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专题 与平行线有关的几何压轴题
1．已知直线和被直线所截．
(1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？
(2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？
(3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？
【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
（1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可．
（2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可．
（3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可．
【详解】（1）解：当时，．理由如下：
平分，平分
．
，
，
．
（2）解：当时，．理由如下：
平分，平分，
．
，
，
．
（3）解：当时，．理由如下：
平分，平分，
．
，
，
．
2．已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点．
(1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析；(2)不成立，，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可；
（2）同（1）即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
过点作，
，
，
，，
，
．
（2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下：
过点作．
，
∴
，
，
，即．
3．如图，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，，，，点在线段上．
(1)若，，则_______．
(2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由；
(3)应用（）中的结论解答以下问题：如图，点在处北偏东的方向上，在处的北偏西的方向上，求的度数；
(4)如果点在直线上且在，两点外侧运动时，其他条件不变，试探究，，之间的关系（点和，两点不重合），直接写出结论即可．
【答案】(1)；(2) ∠3=∠1+∠2，理由见解析；(3)；(4)或．
【分析】（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解；
（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解；
（）根据（）中的结论即可求解；
（）分当点在的外侧与当点在的外侧两种情况进行分类讨论，然后根据平行理推论，平行线的性质即可求解；
此题考查了平行线的判定及性质，掌握作平行线的方法、平行线的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）过作，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，故答案为：；
（2）∠3=∠1+∠2，理由，
过作，
∴，
∴，，
∴，即：∠3=∠1+∠2；
（3）由题意可得：，，
由（）结论可得：；
（4）当点在的外侧时，如图， 过作， 交 于，
∴，
∴，，
∵
∴；
当点在的外侧时，如图， 过作， 交 于，
∴，
∴，，
∵
∴．
4．如图，平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数；
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
（2）过作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案；
（3）设，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，得出方程，求出即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）证明：过作，如图，
，
，
，，
，
即；
（3）解：设，
，，
，
由（1）知：，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
解得：，即．
5．如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）．
(1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数；
(2)如图②，若点P在直线上方，且，．
①求的度数；
②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数．
【答案】(1)；(2)①；②
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案；
（2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案；
②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案．
【详解】（1）解：过点P作，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解:①过点P作，
，
，
，
，
；
②过点G作，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
，
，
．
6．已知直线，点A是上的动点，点B在上，点C、D在上，，的平分线交于点E（不与点B，D重合）．
(1)若点A在点B的左侧，，，过点E作，如图① 所示，求的度数．
(2)若点A在点B的左侧，，，如图② 所示，求的度数：
(3)若点A在点B的右侧，，，如图③ 所示，求的度数．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】此题考查了平行线的性质和判定、角平分线的相关计算．
（1）根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数；
（2）根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数；
（3）过点E作，根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数．
【详解】（1）解：
∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合）
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合）
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）过点E作，
∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合）
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
7．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）．
(1)求证：．
小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整
证明：如图，过点作直线，
（①）
②（平行于同一条直线的两条直线平行）
③
又
(2)若，请直接写出与的数量关系：．
(3)若的度数为，且，则与的数量关系为（用含的式子表示）．
(4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数．
【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；；(2)；(3)；(4)
【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线得出平行线解答．
（1）根据平行线的性质和判定，两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可；
（3）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可；
（4）当时，的值最小，进而利用结论解答即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作直线，
，
两直线平行，内错角相等，
，
平行于同一条直线的两条直线平行，
，
又，
；
故答案为：两直线平行，内错角相等；；；
（2）如图，过点作直线，
，
两直线平行，同旁内角互补，
，
平行于同一条直线的两条直线平行，
，
又，
，
；
故答案为：；
（3）如图，过点作直线，
，
两直线平行，同旁内角互补，
，
平行于同一条直线的两条直线平行，
，
又，
，
；
故答案为：；
（4）当时，的值最小，
，，
，
，
，
．
8．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：；
(2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系；
(3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)．
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质：
（1）过点P作，则，进而得，则，由此即可得出结论；
（2）根据得，则，再根据由（1）的结论得，由此可得之间的数量关系；
（3）由（2）的结论得，由得①，由得，再由（2）的结论得，则②，然后由即可得出的值．
【详解】（1）证明：过点P作，如图1所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：，理由如下：
如图2所示：
∵，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∴；
（3）解：如图3所示：
由（2）的结论得：，
∵，
∴①，
∵，
∴，
由（2）的结论得：，
∴②，
得：．
9．【问题发现】
如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点作，
，，
（______）．
（______）．
（辅助线作法），
______（______）．
______（等量代换）．
即．
【拓展探究】
如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______．
【解决问题】
如图③，，，求出的度数．
【答案】【问题发现】：见解析；【拓展探究】：；【解决问题】：
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解本题的关键；
问题发现：过点作，再根据题干提示逐一完成推理依据与推理过程即可；
拓展探究：过作，而，可得，再利用平行线的性质可得结论；
解决问题：过作，可得，再进一步利用平行线的性质可得答案．
【详解】问题发现：
证明：过点作．
，，
（平行公理推论）．
（两直线平行，内错角相等）．
（辅助线作法），
（两直线平行，内错角相等）．
（等量代换）．
即．
拓展探究：
解：如图，过作，而，
∴，
∴，，
∴，
∴．
解决问题：
解：过作．
，
．
，．
．
，
．
10．如图，已知直线，M，N分别是直线，上的点．
(1)在图1中，判断，和之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)在图2中，请你直接写出，和之间的数量关系（不需要证明）；
(3)在图3中，平分，平分，且，求的度数．
【答案】(1)，见解析；(2)；(3)
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
（1）过点E作直线，利用平行线的性质即可解决问题．
（2）过点E作直线利用平行线的性质即可解决问题．
（3）利用（1）（2）结论构建方程解决问题即可．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图1中，过点E作直线．
，
，
又，
．
．
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点E作直线．
，
，
又，
,
,
．
（3）解：平分，
，
平分，
设，
由（1），得，
由（2），得，
又，
，
，
即．
．
11．已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系；
(3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________．
【答案】(1)，理由见详解；(2)；(3)
【分析】本题主要考查平行线的性质和平角的性质，
（1）根据题意得，则，．结合，得．
（2）由（1）得和 ．结合题意得，．利用平角可得，，则即可；
（3）过点E，F，G分别作的平行线，，，则，有，，，．则有，即．
【详解】（1）解： ．
理由：∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，
同理可得．
∵，，
∴，．
∵，，
∴，，
∴
，
则．
（3）解：．
如图，过点E，F，G分别作的平行线，，，
则，
∴，，，．
∵，，，
∴，
∴，即．
12．今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且．
(1)______°（用含t的式子表示）；
(2)当时，求的度数；
(3)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)是定值；
【分析】本题主要考查平行线的性质和余补角和，
（1）根据题意得，则，
（2）过点C作，则，当时，，则，利用角度和差有即可；
（3）设A灯转动时间为t秒，则，，根据平行线的性质得，结合垂直得，则有即可．
【详解】（1）解：根据题意得，则，
故答案为：；
（2）解：过点C作，如图，
则，
当时，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设A灯转动时间为t秒，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即的比值是一个定值，这个定值为．
13．问题背景：如图①，已知，点P的位置如图所示，连接，求证：．
类比探究：如图②，已知点D在直线上，线段与相交于点F，点B在点A右侧．若，则的度数为 °．
拓展延伸：如图③，已知，若与的角平分线相交于点F，直接写出与之间的数量关系．
【答案】问题背景：见解析；类比探究：125；拓展延伸：
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线段，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
问题背景：过点P作，根据平行于同一直线的两直线平行，得到，再根据两直线平行，内错角相等，得到，，进而得到，据此进行填空即可得到答案；
类比探究：过点F作，根据平行线的性质得到，，进而得到，，结合图形即可得到答案；
拓展延伸：由（2）同理得：，根据角平分线的定义，得到，过点F作，根据平行线的性质，得到，，进而得到，即可得到答案．
【详解】问题背景：解：过点P作，
∵AB∥CD，
，
，，
．
∴；
类比探究：解：如图，过点F作，
，，
，，
，，
，
故答案为：；
拓展延伸：解：由（2）同理得：，
，分别是，的平分线，
，，
，
如图，过点F作，
则，
，
，
，
，
．
14．问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（不与点重合），，分别平分和，分别交射线于点，．
探索发现
“飞翔小组”经过探索后发现：
（1）当时，请说明：；
（2）不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，当，则 ______ 度，当时，则 ______ 度；（用含的代数式表示）
操作探究
（3）“超越小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；；（3），见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得，从而可求得，结合角平分线即可求得的度数；
（2）由角平分线的定义可得，，从而得到，再由平行线性质得，从而可求解；
（3）由角平分线的定义得，结合平行线的性质得，，即可得解．
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，分别平分和，
，，
，
．
（2），分别平分和，
，，
，
，
，
，
，
当时，
则，
当时，
则；
故答案为：；．
（3），理由如下：
分别平分，
，
，
，，
．
15．如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点．
(1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系．
(2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______．
(3)若，的平分线交于点Q，且，则______．
【答案】(1)，证明见详解；(2)；(3)或
【分析】本题考查了平行性的性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识．
（1）作，证明，即可得到，，根据等量代换即可证明；
（2）作，证明，即可得到，，从而证明；
（3）分点P在线段左侧和点P在线段右侧两种情况，分别画出图形，结合（1）、（2）结论，根据角平分线的定义进行角的代换即可求解．
【详解】（1）解：如图①，作，
图①
∵
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图②，作，
图②
∵
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（3）解：如图③，当点P在线段左侧时，
图③
由（2）得，，
∵，
∴，
∵、分别是，的平分线，
∴，
∴由（1）得；
如图④，当点P在线段右侧时，
图④
由（1）得，，
∵，
∴，
∵、分别是，的平分线，
∴，
∴由（1）得；故答案为：或．
16．数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点，
(1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论；
(2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______．
(3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)详见解析；(2)；(3)，证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1），过点P作，则，由平行线的性质得到，据此根据角之间的关系可得答案；
（2）根据，即可得到答案；
（3）同理可得过点P作，则，可得，，则，再由角平分线的定义得到；由平角的定义得到，则．
【详解】（1）证明：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：猜想，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（3）解：，证明如下；
同理可得
过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
17．线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上．
(1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是：
如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程；
(2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线．
①依题意补全图3；
②判断与的位置关系，并证明；
(3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②，证明见解析
(3)当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义：
（1）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补分别求出的度数即可得到答案；
（2）①根据题意作图即可；②由平行线的性质得，由角平分线定义得，，进而得，最后根据平行线的判定定理得出结论便可；
（3）当点在直线上，位于与两平行线之外时，．根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，即得．
【详解】（1）解：如图2，过点作，
∵，，
∴，
∴,，
∴；
（2）解：①如图所示，即为所求；
②，证明如下：
∵，
∴，
∵射线分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由如下：
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
．
18．（1）如图1，，，，求的度数；
（2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，请写出与x，y之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出与x，y之间的数量关系．
【答案】（1）（2），理由见解析（3）或
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握相关性质，应用分类讨论思想解题是解题关键
（1）通过平行线性质可得，再代入，，可求即可；
（2）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在的延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点P作，
，
，
，
∵，，
，
；
（2），
理由：如图2，过P作交于E，
，
，
，
；
（3）①如图所示，当P在的延长线上时，；
过点作
∴，
，
；
②如图所示，当P在延长线上时，；
过点作，
，
，
，
；
综上所述：或．
19．如图（1），．
(1)求证：；
(2)在（1）的条件下，如图（2）若，，、分别平分、，求的度数；
(3)在（1）的条件下，如图（3），作，与的平分线交于点，若的余角等于的补角，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，余角、补角的定义以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）首先过点作，由平行线的性质可得，又由，即可证得，则，继而证得结论；
（2）过点作，可得，由（1）得，根据平行公理可以得到，根据平行线的性质可以得到，由，，、分别平分、可以得出，，由可以得出答案；
（3）首先设，，过点作，过点作，根据平行线的性质，可得，，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案．
【详解】（1）证明：如图，过点作，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，
，
由（1）得
，
，
，
，
、分别平分、，
，，
，，
，，
；
（3）解：设，，
，与的平分线交于点，
，，，，
如图，过点作，过点作，
，
，
，，，，
，，
的余角等于的补角，
，
解得：，
．
20．【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由；
【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________；
【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究] ；[延伸]或
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
[发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行；
[探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出；
[延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果．
【详解】解：[发现]平行，理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
[探究]如图，过M作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
[延伸]如图，若平分，
∴，
同上可得：，
∴，
∴，即；
若平分，
∴，
同上可得：，
∴；
综上：与之间的数量关系为或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 与平行线有关的几何压轴题
1．已知直线和被直线所截．
(1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？
(2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？
(3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？
2．已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点．
(1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．
3．如图，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，，，，点在线段上．
(1)若，，则_______．
(2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由；
(3)应用（）中的结论解答以下问题：如图，点在处北偏东的方向上，在处的北偏西的方向上，求的度数；
(4)如果点在直线上且在，两点外侧运动时，其他条件不变，试探究，，之间的关系（点和，两点不重合），直接写出结论即可．
4．如图，平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数；
5．如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）．
(1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数；
(2)如图②，若点P在直线上方，且，．
①求的度数；
②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数．
6．已知直线，点A是上的动点，点B在上，点C、D在上，，的平分线交于点E（不与点B，D重合）．
(1)若点A在点B的左侧，，，过点E作，如图① 所示，求的度数．
(2)若点A在点B的左侧，，，如图② 所示，求的度数：
(3)若点A在点B的右侧，，，如图③ 所示，求的度数．
7．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）．
(1)求证：．
小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整
证明：如图，过点作直线，
（①）
②（平行于同一条直线的两条直线平行）
③
又
(2)若，请直接写出与的数量关系：．
(3)若的度数为，且，则与的数量关系为（用含的式子表示）．
(4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数．
8．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：；
(2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系；
(3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿．
9．【问题发现】
如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点作，
，，
（______）．
（______）．
（辅助线作法），
______（______）．
______（等量代换）．
即．
【拓展探究】
如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______．
【解决问题】
如图③，，，求出的度数．
10．如图，已知直线，M，N分别是直线，上的点．
(1)在图1中，判断，和之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)在图2中，请你直接写出，和之间的数量关系（不需要证明）；
(3)在图3中，平分，平分，且，求的度数．
11．已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系；
(3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________．
12．今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且．
(1)______°（用含t的式子表示）；
(2)当时，求的度数；
(3)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
13．问题背景：如图①，已知，点P的位置如图所示，连接，求证：．
类比探究：如图②，已知点D在直线上，线段与相交于点F，点B在点A右侧．若，则的度数为 °．
拓展延伸：如图③，已知，若与的角平分线相交于点F，直接写出与之间的数量关系．
14．问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（不与点重合），，分别平分和，分别交射线于点，．
探索发现
“飞翔小组”经过探索后发现：
（1）当时，请说明：；
（2）不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，当，则 ______ 度，当时，则 ______ 度；（用含的代数式表示）
操作探究
（3）“超越小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
15．如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点．
(1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系．
(2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______．
(3)若，的平分线交于点Q，且，则______．
16．数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点，
(1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论；
(2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______．
(3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论．
17．线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上．
(1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是：
如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程；
(2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线．
①依题意补全图3；
②判断与的位置关系，并证明；
(3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由．
18．（1）如图1，，，，求的度数；
（2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，请写出与x，y之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出与x，y之间的数量关系．
19．如图（1），．
(1)求证：；
(2)在（1）的条件下，如图（2）若，，、分别平分、，求的度数；
(3)在（1）的条件下，如图（3），作，与的平分线交于点，若的余角等于的补角，求的度数．
20．【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由；
【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________；
【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系．
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