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专题 二元一次方程组压轴十大类型
目录
解题知识必备 1
压轴题型讲练 1
类型一、由方程组的错解问题求参数的值 1
类型二、根据方程组解的个数求参数或参数的取值范围 4
类型三、构造二元一次方程组求解 6
类型四、整体思想解二元一次方程组 7
类型五、二元一次方程组之行程问题 10
类型六、二元一次方程组之工程问题 12
类型七、二元一次方程组之商品经济问题 14
类型八、二元一次方程组之调配与配套问题 19
类型九、二元一次方程组之图形与表格问题 22
类型十、元一次方程组之优化方案问题 25
压轴能力测评（13题） 29
类型一、由方程组的错解问题求参数的值
【典例1】涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键．
由于涵涵把方程①抄错，求得解满足方程②，轩轩把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值，再将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案．
【详解】解：涵涵把方程①抄错，求得解为，
满足方程②，
即；
又轩轩把方程②抄错，求得的解为，
满足方程①，
即；
因此有，
解得，
所以原方程组可变为，
即，
①②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
原方程组的正确的解为．
【变式1-1】嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为．
(1)求m和n的值；
(2)求方程组的正确的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键．
（1）由于嘉嘉把方程①抄错，求得解满足方程②，淇淇把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值，
（2）将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案．
【详解】（1）嘉嘉把方程①抄错，求得解为，
满足方程②，
即；
又淇淇把方程②抄错，求得的解为，
满足方程①，
即；
因此有，
解得；
（2）所以原方程组可变为，
即，
①②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
原方程组的正确的解为．
【变式1-2】小王和小李同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求，的值．
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．解题的关键是根据题意建立关于、的二元一次方程组．根据题意建立关于、的二元一次方程组，求得和的值．
【详解】解：根据题意可以知道：
是方程的解，
是方程的解，
分别代入得到方程组：，
解得：．
【变式1-3】甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值．
【答案】，
【分析】此题考查的是二元一次方程组的解，解答此题先要根据题意列出方程，然后求解．甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的写成了相反数，把他解得答案代入方程，求、的值．
【详解】解：由题意得：
把代入
得：，
解得：，
方程组为，
因为乙将一个方程中的写成了相反数，
所以把代入方程组得：，
把代入方程得：．
类型二、根据方程组解的个数求参数或参数的取值范围
【典例2】已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：
由得，，即
解得：．
故选：A．
【变式2-1】如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（ ）
A．15 B． C．14 D．
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，用②减①求出，然后得出即可求出k的值．
【详解】解：，
，得，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选A．
【变式1-2】若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k．
【详解】解：，
，得，
∴，
，得，
∴，
∵二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
∴，
即，
∴．
故选：B．
【变式1-3】已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，利用加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，解方程即可得出答案．
【详解】解：，
由得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
类型三、构造二元一次方程组求解
【典例3】在等式中，当时，；当时，．
(1)求、的值；
(2)求当时的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握消元的思想是解题的关键．
（1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解，即可得k与b的值．
（2）由（1）得该等式为，再将代入，即可解答．
【详解】（1）将时，； 时，分别代入得：
解得：，
（2）由（1）得，
将代入得：
．
【变式3-1】对，定义一种新运算▲，规定：（其中，均为非零常数），例如：．已知．则 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，理解新运算的定义是解题关键．
【详解】解：∵，，
∴，解得，
∴
故答案为： ．
【变式3-2】已知单项式和是同类项，则 ， ．
【答案】 /0.5 0
【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．根据同类项的定义构建方程组求解即可．
【详解】单项式和是同类项，
可列方程组
解得即m的值为，n的值为0．
故答案为：，0．
【变式3-3】在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意构造二元一次方程组，再利用加减法解二元一次方程，解方程即可求出a，b的值．
【详解】解：，
①②，可得：，
解得，
把代入①式得：
，
解得：，
∴原方程组的解是
类型四、整体思想解二元一次方程组
【典例4】数学思想·整体思想 综合与实践
【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
【观察发现】
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____；
【探索猜想】
（2）运用上述方法解下列方程
组：．
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
【详解】解：（1）设，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得，
故答案为：，；
（2）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得．
【变式4-1】已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
【答案】
【分析】本题考查了代入消元法，以及二元一次方程组的特殊解法，先整理原方程组为，结合关于x，y的方程组的解是，则，然后解出，即可作答．
【详解】解：∵，
，
关于x，y的方程组的解是，
由得，
把代入，
解得，
∴，
解得．
【变式4-2】阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知，满足方程组，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
（1）利用整体代换的方法进行求解即可；
（2）结合题目所给的解答方法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
将②变形为：，即，
将①代入③得：，
解得：，
把代入①得，
故原方程组的解是：；
（2）解：原方程组可化为：，
将①代入②得：，
解得：．
类型五、二元一次方程组之行程问题
【典例5】甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问：
(1)两车的速度分别是多少？
(2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？
【答案】(1)快车、慢车的速度分别为
(2)1小时或者3小时
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用；
（1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解．
（2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得
解得
答：快车、慢车的速度分别为．
（2）设解：时间为小时，则由题意，得
或
解得或
答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距．
【变式5-1】从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离．
【答案】甲、乙两地的距离为9千米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意，得，
解得：，
∴，
∴甲、乙两地的距离为9千米．
【变式5-2】用二元一次方程组解决问题：
A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度．
【答案】甲的速度为，乙的速度为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；
设甲的速度为，乙的速度为，根据“第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍”即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】设甲的速度为，乙的速度为．
由题意，得
解得
答：甲的速度为，乙的速度为．
【变式5-3】一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时．
(1)求水流速度和AB两地之间的距离；
(2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？
【答案】(1)水流速度为5千米/时，两地相距120千米
(2)相距千米
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程或方程组．
（1）设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设相距m千米，根据轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据题意得：
，
解得：，
答：水流速度为5千米时，两地相距120千米．
（2）解：设相距m千米，根据题意得：
答：相距千米．
类型六、二元一次方程组之工程问题
【典例6】为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积．
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米；
(2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？
【答案】(1)原计划拆、建面积分别是、
(2)在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约
【分析】（1）根据新旧校舍的总面积，列出方程组，即可求解，
（2）根据节约资金原计划资金实际资金，列出算式，即可求解，
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式．
【详解】（1）解：设原计划拆、建面积各是，由题意得：，解得：，
故答案为：原计划拆、建面积分别是、，
（2）解：，
，
．
故在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约．
【变式6-1】制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？
【答案】3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品
【分析】设利用机器每人每天可制造件产品，手工每人每天可制造件产品，根据“1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件”列出二元一次方程组，解方程即可得到答案．
【详解】解：设利用机器每人每天可制造件产品，手工每人每天可制造件产品，
根据题意得，
，
解得：，
3人用机器，1人靠手工，每天可制造的产品件数为：（件），
答：3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式6-2】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问：
(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？
(2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．）
【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元
(2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析
【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得；
（2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得．
【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，
依题意得：，
解得，
答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元．
（2）解：甲单独完成：（元）
乙单独完成：（元）
甲、乙两队完成：（元）
，
∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算．
【变式6-3】有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成．
(1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______．
(2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数．
【答案】(1)
(2)甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩．
【分析】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组即可；
（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组，再解方程组即可；
【详解】（1）解：设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，则
，
（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，则
，整理得：，
解得：，
答：甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
类型七、二元一次方程组之商品经济问题
【典例7】“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元．
(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？
【答案】(1)两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元
(2)购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用及销售问题，熟练的根据题意列出方程并掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，
（1）设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元，由题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，列出二元一次方程，求其正整数解，再分别计算出各种方案下的利润，即可得出答案．
【详解】（1）解：设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元，
根据题意，得
解得
答：两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元．
（2）解：设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，得，
其正整数解为或或
当时，
利润为（元）；
当时，
利润为（元）；
当时，
利润为（元）．
因为，
所以当时，利润最大．
答：为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台．
【变式7-1】北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”．某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用1050元从厂家购进30个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买入x，y个，其中每个的价格、销售获利如表：
冰墩墩钥匙扣 冰墩墩手办 冰墩墩挎包
价格（元/个） 25 40 50
销售获利（元/个） 12 15 20
(1)若只购买冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣，则可以购买产品各多少个？
(2)若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品（每种产品至少有一个），恰好用了1050元，则商场有哪几种购进方案？
(3)在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【答案】(1)若只购买冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣，则冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买20，10个；
(2)商场共有种购进方案，方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个；方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个；方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个．
(3)应选择购进方案，购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个．此时获利为元．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用．
（1）设冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买入x，y个，用1050元从厂家购进30 个冰墩墩产品，据此列方程组并解方程组即可；
（2）利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各购进方案；
（3）利用销售总利润每个的销售利润销售数量进货数量，可分别求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买入x，y个，则
解得
答：若只购买冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣，则冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买20，10个；
（2）解：根据题意得：，
，
又，，均为正整数，
或或，
则或或
商场共有种购进方案，
方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个；
方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个；
方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个．
（3）解：选择方案可获利元；
选择方案可获利元；
选择方案可获利元．
，
应选择购进方案，购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个．此时获利为元．
【变式7-2】根据以下素材，探索完成任务．
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励．
素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数
问题解决
任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价．
任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式普通奶茶（杯）加料奶茶（杯）AmBn
①A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为______（用含m，n的代数式表示）； ②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数．
【答案】任务1：A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元；任务2：①；②班主任购买奶茶总杯数为12杯
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解等知识．熟练掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的解是解题的关键．
（1）设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元，依题买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元列出方程组，计算求解即可；
（2）①根据题意得A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和；②根据题意列出方程，可得．再由m，n，均为正整数，求解作答即可．
【详解】解：任务1：设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元；
任务2：①根据题意得：买奶茶总杯数是
∴A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为；
②，
∴．
又∵m，n，均为正整数，
∴，
∴．
答：班主任购买奶茶总杯数为12杯．
【变式7-3】某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多10元，购进甲种商品2件与购进乙种商品3件的进价相同．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共100件，所用资金恰好为2600元，出售时，甲种商品在进价的基础上加价35％进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利5元，若按标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？
【答案】(1)甲种商品每件的进价是30元，乙种商品每件的进价是20元；
(2)甲、乙两种商品全部售出后共可获利830元．
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，由题意：甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多10元，购进甲种商品2件与购进乙种商品3件的进价相同，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）可设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据所用资金恰好为2600元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数，即可解决问题．
【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种商品每件的进价是30元，乙种商品每件的进价是20元；
（2）解：设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品件，
依题意得：，
解得：，
则，
∴（元），
答：甲、乙两种商品全部售出后共可获利830元．
类型八、二元一次方程组之调配与配套问题
【典例8】根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？
任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？
【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；任务三：159张
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组．
任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，可得，解方程组可得答案．
【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
，
m，n为非负整数，
或或
故答案为：8，3；0，6；
任务二：∵（张），
∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张，，
解得：
∵（张），
∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和座垫3张，用73张板材裁切靠背0张和座垫6张．
【变式8-1】某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？
【答案】安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，根据生产车间有18名工人，每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，由题意，得：
，
解得：；
答：安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名．
【变式8-2】某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖）
(1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张；
(2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？
【答案】(1)7；3
(2)可以做成甲乙两种小盒各40个，80个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数加法的实际应用：
（1）分别求出1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片即可得到答案；
（2）设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片，
∴制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片7张，正方形纸片3张，
故答案为：7；3；
（2）解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，
由题意得，，
解得，
答：可以做成甲乙两种小盒各40个，80个．
【变式8-3】已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
【答案】租住了三人间8间、双人间13间
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可．
【详解】解：∵凡团体入住一律五折优惠，
∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元），
设三人间有a间，双人间有b间，
根据题意得：，
解得：，
答：租住了三人间8间、双人间13间．
类型九、二元一次方程组之图形与表格问题
【典例9】某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示：
请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，
由题意得，
解得，
则（元），（元），
答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元．
【变式9-1】列方程（组）解决问题：
某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）：
物品名 单价/元 数量/个 金额/元
小黑板 40
挂钟 25 2 50
门垫 30 1 30
拖把 20
倒计时墙贴 a 2 30
合计 8 210
完成下列问题：
(1) ；
(2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？
【答案】(1)15
(2)该班级购买2个小黑板，1个拖把
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
（1）根据倒计时墙贴金额可得：，然后进行计算即可解答；
（2）设班级购买小黑板个，拖把个，根据题意可得：，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
故答案为：15；
（2）设班级购买小黑板个，拖把个，
由题意得：，
解得：，
答：该班级购买2个小黑板，1个拖把．
【变式9-2】某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表：
需甲种材料 需乙种材料
1件A型工艺品
1件B型工艺品
(1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？
(2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？
【答案】(1)制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件
(2)306元，264元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，另外还涉及有理数混合运算的应用；
（1）设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，根据等量关系：两种工艺品所需甲种材料为，两种工艺品所需乙种材料为，列出二元一次方程组，并求解即可；
（2）分别计算出制作1件两种型号的工艺品需要的费用，则可计算出制作A，B两种型号的工艺品各需材料费．
【详解】（1）解：设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，
由题意，得，解得；
答：利用这些材料能制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件．
（2）解：制作1件A种型号的工艺品需要（元），
则制作A种型号的工艺品需材料费（元）；
制作1件B种型号的工艺品需要（元），
则制作B种型号的工艺品需材料费（元）．
答：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费306元，264元．
【变式9-3】根据以下信息，探索完成任务：
如何设计招聘方案？
素材 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装．
素材 调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．
素材 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资．
问题解决
任务一 分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二： 确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？
任务三： 选取最优方案 在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人______ 名直接写出答案
【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；
任务二：有2种工人的招聘方案：①抽调熟练工名，招聘新工人名；②抽调熟练工名，招聘新工人名；
任务三：2
【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可；
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可；
任务三：求出方案和方案的成本，然后比较即可解答．
【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
由题意得：，解得：，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，且，
或，
有种工人的招聘方案：
抽调熟练工名，招聘新工人名；
抽调熟练工名，招聘新工人名．
任务三：方案中，发放工资为：元；
方案中，发放工资为：元；
，
为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
类型十、二元一次方程组之优化方案问题
【典例10】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元．
(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案．
(3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元
(2)共有两种购买方案：
方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车；
方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车
(3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润．
（1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据“购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为，解得，
所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元．
（2）解：设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，
根据题意得：，且均为正整数，
或
共有两种购买方案：
方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车；
方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车．
（3）解：方案一：获得的利润为：（万元），
方案二：获得的利润为：（万元）
第二种方案获得的利润最大，为15.6万元
【变式10-1】赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）．
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
(1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？
(2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？
(3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？
【答案】(1)8辆
(2)10辆甲型车，7辆丙型车
(3)2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
（1）需甲型车的数量（物资的总质量—每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量—每辆丙型车的运载量使用丙型车的数量）每辆甲型车的运载量，即可求出答案；
（2）设需要辆甲型车，辆丙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案；
（3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据公司使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
（辆）
还需要8辆甲型车来运送；
（2）解：设需要辆甲型车，辆丙型车，
根据题意得：，
解得：，
需要10辆甲型车，7辆丙型车来运送；
（3）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，
根据题意得：，
，
又，，均为正整数，
或，
共有2种运输方案，
方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为
（元）；
方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为
（元）；
，
使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省，
共有2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省．
【变式10-2】福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客年每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
(1)求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最少，最少为多少？
【答案】(1)49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元
(2)租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车，租金最少为11600元
【分析】（1）设49座的客车每辆每天的租金是元，35座的客车每辆每天的租金是元，根据“49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用辆49座的客车，辆35座的客车，根据租用的两种客车满载可乘坐700人，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，可得出各租车方案，再求出各方案所需租金，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设49座的客车每辆每天的租金是元，35座的客车每辆每天的租金是元，
根据题意得：，
解得：．
答：49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元；
（2）设租用辆49座的客车，辆35座的客车，
根据题意得：，
．
又，均为自然数，
或或，
共有3种租车方案，
方案1：租用20辆35座的客车，所需租金为（元；
方案2：租用5辆49座的客车，13辆35座的客车，所需租金为（元；
方案3：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车，所需租金为（元．
，
租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车．
1．在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（ ）
3 2
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，解出即可．
【详解】解：由题意可知，
解得
故选：B．
2．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同）．称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重 y两，根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，列出方程组即可．正确的找出等量关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意，交换前甲袋重量为两，乙袋重量为两，由两袋重量相等，得；交换后，甲袋有黄金8枚，白银1枚，重两，乙袋有白银10枚，黄金1枚，重两．由甲袋比乙袋轻13两，得，
∴可列方程组为
故选 D．
3．关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解决本题的关键．
将第二个方程组中的分别作为一个整体，参照第一个方程组的解即可得到结果．
【详解】解：根据题意可得，，
解得．
关于，的二元一次方程组的解为．
故答案为：．
4．《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水，根据下图中给出的信息，解答下列问题：
若放入一个钢珠可以使液面上升，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面高度从上升到，则的整数值为 ．（球和钢珠完全在水面以下）
【答案】1或5或19
【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，得一个小球上升，设同时放入个小球和钢珠，水位上升到47厘米，则，即可．
【详解】解：由题意得，一个小球上升，
∴设同时放入个小球和钢珠，水位上升到厘米，
∴，
整理得：，
当时，；
当时，；
当时，；
其他数值均不能得到整数，
∴整数值可以取：1或5或19．
故答案为：1或5或19．
5．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先分别解两个方程组得到，，再根据两个方程组的解相同得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：解方程组得，
解方程组得，
∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
6．若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，结合题意，利用整体代入法求解即可．
【详解】令，，
∵关于、的二元一次方程组的解为，
则，
∴关于、的二元一次方程组的解为，
∴关于、的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
7．甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，把甲的解代入中求出的值，把乙的解代入中求出的值，把与的值代入方程组求解即可得到答案，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键．
【详解】解：∵甲解题时看错了中的，
∴代入得，
∴，
∵乙解题时看错了中的，
把代入①得，
∴，
∴，
则，
∴原方程组为
得：，
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：．
8．例：若方程组的解满足．求m的值
小明的解法是：得：．
然后解
小晨的解法是：得：
∵
∴
请选用小晨的方法解下题：若方程组的解满足．求k的值．
【答案】
【分析】此题考查了加减法解二元一次方程组，得：，根据得到，即可求出k的值．
【详解】解：
得：，
∵
∴
解得，
9．“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送
(2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆
(3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．
（1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可；
（3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得：
解得：，
答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送；
（2）解：依题意得：，
∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴一共有3种租车方案：
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；
方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆．
（3）解：方案一所需租金为：（元）；
方案二所需租金为：（元）；
方案三所需租金为： （元）；
∵，
∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
10．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？
【答案】(1)
(2)①；；②24，27，30
【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
（1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
答：图甲中与的值分别为：、；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：，
所以两种裁法共产生A型板材为（张），
由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，，
所以两种裁法共产生B型板材为张；
故答案为：；．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，化简得．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
11．如图，长青化工厂与两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．公路运价为元，铁路运价为元，这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【答案】元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原料，产品，根据题意列出方程组求出的值，再求出这批产品的销售款和原料费，最后列式计算即可求解，根据题意求出原料和产品的重量是解题的关键．
【详解】解：设原料，产品，
由题意得，，
解得，
∴原料，产品，
∴这批产品的销售款为元，原料费为元，
又∵运输费为元，
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多元．
12．【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，则______，______；
(2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？
(3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）分别①②，①②即可求出；
（2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案；
（3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可．
【详解】（1）解：，
①②：，
解得；
①②：，
解得，
故；
（2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元，
依题意得：，
则购买15张过江船票，7张观光船票即为，
，得：，
解得，
故购买15张过江船票，7张观光船票共需元；
（3）解：由题意得：①，
②，
，
可得，
解得．
故
13．根据以下素材，尝试解决问题：
购买洗手液
素材一 某卫生院实践“改善就医环境，提高服务质量”，在公共场所配置洗手液；计划第一批花5000元，用于采购规格分别为和的甲、乙两种洗手液．
素材二 购买甲、乙两种洗手液的情况：购买2瓶甲和1瓶乙洗手液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙洗手液需要145元．
素材三 该卫生院第二批计划采购时，想采用购买大瓶洗手液进行分装．已知购买9.6L的大瓶装洗手液，每瓶350元，免费赠送规格为、的空瓶，但赠送的空瓶总容积不超过．
解决问题
任务一 计算单价 甲、乙两种规格洗手液的单价各为多少元？
任务二 确定使用天数 若该卫生院的公共场所平均每天约有1000人使用洗手液，每人每天使用洗手液的量为；试求出该院第一批采购的洗手液使用的天数；
任务三 选择采购方案 已知分装洗手液时，每装小瓶平均需损耗；在分装时每瓶均装满、总损耗最小的情况下，选择购买的大瓶装洗手液进行分装是否省钱？若能省钱，试求出它与直接购买甲、乙两种洗手液的差额；若不能省钱，请说明理由．
【答案】任务一：甲种洗手液的单价为15元，乙种洗手液的单价为25元；任务二：这批洗手液可使用20天；任务三：选择购买的大瓶装洗手液能省钱，能省钱110元
【分析】本题考查二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，任务一：设甲种洗手液的单价为x元，乙种洗手液的单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
任务二：设购进甲种洗手液a瓶，乙种洗手液b瓶，列二元一次方程，再整体代入求解即可；
任务三：设分装洗手液m瓶，洗手液n瓶，根据题意列二元一次方程，由m，n均为正整数，确定方程的解，进而求解即可．
【详解】解：任务一：设甲种洗手液的单价为x元，乙种洗手液的单价为y元，
依题意，得：
解得，，
答：甲种洗手液的单价为15元，乙种洗手液的单价为25元．
任务二：设购进甲种洗手液a瓶，乙种洗手液b瓶，
依题意，得：，
∴，
答：这批洗手液可使用20天．
任务三：设分装洗手液m瓶，洗手液n瓶，
依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴或，
∵，
∴当时，每瓶均装满、总损耗最小，
购买4瓶甲和16瓶乙洗手液：，
∴，
答：选择购买的大瓶装洗手液能省钱，能省钱110元．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 二元一次方程组压轴十大类型
目录
解题知识必备 1
压轴题型讲练 1
类型一、由方程组的错解问题求参数的值 1
类型二、根据方程组解的个数求参数或参数的取值范围 2
类型三、构造二元一次方程组求解 3
类型四、整体思想解二元一次方程组 3
类型五、二元一次方程组之行程问题 4
类型六、二元一次方程组之工程问题 5
类型七、二元一次方程组之商品经济问题 6
类型八、二元一次方程组之调配与配套问题 8
类型九、二元一次方程组之图形与表格问题 10
类型十、元一次方程组之优化方案问题 12
压轴能力测评（13题） 13
类型一、由方程组的错解问题求参数的值
【典例1】涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解．
【变式1-1】嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为．
(1)求m和n的值；
(2)求方程组的正确的解．
【变式1-2】小王和小李同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求，的值．
【变式1-3】甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值．
类型二、根据方程组解的个数求参数或参数的取值范围
【典例2】已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（ ）
A．15 B． C．14 D．
【变式1-2】若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值．
类型三、构造二元一次方程组求解
【典例3】在等式中，当时，；当时，．
(1)求、的值；
(2)求当时的值．
【变式3-1】对，定义一种新运算▲，规定：（其中，均为非零常数），例如：．已知．则 ．
【变式3-2】已知单项式和是同类项，则 ， ．
【变式3-3】在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值．
类型四、整体思想解二元一次方程组
【典例4】数学思想·整体思想 综合与实践
【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
【观察发现】
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____；
【探索猜想】
（2）运用上述方法解下列方程
组：．
【变式4-1】已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
【变式4-2】阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知，满足方程组，求的值．
类型五、二元一次方程组之行程问题
【典例5】甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问：
(1)两车的速度分别是多少？
(2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？
【变式5-1】从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离．
【变式5-2】用二元一次方程组解决问题：
A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度．
【变式5-3】一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时．
(1)求水流速度和AB两地之间的距离；
(2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？
类型六、二元一次方程组之工程问题
【典例6】为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积．
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米；
(2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？
【变式6-1】制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？
【变式6-2】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问：
(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？
(2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．）
【变式6-3】有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成．
(1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______．
(2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数．
类型七、二元一次方程组之商品经济问题
【典例7】“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元．
(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？
【变式7-1】北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”．某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用1050元从厂家购进30个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买入x，y个，其中每个的价格、销售获利如表：
冰墩墩钥匙扣 冰墩墩手办 冰墩墩挎包
价格（元/个） 25 40 50
销售获利（元/个） 12 15 20
(1)若只购买冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣，则可以购买产品各多少个？
(2)若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品（每种产品至少有一个），恰好用了1050元，则商场有哪几种购进方案？
(3)在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【变式7-2】根据以下素材，探索完成任务．
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励．
素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数
问题解决
任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价．
任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式普通奶茶（杯）加料奶茶（杯）AmBn
①A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为______（用含m，n的代数式表示）； ②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数．
【变式7-3】某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多10元，购进甲种商品2件与购进乙种商品3件的进价相同．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共100件，所用资金恰好为2600元，出售时，甲种商品在进价的基础上加价35％进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利5元，若按标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？
类型八、二元一次方程组之调配与配套问题
【典例8】根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？
任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？
【变式8-1】某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？
【变式8-2】某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖）
(1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张；
(2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？
【变式8-3】已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
类型九、二元一次方程组之图形与表格问题
【典例9】某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示：
请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【变式9-1】列方程（组）解决问题：
某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）：
物品名 单价/元 数量/个 金额/元
小黑板 40
挂钟 25 2 50
门垫 30 1 30
拖把 20
倒计时墙贴 a 2 30
合计 8 210
完成下列问题：
(1) ；
(2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？
【变式9-2】某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表：
需甲种材料 需乙种材料
1件A型工艺品
1件B型工艺品
(1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？
(2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？
【变式9-3】根据以下信息，探索完成任务：
如何设计招聘方案？
素材 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装．
素材 调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．
素材 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资．
问题解决
任务一 分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二： 确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？
任务三： 选取最优方案 在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人______ 名直接写出答案
类型十、二元一次方程组之优化方案问题
【典例10】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元．
(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案．
(3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【变式10-1】赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）．
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
(1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？
(2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？
(3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？
【变式10-2】福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客年每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
(1)求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最少，最少为多少？
1．在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（ ）
3 2
A．， B．，
C．， D．，
2．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同）．称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重 y两，根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
3．关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
4．《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水，根据下图中给出的信息，解答下列问题：
若放入一个钢珠可以使液面上升，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面高度从上升到，则的整数值为 ．（球和钢珠完全在水面以下）
5．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ．
6．若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ．
7．甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解．
8．例：若方程组的解满足．求m的值
小明的解法是：得：．
然后解
小晨的解法是：得：
∵
∴
请选用小晨的方法解下题：若方程组的解满足．求k的值．
9．“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
10．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？
11．如图，长青化工厂与两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．公路运价为元，铁路运价为元，这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
12．【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，则______，______；
(2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？
(3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______．
13．根据以下素材，尝试解决问题：
购买洗手液
素材一 某卫生院实践“改善就医环境，提高服务质量”，在公共场所配置洗手液；计划第一批花5000元，用于采购规格分别为和的甲、乙两种洗手液．
素材二 购买甲、乙两种洗手液的情况：购买2瓶甲和1瓶乙洗手液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙洗手液需要145元．
素材三 该卫生院第二批计划采购时，想采用购买大瓶洗手液进行分装．已知购买9.6L的大瓶装洗手液，每瓶350元，免费赠送规格为、的空瓶，但赠送的空瓶总容积不超过．
解决问题
任务一 计算单价 甲、乙两种规格洗手液的单价各为多少元？
任务二 确定使用天数 若该卫生院的公共场所平均每天约有1000人使用洗手液，每人每天使用洗手液的量为；试求出该院第一批采购的洗手液使用的天数；
任务三 选择采购方案 已知分装洗手液时，每装小瓶平均需损耗；在分装时每瓶均装满、总损耗最小的情况下，选择购买的大瓶装洗手液进行分装是否省钱？若能省钱，试求出它与直接购买甲、乙两种洗手液的差额；若不能省钱，请说明理由．
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