容积是斛，小容器的容积是斛
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛，
依题意，得：，
解得：，
答：大容器的容积是斛，小容器的容积是斛．
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