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相交线与平行线证明题专题训练
1．填写下面证明过程中的推理依据：
已知：如图，，平分，平分．求证：．
证明：∵（__________）
∴__________（__________）
∵平分，平分，
∴______，
______．（__________）
∴．
2．如图，，，，求的度数．请将解题过程填写完整．
解：∵（已知）
∴ （ ）
又∵已知）
∴
∴ （ ）
∴ （ ）
∵（已知）
∴
3．完成下面推理过程．在括号内、横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：．
证明：∵（已知）
∴______（______）
∵（已知）
∴______（______）
即
∴
∵（已知）
∴______（______）
∴（______）
∴（______）．
4．如图，，与的平分线相交于点，证明与的位置关系．
解：平分（已知），
（______________）；
同理．
（已知），
______________，
所以______________；
______________，
______________，
与的位置关系是______________．
5．请将下列证明过程补充完整：如下图，已知，，求证：．
证明：，，
，
___________（ ），
（ ）．
（已知），
____________（等量代换），
（ ），
（ ）．
6．推理填空：已知：，，，试说明．
解：作射线，使（作辅助线）
∵（已知）
∴__________（ ）
∴__________（ ）
∵（已知）
∴____________（ ）
∴（ ）
∵
∴___________（ ）
∴
∵（ ）
∴
∴（ ）
7．完成下面的解题过程，并在括号内填上依据：
如图，已知，，，试说明．
解：∵ （已知）
∴______（_____________）
∵ （已知）
∴______（_____________）
∵ （已知）
∴
即
∴______
∴ （____________）
8．如图，已知，求证：．
9．如图，已知于点，点在上，于点，，试说明．
10．已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．若，求的度数．
11．已知：如图，．求证：．
12．如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
13．如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，．
(1)求证：；
(2)若是的平分线，，求的度数．
14．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，射线平分，求的度数．
15．如图，平分交于点D，，交于点E．
(1)请说明．
(2)如果，求的度数．
16．如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接．
(1)判断与是否垂直，并说明理由；
(2)若与互余，判断与是否平行，并说明理由．
17．如图，点N在线段上，与交于点．
(1)判断与是否平行，并说明理由；
(2)若，求的大小．
18．如图，已知，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若于点，，求的度数．
19．已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、
上，连接，且满足，．
(1)判断和的位置关系，并说明理由；
(2)证明：．
解析
1.【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；；角平分线的定义
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，，据此即可证明．
【详解】证明：∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵平分，平分，
∴，
．（角平分线的定义）
∴．
故答案为：已知；；两直线平行，内错角相等；；；角平分线的定义．
2.【答案】；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质与判定定理结合已给求解过程求解即可．
【详解】解：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵已知），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知）
∴．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
3.【答案】；两直线平行，内错角相等；；垂直的定义；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条不同直线互相平行
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直定义、同角的余角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．根据相关知识进行求解即可．
【详解】证明：∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（垂直的定义）
即
∴
∵（已知）
∴（同角的余角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（平行于同一直线的两条不同直线互相平行）．
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；垂直的定义；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条不同直线互相平行．
4.【答案】角平分线的定义；；；；；（或垂直）
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义及垂直的定义，正确运用平行线的性质是解题的关键．
角平分线的定义及平行线的性质、垂直的定义即可得出结论．
【详解】解：平分（已知），
（角平分线的定义）；
同理．
（已知），
，
所以；
，
，
与的位置关系是．
故答案为：角平分线的定义；；；；；．
5.【答案】；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行线的判定与性质进行解答，即可得出答案．
【详解】证明：，，
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
（等量代换），
（ 内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
6.【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
作，根据平行线的判定和性质证明，结合平角的定义求出，根据垂直线的定义即可得出结论．
【详解】解：作射线，使（作辅助线）
∵（已知）
∴（ 等量代换 ）
∴（ 内错角相等，两直线平行 ）
∵（已知）
∴（ 平行于同一直线的两条直线平行）
∴（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵
∴（ 等量代换）
∴
∵（ 平角的定义 ）
∴
∴（ 垂直的定义 ）
7.【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，读懂推理过程是解题的关键；结合图形，读懂解题过程即可完成．
【详解】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等)；
∵，
∴（等量代换)；
∵，
∴；
即；
∴；
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行．
8.【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．根据平行线的性质可以得到，推出，平行线的判定可以得到，即得．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
9.【答案】见解析．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先由同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行证明，根据性质得，再用代换，最后用内错角相等得出结论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】∵，，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
10.【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．由三角形的外角公式可求出，根据可推得，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴．
11.【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”以及“两直线平行，同旁内角互补”即可证明．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
12.【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可；
（2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
13.【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，
（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出；
（2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
14.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明；
（2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，射线平分，
∴，
∵，
∴．
15.【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线结合平行线得到内错角相等即可等量代换出结果；
（2）根据垂直得到，则，，再根据角度和差即可计算．
【详解】（1）证明：∵平分
，
．
．
；
（2）解：∵，
∴，，
，
∴．
16.【答案】(1)，见解析；
(2)，见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是：
（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；
（2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．
【详解】（1）解：，
证明：平分，平分，
，，
，
；
（2）证明：，
，
与互余，
，
，
．
17.【答案】(1)平行，见解析
(2)
【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．
（1）根据，可得，从而得到，继而得到，即可求证；
（2）根据，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18.【答案】(1)见详解
(2)
【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得；
（2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
19.【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质结合“同角的补角相等”求得，即可推出；
（2）根据平行线的判定与性质证明，即可推出．
【详解】（1）解：，理由如下：
（已知），
又（邻补角定义），
（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）证明：∵，
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
20.【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)110°
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（1）依据同位角相等，即可得到两直线平行；
（2）依据平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出；
（3）利用平行线的性质得出和的度数，依据对顶角相等即可得到的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
（2）.
理由：∵,
∴,
∵，
∴，
∴,
∴；
（3）解：
，，
，
．
20．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求 的度数．
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