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专题 一次函数综合题动点问题
1．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标；
②连接，如图2，若，求点P的坐标．
2．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且．点M是线段上的一个动点．
(1)求b的值；
(2)连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标；
(3)设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的对角线在轴上，、两点分别在第一象限和第二象限，点坐标．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，为射线上一动点(不与点和点重合)，过点作轴交直线于点设线段的长度为，点的坐标为，求与的关系式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，当点运动到线段的延长线上时，连接交轴于点，连接，，延长交于点，过作交轴于，的角平分线交轴于点，求点的坐标．
4．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究：
(1) ， ；
(2)当 且 时，；
(3)如图当垂直时，
猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点且交轴正半轴于点，已知．
(1)点的坐标是 ，直线的表达式是 ．
(2)若点为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点为线段中点，点为轴上一动点，以为直角边作等腰直角，当点落在直线上时，求点的坐标．
6．如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点．
(1)连接，求证：四边形是平行四边形；
(2)作交于，当面积为时，求点的坐标；
(3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，经过点C的直线与x轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点G是线段上一动点，连接，若把分成两个三角形，且满足，求点G的坐标；
(3)已知D为的中点，点E是平面内一点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点E的坐标．
8．如图，平面直角坐标系中，点，在直线上．动点P从点出发，沿y轴以每秒2个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线也随之移动，直线l与x轴交与点N，设点P移动的时间为t秒．

(1)__________，__________，当时，求直线l的解析式；
(2)若点N在直线的左侧，则当t为何值时；
(3)横纵坐标都为整数的点为整点，直接写出线段上有4个整点时t的取值范围．
9．已知如图，点和点分别在轴和轴上，且，．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若是等腰直角三角形，点在直线上且横、纵坐标相等，点是轴上一动点，且；
①如图1，当点运动到原点时，求点的坐标；
②是否存在点，使得点落在直线上，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)已知D点是x轴上一点，且是等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
(3)点G是线段上一动点，若直线把的面积分成的两部分，请求点G的坐标；
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与的负半轴交于点，已知．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，动点从点沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，连接，设运动时间是为秒，的面积为，求与的关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在第一象限，连接，若，求点的坐标和的值．
12．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、，且a、b、c满足，作直线、直线．

(1)求直线的解析式；
(2)如图2，过点C作直线的平行线交轴于点，点为直线上一动点，连接、，点为轴上一动点，当时，求点的坐标；
(3)如图3，点在线段上运动，连接，以为腰向上作等腰直角，，点为线段的中点，连接并延长至点，使，连接，当时，直接写出的值．
13．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与直线交于，，．
(1)求直线的解析式．
(2)点P是射线上的动点，过点P作且与交于点Q，轴垂足为点F，轴垂足为点H，当四边形为正方形时，求出正方形的边长．
(3)如图2，连接，将沿直线翻折得到．若点M为直线上一动点，在平面内是否存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出N的坐标，并把求其中一个点N的过程写出来，若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点的坐标；
(3)点为直线上的动点，过点作轴的平行线，交于点，点为轴上的一动点，且为等边三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标．
15．如图，直线与x轴、y轴分别交于点，直线与直线相交于点．
(1)求直线和的表达式；
(2)求的面积；
(3)点M为y轴上的动点，连接．当的值最小时，求点M的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点，交直线于．
(1)求点的坐标；
(2)若为等腰三角形且，求点坐标及的值；
(3)在（2）的条件下，点为线段上一动点，过点作轴于点，交于点，且，过点的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为．若，求的取值范围．
17．如图1，在平面直角坐标系中，点是函数与函数的交点．函数与轴，轴分别交于点．
(1)若二元一次方程的解为，写出交点的坐标 ；
(2)在（1）的条件下，如图2，过点作直线轴于点，若的面积是3，求和的值；
(3)如图3，若，，，点是直线上一个动点，点为直线上一个动点，当轴，且时，请直接写出的长度．
18．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和，直线经过点与点．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线与直线交于点，与直线交于点，若，求的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点，．
(1)求直线的解析式；
(2)点是线段上一动点，若直线把的面积分成的两部分，请求点的坐标；
(3)已知为的中点，点是轴上一点，当是等腰三角形时，求出点的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A．
(1)求点A的坐标及的面积．
(2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标．
21．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴、轴于点，一次函数的图像经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点．
(1)___________，___________；
(2)如图2，当点在第一象限时，过点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点．若，求点的坐标；
(3)是否存在点，使以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点．
(1)求直线的解析式；
(2)若为直线上一动点，连接，当时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，便得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由．
23．如图1，点O是坐标原点，直线：与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．

(1)求直线和的表达式；
(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知．

(1)点C的坐标是______，直线的表达式是_____．
(2)若点G为线段上一点，且满足，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点E为线段中点，点D为y轴上一动点，以为直角边作等腰直角△EDF，当点F落在直线上时，求点D的坐标．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)是直线上一动点，若，求点的坐标．
26．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 且 ．点A是直线上的一个动点．
(1)求的长和k的值；
(2)当的面积是12时， 求出点A的坐标．
(3)若点A的横坐标为6，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形 若存在．直接写出出点 P的坐标：若不存在，请说明理由．
27．如图1，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上一动点，若，求点的坐标；
(3)如图3，点为直线上一动点，当时，求点的坐标．
28．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过做轴于点，连接；
(1)求的长度；
(2)如图2，将沿射线翻折，使点落在边上的点处，折痕与交于点，连接.过点作，垂足为，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动，设点的运动时间为，求的面积与的关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交于点，在点的运动过程中，当的面积等于的面积时，求的值．
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，直线与直线，相交于点，点的横坐标为1．
(1)求直线的解析式：
(2)如图2，点是轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交于点，当时，求点的坐标．
(3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，说明理由：
30．如图，在直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点A，是的中点，动点从点A出发沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发以每秒个单位的速度沿射线方向运动以，为边构造，设点运动的时间为秒．

(1)写出点的坐标和直线的解析式．点的坐标是______，直线的解析式是______．
(2)如图，当点运动到点时，连接求证：．
(3)连结，当点落在的边上或各边所在的直线上时，求的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 一次函数综合题动点问题
1．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标；
②连接，如图2，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①或；②或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，勾股定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可；
（2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可；
②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：对于，由得：，
∴，
由得：，解得，
∴，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴，
设直线的函数解析式为，则，
解得．
∴直线的函数解析式为；
（2）解：①设，则、
如图1，过点B作于点D，
∴，，
∴，
解得，
∴M或M
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
设，则
∴，，，
∴，
解得．
∴．
当点M在y轴的右侧时，如图3，
同理可得，
综上，点P的坐标为或．
2．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且．点M是线段上的一个动点．
(1)求b的值；
(2)连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标；
(3)设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）先求出点坐标，则，再根据矩形的性质，用表示点坐标，利用待定系数法可解；
（2）根据（1）所求，结合梯形面积公式求出四边形的面积，进而求出的面积，再根据三角形面积公式求出点M的横坐标，即可得到答案；
（3）以、、、为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论，分别以，，为对角线，分别求出点坐标即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴点坐标，
∴，
，
，
∵点B的坐标为，
∴，
∴
∴点的坐标为，
把代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵三角形的面积与四边形的面积之比为，
∴，
设点的横坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：如图（1）所示，当为菱形对角线时，则点M在线段的垂直平分线上，且点M与点N关于对称
∴点M的纵坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴ ，
如图（2）所示，当为菱形边时，设点M坐标为，
由菱形的性质可得，
∴，，
∴，
∴或（舍去），
∴；
当为菱形的边时，如图，设点M坐标为，
∴，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
∴；
综上所述，点N的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查矩形的性质，菱形的性质，四边形的面积等知识，解题关键是掌握菱形的性质进行分类讨论，并且能够利用一次函数图象上点的坐标特征，用点的坐标表示线段长．
3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的对角线在轴上，、两点分别在第一象限和第二象限，点坐标．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，为射线上一动点(不与点和点重合)，过点作轴交直线于点设线段的长度为，点的坐标为，求与的关系式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，当点运动到线段的延长线上时，连接交轴于点，连接，，延长交于点，过作交轴于，的角平分线交轴于点，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据菱形的对称性即可求解；
（2）分两种情况：当时，作于点，于点，当时，作于点，于点，分别求解即可；
（3）连接交于点，在上取一点，使得，连接，作于点，延长交轴于点，连接交于点，首先证明平分，设，利用角平分线的性质构建方程求出，可得点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：菱形的对角线在轴上，
、两点关于轴对称，
，
；
（2）如图，当时，作于点，于点，
设与交于点，
，，
，即，
，
轴，，，
，，四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
当时，作于点，于点，
同理可得：，，
，
综上所述，；
（3）如图3，连接交于点，在上取一点，使得，连接，作于点，延长交轴于点，连接交于点，
，，
，
，，
，
平分，
（角平分线的性质定理，可以用面积法则证明，见下面补充说明），
设，则，，，，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
，，
，
设直线的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
联立，
解得：，
，
设直线的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
，
的横坐标为，代入中，得：，
，
，，
，
，四边形是正方形，
，
，
，
又 ，，
，
，，
，
，
，平分，
，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：
直线的解析式为
令，则，
．
补充说明，如图，平分，则，
理由：作于，交的延长线于，
平分，
，
，
．
【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图像与性质，中点坐标公式，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用这些知识．
4．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究：
(1) ， ；
(2)当 且 时，；
(3)如图当垂直时，
猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，
(3)①，证明见解析；②
【分析】（1）结合直线解析式求得点的坐标，即可获得答案；
（2）由全等三角形的性质，可得，，再根据，结合题意即可获得答案；
（3）①过作轴于，延长交延长线于，证明，由全等三角形的性质即可获得答案；②根据题意，结合等腰直角三角形的性质即可获得答案．
【详解】（1）解：对于直线，
令，则有，故，
令，则有，
解得，故，
∴，．
故答案为：1，1；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，即．
故答案为：，；
（3）解：①线段和的数量关系为，证明如下：
过作轴于，延长交延长线于，
则有，
∴四边形为矩形，，
由（1）知为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（）．
【点睛】本题是主要考查了函数和几何图形的综合应用，解题的关键是灵活运用函数性质和点的意义表示出相应的线段长度，再结合全等三角形和等腰直角三角形的性质求解．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点且交轴正半轴于点，已知．
(1)点的坐标是 ，直线的表达式是 ．
(2)若点为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点为线段中点，点为轴上一动点，以为直角边作等腰直角，当点落在直线上时，求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)存在，点坐标为或；
(3)点坐标为或．
【分析】（1）由，，可得，待定系数法求表达式即可；
（2）由，点G为线段上一点，可得，待定系数法求的表达式为；则的表达式为，联立求得，待定系数法求直线的表达式为，设，，由题意知，
分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况，根据中点坐标相同进行求解即可；
（3）由题意知，，设，如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解；①当在点上方，如图，过作于，于，证明，则，代入，求的值，可得点坐标，②当在点下方，如图，同理①，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，，点在轴正半轴上，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
故答案为：，；
（2）解：存在，理由：如图，连接，
∵，则，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线的表达式为，
联立直线和的表达式得，
，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，，
∵点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
∴分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况求解：
①当分别为对角线时，的中点坐标为，
的中点坐标为，
∴，
解得，，即；
②当分别为对角线时，的中点坐标为，
的中点坐标为，
∴，
解得，
∴；
③当分别为对角线时，的中点坐标为，的中点坐标为，
∴，同①，
综上，存在，点坐标为或；
（3）解：由题意知，，设，
如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解；
①当在点上方，如图，过作于，于，

∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴；
②当在点下方，如图，
同理①可得，∴，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
6．如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点．
(1)连接，求证：四边形是平行四边形；
(2)作交于，当面积为时，求点的坐标；
(3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)或．
【分析】()首先求出，代入，可求得，则，即可得四边形是平行四边形；
()过点作于，首先证明，则，可求得，设出的坐标，根据三角形的面积公式即可求得的纵坐标，进而求得的坐标；
()分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论：当四边形 是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；当 四边形是菱形，，在直角边上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标；
本题考查了一次函数的几何应用，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，正确根据菱形的性质求得的坐标是解题的关键.
【详解】（1）证明：如图，
∵正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，，
∴,
把代入得，，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于，
∵，四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：当四边形是菱形时，如图，
∵的纵坐标是，把代入得，，
解得，
∴的坐标是，
∴点的坐标为；
当四边形是菱形时，如图，
∵，设的横坐标是，则纵坐标是，
则，
解得或(舍去)，
∴，
∴的坐标是，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，经过点C的直线与x轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点G是线段上一动点，连接，若把分成两个三角形，且满足，求点G的坐标；
(3)已知D为的中点，点E是平面内一点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点E的坐标为或或或
【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出，设，根据得到，根据三角形的面积即可求得的值，进而求得G点的坐标；
（3）分类讨论：①当点D为直角顶点时，②当点C为直角顶点时，根据等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点，
∴令，则，解得，
令，则，
∴，，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
，解得，
∴直线的解析式为，
（2）解：如图，
∵，，，
，，
，
设，
当，即时，
由可得，
，
；
（3）解：，D为的中点，
∴，
①当点D为直角顶点时，如图，过点D作轴于点F，过点E作于点G，交x轴于点H
，
是等腰直角三角形，
，，
，
∴
，
，，
∵，，
， ， ，
， ，
，
同理可得 ，
∴点E的坐标为或
②当点C为直角顶点时，如图，过点作轴于，过点E作轴于，
同①可得，
，，
∵，，
，，，
，
，
同理可得．
综上所述，点E的坐标为或或或．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积及分类讨论思想等．在(1)中注意待定系数法的应用步骤，在(2)中利用三角形的面积公式是解题的关键，在（3）中确定出E点的位置是解题的关键．
8．如图，平面直角坐标系中，点，在直线上．动点P从点出发，沿y轴以每秒2个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线也随之移动，直线l与x轴交与点N，设点P移动的时间为t秒．

(1)__________，__________，当时，求直线l的解析式；
(2)若点N在直线的左侧，则当t为何值时；
(3)横纵坐标都为整数的点为整点，直接写出线段上有4个整点时t的取值范围．
【答案】(1)4；3；
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，一次函数图象的平移：
（1）将点代入解析式进行求解即可；
（2）根据，求出点坐标，进而求出此时直线的解析式，进而求出的值即可；
（3）分点在的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：把点，，代入，得：
，
∴，
当时，点移动的距离为，
∵动点P从点出发，
∴，即：，
把代入，得：，
∴；
故答案为：4；3；；
（2）由（1）知，，
∴，
∴，
∵点在点左侧，
∴，
把代入，得：
解得：，
∴点，
∴；
（3）由题意，可知：，
把，代入得：，
∴，
当时，，
∴，
∵线段上有4个整点，分两种情况：
当点在点左侧时，则四个整点的横坐标为：，
∴，解得：；
当点在点右侧时，则四个整点的横坐标为：，
∴，解得：；
综上：或．
9．已知如图，点和点分别在轴和轴上，且，．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若是等腰直角三角形，点在直线上且横、纵坐标相等，点是轴上一动点，且；
①如图1，当点运动到原点时，求点的坐标；
②是否存在点，使得点落在直线上，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的表达式为；
(2)①点的坐标为；②点的坐标为或．
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质等，分类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）①证明，得到、两点关于轴对称，即可求解；
②当点在点的上方时，证明，即可求解；当点在点的下方时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得，点、的坐标分别为：、，
设直线的表达式为：，
则，解得：，
则直线的表达式为；
（2）解：①点在直线上，且横纵坐标相等，设点，
又点在直线上，
，即，
故点．
当点运动到原点时，由已知可知，，
，
，
轴平分，
又，
、两点关于轴对称．
点；
②存在这样的点，理由如下：
设点，过点作轴，垂足为点，
当点在点的上方时，过点作轴，垂足为点，作轴于点，
如图所示，由（1）可知点，，
，，
，
，，
．
，，
，即点，
点在直线上，
，即．
点；
当点在点的下方时，过点作轴，垂足为，
如图所示，
同理可得：点，．
，，
，即点，
点在直线上，
，即，
点，
综上所述，点的坐标为或．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)已知D点是x轴上一点，且是等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
(3)点G是线段上一动点，若直线把的面积分成的两部分，请求点G的坐标；
【答案】(1)
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，结合点的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案
（3）求出，设，分两种情况讨论：①；②时，分别求得的值，进而求得点坐标；
【详解】（1）由得，，
，
设直线的解析式为，
，
，
；
（2）若是等腰三角形可分三种情况：
①若，
∵，
∴，
∴点．
②若，
∵，
∴，
∴，
∴点D为或．
③若，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
解得：，
∴点D为，
综上所述：点D的坐标为或或或；
（3），
，
，
设，，
①当时，，
，
，
；
②当时，
，
，
；
综上，点或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求直线的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，坐标与图形，求点的坐标等知识点，解题的关键是审清题意，注意需要分类讨论的不能遗漏所有可能的情况．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与的负半轴交于点，已知．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，动点从点沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，连接，设运动时间是为秒，的面积为，求与的关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在第一象限，连接，若，求点的坐标和的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）由题意得，再由勾股定理求出的长，即可得出答案；
（2）分两种情况：当点在线段上时，即时；当点在的延长线上时，即时；分别利用三角形面积公式计算即可得出答案；
（3）作交于，延长、交于点，在上取一点，使，作于，设，则，，由同角的余角相等、三角形内角和定理、等角对等边得出，，从而得出，由等腰三角形的性质得出，设，则，，由勾股定理建立方程得出，从而得出，证明，得出，设，则，再由等面积法求出的值，即可得解．
【详解】（1）解：，
，
，
点位于轴负半轴，
；
（2）解：当点在线段上时，即时，
此时，则，
的面积为；
当点在的延长线上时，即时，
此时，则，
的面积为；
综上所述，；
（3）解：如图，作交于，延长、交于点，在上取一点，使，作于，
设，则，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
解得：（负值舍去），
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：（负值舍去），
，
，，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质、等角对等边、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、坐标与图形、一次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
12．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、，且a、b、c满足，作直线、直线．

(1)求直线的解析式；
(2)如图2，过点C作直线的平行线交轴于点，点为直线上一动点，连接、，点为轴上一动点，当时，求点的坐标；
(3)如图3，点在线段上运动，连接，以为腰向上作等腰直角，，点为线段的中点，连接并延长至点，使，连接，当时，直接写出的值．
【答案】(1)直线解析式为
(2)点E的坐标为或
(3)的值为或
【分析】（1）由非负数的性质可求得a、b、c的值，从而得A、B的坐标，用待定系数法即可求解；
（2）由平行线的性质得，即点E与点D重合时，满足条件；当点E在x轴正半轴上时，设，由，得，从而求得点E的坐标，综合两种情况即可；
（3）连接，由题意可证明，则；连接并延长交的延长线于点H，可证明，则有，，从而得，则可得四边形是正方形，则易得，在中，利用勾股定理建立方程可求得，则可求得的长度，最后求得结果．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
∴，，
即；
设直线解析式为，把A、B的坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）解：∵，
∴，
即当点E与点D重合时，满足；
由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；

当点E在x轴正半轴上时，设，其中，如图，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
综上，满足点E的坐标为或；
（3）解：如图，连接，
∵点为线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴；
连接并延长交的延长线于点H，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，且，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：或，
即或，
在中，；
∴；
当时，；
当时，．

综上，的值为或．
【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了非负数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，构造辅助线证明三角形全等是关键．
13．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与直线交于，，．
(1)求直线的解析式．
(2)点P是射线上的动点，过点P作且与交于点Q，轴垂足为点F，轴垂足为点H，当四边形为正方形时，求出正方形的边长．
(3)如图2，连接，将沿直线翻折得到．若点M为直线上一动点，在平面内是否存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出N的坐标，并把求其中一个点N的过程写出来，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，N点坐标为或或或
【分析】（1）分别求出A、C、D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，则，，，则，，再由，求出t的值即可求正方形的边长；
（3）设，，，由，，求出，，①当为菱形对角线时，，求出；②当为菱形对角线时，，求出；③当为菱形的对角线时，，求出或．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将，代入，
∴，解得，
∴，
将代入，
∴，
解得，
∴，
设直线直线的解析式为，
∴，解得，
∴；
（2）设，则，，，
∵，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
解得或，
∵P点在射线上，
∴，
∴，
∴正方形的边长为；
（3）存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设，，
∵，，
∴，，
设，
∴，，
解得，（舍）或，，
∴，
①当为菱形对角线时，，
∴，解得：，
∴；
②当为菱形对角线时，，
∴，
解得（舍）或，
∴；
③当为菱形的对角线时，，
∴，
解得或，
∴N点坐标或；
综上所述：N点坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，正方形的性质，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．注意第(3)问有多种情况，注意不要有遗漏．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点的坐标；
(3)点为直线上的动点，过点作轴的平行线，交于点，点为轴上的一动点，且为等边三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标．
【答案】(1)直线的函数表达式为
(2)点的坐标为或
(3)满足条件的点的横坐标为或
【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出，过点作，当点在直线上时，，求出直线的解析式，即可得出点的坐标，当点在上方时，此时点所在直线到的距离与到的距离相等，故此时点所在直线解析式为，代入计算即可得出答案；
（3）设点，则，分两种情况：当时，作于；当时，作于，分别利用等边三角形的性质，结合勾股定理，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：点在直线：上，
，即，
直线：过点，点，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
（2）解：直线的函数表达式为，
当时，，
解得，
，
如图，过点作，当点在直线上时，，
，
设直线的解析式为：，
直线经过，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
；
如图，当点在上方时，此时点所在直线到的距离与到的距离相等，
，
故此时点所在直线解析式为，
当时，，
故；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：设点，则，
如图，当时，作于，
，
则，，
是等边三角形，，
，，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的横坐标为；
如图，当时，作于，
，
则，，
是等边三角形，，
，，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去）
此时点的横坐标为，
综上所述，满足条件的点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
15．如图，直线与x轴、y轴分别交于点，直线与直线相交于点．
(1)求直线和的表达式；
(2)求的面积；
(3)点M为y轴上的动点，连接．当的值最小时，求点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，进一步求出的表达式即可；
（2）直接利用面积公式进行计算即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进一步求出点M的坐标即可．
【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于点，
∴，解得：，
∴；
当时，，
∴，
∵直线与直线相交于点，
∴，
∴，
∴；
（2）的面积；
（3）作点关于y轴的对称点，则，连接交y轴于点D，则：，
∴当点M与点D重合时，的值最小．
设直线的表达式为，
把，的坐标分别代入，
得，解得，
∴直线的表达式为．
当时，，
∴当的值最小时，点M的坐标是．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点，交直线于．
(1)求点的坐标；
(2)若为等腰三角形且，求点坐标及的值；
(3)在（2）的条件下，点为线段上一动点，过点作轴于点，交于点，且，过点的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为．若，求的取值范围．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为；
(2)点的坐标为，；
(3)．
【分析】（1）分别代入、求出、的值，由此可得出点、的坐标；
（2）作于，根据等腰三角形的性质可得出点的坐标，再由点在直线上求出值；
（3）求出点的坐标，可求出过点的直线为，设直线 与轴交于点，与直线于点，分别表示出点和点的坐标，表示出，，再根据已知得出四边形的面积为四边形的或，表示出四边形的面积，列出方程再求解，结合图形即可得出的范围．
【详解】（1）解：对于一次函数，
当时，，
当时，，
点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：如图1，作于，
，，
，
点的横坐标为2，
点在直线上，
点的纵坐标，
点的坐标为，
点在直线上，
，解得：；
（3）解：设点的横坐标为，分别代入，中，
得，，
，，，
，
，即，
当时，
解得，
，
当时，无解，
∵，
，，，
直线过点，
，即，
，
如图，设直线 与轴交于点，与直线交于点，
令，则，
，
令，则，
，
，，
过点的直线将四边形分为两部分，且，
四边形的面积为四边形的或，
，，
或，
解得或，
的取值范围．
17．如图1，在平面直角坐标系中，点是函数与函数的交点．函数与轴，轴分别交于点．
(1)若二元一次方程的解为，写出交点的坐标 ；
(2)在（1）的条件下，如图2，过点作直线轴于点，若的面积是3，求和的值；
(3)如图3，若，，，点是直线上一个动点，点为直线上一个动点，当轴，且时，请直接写出的长度．
【答案】(1)
(2)，
(3)的长度为或
【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、两直线的交点问题，熟练掌握一次函数相关性质是解此题的关键．
（1）根据二元一次方程的解即可得交点的坐标；
（2）将代入函数可得的值，设，，根据的面积得出，再利用待定系数法求解即可得出的值；
（3）由题意得函数，函数，设，则，根据，求出的值即可得出答案．
【详解】（1）解：的解为，
∴函数与函数的交点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：∵点的坐标为，于点，
，
将代入函数得，
∴，
设，
，
，
解得，
，
∵点是函数上的点，
，解得，
∴的值为9；
（3）解：∵，，，
∴函数，函数．
设，则，
∴，
解得或6，
或，
∴或，
∴的长度为或．
18．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和，直线经过点与点．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线与直线交于点，与直线交于点，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数性质；
（1）分别令，令，即可求解；
（2）将点，点坐标代入解析式可求解；
（3）由轴，可得点，点坐标，可求的长，即可求的值；
【详解】（1）解：令，则，
令，则，解得：，
点，；
（2）解：把点，代入，得：
，解得：，
直线的表达式为；
（3）解：点，
点，
，
点，
，
，
，解得：．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点，．
(1)求直线的解析式；
(2)点是线段上一动点，若直线把的面积分成的两部分，请求点的坐标；
(3)已知为的中点，点是轴上一点，当是等腰三角形时，求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或；
(3)点P的坐标为或或或
【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合得点B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出，设，分两种情况讨论：①；②时，分别求得m的值，进而求得G点坐标；
（3）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：令中得；令得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为
，
得
直线的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∴
设
①当时，
∴，
得，
∴；
②当时，，
∴
∴，
∴，
综上，或；
（3）解：∵D为中点，，
∴，
∵
∴，
若是等腰三角形，可分三种情况：
①当时，过点D作轴于H，
∴，
∵轴，
∴，
∴点P的坐标为；
②当时，
∵，
∴点P的坐标为或；
③当时，设
∴，
∴，
解得，
∴
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A．
(1)求点A的坐标及的面积．
(2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)；
(2)存在，
(3)或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质．
（1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把代入中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到的面积；
（2）设，则，则，，由等腰得到，即，求解即可解答；
（3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作与AM的延长线交于点N．证明是等腰直角三角形，得到．过点N作轴于点F，过点A作轴于点G．易证，得到，，进而得到．通过待定系数法求出直线的解析式，令，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解．
【详解】（1）解方程组，得．
∴点A的坐标为．
把代入得，
解得：，
∴点B的坐标为，
∴，
∴；
（2）存在．
如图，
设，则．
∴．
∵轴．
∴．
∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）或．
分两种情况：
①若点M在点E的下方，
如图，过点B作与AM的延长线交于点N．
∵，轴，
∴，，
∴，
∵．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
过点N作轴于点F，过点A作轴于点G．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，．
∵，．
∴，．
∴．
∴．
设直线解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
令，得．
∴点M的坐标为．
②若点M在点E的上方，
如图，
由对称性可知．
综上所述：或．
21．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴、轴于点，一次函数的图像经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点．
(1)___________，___________；
(2)如图2，当点在第一象限时，过点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点．若，求点的坐标；
(3)是否存在点，使以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或或或
【分析】本题主要考查一次函数图像上点坐标的特征，等腰三角形的性质及应用，待定系数法，熟练掌握一次函数的图像及性质是解题的关键．
（1）根据一次函数图像上点在坐标轴上的特点，求出坐标，代入解析式求解即可；
（2）求出，设，得到，即可求解；
（3）设，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：在中，令得，
令得，
，
把代入，
得，
解得，
故答案为：，；
（2）解：由（1）知一次函数解析式为，
，
，
设，则，
，
，
，
，
点的坐标；
（3）解：存在点，使以为顶点的三角形是等腰三角形
设，
，
，
，
，
①当，
，
解得，
点的横坐标为；
②当时，
，
解得，
点的横坐标为或；
当时，
，
解得或（舍去），
点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或或或．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点．
(1)求直线的解析式；
(2)若为直线上一动点，连接，当时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，便得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为：；
(2)点的坐标或；
(3)存在，点的坐标为，，理由见详解．
【分析】（1）根据直线，点的坐标分别求出点的坐标，由此即可求解；
（2）根据题意分别算出的坐标，算出的面积，再算出的面积，设，根据，即可求解；
（3）根据题意可得，图形结合，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交点，
∴令时，；令时，；
∴，，
∴，则，
∵点是直线与线段的交点，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由（1）可知直线的解析式为：，
令时，，则，
∵，，，
∴，
∴，
∵点为直线上一动点，且直线的解析式为，
∴设，如图所示，连接，
∴，
，
当点在轴右边时，，，
∴，
解得，，
∴；
当点在轴左边时，，
∴，
解得，，
∴；
当时，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，点的坐标或；
（3）解：存在，点的坐标为，，理由如下，
已知，，
∴直线的解析式为：，
∴，，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴若，则，
第一种情况，如图所示，连接交于点，
∵，，
∴是等腰三角形，，，
∵是的外角，即，
∴点即为所求点的位置，
设直线的解析式为，，，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
联立直线与直线的解析式，
∴，
解得，，
∴；
第二种情况，如图所示，关于的对称，则，
∴，
由第一种情况可得，，，
根据中点坐标公式得，，
综上所述，存在，点的坐标为，．
【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数与二元一次方程组求交点，相似三角形的判定和性质，角度的和差计算的方法，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
23．如图1，点O是坐标原点，直线：与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．

(1)求直线和的表达式；
(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．
【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为
(2)
(3)点或
【分析】（1）把点的坐标分别代入相应的函数解析式求解即可．
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，点即所求，设直线表达式为，确定解析式，并求出与轴的交点坐标即可．
（3），，分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，解得，
故直线的解析式为；
把代入，得，解得，
故直线的解析式为．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，

则点满足的值最小，
∵，，
∴，，
∴，，设直线表达式为，
∴，解得，
∴直线表达式为，
令，
∴．
（3）解：设点，如图，

当时，过点作于点，
∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，
∴，
∴，，
解得，
故点；
如图，

当时，过点作于点，
∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，，，
解得，
故点；
综上所述，点或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知．

(1)点C的坐标是______，直线的表达式是_____．
(2)若点G为线段上一点，且满足，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点E为线段中点，点D为y轴上一动点，以为直角边作等腰直角△EDF，当点F落在直线上时，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)存在，点坐标为或
(3)或
【分析】（1）由，，可得，待定系数法求表达式即可；
（2）由，点G为线段上一点，可得，待定系数法求的表达式为；则的表达式为，联立，求，待定系数法求直线的表达式为，设，，由题意知，
分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况，根据中点坐标相同进行求解即可；
（3）由题意知，，设，如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解；①当在点上方，如图，过作于，于，证明，则，代入，求的值，可得点坐标，②当在点下方，如图，同理①，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
将，代入得，，
解得，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，点G为线段上一点，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入得，，
解得，，
∴；
∴的表达式为，
联立，
解得，
∴，
设直线的表达式为，
将 代入得，，
解得，
∴，
设，，
∵点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
∴分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况求解：
①当分别为对角线时，的中点坐标为，
的中点坐标为，
∴，
解得，，即；
②当分别为对角线时，的中点坐标为，
的中点坐标为，
∴，
解得，
∴；
③当分别为对角线时，的中点坐标为， 的中点坐标为，
∴，同①，
综上，存在，点坐标为或；
（3）解：由题意知，，设，
如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解；
①当在点上方，如图，过作于，于，

∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴；
②当在点下方，如图，
同理①可得，∴，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)是直线上一动点，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用两点间距离公式先求出的长，利用勾股定理逆定理判断即可；
（3）分以下两种情况讨论：①当点Q在线段的延长线上时；②当点Q在线段上时，求出两条直线的方程，联立求解即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
，
，
．
设直线的函数表达式为，
∵点，在直线上，代入得：
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
直线交轴于点A，
令，则，
，
，，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解：由直线，可知 ，
如图1，分以下两种情况讨论：
①当点Q在线段的延长线上时，
，
，
，
．
②当点Q在线段上时，在y轴上取一点M，使得，则．
，
∴点Q在直线上．
设，则，
在中，，
，
解得．
．
由，可得直线的函数表达式为．
联立，
解得，
∴．
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理的运用等知识，解题的关键是掌握作辅助线解决问题，属于中考压轴题，本题的计算量比较大．
26．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 且 ．点A是直线上的一个动点．
(1)求的长和k的值；
(2)当的面积是12时， 求出点A的坐标．
(3)若点A的横坐标为6，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形 若存在．直接写出出点 P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)存在，点 P的坐标或或或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式中参数，一次函数点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想和分类思想解决问题是解本题的关键．解题的关键在于（3）根据等腰三角形的不同分情况讨论．
（1）由得到，进而得到，以及点，将其代入解析式求解，即可解题；
（2）利用的面积是12，得到，解出，将其代入一次函数求解，即可得到点A的坐标；
（3）利用勾股定理得到，根据x轴上存在点P，使是等腰三角形分以下三种情况讨论①当时，点 P在、处，②当时，点 P在处，③当时，点 P在处，结合等腰三角形性质和勾股定理求解，即可解题．
【详解】（1）解： 与x轴、y轴分别交于B、C两点，
，即，
，
，即，
有，解得，
，；
（2）解： 的面积是12，
，
即，解得，
或，
由（1）知，
当时，，解得，有；
当时，，解得，有；
点A的坐标是或；
（3）解：存在，
点A的横坐标为6，
点A的坐标是，
x轴上是存在点P，使是等腰三角形，且，
①当时，点 P在、处，
点 P的坐标为或；
②当时，点 P在处，
点 P的坐标为；
③当时，点 P在处，
设点 P的坐标为，，
则，解得；
综上，点 P的坐标或或或．
27．如图1，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上一动点，若，求点的坐标；
(3)如图3，点为直线上一动点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）先求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而得到，，，设点，再分当点在线段上时，当点在的延长线上时，两种情况根据三角形面积之间的关系建立方程求解即可；
（3）如图，当点在点右侧时，证明，得到，则点在直线上；如图，当点在点左侧时，证明，由勾股定理得，利用等面积法得到，设，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
点，，，
，，
，
设点，当点在线段上时，
，
，
，
解得，
点；
当点在的延长线上时，
，
，
，
解得，
点，
综上所述：点坐标为或；
（3）解：如图，当点在点右侧时，
，
，
，
，
，
∴垂直平分，
点在直线上，
，解得，
；
如图，当点在点左侧时，
，，
，
，
在中，由勾股定理得
，
，
，
设，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
28．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过做轴于点，连接；
(1)求的长度；
(2)如图2，将沿射线翻折，使点落在边上的点处，折痕与交于点，连接.过点作，垂足为，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动，设点的运动时间为，求的面积与的关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交于点，在点的运动过程中，当的面积等于的面积时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)当或时，的面积等于的面积
【分析】（1）根据题目条件可得，再由勾股定理可得结果；
（2）由翻折的性质可知，进而可得，设
然后根据勾股定理求得的长，然后利用勾股定理可求的值，再分当点在线段上时及当点在线段延长线上时两种情况讨论求解即可；
（3）先求得，然后根据勾股定理求得，最后列方程求解即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为，轴于点，
∴，
在中，
∴，
∴；
（2）由轴对称的知识可知可知，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴，
，
在中，
，
∴，
∵，且，
∴设，
在中，，
即，
∴，
∴，
分情况讨论：
①当点在线段上时，
，
∴，
∴，
②当点在线段延长线上时，
，
，
综上所述，或；
（3）由（2）可知，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积等于的面积，
∴或，
∴或，
综上所述，当或时，的面积等于的面积.
【点睛】此题考查了坐标中动点的问题、勾股定理、折叠及一次函数与几何结合问题等知识，解决本题的关键熟练掌握坐标与图形、勾股定理、折叠的性质及一次函数与几何结合问题．
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，直线与直线，相交于点，点的横坐标为1．
(1)求直线的解析式：
(2)如图2，点是轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交于点，当时，求点的坐标．
(3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，说明理由：
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质；
（1）先求得，再运用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）设，则，，分两种情况：当时，，当时，，分别根据建立方程求解即可得出答案；
（3）过点作轴于点，则，利用勾股定理可得，设，则，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出点的坐标即可；
【详解】（1）解：直线：与直线相交于点，点的横坐标为，
，
设直线的解析式为把、代入，得
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）设，则，，
如图2，当时，，
，
，
解得：，
；
当时，，
，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或．
（3）存在．
如图1，过点作轴于点，则，
，，
在中，，
设，则，
当时，，
解得：或，
或；
当时，
轴，即，
，即，
；
当时，
解得：
∴
综上所述，点的坐标为或或或
30．如图，在直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点A，是的中点，动点从点A出发沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发以每秒个单位的速度沿射线方向运动以，为边构造，设点运动的时间为秒．

(1)写出点的坐标和直线的解析式．点的坐标是______，直线的解析式是______．
(2)如图，当点运动到点时，连接求证：．
(3)连结，当点落在的边上或各边所在的直线上时，求的值．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或或
【分析】（1）先求出，，再利用中点坐标公式求出，进而即可得出答案；
（2）利用四边形是平行四边形和点为的中点证出四边形是平行四边形，进而即可得出答案；
（3）首先证出≌得出，，再用含的代数式表示出，，求出，然后分类讨论在不同直线上时，求出的值即可得出答案．
【详解】（1）∵直线交轴于点，交轴于点，
，，
点为的中点，
，
设直线析式为：，
将点的坐标 ，代入可得：，
直线析式为：，
故答案为：，；

（2）如图，连接，
四边形是平行四边形，
∴，，
点为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
；

（3）如图，过作于，过点作于，
四边形是平行四边形，
， ，
，
∵，
，
，
又，
在和中
；
≌，
，，
点，，点，
，，
，
点，
当点落在直线上时，则，即，
当点落在直线上时，
点，直线解析式为：，
，
∴，
当点落在上时，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
，，
中点纵坐标为：，
线段的中点在上时，
，
∴
综上所述：或或．

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，平行四边形的判定和性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
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