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二元一次方程组90道计算题专项训练（9大题型）
计算题型一 二元一次方程的解
计算题型二 代入消元法
计算题型三 加减消元法
计算题型四 二元一次方程组的特殊解法
计算题型五 方程组相同解计算
计算题型六 二元一次方程组的错解复原问题
计算题型七 解含参的二元一次方程组
计算题型八 三元一次方程组的解法
计算题型九 二元一次方程组的新定义计算
【经典计算题一 二元一次方程的解】
1．已知是方程的一个解，那么常数a的值是（ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，将代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
2．若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的解．将代入二元一次方程即可得出答案．
【详解】解：将代入得：，
解得：，
故选：D．
3．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键．把和的值代入方程即可求出与的关系式，然后再整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意，把代入，
得
∴
故选：B．
4．已知是方程的解，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据是方程的解得出，然后代入求值即可．
【详解】解：∵是方程的解，
，
，
故答案为：．
5．已知方程，用含的式子表示，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程，把含有的项和常数移到右边，再把的系数化为即可，掌握等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
6．二元一次方程有 个非负整数解．
【答案】4
【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，将化为，然后根据方程的解为非负整数求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∵方程的解为非负整数，
∴，
∴有4组非负整数解．
故答案为：4．
7．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得，进一步可化为．根据x，y为正整数，可以知道方程的正整数解为．
问题：
(1)请你写出方程的一个正整数解：___________________；
(2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买单价为5元/本的笔记本与单价为4元/支的中性笔两种奖品（两种都要购买），共花费76元．试问有几种购买方案，并写出购买方案．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)共有3种购买方案：①购买4本笔记本，14支中性笔；②购买8本笔记本，9支中性笔；③购买12本笔记本，4支中性笔
【分析】本题主要考查了解二元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
（1）根据题意得出，即可求解；
（2）设购买m本笔记本，n支中性笔，则 ，求出其正整数解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
当时，，当时，，当时，，
∴原方程的一组正整数解为 或或（答案不唯一）；
（2）解：设购买m本笔记本，n支中性笔，
根据题意，得，
∴．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案：①购买4本笔记本，14支中性笔；②购买8本笔记本，9支中性笔；③购买12本笔记本，4支中性笔．
8．已知是方程的解，求的值．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解满足方程得到，整体代入即可得到答案．
【详解】解：把代入方程，
得，
．
9．已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值．
【答案】5
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，先将分别代入方程与方程，求出，，然后再代入求值即可．
【详解】解：把代入方程，
得，
解得．
把代入方程，
得，
解得，
．
10．已知方程：①，②．
(1)根据方程①填写下表：
x 2 1 ______ ______
y ______ ______ 2
(2)根据方程②填写下表：
x 3 ______ ______
y ______ ______ 2
(3)根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解决本题的关键是要理解二元一次方程解的定义．
（1）根据表格中x的值一一代入计算即可求出对应的y的值，表格中y的值一一代入计算即可求出对应的x的值；
（2）根据表格中x的值一一代入计算即可求出对应的y的值，表格中y的值一一代入计算即可求出对应的x的值；
（3）根据（1）（2）表格中的值找出满足方程①又满足方程②的公共解．
【详解】（1）解：填表如下：
x 2 1 0
y 10 6 2
（2）解：填表如下：
x 3 2
y 4 2
（3）解：根据表格可得方程组的解是．
【经典计算题二 代入消元法】
11．解二元一次方程组：．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程，掌握代入消元法是解题的关键．利用代入消元法求解，即可解题．
【详解】解：，
由①得③，
将③代入②中，
有，
解得，
将代入①中，
有，
综上，方程组的解为．
12．解方程：
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法解方程组即可．
【详解】解：
由②，可得③．
将③代入①，得，解得．
把代入③，得，
原方程组的解为．
13．用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键．
（1）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案；
（2）把②代入①，得，解得，进而求得即可得到答案；
（3）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案．
【详解】（1）解：
由①，得③
把③代入②，得
解得：
将代入③，得
方程组的解为．
（2）解：
把②代入①，得
解得：
把代入②，得
方程组的解为．
（3）解：
由①，得③
把③代入②，得
解得：
把代入③，得
方程组的解为．
14．解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．利用代入消元法求解即可．
【详解】解：
由②得③
把③代入①得
，
解得，
把代入③中，得
，
∴方程组的解为．
15．先阅读材料：
解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由第一个方程得到，再把③代入②求出x的值，进而求出y的值即可．
【详解】解：
由①得：，
把③代入②得：，解得，
把代入③得：，解得，
∴方程组的解为．
16．解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法解方程组把②代入①得出，求出，把的值代入②求出即可．
【详解】解：
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
所以原方程组的解为．
17．解方程组：．
【答案】原方程组的解是
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题关键．
根据代入消元法，可得方程组的解．
【详解】把①代入②，得，
解得：，
把代入①中，得，
所以原方程组的解是
18．在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表：
小丽：，得
小华．由②得③，把①代入③，得
(1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”）
(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组．
【答案】(1)正确，不正确
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解题意，找出合适的解方程组的方法是解此题的关键．
（1）根据解方程组的步骤分别判断即可；
（2）由②得，把①代入，得，求解即可．
【详解】（1）解：小丽：，得，正确；
小华．由②得③，把①代入③，得，故不正确；
（2）解：，
由②，得，
把①代入，得，
解得，
把代入①得，，
所以方程组的解是．
19．课上同学们用代入消元法解二元一次方程组下面是两位同学的解题思路，请你认真阅读并完成相应的任务．
小彬：由①，得______③ 将③代入②，得… 小颖：由①，得______，③ 将③代入②，得…
任务：
(1)按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______；
第二步将③代入②，可消去未知数．
(2)按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______；
第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数．
(3)按你从以上两种思路中任选一种求此方程组的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）利用移项即可解答；
（2）利用移项即可解答；
（3）利用代入消元法进行计算即可．
【详解】（1）解：按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即，第二步将③代入②，可消去未知数，
故答案为：；
（2）解：按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即，第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数，
故答案为：；
（3）解：若选择小彬的思路：
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
原方程组的解为：；
若选择小颖的思路：
把③代入②中得：，
解得：，
把代入③中得：，
解得：，
原方程组的解为：．
20．解二元一次方程组：．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，将方程整理，将各系数化为整数，然后运用加减消元法求解即可．
【详解】解：方程组整理得：，
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得，
∴方程组的解是．
【经典计算题三 加减消元法】
21．解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
，得，
解得，
把代入②，得，
方程组的解为．
22．解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（1）将原方程组整理成一般式后，利用代入消元法求解可得；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
原方程组整理得，
将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为．
23．用你喜欢的方法解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，掌握消元的方法：加减消元法与代入消元法是解题的关键．利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为．
24．解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．
（1）将第一个方程两边同乘以2，再与第二个方程相加可消去，解方程可得的值，再代入第二个方程可求出的值，由此即可得；
（2）将第一个方程两边同乘以5，再与第二个方程相加可消去，解方程可得的值，再代入第一个方程可求出的值，由此即可得．
【详解】（1）解：，
①②得：，
解得，
将代入②得：，
解得，
所以方程组的解为．
（2）解：，
③④得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
所以方程组的解为．
25．解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组：
（1）代入消元法解方程组即可；
（2）加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
把②代入①，得：，解得：；
把代入②，得：；
∴方程组的解为：；
（2）原方程组整理为：
，得：，解得：；
把代入②得：，解得：；
∴方程组的解为：．
26．解方程组
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
由①得：，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：．
27．解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法是解答本题的关键．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先将方程组中的两个方程进行化简，然后通过加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
得，
解得：，
将代入得，
解得：，
所以原方程组的解为；
（2）解：原方程组可化为，
得，
解得：，
将代入得，
解得：，
所以原方程组的解为．
28．解方程组
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法．
（1）根据代入消元法可以解答此方程；
（2）先化简，然后根据加减消元法即可解答本题．
【详解】（1）解：，
将代入，得，
即，
，
解得．
把代入，得，
所以方程组的解为；
（2）解：，
对两边同时乘以12得，
展开得，
即，
，
两式相加得，
，
解得．
把代入，得，
，
解得，
所以方程组的解为．
29．解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（）利用加减法解答即可；
（）先化简方程组，再利用加减法解答即可．
【详解】（1）解：，
得，，
∴，
把代入②得，，
∴，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组化简得，，
得，，
∴，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解为．
30．运用适当的方法解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解此题的关键．
（1）先将方程组进行整理，再利用加减消元法计算即可得解；
（2）先将方程组进行整理，再利用加减消元法计算即可得解．
【详解】（1）解：方程组整理，得，
，得，
即．
将代入①，得，
即，
则方程组的解为；
（2）解：方程组整理，得
，得，
即．
将代入①，得，
则方程组的解为．
【经典计算题四 二元一次方程组的特殊解法】
31．用消元法解方程组：时，小丽和小芳的解法如下：
（小丽）解：由②①，得
（小芳）解：由②得③
把①代入③，得．
(1)上述两位同学的解题过程有误的是_______．
(2)请选择你喜欢的一种方法，完成完整解答过程．
【答案】(1)小丽
(2)见解析
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键．
（1）根据解二元一次方程组的方法即可判断小丽解法中，两式作差的结果错误；
（2）利用加减消元法或用小芳的整体代入消元法解答，即可．
【详解】（1）解： ②①，得，
小丽解法有误；
（2）解：方法一：由，得，
解得，
把代入①，得：，
解得：．
原方程组的解是．
方法二：
由②，得③
把①代入③，得，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解是．
32．在解方程组时，发现，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．小亮同学经过思考采用了下面的解法，使运算变得比较简单，方法如下：
①②得，所以③， 得：，解得， 把代入③，得， 所以原方程组的解是．
请你模仿本题的解法解方程组．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
【详解】解：得得：③
得：，
解得：
把代入③得：
所以原方程组的解是．
33．已知关于x，y的二元一次方程组，其中a为实数．
(1)当时，求方程组的解；
(2)求的值（用含a的代数式表示）；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用加减消元法解答，即可求解；
（2）由可得，即可求解．
【详解】（1）解：当时，原方程组为，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解；
（2）解：，
由得：，
解得：．
34．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值．
(1)请按照小云的方法求出m的值；
(2)请按照小辉的思路求出m的值；
(3)小辉用了哪种数学思想？
【答案】(1)；
(2)；
(3)整体思想．
【分析】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）将①③联立得到，得，，解得，把代入①求得即可；
（2）得，则，得到，即可得到，求出的值即可．
（3）由解法可得答案；
【详解】（1）解：将①③联立得到
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴，
∴，
解得：；
（2），得，
即，
∴，
∵，
∴，
解得．
即的值为1．
（3）解：小辉用了整体数学思想．
35．在数学课上，老师教给了同学们一种新的解方程组的方法，例如：解方程组
时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”．
(1)用上述方法解方程组
(2)若方程组的解是，求方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程组的解，解一元二次方程组，根据题中给出的整体代入的方法求解方程组是解题关键．
（1）根据题中给出的方法，利用整体代入法求解方程组即可；
（2）根据题意可得出，再利用加减消元法求解方程组即可．
【详解】（1）解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
解得，
将代入③，得，
解得，
所以方程组的解为；
（2）方程组的解是，
由题意可得，
解得．
36．阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得
(1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组：
(2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键.
（1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可；
（2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可.
【详解】（1）解：设，
原方程组化为：，
得：，即③
把③代入①得：，即，
把代入③得：，
∴ ，
解得：；
（2）设，，
原方程组化为：，
∴，
解得：.
37．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，，把代入方程①，得，所以方程组的解为 ，请你解决以下问题
(1)模仿小强同学约“整体代换”法解方程组
(2)已知x、y满足方程组求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握整体思想．
（1）根据题干提供的信息，解二元一次方程组即可；
（2）求出，得出答案即可．
【详解】（1）解：，
将方程②变形：，即③，
把方程①代入③得：，
解得，
把代入方程①，得，
所以方程组的解为；
（2）解：原方程组化为，
，得，
∴．
38．阅读下列材料，解答问题：
材料：解方程组若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．
问题：请你用上述方法解方程组
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．设，，方程变形后，利用加减消元法求出与的值，进而确定出与的值即可．
【详解】解：
设，，
方程组变形得：，
整理得：，
得：，即，
把代入得：，
，
解得：．
39．阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”．
(1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组
的解是______．
(2)迁移：请用换元法解方程组：；
(3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组
的解．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组．理解题目中阅读材料：代入法解一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意，得，解得∶ 即可．
（2）先将原方程变形为，再设， ，得到，解得：，则有，银之即可．
（3）先将方程组，变形为 则，解之即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得∶ ，
故答案为：．
（2）解：变形，得，
设， ，
则，
解得：
∴
解得∶ ．
∴原方程组的解为．
（3）解：先将方程组，变形为
∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴．
∴关于m，n的方程组的解为：．
40．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得．
根据材料，回答下列问题
(1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______．
(2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用“整体换元”法解二元一次方程组，读懂材料是解题的关键．
（1）令，，根据方程组的解为，可得，进而可解；
（2）令，，仿照材料中的作法，通过“整体换元”求解．
【详解】（1）解：令，，
关于的方程组的解为，
，
解得，
故答案为：；
（2）解：令，，
则原方程组可化为，
解得，即，
解得．
【经典计算题五 方程组相同解计算】
41．已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解；
（1）根据题意得，解方程组，即可求解；
（2）将代入得出，解方程组，再将的值代入代数式，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
得，，
解得：，
将代入①得，，
解得：
∴这两个方程组的相同解为；
（2）解：将代入
∴
得，，
解得：
将代入得
解得：
∴
42．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值．
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和解法，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．解方程组求出、的值，把、的值代入含有、的方程，解方程组即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
将代入，得，
解得：．
43．已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的值．
【答案】1
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤．
先根据题意得出，求出x和y的值，再将x和y的值代入含a和b的方程，联立求出a和b的值，即可解答．
【详解】解：∵方程组的解和的解相同，
∴，
解得：，
∴，
解得：，
∴．
44．关于的方程组与的解相同，
(1)求这个相同解．
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了同解方程组，加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确的计算是解题的关键．
（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的没有参数的方程联立，解方程组即可求解．
（2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组，求解即可．
【详解】（1）由方程组，解得，
∴这个相同解是．
（2）把代入与，
得，
解得，
∴，它的平方根是．
45．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求a，b的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）依据题意将方程重新联立求得x，y值，进而联立求得a，b的值；
（2）利用立方根的意义解答即可．
【详解】（1）∵关于x，y的方程组与有相同的解，
∴，
解方程组得：．
∴是方程组的解，
∴，
解方程组得：．
∴；
（2）∵，
∴
，
∵8的立方根为2，
∴的立方根为2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，立方根的意义，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
46．某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
已知满足，且，求m的值．
小璐同学说：“先解关于的方程组再求m的值．”
小明同学观察后说：“方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但中不含m……”
请你选择其中一种方法，求出m的值．
【答案】
【详解】解：示例：选择小明的方法．
解方程组
由②，得．③
把③代入①，得，解得．
把代入③，得，
所以该方程组的解为
把代入中，得，
解得．
47．若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解，
求：（1）这两个方程组的解；
（2）代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由两个方程组同解可得，解方程组可得答案；
（2）把代入两个系数未知的方程可得：，解方程组求解的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得：
①+②得：
把代入①得：
所以这两个方程组的解是：
（2）把代入可得：
，
③④得：
把代入③得：
所以：
【点睛】本题考查的是同解方程，二元一次方程组的解法，代数式的值，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．
48．已知，关于、二元一次方程组的解满足方程2x-y=13，求的值．
【答案】a=4
【分析】先联立x+2y= 1与2x y=13解出x，y，再代入2x 3y=7a 9即可求出a值.
【详解】依题意得
解得 ，
代入2x 3y=7a 9，
得：a=4，
故a的值为4．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟知二元一次方程组的解法.
49．已知方程组 和方程组的解相同．求（2a+5b）100的值．
【答案】1
【分析】由两个二元一次方程组的解相同，可重新组合得到一个不含a、b的方程组，解得x、y值后代入含a、b的两个二元一次方程中并组合成二元一次方程组进行求解即可.
【详解】由题意可得，，
①+②得：5x=10，
解得x=2，代入②中可得y=-2，
将x、y的值分别代入题干两个含有a、b的二元一次方程，并组合成为新的方程组为，
①+②得：4b=4，
解得b=1，代入①可得a=-3，
则（2a+5b）100=（﹣1）100=1．
【点睛】理解题干中两个二元一次方程组的解相同的含义，并对原两个方程组进行重新分类组合，得到两个新的二元一次方程组是解题关键.
50．已知方程组和有相同的解,求m和n的值.
【答案】
【分析】根据两个方程组解相同，可先由求出x、y的值，再将x和y的值代入得到m、n的二元一次方程组，解方程组求出m和n．
【详解】∵方程组和有相同的解，
∴与原两方程组同解．
由5y-x=3可得：x=5y-3，
将x=5y-3代入3x-2y=4，则y=1．
再将y=1代入x=5y-3，则x=2．
将代入得：，
将（1）×2-（2）得：n=-1，
将n=-1代入（1）得：m=4．
∴
【点睛】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，运用代入法，得关于a和b的二元一次方程组，再解方程组求解．
【经典计算题六 二元一次方程组的错解复原问题】
51．甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解.
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．将错解分别代入未看错的方程中得到新的方程组，得到的值，即可求出原方程组的正确解．
【详解】解：由题意可知是的解，
于是可得，解得，
同理可得，
故原方程组为，
由①，得③，
把③代入②，得，解得，
将代入③，得，
故原方程组的解为．
52．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的解得，乙看错了方程中的，解得，求的值．
【答案】．
【分析】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，根据方程的解的定义，把代入，可得一个关于的方程，把代入，可得一个关于的方程然后把、的值代入求解即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解及解二元一次方程组的应用．
【详解】解：由题意得，
把代入，得：，解得：，
把代入，可得：，解得：，
∴
．
53．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得乙看错了方程②中的，解得，试求的值．
【答案】0
【分析】本题考查的是二元一次方程组的错解问题，把代入②，把代入①，再进一步解题即可．
【详解】解：甲、乙两人同解方程组时，
甲看错了方程①中的，解得，
乙看错了方程②中的，解得，
把代入②，得，解得；
把代入①，得，解得，
．
54．小明在解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的n，他得到的解为小红也粗心，看错了方程组中的m，她得到的解为，求原方程组的解．
【答案】
【分析】本题主要考查了方程组的解的定义，解二元一次方程组，正确解方程组是解题的关键．
把代入方程组的第一个方程，把代入方程组的第二个方程，即可得到一个关于m，n的方程组，求出m，n的值，然后把m，n的值代入原方程组，然后解方程组即可．
【详解】根据题意得：
解得：
原方程组是：
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为．
55．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，得方程组，再运用加减消元法进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；
∴把代入，
得，
解得；
∵在解方程组时，乙看错了方程组中的b，得解为．
∴把代入，
得，
解得；
则方程组，
则，得，
解得，
把代入，得，
解得，
∴原方程组的正确解为．
56．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，
(1)求出，的值；
(2)此方程组正确的解应该是多少？
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键．
（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可；
（2）把m与n的值代入方程组求出解即可．
【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，
∴把代入②得
，
解得：，
把代入①得：
，
解得：；
（2）把，代入方程组得：
得：
，
即，
把x=2代入①得：
，
则方程组的解为．
57．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，求原方程组的解．
【答案】原方程组的解为．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．由题意得，甲看错了方程①中的a，则把代入方程②得出，乙看错了方程②中的，则把代入方程①中得出a，再求解原方程组即可．
【详解】解：把代入方程②中得：，
解得：，
把代入方程①中得：，
解得：，
原方程组为，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
所以原方程组的解为．
58．甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值．
【答案】
【分析】本题考查了方程组的解，代数式的值计算，熟练掌握解方程组的解的性质，是解题的关键．
把，代入，求得a值，把，代入，求得b值，后求的值即可．
【详解】解：把，代入，
得，
解得，
把，代入，
得，
解得，
所以．
59．在解方程组时，由于粗心，小丽看错了方程组中的，解得，小美看错了方程组中的b，解得求原方程组正确的解？
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组错解复原问题，将方程组的解代入未看错的方程中，求出的值，再解方程组即可．
【详解】解：由题意，得：满足方程，满足方程，
∴，
∴，
∴原方程组为：，
，得：，解得：，
把代入②，得：，解得：，
∴方程组的解为：．
60．甲，乙两名同学解方程组．甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的错解复原问题：
（1）根据题意可得甲求出的方程组的解满足方程②，乙求出的方程组的解满足方程①，据此可得，解之即可得到答案；
（2）根据（1）所求，代值计算即可．
【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，
∴甲求出的方程组的解满足方程②，
同理乙求出的方程组的解满足方程①，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴
．
【经典计算题七 解含参的二元一次方程组】
61．已知关于的方程组
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解；
(3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或3或或5
【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键．
（1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解；
（2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解；
（3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值．
【详解】（1）解：方程，
，
当时，；
当时，，
方程的所有正整数解为：．
（2）解：，
，
当时，，
即固定的解为：．
（3）解：，
得：，
，
，
恰为整数，也为整数，
是3的约数，
或，或3，或．
故或3或，或5.
62．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值．
【答案】
【分析】利用加减消元法求得x，y关于a的解，然后根据x，y互为相反数求解即可．本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
【详解】解：，
，得，即．
把代入①，得．
由题意得，即，
解得．
63．解答下列各题
(1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值．
(2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组；
（1）依题意，，由①可得，代入②得，，即可求解．
（2）依题意，③，代入②得，，，将代入①得，，即可求解．
【详解】（1）解：
依题意，
由①可得，
解得：
∴，代入②得，
解得：
（2）解：
依题意，③
将③代入②得，，
解得：
∴
将代入①得，
解得：
64．选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解．
【答案】①当时，方程组有无数组解；②当时，方程组无解；③当，不论c取何值时，方程组有唯一的解
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．根据①当时，方程组有无数组解（因为两个方程等效）；②当时，方程组无解（因为两个方程矛盾）；③当（即）时，方程组有唯一的解，且唯一的解为．
【详解】解：①当时，方程组有无数组解，解得．
②当时，方程组无解，解得．
③当时，方程组有唯一的解，即当时，不论c取何值，原方程组都有唯一的解．
65．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，利用加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，解方程即可得出答案．
【详解】解：，
由得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
66．已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值．
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，根据题意得到，得到，代入即可求出答案．
【详解】解： 由题意得：，
解得，
将，代入，
得：，
∴，
67．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不对，理由见解析
【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键．
（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；
（3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出．
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得；
（2）解：将代入含有m、n的方程得：，
解得：；
（3）解：将代入，得：
，
化简得：，
该说法错误．
68．已知关于，的方程组
(1)若方程组的解满足，求的值；
(2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
(3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
（1）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值；
（2）当含项为零时，取，代入可得固定的解．
（3）根据方程组可以求得，的关系式，根据为整数，可以求解的值；
【详解】（1）由题意得：，解得，
把代入，解得；
（2），
∴当，时，，
即固定的解为：，
（3），
得：，
，
，
为整数，
∴，，，
且为自然数，
∴或或，
或或．
69．关于，的方程组，其中常数．
(1)直接写出的值（结果用含的代数式表示）；
(2)无论取何值，试说明的值总是不变的．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
（1）将两个方程相加并整理即可；
（2）结合（1）中所求解得，，然后相加计算即可．
【详解】（1）解：①②得：，
两边同除以3得：；
（2）解：由（1）知③，
①③得：，
则，
把代入③得：，
，
即无论取何值，的值总是不变．
70．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值；
(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值．
（1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值
（2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为
∴，
解得；
∵乙由于看错了b，得到方程组的解为
∴，
解得；
（2）由（1）得方程组为，
解得，
∵方程组的解与方程组的解相同，
∴，
解得，
∴．
【经典计算题八 三元一次方程组的解法】
71．解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键；
（1）利用加减消元法即可解答；
（2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值．
【详解】（1）解：，得④
，得
，得
，得
原方程组的解为；
（2）把①代入②，得．④
由④和③组成方程组
解得
把代入①，得，
原方程组的解为
72．解方程组：．
【答案】
【分析】此题主要考查了三元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法求解是关键．
利用加减消元法即可求解．
【详解】解：，
把①代入②，可得，整理可得，
④×2，可得，
③+⑤，可得，解得，
把代入①，可得，
把代入③，可得，解得，
∴原方程组的解为．
73．【数学问题】解方程组
【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
(1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
(2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组；
（1）把①代入②，求出x的值，再把x的值带入①，求出y的值；
（2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可．
【详解】（1）解：
把①代入②，得，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
把①代入③得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为．
74．如下表，从左到右的每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等．
5 …
(1)格子中所表示的整数为______，所表示的整数为______，所表示的整数为______；
(2)请你求出第2023个整数是多少；
(3)请你求出前2024个整数的和．
【答案】(1)5，，
(2)
(3)1352
【分析】本题主要考查了三元一次方程组及数字规律型问题，根据题意列出方程组及方程组求解和根据数字之间的规律进行求解是解决本题的关键．
（1）根据题意可列方程组，，求方程组的解即可得出答案；
（2）根据题意可得格子中的整数以""为周期循环，则，即可得出答案．
（3）由每三个相邻格子中的整数的和为2，，可得前2024个整数中包含674个循环，再加上后面的两个整数和5，再求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
解得
故答案为∶；
（2）解：由（1）可知从左往右格子中的整数以，5，三个数字依次循环．
因为，
所以第2023个整数是．
（3）解：因为每三个相邻格子中的整数的和为2，，
所以前2024个整数中包含674个循环，再加上后面的两个整数和5，
所以前2024个整数的和为．
75．解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查三元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法求解三元一次方程组是解题的关键．
利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
得
，
解得：
得
将代入④得
解得：，
将，代入①得
，
解得：，
原方程组的解为．
76．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键．
（1）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案；
（2）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
把代入得：，
把，代入得，
方程组的解为：；
（2）解：
由，得：．
由，得：，
解得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
原方程组的解集是．
77．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键．
（1）把三元一次方程组化为二元一次方程组再运用加减消元法求解即可；
（2）先将和消去，解出，再解出和即可求解．
【详解】（1）解：，
把代入得，
联立方程组得，
由得，
解得，
把分别代入得，，
原方程组的解为；
（2）解：，
由，得：
由，得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
原方程组的解集是：．
78．解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，首先，则得到的方程与有两个相同的项，然后与相减，即可求得的值，然后把的值代入求得的值，解三元一次方程组的关键是消元，解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数．
【详解】解：由，得：
由，得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
∴原方程组的解集是：．
79．解方程组：．
【答案】或或或
【分析】本题主要考查了三元二次方程组的求解，合理求差是本题解题的关键．
用一式减二式、二式减三式，根据不同的取值进行分类讨论求解．
【详解】解：
①②得：，
②③得：，
（1）且时，
，
代入式①得，，
，
（2）且，
，
代入式③得，，
（3）且，
，
代入式①得，，
（4）且，
，
代入式②得，，
方程组的解为：或或或．
80．解方程组：
【答案】
【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【详解】解：①②得，
①③得，
联立④⑤得方程组，
解得，
把代入①得，
所以方程组的解为．
【经典计算题九 二元一次方程组的新定义计算】
81．对于x，y我们定义一种新运算“※”∶，其中a，b为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知∶，求的值．
【答案】
【分析】根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出4※，再求出答案即可．本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
【详解】解：、，
，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴．
82．对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义．根据新定义可得方程组，解方程组求出a、b的值，再根据新定义代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
83．对于有理数定义一种新运算“”：．例如：．
(1)若，求的值．
(2)在（1）的条件下，试说明：．
【答案】(1)
(2)详见解析
【详解】解：（1）由题意，得解得
（2）因为，所以，所以
84．对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，求一个数的平方根．新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解法．
（1）利用题目中的新定义进行计算即可；
（2）根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可得到x，y的值，进而根据平方根的定义求解．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：
；
（2）解：根据题中的新定义得：，
解得，
∴ ，
∴的平方根为．
85．对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．
例如：，已知，．
(1)求，的值．
(2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
【答案】(1)的值为，的值为；
(2)．
【分析】（）根据新定义，列出二元一次方程组，求出方程组的解即得到，的值；
（）将代入原方程组得，然后根据二元一次方程组组的解法即可求解；
本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得：，
解得：，
∴的值为，的值为；
（2）将代入原方程组得：，
得：，
又∵，
∴，
解得：，
∴的值为．
86．现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，．
(1)当，且时，_______；
(2)若，求和的值；
(3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（）当，且时，分别求出和即可，
（）根据条件列出方程组即可求出的值；
（）由任意数对经过运算又得到数对，得，根据 得到代入方程组即可得到答案；
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）当，且时，
，
，
∴，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
解得：，
∴，；
（3）∵任意数对经过运算又得到数对，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
又均不为，
∴．
87．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组．
(1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）；
①；②；③；④．
(2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值；
(3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值．
【答案】(1)②③
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解；
（2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解；
（3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解．
【详解】（1）解：①，解得：，此时；
②，解得：，此时；
③，解得：，此时；
④，解得：，此时；
故答案为：②③；
（2）解：，
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵关于x，y的方程组是“美好”方程组，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组，
∴，
联立得：，
解得：或，
把代入得：
，
∴，
∵m为任意有理数，
∴，解得：，
∴；
把代入得：
，
∴，
∵m为任意有理数，
∴，解得：，
∴；
综上所述，得值为或．
88．定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组．
(1)请写出方程的共轭二元一次方程： ；
(2)若方程中的值满足表格：
x ﹣1 2
y 2 1
求这个方程的共轭二元一次方程；
(3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键．
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到；
（2）根据表格的数据求得，即可求得这个方程的共轭二元一次方程；
（3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中与的关系即可得到答案．
【详解】（1）解：方程的共轭二元一次方程是，
故答案为：；
（2）解：方程中，当时，；当时，，
，
解得，
这个方程的共轭二元一次方程是；
（3）解：，
得，，
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
，
共轭方程组的解是，
．
89．对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值；
(4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）由，得到，，代入，求解即可；
（3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；
（4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
即，
解得；
（3）解：依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
（4）解：由题意得：的解为，
由方程组得：，
∴，即，
解得：．
90．阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则________，_______；
(2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
【答案】(1)，．
(2)购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元．
(3)该值为．
【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，加减消元法解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法．
（1）根据题意列出二元一次方程组后利用加减消元法即可得解；
（2）设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，根据题意列出三元一次方程组，再用加减消元法求解；
（3）根据题意列出三元一次方程组，用加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：依题得，
则可得即，
可得即．
故答案为：，．
（2）解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，
则依题得，
可得，
即，
．
答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元．
（3）解：依题得，由
可得，
即，
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)二元一次方程组90道计算题专项训练（9大题型）
计算题型一 二元一次方程的解
计算题型二 代入消元法
计算题型三 加减消元法
计算题型四 二元一次方程组的特殊解法
计算题型五 方程组相同解计算
计算题型六 二元一次方程组的错解复原问题
计算题型七 解含参的二元一次方程组
计算题型八 三元一次方程组的解法
计算题型九 二元一次方程组的新定义计算
【经典计算题一 二元一次方程的解】
1．已知是方程的一个解，那么常数a的值是（ ）
A．5 B． C．3 D．
2．若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．3
3．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
4．已知是方程的解，则代数式的值为 ．
5．已知方程，用含的式子表示，那么 ．
6．二元一次方程有 个非负整数解．
7．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得，进一步可化为．根据x，y为正整数，可以知道方程的正整数解为．
问题：
(1)请你写出方程的一个正整数解：___________________；
(2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买单价为5元/本的笔记本与单价为4元/支的中性笔两种奖品（两种都要购买），共花费76元．试问有几种购买方案，并写出购买方案．
8．已知是方程的解，求的值．
9．已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值．
10．已知方程：①，②．
(1)根据方程①填写下表：
x 2 1 ______ ______
y ______ ______ 2
(2)根据方程②填写下表：
x 3 ______ ______
y ______ ______ 2
(3)根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解．
【经典计算题二 代入消元法】
11．解二元一次方程组：．
12．解方程：
13．用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
14．解方程组：．
15．先阅读材料：
解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组．
16．解方程组：．
17．解方程组：．
18．在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表：
小丽：，得
小华．由②得③，把①代入③，得
(1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”）
(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组．
19．课上同学们用代入消元法解二元一次方程组下面是两位同学的解题思路，请你认真阅读并完成相应的任务．
小彬：由①，得______③ 将③代入②，得… 小颖：由①，得______，③ 将③代入②，得…
任务：
(1)按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______；
第二步将③代入②，可消去未知数．
(2)按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______；
第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数．
(3)按你从以上两种思路中任选一种求此方程组的解．
20．解二元一次方程组：．
【经典计算题三 加减消元法】21．解方程组：．
22．解下列方程组：
(1)；
(2)．
23．用你喜欢的方法解方程组：
24．解方程组
(1)
(2)
25．解方程组：
(1)；
(2)．
26．解方程组
(1)；
(2)．
27．解下列方程组：
(1)
(2)
28．解方程组
(1)；
(2)．
29．解方程组
(1)
(2)
30．运用适当的方法解方程组：
(1)
(2)
【经典计算题四 二元一次方程组的特殊解法】
31．用消元法解方程组：时，小丽和小芳的解法如下：
（小丽）解：由②①，得
（小芳）解：由②得③
把①代入③，得．
(1)上述两位同学的解题过程有误的是_______．
(2)请选择你喜欢的一种方法，完成完整解答过程．
32．在解方程组时，发现，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．小亮同学经过思考采用了下面的解法，使运算变得比较简单，方法如下：
①②得，所以③， 得：，解得， 把代入③，得， 所以原方程组的解是．
请你模仿本题的解法解方程组．
33．已知关于x，y的二元一次方程组，其中a为实数．
(1)当时，求方程组的解；
(2)求的值（用含a的代数式表示）；
34．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值．
(1)请按照小云的方法求出m的值；
(2)请按照小辉的思路求出m的值；
(3)小辉用了哪种数学思想？
35．在数学课上，老师教给了同学们一种新的解方程组的方法，例如：解方程组
时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”．
(1)用上述方法解方程组
(2)若方程组的解是，求方程组的解．
36．阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得
(1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组：
(2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
37．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，，把代入方程①，得，所以方程组的解为 ，请你解决以下问题
(1)模仿小强同学约“整体代换”法解方程组
(2)已知x、y满足方程组求的值；
38．阅读下列材料，解答问题：
材料：解方程组若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．
问题：请你用上述方法解方程组
39．阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”．
(1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组
的解是______．
(2)迁移：请用换元法解方程组：；
(3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组
的解．
40．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得．
根据材料，回答下列问题
(1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______．
(2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．
【经典计算题五 方程组相同解计算】
41．已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的值．
42．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值．
43．已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的值．
44．关于的方程组与的解相同，
(1)求这个相同解．
(2)求的平方根．
45．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求a，b的值；
(2)求的立方根．
46．某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
已知满足，且，求m的值．
小璐同学说：“先解关于的方程组再求m的值．”
小明同学观察后说：“方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但中不含m……”
请你选择其中一种方法，求出m的值．
47．若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解，
求：（1）这两个方程组的解；
（2）代数式的值．
48．已知，关于、二元一次方程组的解满足方程2x-y=13，求的值．
49．已知方程组 和方程组的解相同．求（2a+5b）100的值．
50．已知方程组和有相同的解,求m和n的值.
【经典计算题六 二元一次方程组的错解复原问题】
51．甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解.
52．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的解得，乙看错了方程中的，解得，求的值．
53．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得乙看错了方程②中的，解得，试求的值．
54．小明在解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的n，他得到的解为小红也粗心，看错了方程组中的m，她得到的解为，求原方程组的解．
55．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解．
56．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，
(1)求出，的值；
(2)此方程组正确的解应该是多少？
57．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，求原方程组的解．
58．甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值．
59．在解方程组时，由于粗心，小丽看错了方程组中的，解得，小美看错了方程组中的b，解得求原方程组正确的解？
60．甲，乙两名同学解方程组．甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【经典计算题七 解含参的二元一次方程组】
61．已知关于的方程组
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解；
(3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
62．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值．
63．解答下列各题
(1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值．
(2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值．
64．选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解．
65．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值．
66．已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值．
67．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由．
68．已知关于，的方程组
(1)若方程组的解满足，求的值；
(2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
(3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．
69．关于，的方程组，其中常数．
(1)直接写出的值（结果用含的代数式表示）；
(2)无论取何值，试说明的值总是不变的．
70．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值；
(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
【经典计算题八 三元一次方程组的解法】
71．解下列方程组：
(1)
(2)
72．解方程组：．
73．【数学问题】解方程组
【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
(1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
(2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组
74．如下表，从左到右的每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等．
5 …
(1)格子中所表示的整数为______，所表示的整数为______，所表示的整数为______；
(2)请你求出第2023个整数是多少；
(3)请你求出前2024个整数的和．
75．解方程组：．
76．解方程组：
(1)
(2)
77．解方程组：
(1)
(2)
78．解方程组：
79．解方程组：．
80．解方程组：
【经典计算题九 二元一次方程组的新定义计算】
81．对于x，y我们定义一种新运算“※”∶，其中a，b为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知∶，求的值．
82．对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值．
83．对于有理数定义一种新运算“”：．例如：．
(1)若，求的值．
(2)在（1）的条件下，试说明：．
84．对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的平方根．
85．对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．
例如：，已知，．
(1)求，的值．
(2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
86．现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，．
(1)当，且时，_______；
(2)若，求和的值；
(3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值．
87．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组．
(1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）；
①；②；③；④．
(2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值；
(3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值．
88．定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组．
(1)请写出方程的共轭二元一次方程： ；
(2)若方程中的值满足表格：
x ﹣1 2
y 2 1
求这个方程的共轭二元一次方程；
(3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系．
89．对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值；
(4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解
90．阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则________，_______；
(2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
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