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专题 一次函数综合题定值问题
1．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．

(1)如图1，当点是的中点时，求证：；
(2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式．
(3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．
2．如图，已知直线经过点，交轴于点，轴于点，为线段的中点，动点从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿轴正方向运动，连接，过点作直线FC的垂线交轴于点，设点的运动时间为秒．

(1)当时，求证：；
(2)连接CD，若的面积为，求出与的函数关系式；
(3)在运动过程中，直线CF交轴的负半轴于点，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
3．如图1．在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B），作，交的平分线于点N．
(1)①直接写出点C的坐标；
②求证：；
(2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求直线的解析式；
(3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论：①的长为定值；②平分，其中只有一个正确，选择并证明．
4．如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．

图1 图2
(1)求直线的表达式；
(2)若，点为直线上一点，且平分，求的坐标；
(3)如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，．
①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由；
②点从运动到的过程中，点的运动路径长为__________．
5．如图1，四边形为菱形，点为线段上的动点，，点的坐标为，点的坐标为．

(1)线段的长度；
(2)记点到轴的距离为，点到轴的距离为，令，求的最大值；
(3)如图2，当点在第一象限内运动时，将线段绕着点逆时针旋转得到等边．
①在（2）的条件下计算时，线段的长度；
②如图3，连接，判断的面积是否为定值；若是，直接写出这个定值，若不是，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在直线上，点在直线上，当t取任意实数时，代数式的值为定值，求k的值，并求出这个定值．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点（点不与，重合），以为斜边在直线的右侧作等腰．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，点是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
8．如图，直线和直线交于点，与轴的交点分别为．点为直线上一动点（不与点重合），过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点．

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若点在的边上移动，问线段与线段的和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
(3)若，请直接写出点的坐标．
9．如图1所示，在平面直角坐标系中，已知点，，垂直y轴于点C，轴于点D．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点M，若，求点M的坐标；
(3)如图3，点P是第一象限内一动点，点Q是y轴正半轴上一动点，连接，，始终保持且，连接，N为线段中点，连接和，求证：的大小为定值．
10．已知，直线分别与x轴，y轴交于点A，点B，过点A的直线交y轴于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线上的一个动点，D为线段的中点，若的面积与的面积相等，求点P的坐标；
(3)如图2，Q为直线上一点，经过点Q的直线：交x轴于点N，交y轴于点M，连接，求证：为定值．
11．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A、B两点，且直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解；直线与轴，轴分别交于C、D两点，且直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线a与b交于点E．
图1 图2
(1)点A的坐标为 ，点D的坐标为 ．
(2)图1中，连接，求的面积．
(3)如图2，将线段平移到，连接，点是线段 (不包括端点)上一动点，作直线，交直线于点，连接．当P点在线段上滑动时，是否为定值？并说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．

(1)求直线的函数表达式；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
13．如图，点是一次函数图象上一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线段，垂足为点A，B．

(1)矩形的周长是否为定值？若是请求出此定值，若不是，请说明理由；
(2)连接，的周长是否为定值？若是请求出此定值，如不是，请求出其最小值．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．
(1)填空：______，______；
(2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积；
(3)在（2）的条件下，的连线交y轴于点P，判断的值是否为定值，若不是请说明理由；若是请求出其定值．
15．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．
(1)当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；
(2)在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长；
(3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值 若是，请求出其值；若不是，说明理由．
16．如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点．
(1)当时，求点A坐标及直线l的解析式；
(2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长．
(3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
17．如图1，直线与轴、轴分别交于点和．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图2，点在轴的正半轴，连接．将沿直线折叠，点的对应点恰好落在直线上，求线段的长度；
(3)点是轴上一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
①直线与直线的交点为，在点的运动过程中，存在某些位置，使得为等腰三角形．求出当点在轴负轴上时，点的坐标；
②点到轴的距离是否为一个定值，如果是，请直接写出这个定值，如果不是，请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，A（0，8），点B是直线y＝x﹣8与x轴的交点．
（1）写出点B的坐标（　 　，　 　）；
（2）点C是x轴正半轴上一动点，且不与点B重合，∠ACD＝90°，且CD交直线y＝x﹣8于D点，求证：AC＝CD；
（3）在第（2）问的条件下，连接AD，点E是AD的中点，当点C在x轴正半轴上运动时，点E随之而运动，点E到BD的距离是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由．
19．如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点．
（1）当时，求点坐标及直线的解析式．
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设为延长线上一点，作直线，过、两点分别作于，于，若，求的长．
（3）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，如图3.问：当点在轴正半轴上运动时，试猜想的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
20．已知：在平面直角坐标系中，点，，且a，b满足．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，若，，点C在第四象限，与y轴交于点M，与x轴交于点N，连接，
①求点C的坐标；②求及点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接．两个结论：①；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明．
21．平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别是（﹣4，0）、（0，2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P是直线AB上一点，若△AOP的面积是△AOB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）若点P满足（2）的条件，且在第一象限内，如图2．点M是y轴负半轴上一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM，交x轴于点N．当点M运动时，（ON﹣OM）的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．
22．如图1，直线与轴交于点，交轴于点，直线与关于轴对称，交轴于点，
（1）求直线的解析式；
（2）过点在外作直线，过点作于点,过点作于点 ．求证：
（3）如图2，如果沿轴向右平移，边交轴于点，点是的延长线上的一点，且，与轴交于点 ，在平移的过程中，的长度是否为定值，请说明理由．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点与直线交于点，直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点在线段上，连接，过点的直线交轴负半轴于点交轴正半轴于点，请问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（3）当点在直线上运动时，平面内是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段上一点，且满足．
（1）求直线的解析式及点的坐标；
（2）如图2，为线段上一动点，连接，与交于点，试探索是否为定值 若是，求出该值；若不是，请说明理由；
（3）点为坐标轴上一点，请直接写出满足为等腰三角形的所有点的坐标．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
26．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a，b满足=0．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，点S在直线AQ上，且SO=SA．
①求点S的坐标；
②探究在直线AQ上是否存在异于点S的点R，使得△RAO的面积等于△SQO的面积，若存在求出点R的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，点B（﹣4，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰直角三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
27．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标为，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．
（1）求证：．
（2）如图（2），连接CF交AB于点H，求证：．
（3）如图（3），若，G为x轴负半轴上一动点，连接MG，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，GB-BD的值是否为定值？若是，求其值；若不是，求其取值范围．
28．（12分如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为．
（1）求直线l2的解析式；
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
29．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和与轴分别相交于点和点，设两直线相交于点，点为的中点，点是线段上一个动点（不与点和重合），连结，并过点作交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)当点在线段上运动时，四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)当点的横坐标为时，在轴上找到一点使得的周长最小，请直接写出点的坐标．
30．如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，点D在直线上，D的横纵坐标之积为2，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．
（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）对任意的实数b（b≠0），求证：AD BD为定值；
（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 一次函数综合题定值问题
1．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．

(1)如图1，当点是的中点时，求证：；
(2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式．
(3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)是定值，
【分析】（1）如图1中，取的中点，连接．只要证明即可；
（2）如图2中，作交作于，则，由四边形是正方形，可证，四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，，推出四边形不可能是菱形，推出点在点的右侧，如图3中，利用全等三角形的性质求出，可得当坐标，致力于待定系数法即可解决问题；
（3）只要证明点到的距离为定值且等于平行线之间的距离即可．
【详解】（1）证明：如图1中，取的中点，连接．
为正方形的外角平分线，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图2中，作交作于，由四边形是正方形，可证，

∴，
由（1）可知，
∴，
∴四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，，
∴四边形不可能是菱形，
∴点在点的右侧，
如图3中，

∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图4或5，连接．

∵，
∴，
∵是中点，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∵垂直平分，
∴点在直线上，
∵，
∴，
∴点到的距离为定值且等于平行线之间的距离，
∴点到的距离．
【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题．
2．如图，已知直线经过点，交轴于点，轴于点，为线段的中点，动点从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿轴正方向运动，连接，过点作直线FC的垂线交轴于点，设点的运动时间为秒．

(1)当时，求证：；
(2)连接CD，若的面积为，求出与的函数关系式；
(3)在运动过程中，直线CF交轴的负半轴于点，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据直线经过点，可得，进而求出，，得出是等腰直角三角形，得出，得出，，得出，证得，即可得出结论；
（2）同理当时，得出，由勾股定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，即可得出结果；
（3）由待定系数法求出直线的解析式，当时，可得出，因此，求出即可．
【详解】（1）证明：连接，如图

直线经过点，
，
解得：
直线，
当时，；当时，；
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
为线段的中点，
，，
，
，
在和中
，
，
（2）当时，连接，如图所示∶

由题意得：，，由（1）得：
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
得面积，
，
，
当时，连接，如图

由题意得：，，由（1）得：
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
得面积，
，
，
综上所述，与的函数关系式为：
（3）的定值为，理由如下：
当时，如图所示：

当设直线的解析式为，，
，F为线段的中点，
，
把点代入得，
解得：
直线CF的解析式为：，
当时，，
，
，
；
当时，如图所示：

同理可得：
，
综上所述，的定值为
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求直线解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关性质和判定结合一次函数的图像和性质进行解答是关键．
3．如图1．在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B），作，交的平分线于点N．
(1)①直接写出点C的坐标；
②求证：；
(2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求直线的解析式；
(3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论：①的长为定值；②平分，其中只有一个正确，选择并证明．
【答案】(1)①，②证明见解析
(2)
(3)平分成立，证明见解析
【分析】（1）①由正方形的性质结合点D的坐标可得出轴，轴，，进而可得出点C的坐标；
②在上取，连接，只要证明即可．
（2）如图2中，作于E，只要证明即可求得点N的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P的坐标，然后由待定系数法确定函数解析式．
（3）结论：平分成立．如图3中，在延长线上取，过M作于P，因为，所以只要证明即可解决问题．
【详解】（1）解：①∵四边形为正方形，点D的坐标为，
∴轴，轴，，
∴点C的坐标为．
②证明：如图1中，在上取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图2，作于点Q．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点N坐标为．
∵四边形是平行四边形，点C的坐标为，点M的坐标为，点N的坐标为，
∴点P的坐标为，即．
设的解析式为，
将点代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为．
（3）解：结论：平分成立．
证明：如图3中，在延长线上取，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
过M作于P，则，
由（2）可知，
∵，
∴，即平分．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、角平分线、余角及补角、平行四边形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）①利用正方形的性质，求出，的长；②利用全等三角形的判定定理证出；（2）利用全等三角形的性质及平行四边形的性质，找出点N，P的坐标．
4．如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．

图1 图2
(1)求直线的表达式；
(2)若，点为直线上一点，且平分，求的坐标；
(3)如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，．
①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由；
②点从运动到的过程中，点的运动路径长为__________．
【答案】(1)
(2)；
(3)①见解析，②
【分析】（1）先分别求出、两点的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）证明得，再求出直线、的解析式，联立求得，根据中点即可求解；
（3）①作，，垂足为、，分点在上方和点在下方两种情况证明在经过点且平行于轴的直线上运动，从而可得，即可得解；②当与点重合时，点与点重合，点与点重合，证四边形是平行四边形，得，当与点重合时，、、三点重合，由①得，利用全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵，的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴的坐标为，的坐标为，
设直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：过和，
∴，
解得，
∴；
（2）解：
又
，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
是的中点，
设直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：过和，
∴，
解得，
∴表达式为：，
设直线为：，
∵直线为：过和，
∴，
解得，
∴表达式为：
联立
解得，
，
设
，
解得，
∴；
（3）解：①作，，垂足为、，
（Ⅰ）当在上方时，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
， ，
，，
∴，
，
轴，
（Ⅱ）当在下方
同理证得
∴在经过点且平行于轴的直线上运动
∴；
②当与点重合时，点与点重合，点与点重合，
由①得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
当与点重合时，、、三点重合，
由①得，
∴，
∴点M的运动路径长为．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的交点，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，坐标与图形，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握一次函数的解析式，一次函数的交点，全等三角形的判定及性质以及平行四边形的判定及性质是解题的关键．
5．如图1，四边形为菱形，点为线段上的动点，，点的坐标为，点的坐标为．

(1)线段的长度；
(2)记点到轴的距离为，点到轴的距离为，令，求的最大值；
(3)如图2，当点在第一象限内运动时，将线段绕着点逆时针旋转得到等边．
①在（2）的条件下计算时，线段的长度；
②如图3，连接，判断的面积是否为定值；若是，直接写出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为
(3)①；②的面积为定值
【分析】（1）设，根据点坐标可得的长，根据含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理即可得答案；
（2）根据菱形的性质可得，，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，分和两种情况，根据，利用一次函数的性质即可得答案；
（3）利用（2）的结论可得出，根据旋转的性质及菱形的性质，利用可证明，可得，进而证明点、、在一条直线上，，可证明垂直平分，求出的长，利用勾股定理即可得答案；
②利用证明，得出，可得点的横坐标为，利用三角形面积公式即可得出的面积为定值．
【详解】（1）∵四边形为菱形，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，（负值舍去）
∵点在轴负半轴，
∴，
∴．
（2）由（1）可知：，
∴，
设直线的解析式为，
∵点的坐标为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设 ，
当时，，，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值，
当时，，，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，
综上所述：的最大值为．
（3）①如图，连接，设交于，

∵点在第一象限内，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴，
∵，
∴轴，，，
∵将线段绕着点逆时针旋转得到等边，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴点、、在一条直线上，
∵，
∴，
∴垂直平分，，，
∵，
∴，
∴．
②的面积为定值，
如图，连接、，与交于点，

∵，四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，
∵绕点旋转得，
∴是等边三角形，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，
∵，
∴点的横坐标为，
∴
∴的面积是定值，为．
【点睛】本题考查旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在直线上，点在直线上，当t取任意实数时，代数式的值为定值，求k的值，并求出这个定值．
【答案】(1)
(2)，定值为
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，是解题的关键．
（1）把点A的坐标代入直线可求得m值，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意得，，则有，然后根据代数式的值为定值即可求解．
【详解】（1）把点代入，
得，．
设直线的函数表达式为，
把点，代入，得，，
解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）∵点在直线上，点在直线上，
∴，，
∴．
∵的值为定值，
∴，
∴，．
故k的值为，这个定值为．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点（点不与，重合），以为斜边在直线的右侧作等腰．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，点是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是，．
【分析】（1）在中，令，求得点的坐标为，结合可得点的坐标为，设直线的表达式为，代入法可求解；
（2）设，在等腰中，结合点得，在中，令，得点的坐标为，求出，由建立方程求解即可；
（3）延长到点，使得，连接，，设，，易证可得 ，，依据三角形外角得到即，从而求出及，得到，进而证明，得到，可证得是等腰直角三角形得到结论．
【详解】（1）解：在中，
令，得，
∴点的坐标为，
∴，
∴点的坐标为，
设直线发表达式为，
则
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（2）设，
在等腰中，
，
∵点，，
∴，
∴，
在中，
令，得，
解得，
∴点的坐标为，
∴
，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴点的坐标为；
（3）的大小是定值，，
理由如下：
延长到点，使得，连接，，
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点坐标，勾股定理解直角三角，全等三角形的判定和性质，三角形外角及与三角形有关的角的计算；解题的关键是熟练掌握一次函数与坐标轴交点及代入法求函数解析式，运用倍长中线法构造全等三角形从而进行角的加减运算．
8．如图，直线和直线交于点，与轴的交点分别为．点为直线上一动点（不与点重合），过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点．

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若点在的边上移动，问线段与线段的和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
(3)若，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)线段与线段的和为定值，为，理由见解析
(3)点的坐标为或
【分析】（1）求出直线和直线交点，与轴的交点分别为，利用两点之间距离公式求出三边长即可得到答案；
（2）连接，如图所示，从而，再由（1）中，解方程即可得到答案；
（3）分三种情况：当点P在线段上时，由（2）中，当时，得到，从而确定直线上点的纵坐标为时，解方程即可得到点的坐标；当点P在线段延长线上时，则可得，从而可求得此时点P的坐标；当点P在线段反向延长线上时，则可得，此种情况不存在．
【详解】（1）解：是等腰三角形．
理由如下：
直线和直线交点，
，即，解得，则，
，
直线和直线与轴的交点分别为，
当时，，解得，即；当时，，解得，即；
；；，
，即是等腰三角形；
（2）解：线段与线段的和为定值，为．
理由如下：
连接，如图所示：

、、，
，
过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点，
，
由（1）知，则，解得；
（3）解：当点P在线段上时，由（2）中知，当时，得到，
直线上点的纵坐标为时，，解得，
点的坐标为．
当点P在线段延长线上时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，
直线上点的纵坐标为时，，解得，
点的坐标为；
当点P在线段反向延长线上时，则可得，则，此种情况不存在．
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数综合，涉及求直线与坐标轴交点、求直线的交点、三角形形状的判断、两点之间距离公式、等面积法、求直线上点的坐标等知识，熟练掌握一次函数图像与性质，掌握常见题型的解法是解决问题的关键．注意分类讨论．
9．如图1所示，在平面直角坐标系中，已知点，，垂直y轴于点C，轴于点D．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点M，若，求点M的坐标；
(3)如图3，点P是第一象限内一动点，点Q是y轴正半轴上一动点，连接，，始终保持且，连接，N为线段中点，连接和，求证：的大小为定值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）证明，得到，利用，即可得证；
（2）根据，分别求出直线的解析式，联立解析式，求出点的坐标即可；
（3）延长至点H，使，连接，设交于点G，可证得，从而得到，进而得到，再根据三角形外角的性质以及四边形内角和定理可得，从而得到，再由，可得，从而证得，可得到，从而得到是等腰直角三角形，即可．
【详解】（1）证明：点，，垂直y轴于点C，轴于点D，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时：，，
设直线的解析式为：，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为：，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立两个解析式得：，解得：，
∴；
（3）解：如图，延长至点H，使，连接，设交于点G，
∵N为线段中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴为定值．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，一次函数的图像和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
10．已知，直线分别与x轴，y轴交于点A，点B，过点A的直线交y轴于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线上的一个动点，D为线段的中点，若的面积与的面积相等，求点P的坐标；
(3)如图2，Q为直线上一点，经过点Q的直线：交x轴于点N，交y轴于点M，连接，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解析式直接作答；
（2）连接，将面积相等转化为求中点坐标即可，要注意考虑全面；
（3）联系方程组求出点Q的坐标，然后用勾股定理求出和的长度即可．
【详解】（1）解：∵直线分别与x轴，y轴交于点A，点B，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
设直线的解析式，直线交y轴于点
则，
解得，
∴直线的解析式．
（2）解：如图1，连接，
由题意可得，
，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴D点坐标为，且，
∴若的面积与的面积相等，
则，
∴点C为线段的中点，
则点P的坐标为，
同理，当点P在线段延长线上，点A为线段的三等分点时，的面积与的面积相等，
点P的坐标为，
综上，点P的坐标为或；
（3）证明：如图2，过点Q作于P点，
由题意可得，
点N的坐标为，点M的坐标为，且，
∴，
∴，
联立，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴为定值．
【点睛】本题为一次函数综合题，可以熟练运用待定系数法求解析式和用勾股定理求长度，会对问题进行转化是解答本题的关键．
11．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A、B两点，且直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解；直线与轴，轴分别交于C、D两点，且直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线a与b交于点E．
图1 图2
(1)点A的坐标为 ，点D的坐标为 ．
(2)图1中，连接，求的面积．
(3)如图2，将线段平移到，连接，点是线段 (不包括端点)上一动点，作直线，交直线于点，连接．当P点在线段上滑动时，是否为定值？并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标和点D的坐标；
（2）求出两条直线的交点E的坐标，根据的面积=四边形的面积的面积的面积进行计算即可；
（3）作交于G，根据平行线的性质求出即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线a上所有点的坐标都是二元一次方程的解，
∴当时，，
∴点A的坐标为：，
∵直线b上所有点的坐标都是二元一次方程的解，
∴当时，，
∴点D的坐标为：；
（2）解：连接，作轴于H，
，解得
∴点E的坐标为，
∴，
∴的面积=四边形的面积的面积的面积；
（3）解：是定值，理由如下：
如图2，作交于G，
∴
∵直线b，
∴，
∴，
由平移的性质可知，，又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵两直线的解析式是确定的，
∴两直线的夹角是确定的，不变，
∴的值不变.
【点睛】本题考查的是平移的性质、一次函数图象上点的坐标特征、两条直线的交点的求法以及平行线的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．

(1)求直线的函数表达式；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，的度数为
【分析】（1）在中，令得，得，而，得，用待定系数法可得；
（2）设，，由，，知，又，故，可解得；
（3）延长到G，使，连接，，设，，根据，有，，从而，，再证，可得，，故，即得．
【详解】（1）解：在中，令得，
∴，
∵，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
解，
∴直线BC的函数表达式为；
（2）解：设，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴；
（3）是定值，的度数为，理由如下：
延长到G，使，连接，，如图：

设，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及的待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．如图，点是一次函数图象上一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线段，垂足为点A，B．

(1)矩形的周长是否为定值？若是请求出此定值，若不是，请说明理由；
(2)连接，的周长是否为定值？若是请求出此定值，如不是，请求出其最小值．
【答案】(1)矩形的周长是定值，为20，理由如下：
(2)不是定值，有最小值为．
【分析】（1）根据一次函数图象上的点的坐标特点得到，再根据矩形周长公式进行求解即可；
（2）根据题意可得当最小即时的周长最小，利用等面积法求出最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：矩形的周长是定值，为20，理由如下：
∵点是一次函数图象上一点，
∴，
∴，
∴矩形的周长，
∴矩形的周长是定值，为20．
（2）解：不是定值，
∵，
∴当最小即时的周长最小，
设一次函数与x轴，y轴分别交于D、C，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长的最小值为，
∴的周长不是定值，有最小值为．

【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，熟知一次函数图象上的点一定满足一次函数解析式是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．
(1)填空：______，______；
(2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积；
(3)在（2）的条件下，的连线交y轴于点P，判断的值是否为定值，若不是请说明理由；若是请求出其定值．
【答案】(1)-1，3
(2)-2m
(3)不变；
【分析】（1）根据非负性列式即可求解；
（2）如图：过点M作轴于点N，然后确定AB的长以及AB边上的高，最后运用三角形的面积公式求解即可；
（3）如图：连接AP，先求出直线MB的解析式，进而求得P点坐标，即可得到OP的长度，然后再求出△ABP和△APM的面积即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴a+1=0，b-3=0
∴，．
（2）解：如图：过点M作轴于点N，
∵
∴，
又∵点在第三象限
∴
∴．
（3）解：如图：连接AP
∵，B（3,0），
∴m＜0
设直线MB的解析式为y=kx+b
∴直线MB的解析式为
令x=0可得，y=，即点P（0，），则OP=-
=
．
【点睛】本题属于一次函数与几何的综合题，主要考查了非负性的应用，求一次函数解析式、求三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
15．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．
(1)当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；
(2)在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长；
(3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值 若是，请求出其值；若不是，说明理由．
【答案】(1)A（﹣5，0），直线L的解析式为：y＝x+5
(2)
(3)PB的长是定值，定值为；理由见详解
【分析】（1）当y＝0时，x＝﹣5；当x＝0时，y＝5m，得出A（﹣5，0），B（0，5m），由OA＝OB，解得：m＝1，即可得出直线L的解析式；
（2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN＝OM，即可求出BN的长；
（3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA＝BK，EK＝OB，得出EK＝BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK＝PB，即可得出结果．
【详解】（1）∵对于直线L：y＝mx+5m，
当y＝0时，x＝﹣5，
当x＝0时，y＝5m，
∴A（﹣5，0），B（0，5m），
∵OA＝OB，
∴5m＝5，解得：m＝1，
∴直线L的解析式为：y＝x+5；
（2）∵OA＝5，AM，
∴由勾股定理得：OM，
∵∠AOM+∠AOB+∠BON＝180°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BON＝∠OAM，
在△AMO和△OBN中，，
∴△AMO≌△ONB（AAS）
∴BN＝OM；
（3）PB的长是定值，定值为；理由如下：
作EK⊥y轴于K点，如图所示：
∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，BO＝BF，∠OBF＝90°，
∴∠ABO+∠EBK＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠EBK＝∠OAB，
在△ABO和△BEK中，，
∴△ABO≌△BEK（AAS），
∴OA＝BK，EK＝OB，
∴EK＝BF，
在△PBF和△PKE中，，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK＝PB，
∴PBBKOA5．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果．
16．如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点．
(1)当时，求点A坐标及直线l的解析式；
(2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长．
(3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
【答案】(1)，直线的解析式为
(2)
(3)的长度为定值，理由见详解
【分析】（1），令，则，所以，则，可求得，即可求得直线的解析式为；
（2）由，得，即可证明，由，，，根据勾股定理求得，所以，则的长是6；
（3）作轴于点，可证明，得，，再证明，得，则的长度为定值，它的值为5．
【详解】（1），当时，则，
解得，
，
，且点在轴正半轴上，
，
将代入，得，
解得，
，直线的解析式为．
（2）如图2，于，于，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
的长是
（3）的长度为定值，
如图3，作轴于点，
和都是等腰直角三角形，且点为直角顶点，
，，，
，，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
的长度为定值，它的值为5．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
17．如图1，直线与轴、轴分别交于点和．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图2，点在轴的正半轴，连接．将沿直线折叠，点的对应点恰好落在直线上，求线段的长度；
(3)点是轴上一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
①直线与直线的交点为，在点的运动过程中，存在某些位置，使得为等腰三角形．求出当点在轴负轴上时，点的坐标；
②点到轴的距离是否为一个定值，如果是，请直接写出这个定值，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)y=-x+1；
(2)
(3)①点P的坐标为（0，1-）或（0，-1）；②是定值，为1，理由见解析
【分析】（1）设直线的函数表达式为y=kx+b，将点和代入，利用待定系数法求解；
（2）利用勾股定理求出AB的长，由折叠得，即可求出结果；
（3）①分三种情况：当PD=AD时，当PA=PD时，当AD=AP时，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求出OP的长即可得到点P的坐标；
②分点C在y轴正半轴及负半轴两种情况，利用全等三角形证明点到轴的距离等于OA即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为y=kx+b，将点和代入，得
，解得，
∴直线的函数表达式为y=-x+1；
（2）解：∵点、．
∴OA=1，OB=1，
∴，
由折叠得，
∴；
（3）解：①由旋转可得AP=AC，∠PAC=90°，
∴∠APC=∠C=45°，
当PD=AD时，∠PAD=∠APC=45°，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠BAO=∠PAD，
∴点P与点O重合；
当PA=PD时，过点D作DE⊥PB于E，过点P作PF⊥AD于F，
∵PA=PD，∠APD=45°，
∴∠DPF=∠APF=22.5°，∠ADP=∠DAP=67.5°，
∵DE⊥PB，∠ABO=45°，
∴∠BDE=45°，
∴∠PDE=67.5°，
∵∠EPD=90°-∠PDE=22.5°，∠OAP=∠PAD-∠BAO=22.5°，
∴∠EPD=∠OAP，
∵∠PED=∠POA=90°，PA=PD，
∴△PDE≌△APO，
∴PE=AO=1，DE=PO，
设OP=a，则BE=DE=a，
∴OE=1-a，PE=1，
∵∠EPD=∠FPD，∠PED=∠PFD=90°，PD=PD，
∴△PDE≌△PDF，
∴PF=PE=1，
∵∠BPF=∠ABO=45°，
∴BF=PF=1，
∴BP=BF=，
∴1+a=，
解得a=-1 ，
∴P（0，1-）；
当AD=AP时，∠ADP=∠APD=45°，
∴∠PAD=90°，
∵∠BAO=45°，
∴∠PAO=∠APO=45°，
∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
综上，点P的坐标为（0，1-）或（0，-1）；
②点到轴的距离是一个定值，
由旋转可得AP=AC，∠PAC=90°，
当点P在y轴正半轴上时，过点C作CG⊥x轴于G，则∠POA=∠CGA=90°，
∵∠PAO+∠CAG=90°，∠ACG+∠CAG=90°，
∴∠PAO=∠ACG，
∴△PAO≌△ACG，
∴CG=AO=1；
当点P在y轴负半轴上时，过点C作CH⊥x轴于H，则∠POA=∠CHA=90°，
∵∠PAO+∠CAH=90°，∠ACH+∠CAH=90°，
∴∠PAO=∠ACH，
∴△PAO≌△ACH，
∴CH=AO=1；
综上，点到轴的距离是一个定值，距离为1．
【点睛】此题是一次函数及图形问题的综合，考查了利用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，A（0，8），点B是直线y＝x﹣8与x轴的交点．
（1）写出点B的坐标（　 　，　 　）；
（2）点C是x轴正半轴上一动点，且不与点B重合，∠ACD＝90°，且CD交直线y＝x﹣8于D点，求证：AC＝CD；
（3）在第（2）问的条件下，连接AD，点E是AD的中点，当点C在x轴正半轴上运动时，点E随之而运动，点E到BD的距离是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）8，0；（2）见解析；（3）定值，
【分析】（1）令y＝x﹣8＝0，求x，即可求出B的坐标；
（2）分两类讨论，当C在线段OB上，在OA上取点E，使OE＝OC，可以证△AEC≌CBD，当C在线段OB延长线上，在OA的延长线上取一点F，使OF＝OC，证△FAC≌△BCD；
（3）此题同（2）也要进行分类讨论，即C在线段OB上运动和E在线段OB的延长线上运动，由于E为AD的中点，可以得到E到坐标轴距离相等，则OE为第一象限角平分线，过E作EH⊥BD，可以得到H为BD中点，EH为△ABD中位线，先用勾股定理求出AB长，根据中位线性质可求，当C在OB的延长线上时，同理可得到答案．
【详解】解：（1）令y＝0，则x﹣8＝0，
∴x＝8，
∴B（8，0）；
故答案为：8，0
（2）∵A（0，8），B（8，0），
∴OA＝OB＝8，
设直线BD交y轴于F点，如图1，
令x＝0，则y＝x﹣8＝﹣8，
∴F（0，﹣8），
∴OB＝OF＝8，
∴∠OBF＝45°，
∴∠CBD＝180°﹣∠OBF＝135°，
①当C在线段OB上运动时，在OA上取一点E，使OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝135°，
∴∠AEC＝∠CBD＝135°，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴OA﹣OE＝OB﹣OC，
∴AE＝CB，
∵∠ACD＝∠AOC＝90°，
∵∠EAC+∠ACO＝∠BCD+∠ACO＝90°，
∴∠EAC＝∠BCD，
在△AEC与△CBD中，
，
∴△AEC≌△CBD（ASA），
∴AC＝CD，
②如图2，当C在OB的延长线上运动时，在OA的延长线上取一点F，使OF＝OC，
∴∠AFC＝∠OCF＝45°，
又∠OBD＝135°，
∴∠AFC＝∠CBD＝45°，
∵∠ACD＝∠AOC＝90°，
∴∠OAC+∠ACO＝∠ACO+∠DCN＝90°，
∴∠OAC＝∠DCN，
∴∠FAC＝∠BCD，
∵OF＝OC，OA＝OB，
∴FA＝BC，
在△FAC与△BCD中，
，
∴△FAC≌△BCD（ASA），
∴AC＝CD，
（3）设D（m，m﹣8），
∵A（0，8），E为AD中点，
∴E（），
∴E在∠AOB的角平分线上，连接OE、AB，
∴OE平分∠AOB，
又OA＝OB，
∴OE⊥AB，
由E（），
∴直线OE的解析式为y＝x，
又直线BD的解析式为y＝x﹣8，
∴OE//BD，
∵OE⊥AB，
∴BD⊥AB，
①如图3，当C在线段OB上时，
连接EB，过E作EH⊥BD于H，
∴BE＝DE＝，
∴△EBD为等腰三角形，
又EH⊥BD，
∴H为BD中点，
又E为AD中点，
∴EH＝，
∵，
∴，
②当C在OB的延长线时，
同理可得，E到BD的距离为，
综上所述，E到BD的距离为．
【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合，包括全等三角形的判定与性质，中位线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形和等腰三角形进行推理证明
19．如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点．
（1）当时，求点坐标及直线的解析式．
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设为延长线上一点，作直线，过、两点分别作于，于，若，求的长．
（3）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，如图3.问：当点在轴正半轴上运动时，试猜想的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）的长为定值
【分析】（1）先求出A、B两点坐标，求出OA与OB，由OA= OB，求出m即可；
（2）用勾股定理求AB，再证，BN=OM，由勾股定理求OM即可；
（3）先确定答案定值，如图引辅助线EG⊥y轴于G，先证，求BG再证，可确定BP的定值即可．
【详解】（1）对于直线．
当时，．
当时，．
，．
．
．
解得．
直线的解析式为．
（2），．
由勾股定理，
．
．
．
．
．
．
在与中，
．
．
．．
（3）如图所示：过点作轴于点．
为等腰直角三角形，
．
，
．
．
．
，
为等腰直角三角形，
．
．
．
【点睛】本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB，求OM，用勾股定理求AB，再证，构造 ，求BG，再证．
20．已知：在平面直角坐标系中，点，，且a，b满足．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，若，，点C在第四象限，与y轴交于点M，与x轴交于点N，连接，
①求点C的坐标；②求及点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接．两个结论：①；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明．
【答案】（1），；（2）①C②，M（3）为定值正确，证明见解析．
【分析】（1）根据题意运用完全平方公式分解因式，根据完全平方式的非负性求得a、b的值．
（2）①CD垂直x轴于点D，全等三角形判定定理可知，求出C的坐标；
②根据点A、C的坐标，运用三角形面积公式计算得出的面积，用待定系数法求出直线AC的解析式，即可得到点M的坐标；
（3）直线BA、NM相交于点E，求出点E坐标，可证得，可得，，根据等角的余角相等，可证，是定值．
【详解】解：（1）∵，可以写成：
，
，
∴，，
∴，．
（2）①CD垂直x轴于点D，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴（AAS）
∴CD=AO=2，AD=BO=4，
∴OD=AD-AO=4-2=2，
∵点C在第四象限，
∴点C坐标为．
②，
∵将点A、C的坐标值代入一次函数可列方程：
解得：
∴直线AC的解析式为：，
∴当时，，
∴点M坐标为．
（3）为定值正确．
证明：直线BA、NM相交于点E，如图：
∵将B、C的坐标代入一次函数可列方程：
解得：
∴直线BC解析式为：，
∴点N的坐标为，
将B、A的坐标代入一次函数可列方程：
解得：
∴直线BA解析式为：，
同理可得NM的解析式为：，
∵直线BA、NM相交于点E，
∴，
解得：，
，
∴点E坐标为，
∴将A、E两点坐标代入计算可得：
，
∵，
∴AE=AB，
∵
∴，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，
∵，
∴，是定值．
【点睛】本题考查运用完全平方公式分解因式，全等三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，综合运用所学定理是解题关键．
21．平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别是（﹣4，0）、（0，2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P是直线AB上一点，若△AOP的面积是△AOB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）若点P满足（2）的条件，且在第一象限内，如图2．点M是y轴负半轴上一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM，交x轴于点N．当点M运动时，（ON﹣OM）的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）y＝x+2；（2）点P（4，4）或（﹣12，4）；（3）（ON﹣OM）的值为定值，定值为8．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）设点P（a，a+2），由三角形的面积公式可求解；
（3）过点P作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，由“AAS”可证△MPE≌△NPF，可得EM＝FN，即可求解．
【详解】解：（1）设直线AB解析式为：y＝kx+b，
由题意可得： ，
解得： ，
∴直线AB解析式为：y＝ x+2；
（2）设点P（a，a+2），
∵△AOP的面积是△AOB面积的2倍，
∴2××4×2＝×4×|a+2|，
∴a＝﹣12或4，
∴点P（4，4）或（﹣12，4）；
（3）（ON﹣OM）的值为定值，
理由如下：如图，过点P作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，
∵点P（4，4），
∴PE＝PF，
∵PE⊥y轴，PF⊥x轴，∠EOF＝90°，
∴四边形EOFP是矩形，
∴四边形EOFP是正方形，
∴EO＝OF＝PE＝PF＝4，∠EPF＝90°＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵PE＝PF，∠PEM＝∠NPF，
∴△MPE≌△NPF（AAS），
∴EM＝FN，
∴ON﹣OM＝OF+FN﹣（EM﹣EO）＝FO+EO＝8，
∴（ON﹣OM）的值为定值．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，证明EM=FN是本题的关键．
22．如图1，直线与轴交于点，交轴于点，直线与关于轴对称，交轴于点，
（1）求直线的解析式；
（2）过点在外作直线，过点作于点,过点作于点 ．求证：
（3）如图2，如果沿轴向右平移，边交轴于点，点是的延长线上的一点，且，与轴交于点 ，在平移的过程中，的长度是否为定值，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）是，理由见解析
【分析】（1）先根据对称点的特点得出C点的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线BC的解析式；
（2）首先通过等腰直角三角形的性质得出，然后证明，则有，最后利用即可证明；
（3）过点作交轴于点，首先根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出，进而可证，则有，最后利用则可证明OP为定值．
【详解】解：（1），直线与关于轴对称，交轴于点，
∴点坐标是．
设直线解析式为，
把代入得：
解得：
∴直线BC的解析式为；
（2），
,和是全等的等腰直角三角形，
，
．
又，
，
，
．
在中
，
，
；
(3)为定值，理由如下：
过点作交轴于点，
，
．
，
，
，
．
，
．
，
．
在和中，
，
，
，
为定值．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和待定系数法是解题的关键．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点与直线交于点，直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点在线段上，连接，过点的直线交轴负半轴于点交轴正半轴于点，请问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（3）当点在直线上运动时，平面内是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=3x+6；（2）是定值，；（3）存在，E（1，1）
【分析】（1）将交点代入直线，求出点的坐标，利用点，的坐标，用待定系数法求出直线的解析式；
（2）把和看作是等高不等底的两个三角形，则，即可求出点的坐标；由问题围绕着、，点、恰为直线与坐标轴的交点，则借助函数解析式，即可得出和长度，从而得的值；
（3）点在直线上运动时，只有在之间时，才能得到菱形，因而借助菱形四边相等的性质，利用坐标求出边长和的长度，令其相等，即可求出点的坐标．
【详解】解：（1）由题可将点代入直线，
得：，
解得：，
；
设直线的解析式为：，将点，代入得，
，解得，，
直线的解析式为：．
（2）是定值．理由如下：
，
，
和是等高不等底的三角形，
，
，，
的横坐标为：，纵坐标为：，即，；
设的函数解析式为：，将点代入得，，
，则，
，
令，得，则，
．
（3）存在．
如图，设上的点，则，
点的坐标为，
四边形为菱形，
，
，，
，，
，解得：，
点在第一象限，
，则，
点的坐标为．
【点睛】本题中，（1）考查了待定系数法的应用，较简单；（2）考查了函数解析式与坐标轴交点的坐标特点，体现数学的转化思想，本问关键在于从面积比入手，转化成线段比，从而得出与的长度；（3）考查了菱形的性质、在平面直角坐标系中求线段的长度等，体现了数形结合思想，考查了几何与代数的综合运用．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段上一点，且满足．
（1）求直线的解析式及点的坐标；
（2）如图2，为线段上一动点，连接，与交于点，试探索是否为定值 若是，求出该值；若不是，请说明理由；
（3）点为坐标轴上一点，请直接写出满足为等腰三角形的所有点的坐标．
【答案】（1）；（2）是定值，定值为2；（3），， ，，，，
【分析】（1）利用“待定系数法”可求出解析式，然后过点C作CF⊥OB，利用等腰三角形的性质求出点C横坐标，再利用解析式求出点C坐标即可；
（2）先利用勾股定理计算出AB、OC长，从而证明OC=BC=AC，再利用“等边对等角”得到∠CAO=∠AOC，最后利用三角形外角定理即可得到结果；
（3）分BP=BC、CP=CB、PB=PC三种情况讨论，分别进行计算即可．
【详解】解：（1）设：，
代入点、可得，
解得：，
即：，
设，如图作，
∵，，
∴，
∴，即，
将点代入可得：，
∴；
（2）是定值，定值为2．
由（1）可得，，
∴在中，，
又∵在，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）①BC=BP=时：
当点P在x轴上时，OP=或，此时，，
当点P在y轴上时，在Rt△OBP中，OP=，此时，，
②CB=CP=时：
由（2）知OC=，
∴CP=OC，此时，
③PB=PC时：
当P在x轴上时，设P(x，0)，则，，
∴，解得，
此时，
当P在y轴上时，设P(0，y)，则，，
∴，解得，
此时，
综上，，，，，，，．
【点睛】本题考查了函数解析式的求法，三角形外角定理，及等腰三角形存在性问题，需熟练掌握“待定系数法”求表达式，存在性问题注意分情况讨论．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
【答案】（1）y=﹣3x﹣3；（2）S（，﹣）， y=﹣3x+2；（3）②；定值为．
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出a、p的值，从而得到点A、P的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线AQ的解析式，设出点S的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线RS的解析式；
（3）根据点B的横坐标为-2，可知点P为AB的中点，然后求出点B得到坐标，连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，利用角角边证明△APO与△PCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AO，CG=PO，再根据△DCE是等腰直角三角形，利用角角边证明△CDG与△EDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EF，然后用EF表示出DP的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值．
【详解】（1）根据题意得，a+3=0，p+1=0，
解得a=﹣3，p=﹣1，
∴点A、P的坐标分别为A（0，﹣3）、P（﹣1，0），
设直线AP的解析式为y=mx+n，
则，
解得，
∴直线AP的解析式为y=﹣3x﹣3；
（2）根据题意，点Q的坐标为（1，0），
设直线AQ的解析式为y=kx+c，
则，
解得，
∴直线AQ的解析式为y=3x﹣3，
设点S的坐标为（x，3x﹣3），
则SR=，
SA=，
∵SR=SA，
∴=，
解得x=，
∴3x﹣3=3×﹣3=﹣，
∴点S的坐标为S（，﹣），
设直线RS的解析式为y=ex+f，
则，
解得，
∴直线RS的解析式为y=﹣3x+2；
（3）∵点B（﹣2，b），
∴点P为AB的中点，
连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴PC=PA=AB，PC⊥AP，
∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，
∴∠CPG=∠PAO，
在△APO与△PCG中，
，
∴△APO≌△PCG（AAS），
∴PG=AO=3，CG=PO，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°，
又∵EF⊥x轴，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠CDG=∠DEF，
在△CDG与△EDF中，
，
∴△CDG≌△EDF（AAS），
∴DG=EF，
∴DP=PG﹣DG=3﹣EF，
①2DP+EF=2（3﹣EF）+EF=6﹣EF，
∴2DP+EF的值随点D的变化而变化，不是定值，
②，
的值与点D的变化无关，是定值．
【点睛】本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求直线解析式，非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及关于y轴对称的点的坐标的特点，综合性较强，难度较大，需仔细分析找准问题的突破口．
26．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a，b满足=0．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，点S在直线AQ上，且SO=SA．
①求点S的坐标；
②探究在直线AQ上是否存在异于点S的点R，使得△RAO的面积等于△SQO的面积，若存在求出点R的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，点B（﹣4，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰直角三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
【答案】（1）y=﹣3x﹣6 （2）①（1，-3） ②存在，R（-1，-9） （3）答案见解析
【分析】（1）由=0，得a、p的值，即可求出AP的解析式；
（2）求得Q（2，0）及直线AQ的解析式为y=3x﹣6，可得S（1，-3） ， R（-1，-9）；
（3）如图所示作图，求得DP=PG﹣DG=6﹣EF，再来证明2DP+EF与的值.
【详解】解：（1）=0，得a=-6，p=-2，
∴A（0，-6），P（-2，0），
设AD的解析式为y=kx+b，由A（0，-6），P（-2，0），
得y=﹣3x﹣6，
∴直线AP的解析式为y=﹣3x﹣6；
（2）根据题意，点Q的坐标为（2，0），
∴直线AQ的解析式为y=3x﹣6，
∴点S的坐标为S（1，-3） ， R（-1，-9）
（3）∵点B（﹣4，b），
∴点P为AB的中点，
连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴PC=PA=AB，PC⊥AP，
∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，
∴∠CPG=∠PAO，
在△APO与△PCG中，，
∴△APO≌△PCG（AAS），
∴PG=AO=6，CG=PO，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°，
又∵EF⊥x轴，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠CDG=∠DEF，
在△CDG与△EDF中，，
∴△CDG≌△EDF（AAS），
∴DG=EF，
∴DP=PG﹣DG=6﹣EF，
①2DP+EF=2（6﹣EF）+EF=12﹣EF，
∴2DP+EF的值随点D的变化而变化，不是定值，
②==，
的值与点D的变化无关，是定值．
【点睛】此题主要考查直角坐标系与三角形的综合问题.
27．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标为，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．
（1）求证：．
（2）如图（2），连接CF交AB于点H，求证：．
（3）如图（3），若，G为x轴负半轴上一动点，连接MG，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，GB-BD的值是否为定值？若是，求其值；若不是，求其取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是，
【分析】（1）先求出A，B的坐标，再通过对称得到FB=BC且垂直x轴，从而证Rt△OAC≌Rt△FOB，得到OF⊥AC．
（2）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求出BA，BF，BH即可．
（3）过M点作MN⊥x轴于N点，MH⊥DF于H点，证明直角△MEN≌直角△MDH．
【详解】（1）证明由得 ，
．
关于AB对称，
，
．
又
．
．
，
，即．
（2）证明：在中，，
，
在中，
，
．
（3）解：GB-BD的值是定值，定值等于．
直线AB的解析式为，
点F的坐标为，直线OF的解析式为．
解方程组得，
．
过点M作轴于点N，于点H，如图
四边形MNBH是正方形，
．
又
，
，
．
在和中，
，
．
．
综上所述，GB-BD的值为定值．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合应用，解题关键是学会构建三角形全等，掌握全等三角形的性质；合理使用勾股定理进行计算．
28．（12分如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为．
（1）求直线l2的解析式；
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
【答案】（1）；（2）作图和证明见试题解析；（3）①对，OM=3．
【详解】试题分析：（1）根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；
（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；
（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM=OM，根据线段的和差进行计算OM的值．
试题解析：（1）∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴C（0，﹣3）∴直线l2的解析式为：；
（2）如图．BE+CF=EF．∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴AB=AC，∵l1与l2为象限平分线的平行线，∴△OAC与△OAB为等腰直角三角形，∴∠EBA=∠FAC，∵BE⊥l3，CF⊥l3，∴∠BEA=∠AFC=90°，∴△BEA≌△AFC，∴BE=AF，EA=FC，∴BE+CF=AF+EA=EF；
（3）①对，OM=3，过Q点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称，∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，又∵AB=AC，∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，则△QCH≌△PBO（AAS），∴QH=PO=OB=CH，∴△QHM≌△POM，∴HM=OM，∴OM=BC﹣（OB+CM）=BC﹣（CH+CM）=BC﹣OM，∴OM=BC=3．
考点：1．轴对称的性质；2．全等三角形的判定与性质．
29．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和与轴分别相交于点和点，设两直线相交于点，点为的中点，点是线段上一个动点（不与点和重合），连结，并过点作交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)当点在线段上运动时，四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)当点的横坐标为时，在轴上找到一点使得的周长最小，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)是定值，定值为8
(3)
【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标以及AC、AB、BC的长，即可得出的形状；
（2），可知四边形的面积是定值；
（3）利用轴对称的性质即可求解．
【详解】（1）由题意可知，，令，则，，
∴，则，，，则，且，
∴为等腰直角三角形．
（2）由题意知，即，连结，过点作于，于，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，平分，
∴，
∵，
∴≌，
∴，
∴，是定值．
（3）当时，，
∴，
∴，
∴，
则要使周长最小，即只需时最小，又两点之间线段最短，
∴设关于轴的对称点，
∴，令，，
∴．
【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
30．如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，点D在直线上，D的横纵坐标之积为2，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．
（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）对任意的实数b（b≠0），求证：AD BD为定值；
（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，y=x-1.
【详解】试题分析：（1）由于DE⊥y轴，DC⊥x轴，不难得出∠EDC=90°，因此要证AD平分∠CDE，需证得∠ADC或∠ADE为45°，根据直线AB的解析式可得出A（-b，0），B（0，b），因此OA=OB，即三角形OAB是等腰直角三角形，即可证得∠ADC=∠ABO=45°，由此可得证；
（2）在（1）中已经证得三角形ADC是等腰三角形，同理可得出三角形BDE也是等腰三角形，因此AD= CD，BD=DE，那么AD BD=2CD DE，而CD和DE的长，正好是反比例函数图象上D点的横坐标与纵坐标，由此可得出AD BD是个定值；
（3）如果四边形OBCD是平行四边形，需要满足的条件是OB=CD，OA=AC，可根据这个条件设B、D的坐标，然后将D点坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出D点坐标，也就得出了B点的坐标，然后用待定系数法即可求得直线的解析式．
试题解析：（1）证明：由y=x+b得A（-b，0），B（0，b）．
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴
∴∠ACD=∠CDE=90°
∴∠ADC=45°
即AD平分∠CDE．
（2）证明：∵∠ACD=90°，∠ADC=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
同理可得，△BDE是等腰直角三角形，
∴AD=CD，BD=DE．
∴AD BD=2CD DE=2×2=4为定值．
（3）解：存在直线AB，使得OBCD为平行四边形．
若OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD．
由（1）知AO=BO，AC=CD，
设OB=a（a＞0），
∴B（0，-a），D（2a，a），
∵D的横纵坐标之积为2，
∴点D在双曲线y=上，
∴2a a=2，
∴a1=-1（舍去），a2=1，
∴B（0，-1）．
又∵B在y=x+b上，
∴b=-1．
即存在直线：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形．
考点：1.一次函数综合题；2.等腰直角三角形；3.平行四边形的判定与性质．
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