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专题 一次函数动态几何问题分类训练
目录
【题型1一次函数动态几何三角形类】 1
【题型2一次函数动态几何平行四边形类】 18
【题型3一次函数动态几何矩形类】 40
【题型4一次函数动态几何正方形类】 61
【题型5一次函数动态几何菱形和其他四边形类】 83
【题型1一次函数动态几何三角形类】
1．如图，中，，，，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，的面积为y（注：三角形、四边形等封闭图形的面积不能为0）．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)
(2)图象见详解，性质：当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；
(3)
【分析】本题考查了一次函数在动点面积问题中的应用，一次函数的性质，利用图象解一元一次不等式等；
（1）分类讨论：①当在边上时，此时，②当在边上时，此时，由三角形的面积即可求解；
（2）画出图象，根据图象写出性质即可求解；
（3）根据图象即可求解；
能画出图象，根据图象写出性质，会利用图象解不等式，能根据的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解： ，，，
；
①如图，当在边上时，
此时，
；
②如图，当在边上时，
此时，
；
综上所述：；
（2）解：图象如图，
性质：当时，随着的增大而增大，
当时，随着的增大而减小；
（3）解：由图象得．
2．如图，中，，，，动点、分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度同时从出发，点沿折线→→方向运动，点沿折线→→方向运动，点到达点后，点的运动速度变为每秒个单位长度运动，同时点的运动速度变为每秒个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出、两点相距个单位长度时的值．
【答案】(1);
(2)见解析；
(3)的值为或．
【分析】（）分及两种情况考虑，对前一情况，利用勾股定理即可，对后一情况，利用两点运动路程和与的和为即可解决；
（）由（）中求得的函数关系式画出函数图象，根据图象即可写出一条性质即可；
（）根据所求得的函数关系式，求出当时的自变量值即可．
【详解】（1）解：∵中，，，，
∴由勾股定理得：；
当、分别运动到点、时，运动时间为（秒）；
当、在上相遇时，，解得；
①当时，、分别在边上，此时，
由勾股定理得；
②当时，，两点在边上，此时，
∵，
∴；
综上，所得函数关系式为；
（2）解：函数图象如下：
当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）；
（3）解：当时，，得；
当时，，得；
故当，两点相距个单位长度时，的值为或．
【点睛】本题是动点问题，考查了勾股定理，求函数解析式，画一次函数图象，已知函数值求自变量值等知识，注意分类讨论是解题的关键．
3．如图，在中，，，．点D从点A出发沿折线方向运动，到达点C后停止，连接，．设点D运动的路程为x，的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时x的值．
【答案】(1)
(2)图象见解析；当时，y有最大值3（答案不唯一）
(3)或3
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，画一次函数图象，动点问题的函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质．
（1）分两种情况：当点在上时，当点在上时，分别画出图形求出函数解析式即可；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可；
（3）根据函数图象，结合函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：当点在上时，如图所示：
；
当点在上时，如图所示：
；
综上所述，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，当时，y有最大值3；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；（答案不唯一）
（3）解：当时，，
当时，；
∴当时x的值为或3．
4．如图，在中，，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当的面积小于3时的值．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)或．
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，一元一次不等式组的实际应用等知识．
（1）先根据勾股定理求出，再根据题意进行分类讨论：①当点P在上时，②当点P在上时；
（2）根据（1）中得出的函数表达式，画出图象即可，结合图象即可写出性质；
（3）根据“的面积小于3”列出不等式组，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
①当点P在上时：
，
∴；
②当点P在上时：
过点C作于点E，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上：；
（2）解：函数图象如图所示：
由图可知，该函数的最大值为6；
（3）解：根据题意可得：
，
解得：或，
∵，
∴t的取值范围为或．
5．如图，在中， ，动点从点出发，沿折线方向运动到点停止，设点运动路程为，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请根据图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)；
(2)函数图象见解析；函数的性质：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小；
(3)．
【分析】（）根据三角形的面积公式，分两种情况解答即可求解；
（）利用两点法结合（）的结果画图即可；根据函数图象即可写出该函数的一条性质；
（）求出时对应的值，再结合函数的图象即可求解；
本题考查了一次函数的几何应用，求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，
；
当时，
；
综上，关于的函数关系式为；
（2）解：画函数图象如下：
函数的性质：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小；
（3）解：当时，由得，；
当时，由得，；
由函数图象可知，当时，的取值范围为．
6．如图1，在中，，动点Q以1个单位长度每秒的速度从C点出发，沿运动，到达A停止运动，设点Q的运动时间为x秒，的面积为y，请解答以下问题：
(1)求出y关于x的函数关系式并注明x的取值范围；
(2)在图2中画出y的函数图象；
(3)根据图象直接写出当面积等于6时对应x的值．
【答案】(1)
(2)见解析；
(3)或
【分析】本题主要考查了列函数关系式，画一次函数图象，求一次函数自变量的值；
（1）分当点Q在上，当点Q在上两种情况根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求利用描点法画出函数图象即可；
（3）根据（2）所画函数图象求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，当点Q在上，即 时，
由题意得，，
∵在中，，
∴，
∴；
如图所示，当点Q在上，即时，
由题意得，，
∴；
综上所述，；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：观察函数图象可知，当时，或．
7．如图，在中，，，，点P为直角边，边上一动点，现从点B出发，沿着的方向运动至点A处停止．点P在上的运动速度为每秒2个单位，在上的运动速度为每秒个单位，运动时间为x秒，的面积为y．
(1)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质：
(3)结合函数图象，当时，直接写出y的范围．
【答案】(1)
(2)由函数图像，上是增函数，是减函数
(3)
【分析】本题主要考查函数图像的性质，熟练掌握题意是解题的关键．
（1）当在上时，，当在上时，，分两种情况讨论即可；
（2）根据函数图像得出性质；
（3）根据图像x的取值范围求出y的范围．
【详解】（1）解：当在上时，，
由于，
，
当在上时，，
，
由于，
，，
综上，；
（2）解：如图：
由函数图像，上是增函数，是减函数；
（3）解：，y的范围为，
，y的范围为，
综上所述，．
8．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒1个单位长度，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为，．
(1)请直接写出y关于t的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合图象直接写出时，t的值．
【答案】(1)关于的函数关系式为：
(2)作图见详解，当时，随的增大而减小
(3)的值为3或9
【分析】（1）根据勾股定理得到，由题意得，当时，，，根据线段的和差得到，，于是得到函数关系式；当时，得到，，即可得到函数关系式；
（2）根据函数解析式在平面直角坐标系中画出函数的图象即可；
（3）将分别代入两个函数解析式解两次方程即可．
【详解】（1）解：，，，
，
由题意得，当时，，，
，，
；
当时，
，，当相遇时，，解得，
，
综上所述，关于的函数关系式为：；
（2）解：在平面直角坐标系中画出函数的图象如图所示，
当时，随的增大而减小；
（3）解：当时，
，解得；或，解得
∴的值为3或9．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，求函数的解析式，画函数的图象以及函数的性质，正确地画出函数的图象是解题的关键．
9．在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题：
(1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】(1)
(2)作图见解析，当时，y随x的增大而减小；
(3)或
【分析】本题考查一次函数的几何应用，作函数图象，根据函数图象求自变量的取值范围等．
（1）运动路程为，结合图形即可求解；
（2）先作出函数图象，根据图象即可解答；
（3）先求出时x的值，结合图象即可作答．
【详解】（1）解：由题意可得：当时，，
当时，，
∴；
（2）如图所示，
当时，y随x的增大而减小；
（3）解，令，则或，
∴当时，自变量的取值范围为：或．
10．如图，在中，，，D为上一点，且．动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发至点C（点P不与两点重合），设点P运动的时间为x秒，的面积为y．
(1)直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)若与y的图像没有交点，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)作图见解析，当时，y随x的增大而减小.
(3)当或时，与y的图像没有交点．
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、求函数解析式、画函数图象等知识点，求出函数解析式以及掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）如图：过P作，根据直角三角形的性质并结合题意可得，即可然后根据三角形的面积公式即可解答；
（2）先画出函数图象，再结合图象写出一条性质即可；
（3）结合函数图象，先求出临界点的t值，进而确定t的取值范围．
【详解】（1）解：如图：过P作，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点P不与B、C两点重合，
∴，
∴，
∴的面积，
即．
（2）解：如图：
性质：当时，y随x的增大而减小.
（3）解：如图：
当过和是有无交点的临界点，
当过时，有，即；
当过时，有，即．
结合图形可知：当或时，与y的图象没有交点．
【题型2一次函数动态几何平行四边形类】
11．如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．

(1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围；
【答案】(1)
(2)作图见详解
(3)自变量的取值范围为：
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，作图的方法，根据一次函数图象求不等式解集，掌握以上方法是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）运用描点，连线的方法即可求解；
（3）根据图示即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴是直角三角形，且，
设，，
①当点在线段上时，即，
∵，
∴，
∴；
②当点与点重合时，即，如图所示，

∴，即；
③当点在线段上时，即，如图所示，
∵，，
∴，且，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
综上所述，与的函数表达式以及对应的的取值范围为：；
（2）解：根据（1）的函数关系式描点如下，
0 1 2 3 4 5 ……
4 2 0 - - -
- - 0 1 2 3
作图如下，

（3）解：如图所示，

根据图示，交点坐标为，，
∴当时，，
∴自变量的取值范围为：．
12．如图，平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线B→A→D运动，在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线BC的距离与点P到点A的距离之和记为．
(1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有两个公共点时m的取值范围．
【答案】(1)
(2)画图见解析，当时，有最小值为2
(3)
【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了平行四边形的性质，含的直角三角形的性质、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键．
（1）分点P在和上讨论即可；
（2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解；
（3）结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：平行四边形中，，，，
∴，，，
当时，，，
∴，
∴；
当时，
过点A作于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：画图，如下：
由图象可知，当时，有最小值为2；
（3）解：把代入，得，
解得，
把代入，得，
解得，
把代入，得，
如图所示，
观察函数图形可得当时，的图象与的图象有两个公共点.
13．如图1，在平行四边形ABCD中，，，，点E为AD中点，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向运动，当动点P返回到A点时停止运动．动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿方向运动，到达点B时停止运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为x秒，的面积为，的面积为．
(1)请直接写出、关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并写出函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时，x的取值范围为______．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点作交于点，过点作交延长线于点，
点P分两种情况：点P从运动和点P从运动，分别确定三角形的底和高求解即可；点Q从运动，直接确定三角形的底和高求解即可；
（2），都是一次函数，只需描两个点即可画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质；
（3）先联立函数表达式建立方程组，确定交点的横坐标，再利用确定在上面的范围即可．
【详解】（1）解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点，
点E为中点，，，
，，
是平行四边形，
，，，
，
当点P从运动时，，
此时，，，
；
当点P从运动时，，
此时，，
；
∴；
当点Q从运动时，，
此时，，
，
∴；
（2）解：函数图象如图

①函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线；
②当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；
③函数在自变量取值范围内，有最大值，当时函数取最大值4，无最小值（任意写出一条性质即可）；
（3）解： ，
解得：，
由（2）中函数图象知：
当时，
x的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键．
14．如图，在平行四边形中，，，，若点从点出发，沿着方向运动，已知点的运动路程为，将的面积记为完成下列问题：

(1)直接写出与之间的函数表达式以及对应的的取值范围．
(2)在平面直角坐标系中画出与的函数的图象，并写出的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，函数图像的性质，三角形面积等知识点，利用分类讨论解决问题是解题的关键．
（1）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；
（2）直接作图即可，按性质写出一条合理即可；
（3）由图像可直接求出．
【详解】（1）解：①点运动到上时，过作垂足是，
在中，，，
，
∴，
∴当时，，
②点运动到上时，过作垂足为，
在中，，，
，
∴，
∴当时，．
综上：，
故答案为：．
（2）
性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
（3）
由图可知，时，如图中的红线，
∴的取值范围是：．
15．如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围．
【答案】(1)
(2)作图见解析，当时，有最小值为3；
(3)
【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了平行四边形的性质，含的直角三角形的性质、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键．
（1）分点P在和上讨论即可；
（2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解；
（3）结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：平行四边形中，，，，
如图，过点A作交的延长线于点H，
∵，，
∴，
∵，，
当时，，，
∴；
当时，如图，，
∵，，
∴
∴，
∴；
（2）解：画图，如下：
由图象可知，当时，有最小值为3；
（3）解：把代入，得，
把代入，得，
如图所示，
观察函数图形可得当时，的图象与的图象有1个公共点.
16．如图，在平行四边形中，，，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动到点停止，点沿折线方向运动到点停止（点可以与线段端点重合），设运动时间是（秒），点的距离是．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)
(2)图象见解析，性质：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，得出总的运动时间为7秒，分两种情况：当时，当，当时，根据等边三角形的性质解答即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质；
（3）观察图象即可求解．
【详解】（1）解：∵平行四边形中，，，
∴，，，，
∴，
∴总的运动时间为：秒，
当点P在，点Q在上运动时，即时，
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当点Q在，点P在上运动时，即时，
如图，过点B作于E，过点P作于点F，

∴，，
∵，，
∴，
∴，
根据题意，得，，
∴，
∴，
即；
当点Q在，点P在上运动时，即时，
如图所示：

∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
综上可得：；
（2）解：函数图象如图，

性质：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）解：当时，，
当时，，解得，
由图象可知，当时，．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的性质及等边三角形的判定和性质等知识，正确理解动点问题是解题的关键．
17．如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线的距离与点P到点A的距离之和记为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请直接写出当y为3时x的值．
【答案】(1)
(2)图象见解析，性质：当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大（不唯一）
(3)2或5
【分析】本题考查了平行四边形，求分段函数，函数的性质，利用函数图象求一元一次方程解集，求出函数解析式是解题的关键．
（1）分点在上和点在上两种情况进行讨论，分别求出点P到直线的距离和点P到点A的距离，相加即可；
（2）通过描点，连线可画出图形，即可得出性质；
（3）直接根据图象时，得出的值．
【详解】（1）解：当点在上时，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在上，即时，
过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴关于的函数表达式为；
（2）函数图象如图所示：
性质：当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大（不唯一）；
（3）根据图象当时，或，
所以当y为3时x的值或．
18．如图1，已知四边形是平行四边形，，，，点M从点B出发，沿方向移动到点D停止．过点A作交于点N，设的长为，的长为y．请解答下列问题：
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)通过取点，画图，测量得到了y与x的几组值，如下表：
x 4 5 6 7 8 9
y 5 5 a b
请直接写出a和b的值；
(3)如图2，请在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(4)请直接写出y的最小值．
【答案】(1)与之间的函数关系式为；
(2)，；
(3)见解析
(4)．
【分析】（1）根据点在上运动与点在上运动两种情况，分类求解与之间函数关系式即可；
（2）先根据函数关系式即可求出，a、的值；
（3）利用描点法画出函数图象即可；
（4）根据图形即可求得的最小值．
【详解】（1）解：当点M在上运动，即时，如下图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴与重合，
∴，即，
当点在上运动，即时，过点M、B分别作，延长线于点E、F，如下图，则四边形是矩形，

∴，，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
当时，；
（3）解：在直角坐标系中作的图象如下，

（4）解：∵当时，，
当，，且随的增大而减小，
∴当 时，取最小值，．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、平行四边形的性质、函数的图象及性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质及函数的图象及性质是解题的关键．
19．在平行四边形中，，，，点P从A点出发，沿着做匀速运动，到达点D时，停止运动，过点P作，交直线于点Q，设点P的运动路程为x，线段的长为y（点P与点A，D重合时，的长为0）．

(1)请直接写y与x的间的函数表达式，注明自变量x的取值范围，并在给出的平面直角坐标系中画出y的函数图象；
(2)请写出函数y的一条性质；
(3)结合图象，在点P的运动过程中，当线段的长时，自变量x的取值范围为______．
【答案】(1)，图见解析
(2)当时，y随x增大而增大，当时，，当时，y随x增大而减小
(3)
【分析】（1）当时，根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半即可得出与之间的关系式；当时，过点作于点，先利用直角三角形的性质求出的长，再证四边形是平行四边形，即可得出；当时，根据平行四边形的性质得出，然后求出的长，从而利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半即可得出与之间的关系式；根据与之间的关系式画出图象即可；
（2）根据图象写出一条性质即可；
（3）根据函数图象直接得出答案即可．
【详解】（1）解：如图1，当时，

，
，
，
，
由题意得，，，
；
如图2，当时，过点作于点，

，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
即；
如图3，当时，

四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
由题意得，，
；
综上，，
图象如图，

（2）当时，随的增大而增大，当时，，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；
（3）当时，由图象可知当时，；
当时，由图象可知当时，；
当线段的长时，自变量的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，有关动点问题的函数解析式，利用分类讨论思想正确列出函数解析式并画出函数图象，再利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
【题型3一次函数动态几何矩形类】
20．如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接、．设的面积为y．
(1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象；
(2)根据函数图象，写出该函数的一条性质；
(3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)由图象可知，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；
(3)
【分析】此题考查了动点问题，画函数图象，求一次函数的解析式，正确理解动点问题求出函数解析式是解题的关键：
（1）由题意知，当时，，则；当时，，则；然后作图象即可；
（2）根据图象作答即可；
（3）将；分别代入，求出m的值，结合图象进而可得取值范围．
【详解】（1）解：由题意知，当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴；
作图如图2；
（2）解：由图象可知，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；
（3）当时，，
将代入，得，解得；
将代入，得，解得；
∴时，直线与该函数图象有两个交点
21．如图，在矩形中，，，动点在对角线上运动（点不与、重合），设的长度为，的面积为，的面积为，请解答下列问题：
(1)请直接写出，与的函数关系式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出，的函数图象；
(2)结合函数的图象，写出函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)；；图象见解析
(2)当时，随的增大而增大
(3)
【分析】（1）如图1，作于，于，由勾股定理得，，由，可求，同理，则，；，；然后作函数图象即可；
（2）根据图象作答即可；
（3）由题意知，时，，可求，当时，的取值范围为直线的图象在直线图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可．
【详解】（1）解：如图1，作于，于，
由勾股定理得，，
∴，即，
解得，，
同理，
∴，即；
，即；
作图象如下；
（2）解：由图象可知，当时，随的增大而增大；
（3）解：由题意知，时，，
解得，，
∴当时，的取值范围为直线的图象在直线图象上方部分所对应的的取值范围，
由图象可得．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数的应用，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，一次函数的应用，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式是解题的关键．
22．如图，在矩形中，，，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时从点和点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当点到达点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出当的面积不小于6且不大于11时的取值范围．
【答案】(1)
(2)作图见解析，当时，有最大值12（答案不唯一）
(3)或
【分析】（1）分、两种情况，根据矩形性质和和三角形的面积公式求解即；
（2）根据（1）中表达式画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可；
（3）先求得和对应的自变量值，结合图象求解即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，，
当时，点在上，点在上，如图1.1，
则；
当时，点在上，点在上，如图1.2，
，
关于的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，
描点法作出函数图象，如图所示：
当时，，
性质：当时，有最大值12．（答案不唯一）；
（3）解：由（1）知，
当时，
由，解得；由，解得；
当时，
由，解得；由，解得；
如图所示：
当或时，的面积不小于6且不大于11．
【点睛】本题考查矩形的性质、一次函数的图象与性质、三角形的面积公式，理解动点问题的解法是解答本题的关键．
23．如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边上的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y.

(1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图像，直接写出当直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围.
【答案】(1)
(2)图象见解析；当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）
(3)
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键.
（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可；
（2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；
（3）分别求出直线经过点和点时b的值，结合图像写出答案即可.
【详解】（1）在矩形中，，，
∵点E为边的中点，点F为边上的三等分点，
∴，，
当点P在上时，则则，即，
此时，
∴的面积
；
当点P在上时，即时，如图，
则，
∴的面积
；
∴
（2）函数图象如图所示，
当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；
（3）当直线经过点时，，则，
当直线经过点时，，则，
结合图象可知，直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是.
24．如图，在矩形中，，，点Q为边上的中点，动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止. 设运动的时间为t秒，记为y.（）
(1)请直接写出y关于t的函数表达式以及对应的t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合图象，当时，直接写t的取值范围.（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)
(2)图象见详解，在范围内，随着的增大而增大；
(3)当时，或．
【分析】本题考查了求分段函数的解析式，根据解析式画函数的图象，一次函数及其图象的性质等知识．
（1）分和，两段根据三角形面积公式即可求解；
（2）取，及作出图象，根据函数图象写增减性；
（3）当时，由和分别求出的值，进而结合图象即可得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
当时，
，
如图2，
当时，
，
综上所述：；
（2）解：如图3，
在范围内，随着的增大而增大；
（3）解：当时，
由得，，
由得，，
当时，或．
25．如图，矩形中，，，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着方向运动到点停止，连接，，，设点的运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围（注意：三角形的面积不能为零）；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)函数图象见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
(3)
【分析】（1）根据矩形性质得到，当时，根据，，运用三角形面积公式得到；当时，根据，，运用梯形面积公式和三角形面积公式得到；
（2）在线段 与 线段 中，计算出端点，，，描点、连线即可画出图象，再观察y的图象，可以写出函数的增减性；
（3）当时，在中，得到 ，在 中， 得到，综合得到．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，,,
∵，
∴，
当时，
∵，，
∴；
当时，
∵，，
∴
；
∴；
（2）在中，
令，得，
令，得，
描出并连接点和点，即得函数在时的图象；
在中，
令，得，
描出，连接点和点，即得函数在时的图象，如图；
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
（3）当时，
在中， ，
∴ ；
在中，
，
∴，
∴；
综上，．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何图形．熟练掌握矩形性质，三角形面积公式，面积法求一次函数解析式，描点法画一次函数图象，一次函数的增减性，分段函数，是解题的关键．
26．如图，在矩形中，，点Q是边的中点，动点P从点B出发，沿着运动，到达点C后停止运动．已知速度秒，令，运动时间为秒（）．请解答下列问题：
(1)求出y与之间的函数表达式，标明自变量的取值范围，并画出函数图象；
(2)当时，求出的值．
【答案】(1)，图见详解
(2)的值为1或7．
【分析】（1）分三种情况：①当在上，即时，；②当在上，即时，；③当在上，即时，；再画出图象即可；
（2）由图象可得函数的性质；分两种情况：若，则，若，则，解方程可得答案．
本题考查四边形综合应用，涉及一次函数及图象，解题的关键是分类讨论思想的应用．
【详解】（1）解： ，
，
点是边的中点，
，
①当在上，即时，
；
②当在上，即时，如图：
；
③当在上，即时，如图：
；
；
当时，时，时，时，画出函数图象如下：
（2）解：当时，
若，则，
解得，
若，则，
解得，
当时，的值为1或7．
27．如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接．设的面积为y．

(1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象；
(2)根据函数图象，写出该函数的一条性质；
(3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析，（合理即可）
(3)
【分析】（1）由题意知，当时，，则；当时，，则；然后作图象即可；
（2）根据图象作答即可；
（3）当时，，即为过的直线，如图3，将代入，可求；将代入，可求；结合图象进而可得取值范围．
【详解】（1）解：由题意知，当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴；
作图如图2；

（2）解：由图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；
（3）解：当时，，
∴为过的直线，
如图3，

将代入得，，
解得，；
将代入得，，
解得，；
由图象可知，当时，直线与该函数图象有两个交点．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象与性质，两直线交点．熟练掌握一次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键．
28．如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，P点以每秒1个单位长度的速度沿着运动，到达A点停止运动，点Q以每秒个单位长度的速度由运动，到达D点停止运动，P点运动时间为t秒，令的面积为的面积为．回答下列问题：
(1)请直接写出与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围；
(2)请在平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质；
(3)根据图像，直接写出当时，t的取值范围_________．
【答案】(1)；；
(2)图见解析；当时，取得最大值，最大值为6（答案不唯一）
(3)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数图象与性质等等；
（1）根据矩形的性质可得，再由勾股定理求出的长，然后根据当点P在边上时，当点P在上时，结合三角形面积公式求出与t之间的函数关系式，再由，即可求解；
（2）利用两点法画出函数图象，即可求解；
（3）观察图象得：与相交，联立求出，即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，，
∴，
∴，
当点P在边上时，，此时，
∴；
当点P在上时，，此时，
过点B作于点E，
∵，
∴，
解得：，
∴；
∴与t之间的函数关系式为；
根据题意得：，
∴；
（2）解：对于，
当时，，
对于，
当时，，
当时，，
对于，
当时，，
当时，，
画出图象如下：
观察图象得：当时，取得最大值，最大值为6；
（3）解：观察图象得：与相交，联立得：
，解得：，
∴当时，t的取值范围．
故答案为：．
29．如图1，在矩形中，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以沿折线运动，当点运动到时，点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，运动过程中四边形的面积记为，且，的面积记为．
(1)直接写出与的函数关系式以及对应自变量的取值范围．
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数图象的一条性质：________．
(3)结合图象，当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析，见解析
(3)
【分析】（1）由题意得，过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，根据矩形的性质，旋转的性质及全等三角形的判定和性质可得相应的边长，再根据，求解即可；分点Q在线段上，和点Q在线段上两种情况，求解即可；
（2）直接画图即可，再根据图象的特点回答即可；
（3）观察图象求解即可．
【详解】（1）由题意得，
过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，
∴，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得线段，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在线段上时，
；
当点Q在线段上时，
；
综上，；
（2）当时，；当时，；
∴是一条过的线段，
当时，，
作图如下：
；
函数图象的一条性质：当时，y随t的增大而增大；
（3）令，即，解得
由图得，当时，．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，利用图象解不等式，作函数图象等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【题型4一次函数动态几何正方形类】
30．如图，正方形是边长为4，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，两动点同时出发，设运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的面积为时的值．
【答案】(1)
(2)
画图见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大
(3)或
【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，掌握函数的解析式求解、函数图象、数形结合的数学思想是解题关键．
（1）分类讨论、两种情况时函数表达式；
（2）描点、连线即可完成作图；
（3）作出直线，确定其与函数图象的交点横坐标即可求解．
【详解】（1）解：①当时，动点在上运动，动点在上运动，
作，如图所示：
∵，，
∴，
∴；
②当时，动点在上运动，动点在上运动，
作，如图所示：
∵，，
∴；
综上所述：；
（2）解：由（1）中的表达式可知：当时，；当时，；当时，；分别描出三个点，，，然后依次连接，如图：
由图可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
（3）解：作出直线，如图所示：
可知直线与函数图象的交点横坐标为或，
∴当的面积为时，或．
31．如图1，在正方形中，，点是边上的中点，动点从点出发，以个单位每秒的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒，的面积为．
(1)写出与之间的关系式，注明自变量的取值范围，并在图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
(2)写出函数图象的性质：____________（写出一条即可）．
(3)当的面积等于的时候，时间______．
【答案】(1)y与x之间的关系式为：；画图象见解析
(2)当时，随的增大而增大，当时，取最大值
(3)或
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积计算，一次函数的图象与性质，掌握三角形的面积公式、灵活应用分情况讨论是解题的关键．
（1）分三种情况讨论：①当点在边上时，此时，②当点在边上时，此时，③当点在边上时，此时，分别求出的面积，再画出分段函数的图象即可；
（2）结合（1）的图象即可解决问题；
（3）结合（1）中的三段函数，代入的值求即可．
【详解】（1）在正方形中，，
点是边上的中点，
，
①当点在边上时，此时，如图，
根据题意可得：，边上的高是，
；
②当点在边上时，此时，如图1-1，
根据题意可得：，，，，
，
，
；
③当点在边上时，此时，如图1-2，
根据题意可得：，边上的高是，
，
，
综上所述，y与x之间的关系式为：，
如下图所示，取，，，描点、连线即可画出函数图象；
；
（2）函数图象的性质：当时，随的增大而增大，当时，取最大值，
故答案为：当时，随的增大而增大，当时，取最大值；
（3）当的面积等于时，
①，解得：；
②，解得：；
③，解得：（不符合题意，舍去），
当的面积等于时，或．
故答案为：或．
32．如图，正方形边长为，动点，均以每秒个单位长度的速度同时从点出发，沿折线方向运动，沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为秒，点，的距离为．
(1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出点，相距个单位长度时的值．
【答案】(1)关于的函数关系式；
(2)画图见解析，当 时，随的增大而增大 （答案不唯一）；
(3)或．
【分析】（）根据动点、运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量的取值范围即可；
（）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可；
（）根据两个函数关系式分别求出当时的值即可解决问题；
本题考查了等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质及等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）当点、分别在、上运动时，如图，
∴为直角边为、的等腰直角三角形，
此时，
∴，
∴当时，关于的函数表达式为；
当点、分别在、上运动时，如图，
∴为直角边为、的等腰直角三角形，
此时，，
∴，
∴当时，y关于t的函数表达式为；
∴关于的函数关系式；
（2）由（）中得到的函数表达式可知：当时，；当时，；
当时，；
分别描出三个点，，然后顺次连线, 如图，
根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当 时，随的增大而增大 （答案不唯一）；
（3）如图，
把分别代入和中，得：
，，
解得：或，
∴点，相距个单位长度时的值为或．
33．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度运动，到达点停止运动，连接，设点的运动时间为，的面积为（当点与、两点重合时，的值为0）

(1)直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质______；
(3)根据函数图象直接写出不等式的解集是______．
【答案】(1)
(2)见解析；该函数的一条性质：该函数图象关于直线对称
(3)，
【分析】（1）分三种情况讨论：当点在上时，当点在上时，当点在上时，分别写出函数关系式即可；
（2）结合（1）即可画出函数图象，进而根据图象写出函数的性质；
（3）根据观察图象在及其下方部分所对应的自变量的值即可．
【详解】（1）解：设点的运动时间为，动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度运动，则点的运动路程为，
当点在上时，即时，，
的面积；
当点在上时，即时，
的面积；
当点在上时，即时，，
的面积；
综上所述：；
（2）函数图象右图所示

该函数的一条性质：该函数图象关于直线对称；
故答案为：该函数图象关于直线对称；
（3）由图象可知：不等式的解集是，；
故答案为：，．
【点睛】本题四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解题意得到分段函数是本题的关键．
34．如图，在正方形中，对角线相交于点O，，动点P以每秒1个单位的速度，从点A出发，沿折线方向运动，到达点D停止运动．动点Q以每秒1个单位的速度，从点C出发，沿方向运动，到达点D停止运动，点Q和点P同时出发．设运动时间为x，设的面积为，的面积为．

(1)请直接写出，与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质：　　．
(3)结合函数图象，写出时x的值．
【答案】(1)，
(2)图象见详解；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减少．
(3)
【分析】（1）利用分段函数，分点P在上时，与点P在上，两种情况分别表示三角形面积即可；函数的表示，通过三角形的面积求法，表示出来即可．
（2）利用两点确定一条直线画出y1，y2的函数图象，再依据图形写出的增减性性质，即可．
（3）由图象可以看出交点在的范围内，令，解答即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形
，
解得：
当点P在上时，时
当点P在上时，在时
综上所述，．
如图作，垂足为H
四边形是正方形，
，
，
综上所述，，
（2）

如图即为y1和y2的函数图象，函数y1的一条性质： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减少．
（3）解：由图象可以看出交点在的范围内，
令
解得：．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、一次函数的图象与性质、三角形的面积公式、根据实际问题的条件求自变量的取值范围、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
35．如图1，在边长为的正方形中，为中点，动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点以每秒个单位的速度，从点出发，按的方向运动至点停止，当动点停止运动时动点也停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为．

(1)求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围；
(2)在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图像，并根据图像写出函数的一条性质；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)，
(2)见解析，
(3)当时，或
【分析】（1）根据点的运动速度，正方形的性质，图形结合，以及三角形面积的计算方法，分类讨论即可求解；
（2）根据（1）中的函数解析式即可绘图；
（3）根据（2）中图像性质，分类讨论，当时或当时，列方程求解即可．
【详解】（1）解：边长为的正方形中，为中点，点以每秒个单位的速度运动，点以每秒个单位的速度运动，运动时间为，
∴，，，，，
∴点从的时间为：，点从的时间为：，
点运动的过程，
①当在上运动时，，，
②当在上运动时，，如图所示，

，
∴点在运动过程中；
点运动的过程，，
综上所述：，．
（2）解：由（1）可知，，，如图所示，

的函数图像，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
的函数图像，当时，随的增大而增大．
（3）解：由（2）的图像可知，
当时，，
∴，解得，；
当时，，
∴，解得，；
综上所述，当时，或．
【点睛】本题主要考查动点与正方形的性质，动点运动规律与函数图像的综合，掌握动点运动与图形面积的计算方法，函数图像的绘图与性质，一次函数交点的计算方法是解题的关键．
36．在正方形中，，动点从点A出发，沿着匀速运动到点时停止运动，速度是每秒1个单位，设点的运动时间是，线段的长度为．

(1)请直接写出与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象；
(2)请写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，在点的运动过程中，当时，自变量的取值范围为__________．
【答案】(1)，画图象见解析
(2)函数图象关于直线对称；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
(3)或
【分析】（1）分两种情况分别计算即可求得函数表达式，再画出图象即可；
（2）根据函数图象即可解答；
（3）分两种情况分别计算，即可求解．
【详解】（1）解：当点P在上时，即时，，即；
当点P在上时，即时，，即，
综上，；
在中，令，则；令，则，
在中，令，则；令，则，
画函数图象如下：

（2）解：由图象可知：此函数图象关于直线对称；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
（3）解：在中，当时，解得，此时，
在中，当时，解得，此时，
综上，当时，自变量的取值范围为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了求动点问题的表达式，画函数图象及函数图象的性质，求不等式的解集，分段讨论是解决本题的关键．
37．如图，在正方形中，，动点P从点A点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，动点Q从C出发以每秒个单位长度的速度向终点D运动，两点同时出发，设运动时间为t，连接、、，记的面积为，的面积为．

(1)请直接写出与t之间的函数关系式以及对应t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并结合图象完成下列问题：
①写出函数的一条性质；
②直接写出当时，t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)画图见解析；①当时，随时间t的增大而增大，当时，随时间t的增大而减小；②
【分析】（1）针对于：分点P在边上，表示出，利用三角形面积公式得出结论；当点P在边上时，表示出，利用三角形的面积公式即可得出答案； 针对于：先表示出，利用三角形的面积公式即可得出答案；
（2）利用画函数图象的方法直接画出图象； ①根据图象写出一条性质即可； ②根据图象先求出的解，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
针对于： 当点P在边上（包括点B）时，即，
由运动知，，
∴；
当点P在边上时，即，
∴，
∴，
即 ；
针对于：
由运动知，，
∴；
（2）图象如图所示，

①Ⅰ、当时，随时间t的增大而增大，当时，随时间t的增大而减小； Ⅱ、当时，最大，最大值为8（答案不唯一）；
②由图象知，令，
∴，
∴当时，，
即当时，
t的取值范围为．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，三角形的面积公式，图象的画法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
38．如图1，在正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，，记点运动的路程为，的面积为．
(1)求与之间的函数解析式，注明自变量的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2)请根据函数图象，写出该函数的一条性质；
(3)请根据函数图象，直接写出当时，的值．
【答案】(1)，画图见解析
(2)该函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线．（答案不唯一）
(3)或5
【分析】本题考查了正方形的性质、一次函数的应用、三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质、采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）分三种情况：当在线段上时；当在线段上时；当在线段上时；分别利用三角形的面积公式计算即可得出与的函数关系式，根据关系式画出图象即可；
（2）根据函数图象即可得出性质；
（3）根据函数图象即可得出答案．
【详解】（1）解：四边形是正方形，，
，
①当在线段上时，，；
②当在线段上时，．；
③当在线段上时,．．
综上，，
该函数的图象如图．
（2）解：由图可得：性质：该函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线．（答案不唯一）
（3）解：由图可得：当时，或5．
39．如图1，正方形的边长为4，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C后停止．连接．设点E的运动路程为x，的面积为y．

(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在图2中画出（1）中函数的图象；
(3)观察函数图象，写出该函数的一条性质．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）分点E在边上和点E在边上两种情况，根据三角形的面积公式解答即可；
（2）先确定图象上的两点，再结合自变量的范围即可画出一次函数的图象；
（3）根据一次函数的增减性或对称性或最值解答即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴．
当时，如图，，
∴．

综上所述，．
（2）解：函数图象如图所示．

（3）解：①当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小．
②该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线．
③该函数在自变量的取值范围内有最大值，当时，函数取得最大值8．
【点睛】本题考查了一次函数和几何的结合，正确分类、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
40．如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线运动，当点P到达点C时停止运动．连结，若点P运动的路程为，的面积为y，当点P与点B重合时的值为0

(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质；
(3)根据图象，直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)函数的图象见解析；该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线（答案不唯一）
(3)或
【分析】（1）分和两种情况，根据三角形面积公式写出函数解析式，即可得到答案；
（2）根据（1）中的函数解析式和自变量取值范围画出函数图象，根据图象写出一条性质即可；
（3）根据图象，当时，或，即可得到当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：当时，的面积为，
当时，的面积为，
即y与x之间的函数解析式为，
（2）函数的图象如图所示，该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线；

（3）根据图象，当时，或，
∴当时，x的取值范围为或．
【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了一次函数的图象和性质、求一次函数解析式等知识，读懂题意，正确写出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
【题型5一次函数动态几何菱形和其他四边形类】
41．如图1，菱形的周长为24，，点G为对角线上一点，且．动点P从点O出发，沿移动到点B时停止运动（点P不与点O、点B重合）．设点P的运动路程为x，的面积为y．
请回答以下问题：
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：
(2)在图2的平面直角坐标系中画出y与x的函数图像，并写出该函数的一条性质；
(3)若的函数图像如图2所示，结合你画出的y与x的函数图像，直接写出当时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】此题考查了菱形的性质，动点问题的函数图象，解题关键是利用分类讨论思想，求出y与x的函数关系式和数形结合思想的应用．
（1）首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后分两种情况讨论：点P在上运动时和点P在上运动时，分别求解即可；
（2）根据（1）求出的表达式画出图象，进而求解即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）∵菱形的周长为24，
∴，
∵
∴
∴
∴当点P在上运动时，即时，
如图所示，当点P在上运动时，即时，过点P作于点E，
∴
∴
综上所述，；
（2）如下图所示，
时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小；
当时，y有最大值6，无最小值．（答案不唯一）
（3）根据图象得，
当时，或．
42．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿着折线A→O→B运动，速度为每秒1个单位长度，到达B点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y．

(1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时t的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由四边形是菱形，得到，，分别求出和时的函数解析式即可；
（2）根据画出的y与t的函数图象，写出它的一条性质即可；
（3）求出当时，，根据图象即可得当时t的取值范围．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
当时，，
当时，，
∴；
（2）画图如下：

性质：当时，y随t的增大而增大（或函数在自变量的取值范围内，有最大值．当t=5时，最大值为6）；
（3）当时，，解得，
根据图象可得当时，t的取值范围是．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、函数解析式、菱形的性质等知识，正确列出函数解析式是解题的关键．
43．如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】此题考查了动点问题函数图象，画一次函数图象，等边三角形的性质，菱形的性质；
（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用分别求解即可．
【详解】（1）解：当时，点分别在上运动，连接
∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，
∴
又∵
∴等边三角形，
∴
当时，点分别在上运动，
∵四边形是菱形，是边长为的菱形，
∴，
∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，
∴
∴
∴等边三角形，
∴
∴
（2）如图所示，
该函数是轴对称图形，对称轴是直线；
该函数在自变量范围内有最值，当或时，函数有最小值；当时，函数有最大值；
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
（选择其中之一即可）
（3）解：当时，
当时，，
当时，，解得：
∴或
44．如图，在四边形中，，，连接，满足，，．动点从点出发，沿以1个单位长度每秒的速度运动，到达点时停止运动．连接设点的运动时间为，的面积为．
(1)请直接写出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围
(2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)若函数的图象与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)在时，随的增大而减小
(3)的取值范围是．
【分析】（1）分两种情况，当点在上，，当点在上时，，由三角形面积公式可得出答案；
（2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论；
（3）由（2）中的图象及一次函数图象上点的坐标特征可得出答案．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
当点在上时，，
，
当点在上时，，
，
与之间的函数关系式为；
（2）解：如图，
该函数的一条性质为：在时，随的增大而减小（答案不唯一）；
（3）解：若函数的图象过点，
，
，
若函数的图象过点，
，
，
当函数的图象与的函数图象有两个交点时，
观察图象可知，的取值范围是．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了三角形的面积，直角三角形的性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
45．如图，在四边形ABCD中，，过点A作于点E，，．动点F从点D出发，沿运动，到达点B时停止运动．设点F的运动路程为x，的面积为．

(1)请求出与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、三角形面积的计算等：
（1）当点F在上运动时，由即可求解；当点F在上运动时，根据等积关系先求出，再同理可解；
（2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解；
【详解】（1）解：①当时，如图，
∵
∴
∴；
②当时，如图
过点E作于点G，
∵
∴
又
∴
又
∴，
综上，；
（2）解：对于函数，取描点，连线可得；
对于，取描点，连线可得；
如图：
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
（3）解：联立，
解得，；
联立，
解得，
所以，当或时，，
即不等式的解集为或
46．如图1，在四边形中，，，且，．、为四边形边上的两个动点，其中，点从出发，以每秒1个单位长度的速度，沿的方向运动，同时点从出发，以每秒个单位长度的速度，沿的方向运动，、相遇时同时停止运动．设的运动时间为秒，的面积为．
(1)直接写出与之间的函数关系式，并注明的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据所画图象，写出该函数的一条性质：__________；
(3)若直线与该函数图象有两个不同交点，请直接写出的取值范围：__________．
【答案】(1)
(2)见解析；当时，函数有最大值
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质等知识点，
（1）直接确定三角形的底和高求解即可；
（2）描点、连线即可画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质；
（3）先求得直线经过特殊点时的的值，结合图象即可求解．正确求出函数解析式并画出图象，数形结合是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴
依题意，在上运动的时间为秒，点在上运动的时间为秒，
∵，解得：
∴当相遇时，运动时间为秒
∴当时，如图所示，
∵设的运动时间为秒，
∴
∴
当时，都在上，如图所示，
∴
∴
∴
（2）解：如图所示，
当时，函数有最大值；
故答案为：当时，函数有最大值；．
（3）解：如图所示，
当经过时，，解得：
当经过时，
结合函数图象可得，当直线与该函数图象有两个不同交点，
故答案为：．
47．如图，四边形中，，，E为中点，．动点P从点B出发，沿着折线运动，到达点D停止运动，连接．设点P的运动路程为x，的面积记为，请解答下列问题：
(1)直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)函数，直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)图象见解析，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小
(3)
【分析】本题主要考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、一次函数的图象与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法：
（1）作于点F，证明四边形是正方形，得，证明是等腰直角三角形，得，过点E作于点G，得是等腰直角三角形，得过点E作于点，得四边形是矩形，得再分两种情况讨论，一是当时，根据可得；当时，根据可得；
（2）关于x的函数图象为有公共端点的两条线段，画出关于x的函数图象，由函数图象可知，当；当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小，写出其中的一条性质即可；
（3）由函数图象可知，当时，函数的图象在的图象上方，于是得到问题的答案．
【详解】（1）解：过点作于点F，
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∴，
∵为的中点，
∴
过点作垂足为点G，则
∴为等腰直角三角形，
∴
当当时，
；
当时，过点E作于点，如图，
则，
综上，关于x的函数关系式为
（2）解：画的图象：
列表：
1 2 3 4
5 6 7 8
连线得，如图，
画的图象：
列表：
9 10 11
9 6 3
连线得，如图，
性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小，
（3）解：由图象知，当时，函数的图象在的图象上方，
所以，当时， ，
即当时，x的取值范围是
48．如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为．
(1)请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)画图见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）；
(3)当时的取值范围为：或．
【分析】（1）当点在上运动时，由，即可求解；当点在上运动时，同理可解；
（2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解；
【详解】（1），，
则，
即，
则四边形为矩形，
在中，，，则，
则矩形为边长为4的正方形，
当点在上运动时，
过点作于点，
则，
当点在上运动时，
同理可得：，
即；
（2）当时，，当时，，当时，；
将上述坐标描点连线绘制图象如下：
从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）；
（3）从图象看，当时的取值范围为：或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其中（1），要注意分类求解，避免遗漏．
49．如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以每秒的速度向点运动；点从同时出发，以每秒的速度沿着运动．运动时间为秒，令的面积为，的面积为，请回答下列问题：
(1)请直接写出，与的函数关系式以及对应的的取值范围；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出，的图象；
(3)根据图象直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查动点函数图像、平行线的性质、三角形面积公式及一次函数与不等式，正确得出，与的函数关系式是解题关键．
（1）根据平行线的性质得出，由三角形的面积公式分别表示和的面积即可求解；
（2）根据解析式画出函数图象即可；
（3）根据图像得出点在上时，，根据解析式列出不等式即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形中，，，
∴，
∵，，点从出发，以每秒的速度向点运动，
∴，
∴当时，，
∵，，点从同时出发，以每秒的速度沿着运动．
∴，，
当时，，
当时，，
∴，
∴．
（2），的图象如图所示：
（3）由图象可得：当点在上时，，
∴，
解得：，
∴时．
【点睛】 由三角形的面积公式可求解；
根据解析式画出函数图象；
列出不等式可求解．
本题是四边形综合题，考查了梯形的性质，三角形面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 一次函数动态几何问题分类训练
目录
【题型1一次函数动态几何三角形类】 1
【题型2一次函数动态几何平行四边形类】 6
【题型3一次函数动态几何矩形类】 10
【题型4一次函数动态几何正方形类】 15
【题型5一次函数动态几何菱形和其他四边形类】 21
【题型1一次函数动态几何三角形类】
1．如图，中，，，，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，的面积为y（注：三角形、四边形等封闭图形的面积不能为0）．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
2．如图，中，，，，动点、分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度同时从出发，点沿折线→→方向运动，点沿折线→→方向运动，点到达点后，点的运动速度变为每秒个单位长度运动，同时点的运动速度变为每秒个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出、两点相距个单位长度时的值．
3．如图，在中，，，．点D从点A出发沿折线方向运动，到达点C后停止，连接，．设点D运动的路程为x，的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时x的值．
4．如图，在中，，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当的面积小于3时的值．
5．如图，在中， ，动点从点出发，沿折线方向运动到点停止，设点运动路程为，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请根据图象，直接写出当时的取值范围．
6．如图1，在中，，动点Q以1个单位长度每秒的速度从C点出发，沿运动，到达A停止运动，设点Q的运动时间为x秒，的面积为y，请解答以下问题：
(1)求出y关于x的函数关系式并注明x的取值范围；
(2)在图2中画出y的函数图象；
(3)根据图象直接写出当面积等于6时对应x的值．
7．如图，在中，，，，点P为直角边，边上一动点，现从点B出发，沿着的方向运动至点A处停止．点P在上的运动速度为每秒2个单位，在上的运动速度为每秒个单位，运动时间为x秒，的面积为y．
(1)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质：
(3)结合函数图象，当时，直接写出y的范围．
8．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒1个单位长度，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为，．
(1)请直接写出y关于t的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合图象直接写出时，t的值．
9．在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题：
(1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围．
10．如图，在中，，，D为上一点，且．动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发至点C（点P不与两点重合），设点P运动的时间为x秒，的面积为y．
(1)直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)若与y的图像没有交点，请直接写出t的取值范围．
【题型2一次函数动态几何平行四边形类】
11．如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．

(1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围；
12．如图，平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线B→A→D运动，在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线BC的距离与点P到点A的距离之和记为．
(1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有两个公共点时m的取值范围．
13．如图1，在平行四边形ABCD中，，，，点E为AD中点，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向运动，当动点P返回到A点时停止运动．动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿方向运动，到达点B时停止运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为x秒，的面积为，的面积为．
(1)请直接写出、关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并写出函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时，x的取值范围为______．
14．如图，在平行四边形中，，，，若点从点出发，沿着方向运动，已知点的运动路程为，将的面积记为完成下列问题：

(1)直接写出与之间的函数表达式以及对应的的取值范围．
(2)在平面直角坐标系中画出与的函数的图象，并写出的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围．
15．如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围．
16．如图，在平行四边形中，，，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动到点停止，点沿折线方向运动到点停止（点可以与线段端点重合），设运动时间是（秒），点的距离是．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当时的取值范围．
17．如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线的距离与点P到点A的距离之和记为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请直接写出当y为3时x的值．
18．如图1，已知四边形是平行四边形，，，，点M从点B出发，沿方向移动到点D停止．过点A作交于点N，设的长为，的长为y．请解答下列问题：
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)通过取点，画图，测量得到了y与x的几组值，如下表：
x 4 5 6 7 8 9
y 5 5 a b
请直接写出a和b的值；
(3)如图2，请在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(4)请直接写出y的最小值．
19．在平行四边形中，，，，点P从A点出发，沿着做匀速运动，到达点D时，停止运动，过点P作，交直线于点Q，设点P的运动路程为x，线段的长为y（点P与点A，D重合时，的长为0）．

(1)请直接写y与x的间的函数表达式，注明自变量x的取值范围，并在给出的平面直角坐标系中画出y的函数图象；
(2)请写出函数y的一条性质；
(3)结合图象，在点P的运动过程中，当线段的长时，自变量x的取值范围为______．
【题型3一次函数动态几何矩形类】
20．如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接、．设的面积为y．
(1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象；
(2)根据函数图象，写出该函数的一条性质；
(3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出m的取值范围．
21．如图，在矩形中，，，动点在对角线上运动（点不与、重合），设的长度为，的面积为，的面积为，请解答下列问题：
(1)请直接写出，与的函数关系式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出，的函数图象；
(2)结合函数的图象，写出函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时，的取值范围．
22．如图，在矩形中，，，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时从点和点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当点到达点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出当的面积不小于6且不大于11时的取值范围．
23．如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边上的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y.

(1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图像，直接写出当直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围.
24．如图，在矩形中，，，点Q为边上的中点，动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止. 设运动的时间为t秒，记为y.（）
(1)请直接写出y关于t的函数表达式以及对应的t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合图象，当时，直接写t的取值范围.（保留一位小数，误差不超过0.2）
25．如图，矩形中，，，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着方向运动到点停止，连接，，，设点的运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围（注意：三角形的面积不能为零）；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．
26．如图，在矩形中，，点Q是边的中点，动点P从点B出发，沿着运动，到达点C后停止运动．已知速度秒，令，运动时间为秒（）．请解答下列问题：
(1)求出y与之间的函数表达式，标明自变量的取值范围，并画出函数图象；
(2)当时，求出的值．
27．如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接．设的面积为y．

(1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象；
(2)根据函数图象，写出该函数的一条性质；
(3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出k的取值范围．
28．如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，P点以每秒1个单位长度的速度沿着运动，到达A点停止运动，点Q以每秒个单位长度的速度由运动，到达D点停止运动，P点运动时间为t秒，令的面积为的面积为．回答下列问题：
(1)请直接写出与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围；
(2)请在平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质；
(3)根据图像，直接写出当时，t的取值范围_________．
29．如图1，在矩形中，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以沿折线运动，当点运动到时，点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，运动过程中四边形的面积记为，且，的面积记为．
(1)直接写出与的函数关系式以及对应自变量的取值范围．
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数图象的一条性质：________．
(3)结合图象，当时，直接写出的取值范围．
【题型4一次函数动态几何正方形类】
30．如图，正方形是边长为4，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，两动点同时出发，设运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的面积为时的值．
31．如图1，在正方形中，，点是边上的中点，动点从点出发，以个单位每秒的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒，的面积为．
(1)写出与之间的关系式，注明自变量的取值范围，并在图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
(2)写出函数图象的性质：____________（写出一条即可）．
(3)当的面积等于的时候，时间______．
32．如图，正方形边长为，动点，均以每秒个单位长度的速度同时从点出发，沿折线方向运动，沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为秒，点，的距离为．
(1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出点，相距个单位长度时的值．
33．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度运动，到达点停止运动，连接，设点的运动时间为，的面积为（当点与、两点重合时，的值为0）

(1)直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质______；
(3)根据函数图象直接写出不等式的解集是______．
34．如图，在正方形中，对角线相交于点O，，动点P以每秒1个单位的速度，从点A出发，沿折线方向运动，到达点D停止运动．动点Q以每秒1个单位的速度，从点C出发，沿方向运动，到达点D停止运动，点Q和点P同时出发．设运动时间为x，设的面积为，的面积为．

(1)请直接写出，与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质：　　．
(3)结合函数图象，写出时x的值．
35．如图1，在边长为的正方形中，为中点，动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点以每秒个单位的速度，从点出发，按的方向运动至点停止，当动点停止运动时动点也停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为．

(1)求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围；
(2)在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图像，并根据图像写出函数的一条性质；
(3)当时，求的值．
36．在正方形中，，动点从点A出发，沿着匀速运动到点时停止运动，速度是每秒1个单位，设点的运动时间是，线段的长度为．

(1)请直接写出与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象；
(2)请写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，在点的运动过程中，当时，自变量的取值范围为__________．
37．如图，在正方形中，，动点P从点A点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，动点Q从C出发以每秒个单位长度的速度向终点D运动，两点同时出发，设运动时间为t，连接、、，记的面积为，的面积为．

(1)请直接写出与t之间的函数关系式以及对应t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并结合图象完成下列问题：
①写出函数的一条性质；
②直接写出当时，t的取值范围．
38．如图1，在正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，，记点运动的路程为，的面积为．
(1)求与之间的函数解析式，注明自变量的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2)请根据函数图象，写出该函数的一条性质；
(3)请根据函数图象，直接写出当时，的值．
39．如图1，正方形的边长为4，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C后停止．连接．设点E的运动路程为x，的面积为y．

(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在图2中画出（1）中函数的图象；
(3)观察函数图象，写出该函数的一条性质．
40．如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线运动，当点P到达点C时停止运动．连结，若点P运动的路程为，的面积为y，当点P与点B重合时的值为0

(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质；
(3)根据图象，直接写出当时，x的取值范围．
【题型5一次函数动态几何菱形和其他四边形类】
41．如图1，菱形的周长为24，，点G为对角线上一点，且．动点P从点O出发，沿移动到点B时停止运动（点P不与点O、点B重合）．设点P的运动路程为x，的面积为y．
请回答以下问题：
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：
(2)在图2的平面直角坐标系中画出y与x的函数图像，并写出该函数的一条性质；
(3)若的函数图像如图2所示，结合你画出的y与x的函数图像，直接写出当时，自变量x的取值范围．
42．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿着折线A→O→B运动，速度为每秒1个单位长度，到达B点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y．

(1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时t的取值范围．
43．如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值．
44．如图，在四边形中，，，连接，满足，，．动点从点出发，沿以1个单位长度每秒的速度运动，到达点时停止运动．连接设点的运动时间为，的面积为．
(1)请直接写出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围
(2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)若函数的图象与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围．
45．如图，在四边形ABCD中，，过点A作于点E，，．动点F从点D出发，沿运动，到达点B时停止运动．设点F的运动路程为x，的面积为．

(1)请求出与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
46．如图1，在四边形中，，，且，．、为四边形边上的两个动点，其中，点从出发，以每秒1个单位长度的速度，沿的方向运动，同时点从出发，以每秒个单位长度的速度，沿的方向运动，、相遇时同时停止运动．设的运动时间为秒，的面积为．
(1)直接写出与之间的函数关系式，并注明的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据所画图象，写出该函数的一条性质：__________；
(3)若直线与该函数图象有两个不同交点，请直接写出的取值范围：__________．
47．如图，四边形中，，，E为中点，．动点P从点B出发，沿着折线运动，到达点D停止运动，连接．设点P的运动路程为x，的面积记为，请解答下列问题：
(1)直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)函数，直接写出当时，x的取值范围．
48．如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为．
(1)请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．
49．如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以每秒的速度向点运动；点从同时出发，以每秒的速度沿着运动．运动时间为秒，令的面积为，的面积为，请回答下列问题：
(1)请直接写出，与的函数关系式以及对应的的取值范围；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出，的图象；
(3)根据图象直接写出当时，的取值范围．
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