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平行线判定基础题专项训练4
一、解答题
1．如图，CA是∠BCD的平分线﹐∠A=30°，∠BCD=60°，求证：AB∥CD.
2．如图，已知∠1=∠2　求证：a∥b.
3．如图，点为直线上一点，，平分，求证：ABCD.
4．如图所示，已知∠1是它的补角的3倍，∠2等于它的余角，那么AB//CD吗？为什么？
5．如图所示，已知∠COF+∠C=180°，∠C=∠B，说明AB∥EF的理由．
6．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OD平分．∠EOB，OF平分∠AOE，GH⊥CD，垂足为点H，GH与FO平行吗？说明理由．
7．如图所示，∠ABC=∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，试找出图中的各组平行线，并说明理由．
8．如图直角三角形ABC中， ， 平分 ， ，求证： .
9．已知：如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2=90°．求证：AB//CD．
10．如图，E、F分别在AB、CD上，∠1=∠D，∠2与∠C互余，EC⊥AF．求证：AB∥CD．
11．如图所示，已知，．求证．
12．如图，点E，F在分别在直线AB，CD上，∠AEF＝70°，EM平分∠AEF交CD于点P，点N在直线CD上，且PN＝PM，连接MN，若∠PMN＝72.5°，判断直线AB与CD是否平行？并说明理由．
13．如图， ， 平分 交 于点 ， 平分 ．求证： ．
14．如图，已知∠1＝∠2，∠BAD＝∠BCD，写出图中的平行线，并说明理由．
15．已知：如图， ， ， 与 互补，求证：
16．如图，F是上一点，于点是上一点，于点，求证：．
17．如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，问AD与BE平行吗？说说你的理由．
18．已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理．
19．已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3。
求证：AB∥DC
20．如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=∠2，求证：AB∥CD;
21．如图，∠CAD=60°，∠B=30°，AB⊥AC，求证: AD∥BC．
22．如图，点在上，，，于点．问吗？为什么？
23．如图，，，则与平行吗？为什么？
24．如图，当于点，于点，且时，与平行吗？说明理由．
25．如图，潜望镜中的两个镜片AB和CD是平行的，光线经过镜子反射时，∠AEN＝∠BEF，∠EFD＝∠CFM，那么进入潜望镜的光线NE和离开潜望镜的光线FM是平行的吗？说明理由．
26．如图， 分别与 ， 相交于点E，F， ，试说明 .
答案解析部分
1．【答案】证明：∵CA是 的平分线，
∴
∵∠A=30°，
∴∠A=∠ACD，
∴AB//CD.
【解析】【分析】根据角平分线的定义求得∠ACD=30° ，进而得出∠A=∠ACD，再根据内错角相等，两直线平行即可判定AB∥CD.
2．【答案】证明：∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴a∥b.
【解析】【分析】由对顶角的性质可得∠2=∠3，结合已知条件可得∠1=∠3，然后利用平行线的判定定理进行证明.
3．【答案】证明：平分，
，
，
，
∴.
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ACB=∠BCD，由已知条件可知∠B=∠ACB，则∠B=∠BCD，然后根据平行线的判定定理进行证明.
4．【答案】解：AB∥CD．理由如下：
∵∠1=3(180°-∠1)，∴∠1= 135°．
∵∠2=90°-∠2．∴∠2=45°，
∴∠1+∠2=135°+45°= 180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【解析】【分析】∠1是它的补角的3倍，可求出∠1的度数；再利用余角的定义可求出∠2的度数；由此可推出∠1+∠2=180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
5．【答案】解：∵∠COF+∠C= 180°，
∠COF=∠BOE，∠C=∠B．
∴∠BOE+∠B= 180°，
∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
【解析】【分析】利用对顶角相等∠COF=∠BOE及∠C=∠B，可得到∠BOE+∠B= 180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
6．【答案】解：GH与FO平行．
理由：∵OD平分∠EOB，
∴∠DOE= ∠BOE
∴OF平分∠AOE，
∴∠EOF= ∠AOE，
∴∠FOD=∠DOE+∠EOF= (∠BOE+∠AOE)= 90°．
∵GH⊥CD．∴∠GHO=90°．∴∠GHO=∠FOD，
∴GH∥FO(同位角相等，两直线平行)．
【解析】【分析】利用角平分线的定义可证得∠DOE= ∠BOE∠EOF= ∠AOE，由此可求出∠FOD的度数；再利用垂直的定义去证明∠GHO=∠FOD；然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论.
7．【答案】证明：∵∠ABC=∠DEC，
∴AB∥DE；
∵BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，
∴∠ABC=2∠CBP，∠DEC=2∠CEF，
∴∠CBP=∠CEF，
∴BP∥EF.
图中的平行线有：AB∥DE，BP∥EF.
【解析】【分析】利用同位角相等，两直线平行，可得到AB∥DE；利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠CBP，∠DEC=2∠CEF，由此可推出∠CBP=∠CEF，利用同位角相等，两直线平行，可推出BP∥EF.
8．【答案】证明： 为直角三角形且 ，
，
∵ 平分 ，
，
且 ，
∴∠EAD+∠CAF=180°-∠CAB=90°
∴
，
，
∴CE∥FD.
【解析】【分析】 根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠BCA=60°，由角平分线的概念可得∠ECA=30°，结合已知条件求出∠EAD+∠CAF=90°，推出∠ECA=∠CAF，最后利用平行线的判定定理证明即可.
9．【答案】证明：∵PM⊥EF（已知），
∴∠APQ+∠2=90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠APQ=∠1（同角的余角相等）
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】先证明∠APQ+∠2=90°，再结合∠1+∠2=90°，可得∠APQ=∠1，从而得到AB//CD。
10．【答案】证明：∵EC⊥AF，
∴∠1+∠C=90°，
又∵∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠D，
∴∠2=∠D，
∴AB//CD．
【解析】【分析】根据等角的余角相等可得∠1=∠2，再结合∠1=∠D，可得∠2=∠D，从而得到AB//CD。
11．【答案】证明：∵
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵
∴
∴（内错角相等，两直线平行）-
【解析】【分析】根据可得，再结合可得，从而得到。
12．【答案】解： AB//CD，
理由：∵PN＝PM，∠PMN＝72.5°，
∴∠PNM＝∠PMN＝72.5°，
∴∠MPN＝35°，
∴∠EPF＝∠MPN＝35°，
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠AEF＝35°，
∴∠AEM＝∠EPF，
∴AB//CD．
【解析】【分析】先利用等边对等角的性质和三角形的内角和求出∠MPN＝35°，再利用角平分线的定义可得∠AEM＝∠AEF＝35°，因此∠AEM＝∠EPF，从而得到AB//CD。
13．【答案】证明： ，
．
平分 ， 平分 ，
， ．
．
．
【解析】【分析】由平行线的性质可得 ，由角平分线的定义可得 ， ，即得，根据同位角相等两直线平行即证结论 ．
14．【答案】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
∵∠BAD=∠BCD，∠1=∠2，
∴∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】根据内错角相等，两直线平行，得出AB∥CD，因为∠BAD=∠BCD，∠1=∠2，得出∠DAC=∠BCA，即可得出AD∥BC。
15．【答案】证明：
与 互补
【解析】【分析】两条垂直线可以推出DC和FH平行，可以得到，找到一对内错角相等从而证明题目.
16．【答案】证明：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
又∵
∴，即
∴
【解析】【分析】先证明可得，再结合，可得，即，从而 。
17．【答案】解：AD∥BE，
理由是：∵AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠3=∠E+∠CAF，∠4=∠ACD+∠CAF，∠3=∠4，
∴∠1=∠E=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BE．
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠ACD，根据三角形外角性质得出∠3=∠E+∠CAF，∠4=∠ACD+∠CAF，求出∠2=∠E，根据平行线的判定得出即可。
18．【答案】解：AD//BC．
理由：∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC，
∵∠B＝∠C，∠EAC是三角形ABC的外角，
∴∠EAC＝∠B+∠C，
∴ ，
∴∠CAD＝∠C，
∴AD//BC．
【解析】【分析】根据AD是△ABC外角∠EAC的平分线，可得∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC，利用三角形的外角性质，∠EAC＝∠B+∠C，得出∠CAD＝∠C，即可得出结论。
19．【答案】证明；∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC (已知)，
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ADC (角平分线的定义)，
∵∠ABC=∠ADC (已知)，
∴∠1=∠2 (等量代换)，
∵∠1=∠3 (已知)，
∴∠2=∠3 (等量代换)，
∴AB∥DC (内错角相等，两直线平行)．
【解析】【分析】 由角平分线的定义可得∠1= ∠ABC，∠2= ∠ADC ，由∠ABC=∠ADC，∠1=∠3，可得∠3=∠2， 根据内错角相等，两直线平行即证结论.
20．【答案】解： ∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AB∥CD．
【解析】【分析】由等量代换可得∠2=∠3，利用同位角相等，两直线平行即得AB∥CD.
21．【答案】证明：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=60°+90°+30°=180°
∴ AD//BC
【解析】【分析】证出∠B+∠BAD=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出AD∥BC.
22．【答案】解：，理由如下．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】先利用角的运算求出 ， ，再根据内错角相等，两直线平行可得 。
23．【答案】解：与平行，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】先利用同旁内角互补可得EF//DC，再利用内错角相等可得AB//DC，最后利用平行线的传递性可得AB//EF。
24．【答案】解：．
理由如下：
∵于点，于点，
∴，
又，
∴．
∴．
【解析】【分析】平行.理由：由垂直的定义可得，从而求出，根据平行线的判定即证.
25．【答案】解：平行．
理由如下：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠EFD.
∵∠AEN＝∠BEF，∠EFD＝∠CFM，
∴∠AEN＝∠BEF＝∠EFD＝∠CFM，
∴180°－∠AEN－∠BEF＝180°－∠EFD－∠CFM，
即∠NEF＝∠EFM，
∴NE∥FM.即进入潜望镜的光线NE和离开潜望镜的光线FM是平行的．
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠BEF＝∠EFD，再利用角的运算可得∠NEF＝∠EFM，所以NE//FM。
26．【答案】解：如图
法一： （对顶角相等）
（等量代换）
（同旁内角互补，两直线平行）
法二：
（邻补角的定义）
（同角的补角相等）
（内错角相等，两直线平行）
【解析】【分析】方法一：根据对顶角的性质可得∠2=∠EFD，根据∠1+∠2=180°可得∠1+∠EFD=180°，然后根据平行线的判定定理进行证明；
方法二：根据邻补角的性质可得∠2+∠EFC=180°，结合已知条件可得∠1=∠EFC，然后根据平行线的判定定理进行证明.
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