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专题 平行线重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优）
题型一 平面内两直线的位置关系
题型二 立体图形中平行的棱
题型三 用直尺、三角板画平行线
题型四 平行公理的应用
题型五 平行公理推论
题型六 同位角相等两直线平行
题型七 内错角相等两直线平行
题型八 同旁内角互补两直线平行
题型九 垂直于同一直线的两直线平行
题型十 两直线平行同位角相等
题型十一 两直线平行内错角相等
题型十二 两直线平行同旁内角互补
题型十三 根据平行线的性质探究角的关系
题型十四 根据平行线的性质求角的度数
题型十五 平行线的性质在生活中的应用
题型十六 根据平行线的判定与性质求角度
题型十七 根据平行线的判定与性质证明
题型十八 求平行线间的距离
题型十九 利用平行线间距离解决问题
题型二十 平行线综合
知识点一：平行
1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线．
2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
知识点二：同位角、内错角和同旁内角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点三：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
知识点四：平行线之间的距离
平行线间距离处处相等。
知识点五：平移
1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种
移动，叫做平移变换，简称平移。
2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
3. 平移的性质
（1）对应点的连线平行(或共线)且相等
（2）对应线段平行(或共线)且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点
（3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形
知识点六：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【经典例题一 平面内两直线的位置关系】
【例1】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　）
A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，注意垂直是相交的特殊情况，包括在相交里．根据同一平面内，两条直线的位置关系即可得到结论．
【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，
故选：A．
1．如图所示的长方体中，用符号表示两棱的位置关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，根据位置关系，进行判断即可．
【详解】解：A、，原选项错误；
B、，原选项错误；
C、，原选项正确；
D、，原选项错误；
故选C．
2．平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对．
【答案】12002
【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可．
【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)．
故答案为：12002．
3．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作：
(1)过点作的平行线；
(2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键，
（1）根据所有横线都是平行的作图即可；
（2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：所求图形如图所示．
【经典例题二 立体图形中平行的棱】
【例2】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先找出不过棱AD的平面，确定平面内有与AD平行的直线即可．
【详解】解：∵在长方体ABCD-EFGH中，AD//EH∥BC，
∴AD∥平面EFGH，AD∥平面BCGF，
∴与棱AD平行的平面共有2个．
故选择：B．
【点睛】本题主要考查立体图形与平行线，利用平行线的定义找出与棱AD平行的平面并准确观察图形是解题的关键．
1．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可．
【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，，
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征．
2．如图，在长方体中，与平行的棱是 ．
【答案】棱，棱，棱．
【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱，
故答案为：棱，棱，棱．
【点睛】本题主要考查平行线的定义，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键．
3．如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．

【答案】见解析
【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可．
【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．

【经典例题三 用直尺、三角板画平行线】
【例3】小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案．
【详解】解：由图可知，，与为同位角，
∴，
∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行．
故选：A．
1．已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（ ）
A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条
【答案】C
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．过直线上的一点，不能做直线与已知直线平行（互相重合）．
【详解】解：如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条，如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线公理，注意点P的位置分两种情况表现．
2．．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）

【答案】④②①③
【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答；
【详解】解：正确的步骤是：
④用三角尺的一边贴住直线a；
②用直尺紧靠三角尺的另一边；
①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；
③沿三角尺的边作出直线b；
故答案为：④②①③；
3．如图，点P是的边上的一点．
(1)过点M画的平行线，交于点N；
(2)过点P画的垂线，交于点C；
(3)点C到直线的距离是线段 的长度．
(4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查了作图、应用与设计作图，比较线段的长短，点到直线的距离，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质．
（1）利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可；
（3）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可；
（4）根据垂线段最短，解决问题．
【详解】（1）解：的平行线如图所示；
（2）解：的垂线如图所示；
（3）解：点C到直线的距离是线段的长度．
故答案为：；
（4）解：根据垂线段最短可知，
故答案为：．
【经典例题四 平行公理的应用】
【例4】数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线公理，根据平行线公理进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴这说明了如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，
故选A．
1．已知直线，，则下列结论正确的是（　　）
A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行
C．直线a与c相交 D．直线a与b相交
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行公理的应用，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
即直线a与c互相平行．
故选：B．
2．下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有 ．（填序号）
【答案】①⑥
【分析】利用对顶角的性质判断①，利用两点距离定义判定②，利用平行公理判定③，利用垂线公里判定④，利用线段中点定义判定⑤，利用余角的性质判定⑥．
【详解】①对顶角相等正确；
②由两点间线段的长度是两点间距离，所以两点间线段是两点间距离不正确；
③由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行不正确；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；
⑤由线段中点的性质，若，点C在AB上，则点C是线段的中点，所以若，则点C是线段的中点不正确；
⑥同角的余角相等正确；
正确的有①⑥．
故答案为：①⑥．
【点睛】本题考查对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质等问题，掌握对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质是解题关键．
3．如图，将一张长方形的硬纸片对折，是折痕，把面平摊在桌面上，另一个面不论怎样改变位置，总有与平行，请你说出其中的道理．

【答案】见解析
【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行求解即可．
【详解】解：∵长方形的硬纸片对折，是折痕，
∴，，
∴，
∴另一个面不论怎样改变位置，总有与平行．
【点睛】本题主要考查了平行公理，熟知平行公理是解题的关键．
【经典例题五 平行公理推论】
【例5】数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点．
画图操作：
第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线．
第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线．
观察发现：．
上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（ ）
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行公理及其推论，根据平行公理及其推论即可求解，掌握平行公理及其推论是解题的关键．
【详解】解：由“画图操作”可得到的数学知识是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
由“观察发现”可得到的数学知识是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
∴可得到的数学知识分别是，
故选：．
1．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．平行于同一条直线的两直线平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行，
故选A．
2．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点N，P，M在同一条直线上，
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
3．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”．
(1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
(2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？
(3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？
【答案】(1)正面（答案不唯一）
上面（答案不唯一）
右面（答案不唯一）
(2) ，理由见解析；
(3)见解析．
【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行．能从复杂的图形中找出同向线段，就要求同学们练就一双慧眼，这与平时的努力是密不可分的，熟练掌握平行线的定义是解题的关键．
（）正面、、、是平行的，、平行，、平行；上面相互平行，平行；右侧平行，平行；据此分别找出一组平行线即可；
（）与都与平行，所以平行；′与′平行，′与垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直．
（）根据平行线的定义作答即可．
【详解】（1）解：正面、、、是平行的，、平行；
∴正面：（答案不唯一），
上面：上面相互平行，平行；
∴；
右侧：平行，平行
∴；
故答案为：正面：；上面：；右侧：；（答案不唯一）
（2）解：∵，，，，
∴，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；
（3）解：图中所在的直线与所在的直线没有公共点，不能说明这两条直线平行，比如直线与直线也具有类似位置关系，这样的两条直线不在同一个平面内，由此可知在叙述平行线的概念时，应注意叙述平行线的概念时应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
【经典例题六 同位角相等两直线平行】
【例6】如图，下列条件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、∵，∴，即，故选项不符合题意；
B、∵，∴，故选项不符合题意；
C、，不能判定，故选项符合题意；
D、∵，∴，故选项不符合题意；
故选：C．
1．如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（ ）度

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键．
2．能判定的同位角有 组．
【答案】
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”找出所有与有关的同位角即可解答．
【详解】解：如，则；
如，则；
如，则；
如，则．
∴能判定的同位角有4组
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线判定定理，理解同位角的概念是解答本题的关键．
3．如图，点、分别在的边、上，过点作于点，过点作于点，点在上，连接，，试说明．
【答案】详见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练使用平行线的判定是解题的关键．
根据，，证出，即可求解；
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【经典例题七 内错角相等两直线平行】
【例7】如图，下列条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行．
【详解】解：A、根据不能判定，不符合题意；
B、根据能判定，符合题意；
C、根据能判定，不符合题意；
D、根据能判定，不符合题意；
故选：B．
1．如图，由以下条件可以得到的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键．
根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A、由可得平分，不能得到，不符合题意；
B、，由内错角相等、两直线平行可得，不能得到，不符合题意；
C、，由内错角相等、两直线平行可得到，符合题意；
D、由 可得平分，不能得到，不符合题意．
故选C．
2．如图，，平分，则与的位置关系是 ．
【答案】平行
【分析】根据角平分线的定义得出，再根据，得出，利用平行线的判定可得出两条直线平行．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练运用内错角相等，两直线平行进行推理证明．
3．如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）根据垂直的定义得到，推出，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（）根据三角形的内角和列方程得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
本题考查了同角的余角相等，垂直的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【经典例题八 同旁内角互补两直线平行】
【例8】．如图，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定定理，熟知同位角，内错角，同旁内角的定义是解答此题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行判断，即可解题．
【详解】解：①，根据“内错角相等，两直线平行”可以判定，故正确；
②，根据“内错角相等，两直线平行”可以判定，故错误；
③，根据“同旁内角互补，两直线平行”可以判定，故错误；
④．根据“同旁内角互补，两直线平行”可以判定，故正确；
综上所述，正确的有2个。
故选：B．
1．如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），故A不符合题意；
B、∵，
∴（内错角相等，两直线平行），故B不符合题意；
C、∵，
∴（同位角相等，两直线平行），故C不符合题意；
D、根据不能判断直线，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
2．如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）．

【答案】（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定定理即可得到答案．
【详解】解：根据平行线的判定定理可得：
；；都可判断，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
3．小明想知道作业纸上两条相交直线，所夹锐角的大小（如图1）．但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．小明设计了如下方案（如图2）：

①作直线分别交，于点，，以点为顶点，为一边，在直线的右侧作；
②测量的度数即可得到直线，所夹锐角的大小．
问题1：你认为小明的方案可行吗？并说明理由．
问题2：你还有其他方法吗？请在图1中画图说明．（测量工具：直尺、量角器）
【答案】问题1：小明的方案可行．理由见解析；问题2：见解析
【分析】问题1：根据同位角相等，两直线平行进行判断；问题2：在上取点，在上取点，作直线，量出一组同旁内角，根据同旁内角互补两直线平行进行判断．
【详解】问题1：小明的方案可行．
理由：如图，设直线，相交于点．
，
，
．
问题2：如图，在上取点，在上取点，作直线，量出和的大小，利用三角形内角和即可求出直线，所夹锐角的大小．

若和的和是，则说明两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【经典例题九 垂直于同一直线的两直线平行】
【例9】如图，在直角三角形中，，下列条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，根据选项依次进行判断即可，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键
【详解】解：A、，不能判定，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，即，符合题意；
C、，不能判定，不符合题意；
D、，不能判定，不符合题意；
故选：B
1．在同一平面内有四条不同的直线a，b，c，d，若，，，则c，d的位置关系为（ ）
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．重合
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行的判定，平行公理的应用，先根据同一平面内垂直同一条直线的两条直线互相平行，得出，再根据平行公理，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即c，d的位置关系为互相平行，
故选：A．
2．如图，点E在AC的延长线上，给出的四个条件：

（1）；（2）；（3）；（4）能判断的有 个.
【答案】3
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可；
【详解】（1）如果 ，那么 ，故（1） 错误；
（2），那么 ，内错角相等，两直线平行，故（2）正确；
（3），那么 ； 同位角相等，两直线平行，故（3）正确；
（4），那么 ， 同旁内角互补，两直线平行，故（4） 正确；
即正确的有
故答案为：3
【点睛】此题考查的是平行线的判定定理，比较简单，解答此题的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截所形成的各角之间的关系．
3．完成下面证明
如图，已知在同一平面内的三条直线a，b，c，a⊥b，a⊥c；求证：．
证明：∵a⊥b
∴∠1=90°（ ）
同理∠2=90°
∴（ ）=（ ）
∴．（ ）．
【答案】详见解析
【分析】由垂直的定义，得到∠1=90°，然后由同位角相等，两直线平行，即可得到结论成立．
【详解】证明：如图：
∵a⊥b
∴∠1=90°（垂直的定义）
同理∠2=90°
∴∠1=∠2
∴．（同位角相等两直线平行）
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到∠1=∠2
【经典例题十 两直线平行同位角相等】
【例10】如图，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．直接根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：，，
，
故选：C．
1．如图，直线，点在直线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的概念．根据两条直线平行，同位角相等，得的同位角是．再根据平角的定义即可求得．
【详解】解：，
∴，
，
，
又，
，
．
故选：A．
2．已知，点D在的边上，，且的一边与平行，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行线的性质和角的运算，需要分三种情况讨论：，且位于上方；，且位于下方，根据平行线的性质分别求解即可．
【详解】解：①如图所示，．

∵，
∴．
②如图所示，，且位于上方．

∵，
∴．
∴．
③如图所示，，且位于下方．

∵，
∴，
∴，
综上所述，．
故答案为：．
3．如图，若，请说出和之间的数量关系，并说明理由．
解：
理由如下：
∵（已知），
___________（___________），
∵（___________），
（___________），
（___________）．
【答案】；两直线平行，同位角相等；已知；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换．
【分析】本题考查了平行的性质，由可得，由可得，进而可得，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴（等量代换）．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；已知；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换．
【经典例题十一 两直线平行内错角相等】
【例11】如图，，若．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．由对顶角相等可得，再由平行线的性质可求得，，结合已知条件可求得，即可求解．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
1．如图，直线，点A、D在直线上，分别过点A、点D作于点B，于点C，连接，将沿折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，和相交于点F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查垂直的定义、平行线的性质、轴对称的性质等知识，由折叠得，由于点B，得，则，而，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：由折叠得，
∴，
∵于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
2．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是 ．
【答案】/44度
【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
3．将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线，现将三角尺绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，易知，．若，边与边平行，求满足条件的t的值．
【答案】30
【分析】本题主要考查平行线的性质，当时，延长交于点，分两种情况讨论：①在上方时；②在下方时，列式求解即可
【详解】解：由题意，得，
如图，延长交于点P.
当在上方时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
当在下方时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得 （不合题意，舍去）．
综上所述，满足条件的t的值为30.
【经典例题十二 两直线平行同旁内角互补】
【例12】如图，，与的角平分线相交于点E，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，根据平行线的性质得，由，是与的角平分线可得，求出,从而可得
【详解】解：∵，
∴,
∵，是与的角平分线,
∴
∴
∵
∴
∴，
故选：B
1．如图，把长方形沿对折，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据长方形，得到，得到，结合折叠的性质，得，结合，计算即可．
本题考查了长方形的性质，平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握长方形的性质，折叠性质是解题的关键．
【详解】∵矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴．
故选D．
2．如图，有三条两两相交的公路，从A地测得公路的走向是北偏东，从B地测得公路的走向是北偏西，若的长分别为c千米、a千米、b千米，点P是直线上任意一点，则线段的最小值为 千米（用含a、b、c的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查方向角问题，三角形内角和定理．过点作于，再在利用等积法即可得到本题答案．
【详解】解：过点作于，
∵，，，
∴，
∴在中，，
∴，
即线段的最小值为，
故答案为：．
3．如图，，E是上一点，交于点F，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质和判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键：
（1）由推出，得到，进而推出；
（2）根据角平分线的性质得到，及，求出，再利用平行线的性质求出的度数．
【详解】（1），理由如下：
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴
（2）∵平分，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
【经典例题十三 根据平行线的性质探究角的关系】
【例13】如图，直线，M、N分别在直线，上，H为平面内一点，连接，，延长至点G，和的角平分线相交于点E．若，则可以用含α的式子可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，以及角平分线的有关计算，过点E作交于点Q，根据平分，平分，可得，，即可得．则有．进而可得．则有，即，代入即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作交于点Q，
∵，，
∴，，
∴
又平分，平分，
∴，，
∴．
∴．
∵，．
∴．
∴，
即，
∵，
∴．
故选：A．
1．如图，已知，记，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案．
【详解】解：如图所示：过点F作．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
同理：．
∴
∵，
∴．
故选：B．
2．如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论：
①；
②；
③；
④∠；其中正确的有 ．（请填写序号）
【答案】①④/④①
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到 ，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④．
【详解】解：，，
，，，
平分，
，
∴，故②错误；
，即，
，
，
∵，
∴，故①正确
，，
∴，
，
，
，故③错误；
，
，
，，
，故④正确；
综上所述，正确的有①④，
故答案为：①④．
3．【提出问题】睿睿在学行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：

【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，．
【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明；
【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系．
①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明；
②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由．
【应用拓展】
（3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由．
【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为 ②不成立，结论为: （3）
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.
过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证；
①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证；
②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证；
（）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可．
【详解】（1），理由如下：
过点作，

，
，
，
，
，
；
（2）①不成立，新的结论为 理由为：
过作，
，
，
，
，
，
；
②不成立，如图③所示， 结论为：；
过作，
，
，
，
，
，
；

（3），
过点作，点作，
又∵，
∴，
∴，，，
即，
∴．

【经典例题十四 根据平行线的性质求角的度数】
【例14】如图所示，直线，直线与相交于点，与直线相交于点，于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，由可得，由垂直可得，进而利用平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
1．生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于平行于地面，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点B作，如图，由于垂直于地面，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：∵垂直于地面，
∴，
过点B作，
∵平行于地面，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选B．
2．如图，直线与相交于点，在的平分线上有一点，，当时，的度数是 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查平行线的性质，邻补角定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，先利用邻补角求得，进而根据角平分线定义得，进而根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
3．【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）；
【拓广探究】
（3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）；
（5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”）
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）；（5）
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质、垂直的定义，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键．
（1）由已知可求出，再由、平分，求出的度数即可；
（2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可；
（3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可；
（4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可．
（5）根据平行线的性质以及（4）的结论得出，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴
又∵，即，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，即，
∴；
（3），理由如下，
∵，
∴
∵，
∴，
∵平分
∴，
又∵，即，
∴，
∴；
（4）∵，
∴
∵平分
∴，
又∵，即，
∴；
（5）如图所示，
∵
∴
∵，
∴
又∵，即，
∴，
∵， ，
∴，
∴
由（4）可得，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【经典例题十五 平行线的性质在生活中的应用】
【例15】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可．
【详解】如图，
∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的
∴，，
∵
∴，，
∴，
故选：B．
1．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（ ）

A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要则，分两种情况，分别画出图形利用平行线的性质列出关于t的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要，
∴，
由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1：
，即，
解得：，
如图2
此时，
即，
解得：，
综上：当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是1或17.5秒，
故选：D．
2．如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ．
【答案】 /36度 /72度
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，．
3．阅读材料，解决问题：
【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律．
（1）在图1中，证明；
【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，．
（2）请问和有什么关系？并说明理由；
（3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可）
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）根据等角的余角相等解答即可；
（2）根据平行线的性质求解即可；
（3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可．
【详解】（1）证明：，
，，
；
（2），理由如下：
，，，
，
，
；
（3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）．
【经典例题十六 根据平行线的判定与性质求角度】
【例16】如图所示，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定．掌握平行线的性质与判定，平角定义，对顶角性质，是解题的关键．
先证明，再根据两直线平行同位角相等可得，再根据对顶角相等可得．
【详解】解：如图，∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
故选：D．
1．如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，过点作，得到，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
2．将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ．
【答案】 或/或
【分析】（）设交于点，由，则，证明，然后根据平行线的性质即可求解；
（）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，当三角形在线段右侧时进行分析即可；
本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（）如图，设交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，如图①，过点作，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴；
当三角形在线段右侧时，如图②，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
3．如图，已知．
如
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定和性质．
（1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立；
（2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数．
【详解】（1）解：证明：，
，
．
（2），
．
又，
，
，
．
【经典例题十七 根据平行线的判定与性质证明】
【例17】将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，则，，从而求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：．
1．如图，已知，，则下列结论：①；；；．正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：因为，所以 (内错角相等，两直线平行)，所以正确；
因为，，所以，即，所以，所以正确；
无法证明．
所以正确的有3个．
故选C．
2．如图，在线段的延长线上，，，，连接交于，的余角比大，为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的计算等知识点，需熟练掌握．
由，得出，于是证得；根据得到，因为，所以，从而得出平分；设，，先根据的余角比大求出的度数，再根据角平分线的定义得出，即，从而求出，即得出的度数，从而判断即可得出正确的结论．
【详解】解：，，
，
，故正确；
，
，
，
，
即平分，故正确；
无法证得，
故错误；
的余角比大，
，
，
，
，
设，，
，
平分，
，
平分，
，
即，
，
解得，
即，故正确；
故答案为：．
3．如图，平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
（2）过作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案；
（3）设，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，得出方程，求出即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）证明：过作，如图，
，
，
，，
，
即；
（3）解：设，
，，
，
由（1）知：，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
解得：，
即．
【经典例题十八 求平行线间的距离】
【例18】新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可
【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图，
∵，相邻两条平行线间的距离为m，
∴直线c，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴的面积
故选：A
1．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】如图，直线在直线，外时，

∵与之间的距离是，与之间的距离是，
∴与之间的距离为；
如图，直线在直线，之间时，

∵与之间的距离是，与之间的距离是，
∴与之间的距离为；
综上所述，与之间的距离为或，
故选：．
2．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】解：当在和的同侧时，距离为；
当在之间时，距离为，
故答案为：或．
3．如图，，平分，平分，．
(1)问：与平行吗？试说明理由．
(2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离．
【答案】(1)平行，见解析
(2)8
【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离：
（1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证；
（2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
设，所在的直线之间的距离为，
，
即，
，
即，所在的直线之间的距离为．
【经典例题十九 利用平行线间距离解决问题】
【例19】（数学知识的综合应用）下列说法中，正确的有（ ）个．
①0既不是正数，也不是负数．
②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18 米．三人中跳得最远的是小军．
③不论a 取什么值，不可能等于．
④如图，两条平行线之间梯形的面积最大．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是有理数的分类和比较大小，几何图形的面积，掌握几何图形的面积计算方法是解题的关键．
【详解】解：①0既不是正数，也不是负数，说法正确；
②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18 米．三人中跳得最远的是小军，说法正确；
③当时，等于，原说法错误；
④两条平行线之间图形的面积一样大，原说法错误；
故选B．
1．我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高．
【详解】解：∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∴与面积相等，
∴与面积相等的三角形为：、、，
故选：C．
2．如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）

【答案】/
【分析】作于M，交于N，根据长方形的性质，三角形面积的公式，分割法求面积解答即可．
本题考查了三角形的面积公式，分割法表示面积，熟练掌握三角形面积表示是解题的关键．
【详解】解：作于M，交于N，
∵四边形是长方形，
∴，，
∴，，
∵的面积为a．若的面积为b，
∴，
∵，
∴，
即
∴，
故答案为．

3．课题学行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用
阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．

(1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：；
(2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：；
(3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键．
（1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论；
（2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论；
（3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，，
∴（等底等高），
∴，
∴
（2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，

则，
∴，
∴．
（3）解：连接，

∵，
∴，
∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比），
∵，
∴，
∵，
∴由（1）可知，
∵由（2）可知，，即，
∴，
∴
∴．
【经典例题二十 平行线综合】
【例20】已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和）
(1)如图1， 求证：；
(2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：；
(3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论；
（2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论；
（3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点F作，
，，
，
，
，
，
又，
，
即；
（3）解：如图，作，，
由（1）知，
，
平分，平分，
，，
，
又，
，
，
；
，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
；
由（2）知，
，
即，
又，
，
整理得，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换．
1．已知，直线分别与直线交于点G、F，平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点K在直线上，过点K作直线与直线交于点H，与交于点P，平分交于点Q，直接写出与的数量关系：______；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作平分交于点T，连接交于点L，交于点O，交于点W，过点H作于点I，满足．若，，求线段的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由角平分线的性质得，由可得，由平行线的判定即可证明平行；
（2）分别过P、Q作，则得，则，，则易得；
（3）由分别平分，得；过O作， 设，则由平行线的性质及角的和差可得，从而由，得；在中，由面积关系得，再由，，即可求得线段的长度．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，分别过P、Q作，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
∵分别平分，
∴，
∴；
∵，
∴
；
故答案为：；
（3）解：∵分别平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
过O作，如图，
设，
∴，；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
在中，，
即；
∵，且，
∴设，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，互补关系，角平分线的定义等知识，构造平行线，利用平行线的性质是解题的关键．
2．长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．

(1)如图1，若时，则________°；
(2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由；
(3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°．
【答案】(1)
(2)的值不会变化，理由见详解
(3)或或
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线，三角形内角和外角和定理，解一元一次方程等知识的综合，掌握平行线的性质，三角形内角和外角和定理，角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据平角的性质可得，，根据角平分线的性质可得，由此可得的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）由（1）的证明可得是定值，再根据三角形的内角和定理即可求解；
（3）根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据平行线的性质，等腰三角形的的性质，解一元一次方程的方法即可求解．
【详解】（1）解：根据图示，点三点共线，点共线，
∵，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：，这个值不会变化，理由如下，
由（1）可知，，
∵，，
∴，即是定值，
∴，不会发生变化；
（3）解：当时，如图所示，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴；
当时，如图所示，设，
由（2）可知，（Ⅰ），
∵，平分，
∴，即是等腰三角形，
∴①，
∵，，
∴，
∵，
∴②，
把②代入①得，，整理得，（Ⅱ），
由（Ⅰ），（Ⅱ）联立方程组得，，
解得，，
∴；
当时，如图所示，
同理，是等腰三角形，，，
∴，
∴，
解得，，
∴；
当时，，
∵，
∴，即，
∴该种情况不符合题意，舍去；
综上所述，的度数为或或．
3．如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．

(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数；
(3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，值为2
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理及外角性质，利用数形结合探究角的运算关系是解答的关键．
（1）由平行线的性质得，则；再由角平分线的定义得，结合已知，即可求解；
（2）设交于点H；先求得，由角平分线定义得，则，利用互补关系即可求解；
（3）由角平分线与三角形外角的性质得：，，则可得到结论．
【详解】（1）解：，
，，
即；
平分，
；
，
，
，
即，
即；
（2）解：如图，设交于点H；
由（1）知，且，
；
平分，平分，
，
，
；

（3）解：不变；
，，，
；
同理：；
平分，平分，
，
，
，
；
即的值不变，且为2．
1．如图，下列选项不能得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．直接利用平行线的判定定理分析得出答案．
【详解】解：A．∵，
∴（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B． ∵，
∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，故此选项符合题意；
C．∵，
∴（同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
D． ∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；
故选：B．
2．如图所示，在四边形中，是它的一条对角线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由可得，即得，据此即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
3．有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　）
A．21个 B．22个 C．23个 D．24个
【答案】C
【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案．
【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，

∴这6条直线最多有个交点，
∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，
∴这8条直线的交点个数最多为（个），
故选：C．
【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键．
4．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答．
【详解】解：，交于I．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①正确；②2正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可见，的值未必为，未必为，只要和为即可，
∴③平分，④平分不一定正确．
故选：B．
5．如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（ )
A．32 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【分析】该题主要考查了图形的面积计算，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线之间距离相等解答．
作，连接，算出，即可求解；
【详解】解：如图，作，连接，则，
可知，
因此有：，
而；
因此，．
故选：B．
6．下列说法正确的有（填序号）： ．
①同位角相等；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【答案】③④/④③
【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可．
【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；
②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；
④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；
⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确．
故答案为③④．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键．
7．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ．
【答案】（或垂直）
【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可．
【详解】解：∵，，，，……，
∴，，，，，，，，……，
∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环，
∵，
∴，
故答案为：（或垂直）．
【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．
8．如图，填空：
（1）若，则 ，理由： ．
（2）若，则 ，理由： ．
【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定．
（1）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可；
（2）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可．
【详解】解：如图，
（1）若，则，理由：同位角相等，两直线平行．
（2）若，则，理由：同位角相等，两直线平行．
故答案为：，，同位角相等，两直线平行；，，同位角相等，两直线平行．
9．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ．
【答案】/105度
【分析】本题考查了平行线的性质，角度和差，三角形的内角和定理，由得，即，由得，则有，又，最后用角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）

【答案】/
【分析】作于M，交于N，根据长方形的性质，三角形面积的公式，分割法求面积解答即可．
本题考查了三角形的面积公式，分割法表示面积，熟练掌握三角形面积表示是解题的关键．
【详解】解：作于M，交于N，
∵四边形是长方形，
∴，，
∴，，
∵的面积为a．若的面积为b，
∴，
∵，
∴，
即
∴，
故答案为．

11．如图，F是直线上一点，按要求画图：
(1)过点F作直线的垂线段，垂足为E；
(2)过点W作直线的平行线，交线段于点M．
(3)过点A作线段的垂线，垂足为N；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查过一点作已知线段的垂线段，和过一点作已知直线的平行线，掌握作图方法是解题的关键．
（1）过直线外一点F作已知直线的垂线画出即可；
（2）过直线外一点W作已知直线的平行线画出即可；
（3）过直线外一点A作已知直线的垂线画出即可；
【详解】（1）
（2）
（3）
12．如图，与相交于点，，且平分．判断直线是否平行？并说明理由．
【答案】，见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．根据角平分线的定义结合对顶角得到，则可证明，根据平行线的判定即可证明．
【详解】解：，理由如下：
因为平分，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
所以．
13．如图，在四边形中，，，，分别是，的平分线．
(1)与有什么关系，为什么？
(2)，有什么位置关系？请说明理由；
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义和，即可得出答案；
（2）通过等量代换证明，根据同位角相等、两直线平行，可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
，分别是，的平分线，
，，
，
，
即；
（2）解：，理由如下：
由（1）知，，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定，熟练进行等量代换是解题的关键．
14．已知：如图 ， ．求证： ．（请把以下证明过程补充完整）
证明： ∵ （已知）
又∵（ ）
∴ （等量代换）
∴（同位角相等， 两直线平行）
∴（ ）
∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ （ ）
∴．（ ）
【答案】对顶角相等；3；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】考查了平线的性质与判定的综合运用，平行线的判定是由角的数量关判断两直线的位置关系，平行性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
先根据条件，判定，而得出，再判定，再根据平行线的性质，即可出．
【详解】证明：∵（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；3；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
15．如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）．
(1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数；
(2)如图②，若点P在直线上方，且，．
①求的度数；
②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案；
（2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案；
②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案．
【详解】（1）解：过点P作，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解:①过点P作，
，
，
，
，
；
②过点G作，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
，
，
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 平行线重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优）
题型一 平面内两直线的位置关系
题型二 立体图形中平行的棱
题型三 用直尺、三角板画平行线
题型四 平行公理的应用
题型五 平行公理推论
题型六 同位角相等两直线平行
题型七 内错角相等两直线平行
题型八 同旁内角互补两直线平行
题型九 垂直于同一直线的两直线平行
题型十 两直线平行同位角相等
题型十一 两直线平行内错角相等
题型十二 两直线平行同旁内角互补
题型十三 根据平行线的性质探究角的关系
题型十四 根据平行线的性质求角的度数
题型十五 平行线的性质在生活中的应用
题型十六 根据平行线的判定与性质求角度
题型十七 根据平行线的判定与性质证明
题型十八 求平行线间的距离
题型十九 利用平行线间距离解决问题
题型二十 平行线综合
知识点一：平行
1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线．
2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
知识点二：同位角、内错角和同旁内角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点三：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
知识点四：平行线之间的距离
平行线间距离处处相等。
知识点五：平移
1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种
移动，叫做平移变换，简称平移。
2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
3. 平移的性质
（1）对应点的连线平行(或共线)且相等
（2）对应线段平行(或共线)且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点
（3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形
知识点六：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【经典例题一 平面内两直线的位置关系】
【例1】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　）
A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定
1．如图所示的长方体中，用符号表示两棱的位置关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对．
3．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作：
(1)过点作的平行线；
(2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点．
【经典例题二 立体图形中平行的棱】
【例2】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在长方体中，与平行的棱是 ．
3．如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．

【经典例题三 用直尺、三角板画平行线】
【例3】小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
1．已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（ ）
A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条
2．．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）

3．如图，点P是的边上的一点．
(1)过点M画的平行线，交于点N；
(2)过点P画的垂线，交于点C；
(3)点C到直线的距离是线段 的长度．
(4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）．
【经典例题四 平行公理的应用】
【例4】数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
1．已知直线，，则下列结论正确的是（　　）
A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行
C．直线a与c相交 D．直线a与b相交
2．下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有 ．（填序号）
3．如图，将一张长方形的硬纸片对折，是折痕，把面平摊在桌面上，另一个面不论怎样改变位置，总有与平行，请你说出其中的道理．

【经典例题五 平行公理推论】
【例5】数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点．
画图操作：
第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线．
第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线．
观察发现：．
上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（ ）
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
A． B． C． D．
1．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．平行于同一条直线的两直线平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
2．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是
3．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”．
(1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
(2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？
(3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？
【经典例题六 同位角相等两直线平行】
【例6】如图，下列条件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
1．如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（ ）度

A． B． C． D．
2．能判定的同位角有 组．
3．如图，点、分别在的边、上，过点作于点，过点作于点，点在上，连接，，试说明．
【经典例题七 内错角相等两直线平行】
【例7】如图，下列条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
1．如图，由以下条件可以得到的是（　　）．
A． B． C． D．
2．如图，，平分，则与的位置关系是 ．
3．如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【经典例题八 同旁内角互补两直线平行】
【例8】．如图，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）．

3．小明想知道作业纸上两条相交直线，所夹锐角的大小（如图1）．但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．小明设计了如下方案（如图2）：

①作直线分别交，于点，，以点为顶点，为一边，在直线的右侧作；
②测量的度数即可得到直线，所夹锐角的大小．
问题1：你认为小明的方案可行吗？并说明理由．
问题2：你还有其他方法吗？请在图1中画图说明．（测量工具：直尺、量角器）
【经典例题九 垂直于同一直线的两直线平行】
【例9】如图，在直角三角形中，，下列条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
1．在同一平面内有四条不同的直线a，b，c，d，若，，，则c，d的位置关系为（ ）
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．重合
2．如图，点E在AC的延长线上，给出的四个条件：

（1）；（2）；（3）；（4）能判断的有 个.
3．完成下面证明
如图，已知在同一平面内的三条直线a，b，c，a⊥b，a⊥c；求证：．
证明：∵a⊥b
∴∠1=90°（ ）
同理∠2=90°
∴（ ）=（ ）
∴．（ ）．
【经典例题十 两直线平行同位角相等】
【例10】如图，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
1．如图，直线，点在直线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，点D在的边上，，且的一边与平行，则的度数为 ．
3．如图，若，请说出和之间的数量关系，并说明理由．
解：
理由如下：
∵（已知），
___________（___________），
∵（___________），
（___________），
（___________）．
【经典例题十一 两直线平行内错角相等】
【例11】如图，，若．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．如图，直线，点A、D在直线上，分别过点A、点D作于点B，于点C，连接，将沿折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，和相交于点F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是 ．
3．将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线，现将三角尺绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，易知，．若，边与边平行，求满足条件的t的值．
t【经典例题十二 两直线平行同旁内角互补】
【例12】如图，，与的角平分线相交于点E，，则（ ）
A． B． C． D．
1．如图，把长方形沿对折，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，有三条两两相交的公路，从A地测得公路的走向是北偏东，从B地测得公路的走向是北偏西，若的长分别为c千米、a千米、b千米，点P是直线上任意一点，则线段的最小值为 千米（用含a、b、c的式子表示）．
3．如图，，E是上一点，交于点F，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，，求的度数．
【经典例题十三 根据平行线的性质探究角的关系】
【例13】如图，直线，M、N分别在直线，上，H为平面内一点，连接，，延长至点G，和的角平分线相交于点E．若，则可以用含α的式子可以表示为（　　）
A． B． C． D．
1．如图，已知，记，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论：
①；
②；
③；
④∠；其中正确的有 ．（请填写序号）
3．【提出问题】睿睿在学行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：

【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，．
【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明；
【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系．
①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明；
②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由．
【应用拓展】
（3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由．
【经典例题十四 根据平行线的性质求角的度数】
【例14】如图所示，直线，直线与相交于点，与直线相交于点，于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
1．生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于平行于地面，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线与相交于点，在的平分线上有一点，，当时，的度数是________．
3．【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）；
【拓广探究】
（3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）；
（5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”）
【经典例题十五 平行线的性质在生活中的应用】
【例15】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（ ）
A． B． C． D．
1．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（ ）

A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒
2．如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ．
3．阅读材料，解决问题：
【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律．
（1）在图1中，证明；
【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，．
（2）请问和有什么关系？并说明理由；
（3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）．
【经典例题十六 根据平行线的判定与性质求角度】
【例16】如图所示，，则等于（ ）
A． B． C． D．
1．如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ．
3．如图，已知．
如
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【经典例题十七 根据平行线的判定与性质证明】
【例17】将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（ ）
A． B． C． D．
1．如图，已知，，则下列结论：①；；；．正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
2．如图，在线段的延长线上，，，，连接交于，的余角比大，为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论是 ．
3．如图，平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数；
【经典例题十八 求平行线间的距离】
【例18】新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
1．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
2．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ．
3．如图，，平分，平分，．
(1)问：与平行吗？试说明理由．
(2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离．
【经典例题十九 利用平行线间距离解决问题】
【例19】（数学知识的综合应用）下列说法中，正确的有（ ）个．
①0既不是正数，也不是负数．
②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18 米．三人中跳得最远的是小军．
③不论a 取什么值，不可能等于．
④如图，两条平行线之间梯形的面积最大．

A．1 B．2 C．3 D．4
1．我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）

3．课题学行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用
阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．

(1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：；
(2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：；
(3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积．
【经典例题二十 平行线综合】
【例20】已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和）
(1)如图1， 求证：；
(2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：；
(3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数．
1．已知，直线分别与直线交于点G、F，平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点K在直线上，过点K作直线与直线交于点H，与交于点P，平分交于点Q，直接写出与的数量关系：______；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作平分交于点T，连接交于点L，交于点O，交于点W，过点H作于点I，满足．若，，求线段的长度．
2．长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．

(1)如图1，若时，则________°；
(2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由；
(3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°．
3．如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．

(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数；
(3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
1．如图，下列选项不能得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，在四边形中，是它的一条对角线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　）
A．21个 B．22个 C．23个 D．24个
4．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（ )
A．32 B．34 C．35 D．36
6．下列说法正确的有（填序号）： ．
①同位角相等；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
7．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ．
8．如图，填空：
（1）若，则 ，理由： ．
（2）若，则 ，理由： ．
9．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ．
10．如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）

11．如图，F是直线上一点，按要求画图：
(1)过点F作直线的垂线段，垂足为E；
(2)过点W作直线的平行线，交线段于点M．
(3)过点A作线段的垂线，垂足为N；
12．如图，与相交于点，，且平分．判断直线是否平行？并说明理由．
13．如图，在四边形中，，，，分别是，的平分线．
(1)与有什么关系，为什么？
(2)，有什么位置关系？请说明理由；
14．已知：如图 ， ．求证： ．（请把以下证明过程补充完整）
证明： ∵ （已知）
又∵（ ）
∴ （等量代换）
∴（同位角相等， 两直线平行）
∴（ ）
∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ （ ）
∴．（ ）
15．如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）．
(1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数；
(2)如图②，若点P在直线上方，且，．
①求的度数；
②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数．
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