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平行线判定基础题专项训练2
一、解答题
1．如图所示，在△ABC中，E，G分别是BC，AC上的点，D，F是AB上的点，已知EF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，∠1＝∠2， 试判断∠AGD和∠ACB是否相等，为什么？
2．如图，已知：，，你能确定图中与的数量关系吗？请写出你的结论并进行证明．
3．已知：如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠1＋∠2＝180°．求证：DGBC．
4．如图，已知，．求证：．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC 上，且，∠1=∠2．求证： ；
6．如图，四边形ABCD中ABCD，在BC的延长线上取一点E，连接AE交CD于点F，且满足，．求证：ADBE
7．如图，，于，．求证：．
8．已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D，G，点E在AC上，且∠1=∠2，那么DE与BC平行吗？为什么？
9．已知：如图，BC∥AE，∠C=∠A，求证：CD∥AF．
10．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．试说明：CD⊥AB．
11．如图，直线，点在直线上，且，求的度数.
12．如图，已知，，于点，那么与有什么数量关系？为什么？
13．已知：如图，点在一条直线上，与交于点，，CMDN．求证：．
14．如图，平分，且，点在射线上．若，，求和的度数．
15．如图，直线与直线，分别交于点E，F，是它的补角的3倍，．判断与的位置关系，并说明理由．
16．已知：如图，ABCD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数．（思路提示：通过构建平行线，建立角之间的关系）
17．已知：如图，，点E是线段BC上的一点，且．求证：．
18．如图，直线AB和CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE：∠EOD＝4：5，求∠BOD的度数．
19．如图，AB，CD交于点O，OA⊥OE，OF平分∠BOC，∠COF＝68°．求∠DOE的度数．
20．已知，，垂足分别为、，且，求证：．
21．如图所示，点，分别在，上，，均与相交，，，求证：．
22．如图，在四边形ABCD中，，，点E在AD上，点F在BC的延长线上，连接EF，试说明．
23．如图，在四边形中，点G在上，//，//，分别交于点E，F．已知，，求的度数．
24．如图，直线AB和CD相交于点O，若，OA平分，求的度数．
25．如图，已知点B、C、D在同一直线上，，，求的度数．
26．如图，∠A=∠ADE，∠EDC=3∠C．求∠C的度数．
27．如图，在四边形的边的延长线上，连接交于，已知，，求证：
28．如图，A，B，C在同一直线上，AE与BD交于点O，，，试说明．
答案解析部分
1．【答案】解：∠AGD＝∠ACB.
理由如下：
因为EF⊥AB，CD⊥AB(已知)，所以∠EFB＝∠CDB＝90°(垂直的定义)，
所以EF∥CD(同位角相等，两直线平行)，所以∠1＝∠ECD(两直线平行，同位角相等)．又因为∠1＝∠2(已知)，所以∠ECD＝∠2(等量代换)，所以GD∥CB(内错角相等，两直线平行)，所以∠AGD＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
2．【答案】解：∠1＋∠2＝180°；
证明：∵∠A＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BHC，
∵∠B＝∠D，
∴∠BHC＝∠D，
∴BH∥ED，
∴∠1＋∠2＝180°．
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质计算求解即可。
3．【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝∠EFC＝90°．
∴BDEF．
∴∠2＋∠DBE ＝180°．
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠DBE．
∴DGBC．
【解析】【分析】先求出 BDEF，再求出∠1＝∠DBE，最后证明即可。
4．【答案】证明：∵，，
∴∠2=∠DFE，
∴BD∥EF，
∴∠BDE+∠3=180°，
∵，
∴．
【解析】【分析】先求出∠2=∠DFE，再利用平行线的性质和等量代换可得。
5．【答案】证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠C
∵∠1=∠2
∴∠C=∠2
∴．
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
6．【答案】证明：
．
【解析】【分析】利用平行线的性质和等量代换可得，再结合可得，从而可得。
7．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠DCB，结合∠1+∠B=90°，得∠1+∠DCB=90°，结合平角的概念可得∠ACB=90°，根据垂直的概念可得∠EGB=90°，则∠ACB=∠EGB，然后根据平行线的判定定理进行证明.
8．【答案】解： 理由如下：
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴，
∴∠2=∠DCB
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCB
∴
【解析】【分析】根据同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得CD∥FG，由二直线平行，同位角相等，可得∠2=∠DCB，结合∠1=∠2，得∠1=∠DCB，然后根据内错角相等，两直线平行进行解答.
9．【答案】证明：∵，
∴∠C=∠CDE，
∵∠A=∠C，
∴∠A=∠CDE，
∴，
【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等，得出 ∠C=∠CDE， 等量代换得出 ∠A=∠CDE，根据同位角相等，两直线平行，即可证明结论 .
10．【答案】解： ；
理由：，
∴ED∥CB．
∴．
∵∠2=∠3，
，
∴FH∥CD，
，
．
【解析】【分析】由∠1=∠ACB，根据同位角相等，两直线平行得出ED∥CB，根据平行线的性质和等量代换得出∠3=∠DCB，根据同位角相等，两直线平行，则可判定CD∥FH，结合FH⊥AB，利用平行线的性质则可证出CD⊥AB.
11．【答案】解：如图，
∵ ，
∴∠3=∠1=35°，
∴∠2=180°-∠ABC-∠3
=180°-90°-35°
=55°.
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠3的度数，再根据平角的定义列式求∠2的度数即可.
12．【答案】解：∠4与∠5互余，
理由：∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，即∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠1＋∠4＝90°
∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠4＝90°，
∵，∴∠2＝∠5，
∴∠5＋∠4＝90°，即∠4与∠5互余．
【解析】【分析】 ∠4与∠5互余，理由：由垂直的定义可得∠2＋∠3＝90°，根据平角的定义可得∠1＋∠4＝90° ，由于∠1=∠2可得∠2＋∠4＝90°， 由平行线的性质可得∠2=∠5，从而得出∠5＋∠4＝90° .
13．【答案】证明：∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
14．【答案】解：∵∠DAB+∠D=180°，
∴CD∥AB，
∴∠DCE=∠B=95°，
∵∠CAD=25°，AC平分∠DAB，
∴∠CAB=∠CAD=25°，∠DAB=2∠CAD=50°，
∴∠D=180°-∠DAB=130°，
∴∠DCA=180°-∠D-∠CAD=25°．
【解析】【分析】先求出 CD∥AB， 再求出 ∠D=180°-∠DAB=130°， 最后计算求解即可。
15．【答案】解：；理由如下：
∵是它的补角的3倍，
∴设，则的补角为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可。
16．【答案】解：过点F作MN∥CD
∵MN∥CD，∠1=30°
∴∠2=∠1=30°（两直线平行，同位角相等）
∵MN∥CD，AB∥CD
∴AB∥MN（平行于同一直线的两条直线平行）
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB，
∴∠4=90°
∴∠3=∠4=90°
∴
【解析】【分析】过点F作MN∥CD，利用平行线的性质可得∠2=∠1=30°，∠3=∠4，再利用角的运算可得。
17．【答案】证明：
∵AB∥CD
∴∠B＝∠C
∵∠BEF＝∠B
∴∠BEF＝∠C
∴CD∥EF
【解析】【分析】根据平行线的性质与判定定理即可证明。
18．【答案】解：∵ ∠COE：∠EOD＝4：5 ， ∠COE+∠EOD＝180°，
∴，
又∵ OA平分∠COE ，
∴∠AOE=∠AOC=40°，
∴ ∠BOD =∠AOC=40°
【解析】【分析】求∠BOD的度数，只需求出它的对顶角∠AOC的度数即可（对顶角相等），由图可得，∠COE+∠EOD=180°（邻补角互补），再结合已知条件∠COE：∠EOD＝4：5 ，可求出∠COE=80°，又根据OA平分∠COE（从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线） ，可知 ∠AOC=40°，最后得出∠BOD =40°.
19．【答案】解：∵ OF平分∠BOC， ∠COF＝68°，
∴∠BOC=2∠COF=136°，
∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-136°=44°，
∴∠AOC=∠BOD=44°，
∵OA⊥OE， 即∠AOE=90°，
∴∠DOE=180°-∠AOC-∠AOE=180°-44°-90°=46°.
【解析】【分析】根据角平分线定义求出∠BOC，再根据邻补角定义求出∠BOD，根据对顶角相等求出∠AOC，最后根据平角的定义求∠COE，即可解答.
20．【答案】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠ADG=∠FGC=90°，根据同位角相等，两直线平行，得AD∥FG，根据二直线平行，同位角相等，可得∠1=∠3，然后结合∠1=∠2就可得到结论.
21．【答案】证明：如图，∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD；
又∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠ABD，
∴AB∥DF，
∴∠A＝∠F．
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
22．【答案】解：∵，
∴∠B=∠DCF，
∵∠B=∠D，
∴∠D=∠DCF，
∴，
∴∠DEF=∠F．
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，由已知条件可知∠B=∠D，则∠D=∠DCF，推出AD∥BF，然后根据平行线的性质可得结论.
23．【答案】解：//，，
，
，
//，
，
．
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠EGC=∠B=120°，根据角的和差关系可得∠FGC=∠EGC-∠EGF=75°，根据平行线的性质可得∠FGC+∠C=180°，据此计算.
24．【答案】解：∵∠BOD=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°.
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE=∠AOC=40°，
∴.
【解析】【分析】 根据对顶角的性质可得∠AOC=∠BOD=40°，根据角平分线的概念可得∠AOE=∠AOC=40°，然后根据平角的概念进行计算.
25．【答案】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行，可知AB∥CE，由平行的性质——两直线平行，内错角相等，可知∠1=∠2，由此即可求得∠1.
26．【答案】解：∵∠A=∠ADE，
∴DEAC，
∴∠EDC+∠C=180°，
∵∠EDC=3∠C，
∴4∠C=180°，
∴∠C=45°．
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质计算求解即可。
27．【答案】证明：∵，
∴，
∴∠3=∠C，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据同旁内角互补两直线平行，可得AD∥BC，利用平行线的性质可得∠3=∠C，从而得出∠A=∠3，根据平行线的判定即证.
28．【答案】解：∵A，B，C在同一直线上（已知）
∴（邻补角的定义）
∴（已知）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质求解即可。
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