资源简介

相交线平行线作辅助线题专项训练
一、单选题
1．如图，直线AB∥CD，C＝44°，∠AEC为直角，则∠1等于（　　）
A．132° B．134° C．136° D．138°
2．如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
3．如图，ABCD，分别平分，，与的反向延长线交于点，，则　 　°.
三、综合题
4．已知直线，动点C在与之间．
（1）如图1，若与都是锐角，求三者之间的数量关系；
（2）如图2，将一块三角尺（其中）按图中位置摆放，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；
（3）如图3，将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，且，求与之间的数量关系．
5．已知：如图1，直线AB、CD被直线MN所截，且AB∥CD，点E在直线AB、CD之间的线段MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
（1）小明探究发现：∠PEQ＝∠APE+∠CQE，请你帮小明说明理由；
（2）如图2，已知，若∠PEQ＝80°请你利用小明发现的结论求∠PFQ的度数；
（3）如图3，若，请你直接写出∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系．
6．如图，直线，点C是、之间（不在直线，上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，写出与∠1，∠2之间的数量关系并说明原因；
（2）若把一块三角尺（，）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求与之间的数量关系．
7．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE.
（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数.
（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H.若∠ACH＝∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系.
8．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论．
9．如图所示，已知 ，现将直角三角形PMN改人图中，其中 交AB于点E，PN交CD于点 .
（1）当直角三角形PMN所放位置如图1所示时， 与 存在怎样的数量关系 请说明理由；
（2）当直角三角形PMN所放位置如图2所示时，请直接写出 与 之间存在的数量关系；
（3）在(2)的条件下，若MN与CD交于点 ，且 ，则 　 　.
10．已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB和CD上。
（1）如图1．点O在直线AB与CD的内部，试猜想∠BEO，∠EOF，∠DFO之间的关系，并说明理由；
（2）若点O在直线AB与CD的外部，如图2，(1)中的结论还成立吗？若不成立∠BEO，∠EOF，∠DFO之间又有什么样的关系？并说明理由．
11．如图1，点M在直线AB上，点P，N在直线CD上，过点N作NE∥PM，连接ME.
（1）若AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，求证：∠MEN＝∠BME+∠MPN；
（2）如图2，ME的延长线交直线CD于点Q，作NG平分∠ENQ交EQ于点G，作EF平分∠MEN，过点E作HE∥NG.若点F，H分别在MP，PQ上，探究当∠MPQ+2∠FEH＝90°时，线段NE与NG的大小关系.
12．
（1）问题情境：
如图1， ， ， .求 度数.小颖同学的解题思路是：如图2，过点 作 ，请你接着完成解答.
（2）问题迁移：
如图3， ，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时， ， .试判断 、 、 之间有何数量关系？（提示：过点 作 ），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你猜想 、 、 之间的数量关系并证明.
13．如图， ， ，
（1）若 ，求 的度数
（2）求证：
14．如图， ，点A为直线 上一定点，B为直线 上的动点，在直线 与 之间且在线段 的右方作点D，使得 .设 （α为锐角）.（提示：三角形三内角和是180°）
（1）求证 ；（提示过点D作 ）
（2）当点B在直线 上运动时，试说明 ；
（3）当点B在直线 上运动的过程中，若 平分 ， 也恰好平分 ，请求出此时α的值.
15．如图，点E，F分别在直线AB，CD上，点P，Q在直线AB，CD之间，.
（1）如图，∠P＝∠Q，
①∠AEP与∠QFD的关系，并说明理由；
②∠BEP和∠DFQ的角平分相交于点M，求∠EMF的度数.
（2）若∠P－∠Q＝30°，∠Q＝则∠BEP和∠DFQ的角平分相交于点M，则∠EMF的度数为　 　.（用含或具体数字表示）
16．如图1，已知直线直线，点在上，点在上，点在，之间，连接，．
（1）若，则的度数为　 　．
（2）若．
①求的度数；
②如图2，若平分，交的延长线于点，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：过E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AC∥CD∥EF，
∵∠FEC=∠ECD=44°，
∴∠AEF=90°-∠FEC=46°，
∴∠BAE=∠AEF=46°，
∴∠1=180°-∠BAE=180°-46°=134°，
故答案为：B.
【分析】过E作EF∥CD，则得AC∥CD∥EF，然后根据平行线的性质求出∠FEC，再根据角的和差求出∠AEF，从而再根据平行线的性质求出∠BAE，最后根据邻补角的定义求∠1的度数即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，延长CE交AB于点F，
∵AB∥CD，且∠1＝120°，
∴∠1＋∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180° ∠1＝60°，
又∵∠2＝∠3＋∠AFE，且∠2＝80°，
∴∠3＝∠2 ∠AFE＝20°，
故答案为：B．
【分析】延长CE交AB于点F，根据平行线的性质可得∠AFE＝180° ∠1＝60°，再利用三角形的外角可得∠3＝∠2 ∠AFE＝20°。
3．【答案】88
【解析】【解答】解：如图所示，过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的平分线CG的反向延长线和∠ABE的平分线BF交于点F，
设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=∠BFH-∠CFH=α-β，
在四边形BFCE中，
∠E+∠BFC=360°-α-（180°-β）=180°-（α-β）=180°-∠BFC，
即∠E+2∠BFC=180°，
∵∠E-∠BFC=42°，
∴∠BFC=∠E-42°，
∴∠E+2（∠E-42°）=180°，
∴∠E=88°.
故答案为：88.
【分析】过点F作FH∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得FH∥AB∥CD，根据角平分线的概念以及平行线的性质得∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据邻补角的概念得∠ECF=180°-β，根据角的和差关系得∠BFC=α-β，由四边形内角和为360°得∠E+2∠BFC=180°，结合已知条件可得∠E+2(∠E-42°)=180°，据此求解.
4．【答案】（1）解：，
理由：如图，过C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵∠MEC=∠AEN，又∠AEN＝∠A，
∴∠MEC=∠A=30°，
由（1）可知：∠C=∠PDC+∠MEC，
又∵∠C＝90°，
∴∠PDC=90°-30°=60°，
则∠BDF=∠PDC=60°；
（3）解：设，则，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）过C作CD∥PQ，则PQ∥CD∥MN，根据平行线的性质可得∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，然后根据∠ACB=∠ACD+∠BCD进行解答；
（2）由对顶角的性质可得∠MEC=∠AEN，结合∠AEN＝∠A，得∠MEC=∠A=30°，由（1）可知∠C=∠PDC+∠MEC，据此可求出∠PDC的度数，然后根据对顶角的性质进行解答；
（3）设∠CEG=∠CEM=x，根据平角的概念得∠GEN=2(90°-x)，由（1）得∠C=∠CEM+∠CDP，则∠CDP=90°-x，由对顶角的性质可得∠BDF=∠CDP=90°-x，据此解答.
5．【答案】（1）解：如图 1，作EH∥AB．
∵AB∥CD，
∴EH∥AB∥CD．
∴∠1＝∠APE，∠2＝∠CQE，
∴∠1+∠2＝∠APE+∠CQE，
∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
（2）解：如图2，
由（1）的结论得∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝80°，
∴∠EPB+∠EQD＝360°﹣（∠APE+∠CQE）＝280°．
∵∠FPB＝∠EPB，∠FQD＝∠EQD，
∴∠FPB+∠FQD＝（∠EPB+∠EQD）＝140°，
由（1）的结论得∠PFQ＝∠FPB+∠FQD＝140°；
（3）解：结论：∠PEQ+3∠PFQ＝360°
【解析】【解答】（3）解：结论：∠PEQ+3∠PFQ＝360°
证明：如图3中，设∠FPB＝y，∠FQD＝x．
∵∠FPB＝∠EPB，∠FQD＝∠EQD，
∴∠EPB＝3x，∠EQD＝3y，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠EPB+∠EQD）＝360°﹣3（x+y），
由（1）的结论得∠PFQ＝∠FPB+∠FQD＝x+y，∠PEQ＝∠1+∠2，
∴∠PEQ＝360°﹣3∠PFQ，即∠PEQ+3∠PFQ＝360°．
【分析】(1)作EH∥AB，得到EH∥AB∥CD，根据平行线的性质得到∠1=∠APE，∠2=∠CQE，根据角的和差关系可得结论；
(2)根据(1)的结论得到∠PEQ= 80°，利用平行线的性质得到∠EPB+∠EQD=280°， 根据角平分线定义，结合利用(1)的结论，即可得出结果；
(3)设∠FPB=y，∠FQD=x，根据邻补角的定义得到∠1+2=360°-3 (x+y) ，再利用(1)的结论，即可得出结果.
6．【答案】（1）解：．
理由：如图，过C作，
∵，∴，
∴，，
∴；
∴
（2）解：∵，∴，
由（1）可得，，
∴，∴；
（3）解：设，则，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）过C作CD∥PQ，则PQ∥CD∥MN，由平行线的性质可得∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，然后根据∠ACB=∠ACD+∠BCD进行解答；
（2）由∠AEN=∠A=30°结合对顶角的性质得∠MEC=30°，由（1）得∠C=∠MEC+∠PDC=90°，据此计算；
（3）设∠CEG=∠CEM=x，根据平角的概念得∠GEN=2(90°-x)，由（1）得∠C=∠CEM+∠CDP，则∠CDP=90°-x，由对顶角的性质可得∠BDF=90°-x，据此解答.
7．【答案】（1）证明：，
.
，
.
，
，.
.
.
平分，
.
.
，
.
.
（2）解：过点作，如图，
，
.
，.
.
即.
平分，平分，
，.
.
，
.
，
.
.
（3）解：与之间的数量关系是：.
延长交的延长线于点，如图，
，
.
.
同理：.
.
，
设，则.
平分，
设.
.
，，
.
.
.
.
.
，
.
.
.
【解析】【分析】（1）易得∠CEM=90°，可推出∠AEC+∠BEM=90°；利用平行线的性质可得∠AEC=∠ECD，∠CME=∠BEM，可得到2∠ECD+2∠CME=180°；利用角平分线的定义可得到∠ACD=2∠ECD，可推出∠ACD+2∠CME=180°；再利用平行线的性质可得∠A+∠ACD=180°，据此即可得出答案.
（2）过点F作FM∥AB，则FM∥AB∥CD，利用平行线的性质可证得∠AFM=∠BAF，∠CFM=∠DCF，则∠AFC=∠BAF+∠DCF；再利用角平分线的定义去证明∠CAB+∠DCE=2∠AFC，即可求出∠CAB+∠DCE=140°；然后利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠ACE的度数；
（3）延长CM交AN的延长线于点F，利用垂直的定义证明∠MNB=90°-∠F，同理可得到∠HCF=90°-∠F，可推出∠MNB=∠HCF；利用已知设∠ACH=x，可表示出∠ECH，利用角平分线的定义可表示出∠MNB；再利用垂直的定义去建立关于x，y的方程，可求出x+y=45°，利用直角三角形的两锐角互余，可用含x的代数式表示出∠A的度数；然后可证得∠A+∠MNB=135°，即可得到∠MNB与∠A之间的数量关系.
8．【答案】（1）解：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，PO∥AB，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A＝20°，
∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，
∵∠APC＝70°，
∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°；
（2）解：∠A+∠C＝∠APC，理由如下：
过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，PO∥AB，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C．
【解析】【分析】（1）作出平行线，根据平行线的性质就可以求∠C
（2）做一条平行线，根据内错角就可以表示出三个角的数量关系
9．【答案】（1）解：∠PFD+∠AEM=90°.理由：
如图，作PH∥AB，
则∠AEM=∠HPM.
，
，
，
（2）解：
理由：∵AB//CD，
，
，
，
，
（3）30°
【解析】【解答】 ，
，
，
故答案为30°.
【分析】(1)作PH∥AB，由平行线的性质得出∠AEM=∠HPM ，由平行线的推论得出PH∥CD，则可得出∠PFD=∠HPN，最后由角的和差关系，即可推出结果；
(2)作PH∥AB，由平行线的性质得出∠PFD+∠BHN=180°，结合对顶角相等，得出∠PFD+∠PHE=180°， 结合∠P=90°，利用角的和差关系和等量代换最后推出∠PHE+∠AEM=90°，即可求出结果；
(3)利用三角形内角和求出∠PHE的度数，然后根据对顶角的性质和平行线的性质求出∠OFN的度数，最后利用三角形内角和定理求∠N的度数即可.
10．【答案】（1）解：∠EOF=∠BEO+∠DFO．理由如下：
如图1，过点O作OG∥AB，
∵AB//CD(已知)，
∴OG∥CD，
∴∠BEO=∠EOG(两直线平行，内错角相等)，
∠DFO=∠FOG(两直线平行，内错角相等)，
∴∠EOF=∠EOG+∠FOG=∠BEO+∠DFO．
（2）解：不成立，此时∠DFO=∠BEO+∠EOF．理由如下：
如图2，设OF交AB于点H，
∵AB∥CD(已知)，
∴∠DFO=∠BHO(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠BEO+∠EHO+∠EOF= 180°，
∠BHO+∠EHO=180°(平角定义)，
∴∠BHO=∠BEO+∠EOF(等量代换)，
∴∠DFO=∠BEO+∠EOF(等量代换)．
【解析】【分析】（1） 过点O作OG∥AB，根据平行公理得出OG∥CD，再根据平行线的性质得出∠BEO=∠EOG，∠DFO=∠FOG，利用∠EOF=∠EOG+∠FOG，即可得出∠EOF=∠BEO+∠DFO；
（2） 设OF交AB于点H，根据平行线的性质得出∠DFO=∠BHO，根据三角形内角和定理和平角定义得出∠BEO+∠EHO+∠EOF= 180°，∠BHO+∠EHO=180°，从而得出∠BHO=∠BEO+∠EOF，即可得出∠DFO=∠BEO+∠EOF.
11．【答案】（1）证明：过点 作 ，如下图，
，
.
， ，
.
.
，
.
.
，
.
（2）解： ，理由：
，
.
平分 ，
，
.
，
.
平分 ，
.
，
.
.
，
.
即 ，
.
.
.
，
.
即 .
垂线段最短，
.
【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可证得∠MEF=∠BME，同时可证得EF∥CD，利用平行线的性质，可知∠FEN=∠END，∠END=∠MPD；由此可推出∠FEN=∠MPN，然后根据∠MEN=∠MEF+∠FEN，代入可证得结论；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义可证得∠MEF=∠MFE=∠FEN，∠HEN=∠ENG，∠ENG=∠ENG；利用平行线的性质可知∠MPQ=∠ENQ；再证明∠HEN+∠FEH=∠FEN=45°，利用三角形的内角和定理证明∠FME=90°；再利用平行线的性质可证得∠NEQ=90°，利用垂直的定义可得到NE⊥MQ，利用垂线段最短，可知NE＜NG.
12．【答案】（1）解：过 作 ，
，
，
， ，
，
， ，
（2）解： ，理由如下：
如图3，过 作 交 于 ，
，
，
， ，
， ，
又
（3）解：①当 在 延长线时（点 不与点 重合）， ；
理由：如图4，过 作 交 于 ，
，
，
， ，
， ，
，
又 ，
；
②当 在 之间时（点 不与点 ， 重合）， .
理由：如图5，过 作 交 于 ，
，
，
， ，
， ，
，
又
.
【解析】【分析】（1）过点P作PE∥AB，可证得PE∥AB∥CD，利用平行线的性质可证得∠APE+∠PAB=180°，∠CPE+∠PCD=180°，再将已知角的度数代入可求出∠APC的度数.
（2）过点P作PF∥AD，可证得PF∥AD∥CB，利用平行线的性质可证得∠ADP=∠DPF，∠BCP=∠CPF；利用邻补角的定义可得到∠BCP+∠PCE=180°，可表示出∠BCP；根据∠CPD=∠DPF+∠CPF，代入可证得结论.
（3） ①当 在 延长线时（点 不与点 重合），如图4，过点P作PF∥AD，可证得PF∥AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠ADP=∠DPF，∠BCP=∠CPF；利用邻补角的定义可得到∠BCP+∠PCE=180°，可表示出∠BCP；根据∠CPD=∠DPF+∠CPF，代入可证得结论；②当 在 之间时（点 不与点 ， 重合），利用平行线的性质及邻补角的定义可证得结论.
13．【答案】（1）解：∵ 与 是对顶角，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴∠2= ；
（2）证明：∵ ，
∴AB∥CD，
∴ ，
即 ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴AE∥PF.
【解析】【分析】(1)根据对顶角相等，再结合角的等量关系即可求出∠2的度数；
(2)根据∠BAP+∠APD=180°判定AB∥CD，则由平行线的性质可得∠BAP=∠APC，再有∠1=∠2可得∠EAO=∠FPO，即可判定出AE∥PF.
14．【答案】（1）证明：如图，过点D作EF∥MN，则∠NAD=∠ADE.
∵MN∥OP，EF∥MN，
∴EF∥OP.
∴∠PBD=∠BDE，
∴∠NAD+∠PBD=∠ADE+∠BDE=∠ADB.
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠NAD+∠PBD=90°；
（2）解：由（1）得：∠NAD+∠PBD=90°，则∠NAD=90°-∠PBD.
∵∠OBD+∠PBD=180°，
∴∠OBD=180°-∠PBD，
∴∠OBD-∠NAD=（180°-∠PBD）-（90°-∠PBD）=90°
（3）解：若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，则有∠NAD=∠BAD=α，
∠NAB=2∠BAD=2α，∠OBD=2∠OBA.
∵OP∥MN，
∴∠OBA=∠NAB=2α，
∴∠OBD=4α.
由（2）知：∠OBD-∠NAD=90°，
则4α-α=90°，
解得：α=30°.
【解析】【分析】（1） 过点D作EF∥MN，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥OP∥MN，根据二直线平行，内错角相等得出∠NAD=∠ADE， ∠PBD=∠BDE，从而得出∠NAD+∠PBD=∠ADB= 90°，即可求解；
（2）由（1）得出∠NAD=90°-∠PBD，再根据邻补角的定义得出∠OBD=180°-∠PBD，从而得出 ∠OBD-∠NAD=90°，即可求解；
（3）根据角平分线的定义得出∠NAD=∠BAD=α， ∠OBD=2∠OBA，再根据二直线平行，内错角相等得出 ∠OBA=∠NAB=2α，从而得出∠OBD=4α，根据∠OBD-∠NAD=90°列出方程，解方程即可求出α的值.
15．【答案】（1）解：如图，过P作PG∥AB，过Q作QH∥AB，过M作MN∥AB，
①∵AB∥PG，
∴∠AEP=∠EPG，
∵AB∥CD，QH∥AB，
∴QH∥CD，
∴∠QFD=∠HQF，
∵PG∥AB，QH∥AB，
∴PG∥QH，
∴∠GPQ=∠HQP，
∵∠EPQ=∠FQP，
∴∠EPG+∠GPQ=∠HQF+∠HQP，
∴∠EPG=∠HQF，
∴∠AEP=∠QFD；
②∵∠AEP=∠QFD，∠AEP+∠BEP=180°，
∴∠BEP+∠QFD=180°；
AB∥CD，AB∥MN，
∴MN∥CD，
∴∠EMN=∠BEM=∠BEP，∠NMF=∠MFD=∠QFD，
∴∠EMF=（∠BEP+∠QFD）=90°；
（2）75°
【解析】【解答】解：（2）由（1）①可得：∠P-∠Q=（∠EPG+∠GPQ）-（∠HQF+∠HQP）=∠AEP-∠QFD=30°，
∴∠AEP=∠QFD+30°，
∴∠BEP=180°-（∠QFD+30°）=150°-∠QFD，
由（1）②可得：∠EMF=（∠BEP+∠QFD）=（150°-∠QFD +∠QFD）=75°.
故答案为：75°.
【分析】（1）①过P作PG∥AB，过Q作QH∥AB，过M作MN∥AB，根据平行线的性质可得 ∠AEP=∠EPG，∠QFD=∠HQF，∠GPQ=∠HQP，结合∠P=∠Q可得∠EPG=∠HQF，据此解答；
②由①可得∠AEP=∠QFD，根据邻补角的性质可得∠AEP+∠BEP=180°，则∠BEP+∠QFD=180°，根据平行线的性质以及角平分线的概念可得∠EMN=∠BEM=∠BEP，∠NMF=∠MFD=∠QFD，据此求解；
（2）由（1）①可得：∠P-∠Q=(∠EPG+∠GPQ)-(∠HQF+∠HQP)=∠AEP-∠QFD=30°，则∠AEP=∠QFD+30°，根据邻补角的性质可得∠BEP=150°-∠QFD，由（1）②可得：∠EMF=(∠BEP+∠QFD)，据此计算.
16．【答案】（1）
（2）解：①由（1）得
又∵
∴
∴
②∵平分
∴
在中，
即
化简得：
∴
【解析】【解答】解：（1）过点作，如下图：
∵，
∴
∴，
∴
又∵
∴
∴
【分析】根据平行线的传递性，得出；平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求出两组同旁内角的和是360°，然后减去AEF和CHF，剩下就是 .
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