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专题 一次函数重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 正比例函数的定义
题型二 正比例函数的图象
题型三 正比例函数的性质
题型四 根据一次函数的定义求参数
题型五 求一次函数自变量或函数值
题型六 列一次函数解析式并求值
题型七 一次函数的图象问题
题型八 已知函数经过的象限求参数范围
题型九 一次函数图象与坐标轴交点问题
题型十 一次函数的平移问题
题型十一 一次函数的增减性求参数
题型十二 比较一次函数值的大小
题型十三 一次函数的规律探究问题
题型十四 求一次函数解析式
【知识梳理】
知识点一：正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
知识点二：正比例函数图像和性质
正比例函数图象与性质用表格概括下：
k的符号 图像 经过象限 性质
k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大
k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少
知识点三：待定系数法求正比例函数解析式
1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．
2.确定正比例函数表达式的一般步骤：
(1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；
(2)代——；
(3)求——k；
(4)写——
知识点四：一次函数的定义
如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
知识点五：一次函数图像和性质
一次函数图象与性质用表格概括下：
增减性 k＞0 k＜0
从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少
图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
【提分要点】： 若两直线平行，则； 若两直线垂直，则
知识点六：一次函数的平移
一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。
口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。
一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。
口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数）
知识点七：求一次函数解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
基本步骤：设、列、解、写
⑴设：设一般式y=kx+b
⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）
⑶解：解出k、b；
⑷写：写出一次函数式
【经典例题一 正比例函数的定义】
【例1】已知函数，（m ，n是常数）是正比例函数，的值为（ ）
A． 或0 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数．
【详解】∵函数，（m ，n是常数）是正比例函数，
∴，
解得，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式．
【变式训练】
1．规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义求出m的值，然后求出点的坐标即可判断．
【详解】解：由题意得：
∵“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣4＝0，
∴m＝4，
∴2+m＝6，2﹣m＝﹣2，
∴点（6，﹣2）在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2．若y与成正比例，且当时，则当时 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例的应用，由y与成正比例可以设，代入计算即可．
【详解】∵y与成正比例，
∴设，
当时，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
故答案为：．
3．已知与的关系如下表．
0 1 2 3
15 10 5 0
(1)根据上表写出与的关系式，并判断是否为的正比例函数；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)，是的正比例函数；
(2)40．
【分析】（1）根据正比例函数的定义，计算验证中的k值，是否是相同的定值，不同，则不是．
（2）根据解析式求函数值即可．熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
是的正比例函数．
（2）当时，，
的值为40．
【经典例题二 正比例函数的图象】
【例2】七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查求一次函数解析式，把图形补全得到一个边长为3的正方形，写出点A和点B的坐标，根据梯形面积是列出关于k的方程．解方程即可得到k的值．数形结合是解题的关键．
【详解】解：如图，把图形补全得到一个边长为3的正方形，直线将这个正方形分成面积相等的两部分，每部分的面积为，则点A的坐标为，点B的坐标为，
根据直线下方梯形的面积得到，
解得，
故选：A
【变式训练】
1、下列关于函数的结论正确的是（　　）
A．函数图象经过点
B．函数图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．不论x为何值，总有
【答案】B
【分析】直接根据正比例函数的图象与性质特点逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，，
则函数图象不经过点，此项错误，不符合题意；
B、函数中的，
则函数图象经过第一、三象限，此项正确，符合题意；
C、函数中的，
则随的增大而增大，此项错误，不符合题意；
D、只有当时，，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为

【答案】（答案不唯一）
【分析】分别求正比例函数经过点和时的值，即可找到的取值范围，从而可选择一个合适值．
【详解】解：当正比例函数经过点第一象限时，，
当正比例函数经过点时，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数比例系数，利用数形结合求出正比例函数系数的范围是解题关键．
3．已知正比例函数．
(1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限；
(2)k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的增减性，函数图象所经过的象限与正比例系数之间的关系，是解决问题的关键．
（1）当正比例系数大于0时，函数图象经过一、三象限，则有，求解就能确定k的范围；
（2）当正比例系数小于0时，y随x的增大而减小，则有，求解就能确定k的范围．
【详解】（1）∵函数的图象经过一、三象限，
∴，
解得．
故当时，函数的图象经过一、三象限．
（2）∵y随x的增大而减小，
∴，
解得．
故当时，y随x的增大而减小．
【经典例题三 正比例函数的性质】
【例3】如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：设，
点在直线上，
，
，
，
，
，
，
点在上，
，
，
故选：D．
【变式训练】
1、平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　)
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键．
如图，由题意知，根据，确定此时的值，然后根据正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，进行作答即可．
【详解】解：如图，

将分别代入，
解得，，，
由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，
∴正比例函数的图象与线段有交点，则或；
故选：D．
2．对于正比例函数，y的值随x的值增大而增大，则m的值为 ．
【答案】
【分析】根据正比例函数的定义及增减性，即可得答案．
【详解】解：∵的值随的值增大而增大，
∴，
∵正比例函数，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，形如（是不等于0的常数）是正比例函数，还考查了正比例函数的性质，掌握函数的性质是解决问题的关键．
3．已知正比例函数的图象过点，求：
(1)求正比例函数关系式；
(2)画出正比例函数的图象；
(3)当自变量x满足时，直接写出对应函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2)画图见解析
(3)
【分析】（1）把代入函数解析式即可；
（2）先列表描点，再连线即可；
（3）分别求解当时，；当时，；从而可得答案．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∴正比例函数为；
（2）列表：
0
0
描点连线：

（3）当时，；
当时，；
当自变量x满足时，对应函数值y的取值范围为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，画正比例函数的图象，求解函数的函数值的取值范围，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解本题的关键．
【经典例题四 根据一次函数的定义求参数】
【例4】若点在函数的图象上，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】将点代入函数，得到，即可求出代数式的值．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，代数式求值，解题关键是掌握函数的图象上的点符合函数解析式．
【变式训练】
1．若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意得出，求出，根据，求出，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
解得：，
，
，
，
可以是5，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用n表示出k，得到关于n的不等式是解题的关键．
2．点在直线上，则代数式的值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查代数式求值，一次函数上的点与其解析式的关系，根据题意，将点代入直线得到，恒等变形得到，整体代入代数式即可得到答案，熟练掌握整体代入求代数式值的方法是解决问题的关键．
【详解】解：点在直线上，
将点代入直线得到，
，
故答案为：．
3．已知一次函数．
(1)当m、n为何值时，函数的图像过原点
(2)当m、n满足什么条件时，函数的图像经过二、三、四象限
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入解析式，且满足，解答即可．
（2）根据题意，得，，解答即可．
本题考查了一次函数的定义，图象的分布条件，熟练掌握分布条件是解题的关键．
【详解】（1）∵一次函数过原点，
∴，且，
解得，且．
（2）根据题意，得，，
解得，．
【经典例题五 求一次函数自变量或函数值】
【例5】关于直线，下列说法不正确的是（ ）
A．点在上 B．经过定点
C．必定经过第一、三象限 D．当时，随的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．
对于A，B两选项，根据函数图象上的点一定满足函数解析式，分别将两点的横坐标代入解析式，计算y值看是否等于纵坐标，即可； 再利用一次函数的k值的正负决定图象经过的象限及增减性，即可判断C、D的正误．
【详解】A. 当时，，即点在l上，故A正确，不符合题意；
B. 当时，，即经过定点，故B正确，不符合题意；
C. 当时，，经过第一、二、四象限，故C不正确，符合题意；
D. 当时，随的增大而增大，故D正确，不符合题意．
故选：C．
1．若点关于y轴的对称点在一次函数的图象上，则k的值为（）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于轴、轴对称的点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的一元一次方程是解题的关键．
由点的坐标，可找出点关于轴的对称点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：点关于轴的对称点为．
∵点在一次函数的图象上，
解得：，
故选：D．
2．已知一次函数，原点到直线的最大距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象上的点，以及两点间的距离公式．根据一次函数的解析式，确定图象的必过点，是解题的关键．当时，，一次函数的图象过定点，设原点到直线的距离为d，点，根据斜边大于直角边，得到，求出的长，即为所求．
【详解】解：根据题意，设原点到直线的距离为d，
∵直线，当时，，
∴直线恒过定点，设，
则，
∴原点到直线的距离的最大值等于，
故答案为：．
3．如图，画出函数的图象．

(1)列表：
… 0 1 …
… …
(2)描点并连线；
(3)判断点，，是否在函数的图象上；
(4)若点在函数的图象上，求出的值．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)，不在函数的图像上，在函数的图象上；
(4)；
【分析】
本题考查画一次函数图像，列表，描点，判断点是否在函数上：
（1）将值代入求解即可得到答案；
（2）根据表描点，连线即可得到答案；
（3）将点代入求解，比较判断即可得到答案；
（4）将点代入求解即可得到答案；
【详解】（1）
解：当时，，
时，，
∴表为：
… 0 1 …
… 1 …
（2）解：由（1）得，函数图像如图所示，

（3）
解：当时，，
当时，，
当时，，
∴，不在函数的图像上，在函数的图象上；
（4）解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：．
【经典例题六 列一次函数解析式并求值】
【例6】对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
0 1 2 3
2 5 8 12 14
A．2 B．5 C．8 D．12
【答案】D
【分析】试算，将数表中两组值代入一般式中，确定函数解析式，再将其它值代入，若仅有一组不能满足解析式，即为所求．
【详解】解：将，代入，得，
解得，于是，
将其它数组代入，可知，满足解析式；不满足解析式．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式；掌握待定系数法是解题的关键．
【变式训练】
1若一个正比例函数的图像经过，两点，则n的值为（ ）
A．-9 B．1 C．4 D．9
【答案】D
【分析】设正比例函数解析式为，利用A点坐标求出解析式，再将B点坐标代入解析式即可求出n．
【详解】解：设正比例函数解析式为，
∵在函数图象上，
∴，解之得：，故其解析式为，
∵在函数图象上，将其代入得到：，
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数，会利用待定系数法求解析式，已知解析式和解析式上点的横坐标，会求纵坐标，解题的关键是利用A点坐标求出解析式．
2．点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上，则代数式12a－3b＋1的值等于 ．
【答案】-8
【分析】把坐标代入解析式，整体变形代入求解即可．
【详解】∵点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上，
∴b=4a+3，
∴3b=12a+9，
∴12a-3b=-9，
∴12a－3b＋1=1-9=-8,
故答案为：-8．
【点睛】本题考查了一次函数图像与点的关系，熟练运用点的坐标满足函数的解析式转化条件求解是解题的关键．
3．《国务院关于印发全民健身计划（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客，举行大型回馈活动，特推出两种“冬季唤醒计划”活动方案．
方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费30元．
方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元．
设王彬一年内来此健身中心健身的次数为（次），选择方案1的费用为（元），选择方案2的费用为（元）．
(1)分别写出，与之间的函数关系式；
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出它们的函数图象；
(3)预计王彬一年内能来此健身中心12次，选择哪种方案比较合算？并说明理由．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)他选择方案二比较合算，理由见解析
【分析】（1）本题主要考查了列函数关系式，根据两种方案分别列出函数关系式即可，理解题意是解题的关键；
（2）本题主要考查了画函数图像，分别确定两个函数图像上的两个点，然后连接即可；理解函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键；
（2）本题主要考查了不等式的应用，解不等式，即可确定来此健身中心12次费用较小的方案．正确求解不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：，；
所以与x之间的函数表达式分别为，．
（2）解：当时，，；当时，，．
据此描点、连线画出函数图像如下：
（3）解：王斌择方案二比较合算，理由如下：
解不等式，解得：，
所以当时，方案二优惠，
因为，王斌择方案二比较合算．
【经典例题七 一次函数的图象问题】
【例7】下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A不可能，符合题意；
B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B可能，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C可能，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D可能，不符合题意；
故选：A．
【变式训练】
1．两个一次函数，（为常数），它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，分时，时，时，时四种情况，写出一次函数，经过的象限，即可判断．
【详解】解：当时，一次函数，经过一、三、四象限；
当时，一次函数经过一、二、三象限；一次函数经过二、三、四象限；
当时，一次函数经过二、三、四象限；一次函数经过一、二、三象限；
当时，一次函数，经过一、二、四象限，
观察四个选项可知，只有选项A满足题意，
故选：A．
2．一次函数的图象如图所示，化简 ．
【答案】/
【分析】先根据一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得，，再由图可知，当时，一次函数的值大于0，即有当时，有，据此化简即可．
【详解】∵一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，
∴，，
由图可知，当时，一次函数的值大于0，
∴将代入中有，
即：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图象与性质得出，，是解答本题的关键．
3．设一次函数（为常数，且），图象过，．
(1)求该一次函数的解析式，并画出它的图象；
(2)判断点是否在该一次函数图象上．
【答案】(1)一次函数解析式为；图像见解析
(2)点不在该一次函数图象上，理由见解析
【分析】（1）把点和点坐标代入得到关于的方程组，然后解方程组即可；
（2）把代入一次函数的解析式中，可得，即可得到答案．
【详解】（1）解：把，分别代入得：
，
解得：，
一次函数解析式为，
画出图如图所示：
；
（2）解：当时，，
点不在该一次函数图象上．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，凡是图象经过的点都能满足一次函数关系式．
【经典例题八 已知函数经过的象限求参数范围】
【例8】过点的直线不经过第三象限，若，则p的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据过点的直线不经过第三象限，可以得到和的关系，、的正负情况，再根据，即可用含的式子表示和用含的式子表示，然后即可得到相应的不等式组，再解不等式组即可．
【详解】
解：过点的直线不经过第三象限，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
解得，
故选：C．
【变式训练】
1．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点，那么一定有（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查正比例函数图象与性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，先根据坐标特征分析点所在象限，从而确定正比例函数的图象所过的象限，再由两点不在同一个象限即可得到答案，熟练掌握一次函数图象与性质及平面直角坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】
解：∵点的横坐标为，
∴此点在二、三象限；
∵点的纵坐标为，
∴此点在一、二象限，
∴此函数的图象一定经过一、三象限，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，
故选：D．
2若一次函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系，先判断出一次函数图象经过第一、二、三象限或一、三象限，即可确定的取值范围，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限，
∴一次函数图象经过第一、二、三象限或一、三象限，
∴，
故答案为：．
3．已知一次函数为常数，且．
(1)当函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上时，求m的取值范围．
(2)当函数图象经过第二、三、四象限时，求m的取值范围．
(3)当时，一次函数的最大值为4，求m的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)2或．
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一次函数的增减性等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）根据一次函数的图象与y轴的交点在y轴正半轴上时，b为正数列不等式求解即可；
（2）根据一次函数的图象经过第二、三、四象限时，列不等式组求解即可；
（3）分和两种情况，分别根据函数增减性求解即可．
【详解】（1）解：∵函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴，
∴．
（2）解：∵图象经过第二、三、四象限，
∴，解得：．
（3）解：①当时，即时，y随x增大而增大，
∴当时，最大值为4，
∴，解得：；
②当时，即时，y随x增大而减小，
∴当时，最大值为4，
∴，解得：，
综上所得m的值为2或．
【经典例题九 一次函数图象与坐标轴交点问题】
【例9】若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．
先求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值即可．
【详解】解：∵一次函数与y轴交点为，
∴点关于直线的对称点为，
把代入直线，可得，
解得，
则，
一次函数与y轴交点为，
关于直线的对称点为，
代入直线，可得，
解得．
故选：C．
【变式训练】
1．一次函数的图象与x轴的交点坐标为，且，则p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式的性质，先把，得出的取值范围，即可得出的取值范围；
【详解】∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为且，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C
2．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于轴的对称点，然后利用待定系数法即可求解．
【详解】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为；
点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，
把点、代入，
得：，
解得：，，
，
故答案为：．
3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)直线上存在两点，求的面积；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“左加右减，上加下减”下减原则即可得答案．
（2）根据是直线上两点，确定两点的坐标，后计算的面积．
本题考查了一次函数的平移，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到，
∴，，
∴一次函数的表达式．
（2）∵是直线上两点，
∴，，
解得：，
∴，
．
【经典例题十 一次函数的平移问题】
【例10】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图像向上平移3个单位长度后得到一次函数的图像，下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A． B．随的增大而减小
C．图像与轴、轴均交于正半轴 D．点在该函数的图像上
【答案】D
【分析】
本题考查一次函数图像与性质，涉及一次函数图像的平移等知识，现根据题意，通过函数图像平移得到，由一次函数图像与性质逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：将正比例函数的图像向上平移3个单位长度后得到一次函数的图像，
一次函数为，
A、由一次函数为得到，该选项正确，不符合题意；
B、由一次函数为得到，随的增大而减小，该选项正确，不符合题意；
C、由一次函数为得到、，图像过一、二、四象限，即图像与轴、轴均交于正半轴，该选项正确，不符合题意；
D、由一次函数为，当时，，点不在该函数的图像上，该选项错误，符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．如图，在的方格纸中（每个小正方形的边长均为1）点，，均为格点（即小正方形的顶点），其中点，的坐标分别记为，，过点作直线，则点的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的平移，以及一次函数图象上点的坐标特征．用待定系数法求出直线的解析式，结合求出直线的解析式，然后逐项代入验证即可．
【详解】解：设直线的解析式，
把，代入，得
，
∴，
∴，
∵点的坐标分别记为，
∴点P的坐标分别记为，
∵，
直线的解析式．
A．当时，，∴不可能是点的坐标；
B．当时，，∴可能是点的坐标；
C．当时，，∴不可能是点的坐标；
D．当时，，∴不可能是点的坐标；
故选B．
2．若直线l与直线平行，且l过点，则直线l的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．
根据两平行直线的解析式的k值相等可设直线的函数表达式为，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b即可解答．
【详解】∵直线l与直线平行，
∴设直线l的函数表达式为，
把点代入得：，解得：，
∴直线的函数表达式为．
故答案为：．
3．已知一次函数，其中．
(1)若点在y的图象上，求a的值；
(2)当时，若函数有最小值，求的函数表达式；
(3)对于一次函数，其中，若对一切实数x，都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)，且
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
（1）把代入中可求出的值；
（2）分两种情况：当，即时，当，即时，再根据一次函数增减性，结合当时，函数有最小值，得点的坐标，再代入一次函数解析式即可求解；
（3）先整理得到，再对一切实数，都成立，则直线与平行，且在的上方，所以且，从而得到，需满足的数量关系及的取值范围．
【详解】（1）解：把代入，
得：，
；
（2）当，即时，随增大而增大，
∵当时，函数有最小值，
∴时，，
把代入，得：，
解得：，此时一次函数解析式为；
当，即时，随增大而减小，
∵当时，函数有最小值，
则时，，
把代入，得：，
解得：，此时一.次函数解析式为；
综上，或；
（3），
∵对一切实数，都成立，
则直线与平行，且在下方，
且，
，且．
【经典例题十一 一次函数的增减性求参数】
【例11】21．若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次项的系数决定函数的增减性质，掌握此性质是解题的关键．
根据一次函数的性质可确定一次项系数的符号，从而可确定m的取值范围．
【详解】解：当时，，则y随x的增大而减小，
∴，
解得：
故选：D．
【变式训练】
1．若，且，当时，关于x的代数式恰好能取到两个非负整数值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的性质，一次函数的性质，先求出，令，此一次函数y随x的增大而减小，进一步可得出结论
【详解】解：∵，且，
∴，
令，此一次函数y随x的增大而减小，
∵当时，关于x的代数式恰好能取到两个非负整数值，
∴当时，，
∴，
故选：A
2．已知，是关于x的函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，牢记“随x的增大而增大；随x的增大而减小”是解题的关键．
【详解】∵两点在一次函数的图象上，且当时，，
∴y随x的增大而增大，
∴，
∴，
即m的取值范围为，
故答案为：．
3．已知一次函数．
(1)当函数图象经过点时，求的值；
(2)若函数值随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
（1）将点代入函数解析式得出，求解即可；
（2）根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而减小，求解即可．
【详解】（1）解：函数图象经过点，
，
解得：；
（2）解：函数值随的增大而减小，
，
解得：．
【经典例题十二 比较一次函数值的大小】
【例12】若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】∵点在一次函数的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴随的增大而减小，
又∵点，点都在一次函数的图象上，且，
∴，
故选：．
【变式训练】
1．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据所给条件，进行正确的讨论是解题的关键．
根据一次函数的图象和性质即可解决问题．
【详解】解：一次函数的图象如图所示，
因为，且，
所以，．
结合函数图象可知，
此时，但的正负无法确定．
故A选项错误．
因为，
则或，
当时，
和的正负都无法确定．
故B选项错误．
因为，
所以，，
则．
结合函数图象可知，
，
所以．
故C选项正确．
结合上述过程，
当时，的正负无法确定，
故D选项错误．
故选：C．
2．若，这两个不同点在y关于x的一次函数图象上，且，则a的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查了点在函数图象上的意义，参数不等式；由点在函数图象上得，，从而可表示出，
代入已知不等式，即可求解；将不等式化为是解题的关键．
【详解】解：，在一次函数图象上，
，
，
，
，
，
，是两个不同点，
，
，
，
；
故答案：．
3．已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求k、b的值．
(2)若点，在此函数的图象上，且，则______填“>”，“=”或“<”
(3)将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的图象与x轴的交点为点C，求点C坐标．
【答案】(1)，
(2)>
(3)
【分析】本题考查了一次函数图象及性质，一次函数的几何变换．
（1）利用待定系数法即可求解，把点M，N的坐标代入一次函数中，求解方程组即可解答；
（2）根据，y随x的增大而增大，即可判断；
（3）根据平移“上加下减”法则得到平移后的解析式，再令，求出x值即可得到点C坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点．
∴，
解得，
，；
（2）解：∵，
∴一次函数，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：一次函数图象向下平移3个单位后的解析式为：，
即，
令，则，
解得：，
∴点C的坐标为．
【经典例题十三 一次函数的规律探究问题】
【例13】如图，正方形、正方形、正方形、…、正方形的顶点A、、、…、和O、C、、、…、分别在一次函数的图象和x轴上，若正比例函数则过点，则系数k的值是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的图象和性质，求正比例函数解析式，点坐标规律探索．找出，，，……的坐标规律是解题关键．根据一次函数解析式可求出，结合正方形的性质可求出，进而得出，，，……，，即可求出，再代入求解即可．
【详解】解：∵点A是直线与y轴的交点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
同理可得、，、，……
∴，，，……
∴的坐标是．
∴，即，
把代入，得：，
解得：．
故选：B．
【变式训练】
1．如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…，照此规律运动，动点依次经过点，则当动点到达处时，运动的总路径的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键．点，，所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点到达点处时，运动的总路径的长为，据此即可求解．
【详解】解：由直线：可知，，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知，
，，，，，
，，，，，…，
由此可得，，
∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为，
∴当点到达处时，运动的总路径的长为．
故选：B．
2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ．
【答案】
【分析】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律推理．过点作轴于点D，由直线求出，，从而得到和的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出，从而求出，再根据勾股定理得出，从而得到，，，依此类推，第n个等边三角形的边长等于，据此即可求解．
【详解】
解：如图，过点作轴于点D，
∵直线与x、y轴交于B、C两点，
∴当时，，当时，，
∴点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴第1个等边三角形的边长，
同理：第2个等边三角形的边长，
第3个等边三角形的边长，
……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于，
∴第2024个等边三角形的边长等于．
故答案为：．
3．含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，
【探究】
(1)点的坐标是______；
(2)点的坐标是______；
(3)点的坐标是______（为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过作轴于，由菱形的性质可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标；
（2）过作轴于，四边形是菱形可证，是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标；
（3）由（1）（2）的证明，同理可得，，进而可得．
【详解】（1）过作轴于，则，
四边形是含的菱形，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
，，
，
在中，，
．
故答案为：．
（2）过作轴于，则，
四边形是含的菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
在中，，
；
故答案为：．
（3）由（1）（2）同理可得，，，，则点，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由特殊到一般，得到的坐标规律；
【经典例题十四 求一次函数解析式】
【例14】如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的表达式为
B．点不在该函数图象上
C．点，在图象上，若，则
D．将图象向上平移1个单位得到直线
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数图像的性质成为解题的关键．
先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将代入解析式即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项．
【详解】解：A．由题意可得：，解得，即函数解析式为，故A选项不符合题意；
B．当时，，即点在该函数图像上，故B选项不符合题意．
C．在中，y随x的增大而增大，则当时，，故C选项不符合题意．
D． 图像向上平移1个单位得到直线，故D选项符合题意．
故选：D．
【变式训练】
1．一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】
本题考查求一次函数解析式，涉及正方形性质、正方形周长等知识，根据题意，正方形各边长减少后，得到的新正方形的边长为，从而表示出周长即可得到答案，熟记正方形性质及周长求法是解决问题的关键．
【详解】解：一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的边长为，
得到的新正方形的周长为，
故选：C．
2．如图，射线射线与的平分线交于点E，，点P是射线上的一动点，连结并延长交射线于点Q．若，，则y关于x的函数表达式为 ．

【答案】
【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．由，推出，由，，即可推出，再证明，证明，可得即可解决问题．
【详解】解：如图延长交于．

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：
3．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．
(1)求的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
（1）通过待定系数法将，代入解析式求解．
（2）解不等式，然后分和两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将，代入解得，
，
解得；
（2）解：∵
∴一次函数解析式为，
不等式得，，
当时，，
，
当时，，不合题意，舍去；
解得：．
【拓展培优】
1．七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查求一次函数解析式，把图形补全得到一个边长为3的正方形，写出点A和点B的坐标，根据梯形面积是列出关于k的方程．解方程即可得到k的值．数形结合是解题的关键．
【详解】解：如图，把图形补全得到一个边长为3的正方形，直线将这个正方形分成面积相等的两部分，每部分的面积为，则点A的坐标为，点B的坐标为，
根据直线下方梯形的面积得到，
解得，
故选：A
2．如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：设，
点在直线上，
，
，
，
，
，
，
点在上，
，
，
故选：D．
3．已知一次函数，当时，函数值的取值范围是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由一次函数的性质，分和时两种情况讨论求解，解题的关键是分两种情况来讨论．
【详解】解：当时，随的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当时，当时，
代入一次函数解析式得：
，
解得：，
当时，随的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当时，当时，
代入一次函数解析式得：
，
解得：，
故选：B．
4．如图，在平面直角坐标系中有一个等腰如图放置，，，点，，在x轴上找一点P，使最短，则点P坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质．作轴，垂足为，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，此时最短，最小值为的长，证明，求得，再求得直线的解析式，据此求解即可．
【详解】解；作轴，垂足为，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，此时最短，最小值为的长，
∵，∴，
由题意得，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴点P坐标为，
故选：C．
5．某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的解析式之间的关系．平行线的解析式一次项系数相等，设直线为，将点代入可求直线的解析式，可得点，，再根据、的取值范围求解．
【详解】解：根据题意，设一次函数的解析式为，
由点在该函数图象上，得，解得．
所以，．可得点，．
由，且为整数，取，2，4，6时，对应的是整数．
因此，在线段上（包括点、，横、纵坐标都是整数的点有4个．
故选：B．
6．对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
先根据题意判断出函数的增减性，然后根据函数的增减性求最值即可．
【详解】解：∵正比例函数中，，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，．
故答案为：12．
7．如图，若正比例函数图象与四条直线相交围成的长方形有公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．
根据，为正比例函数图象与长方形有交点的位置的临界点，以及正比例函数的图象与性质，进行求解作答即可．
【详解】解：由题意知，正比例函数图象越接近轴，越大，
当正比例函数图象经过时，即，
解得，，
∴时，正比例函数图象与长方形有公共点，
当正比例函数图象经过时，即，
∴时，正比例函数图象与长方形有公共点，
综上所述，或，
故答案为：或．
8．已知，是一次函数图像上不同的两点，若，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握“当时，随的增大而增大”是解题的关键．根据可得出与同号，进而得出，解之即可得出结论．
【详解】解：，
与同号，
，
解得：，
故答案为：．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点在直线l上，P为x轴上一动点，当为直角三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理是解题的关键．
当时，，则；将代入可求，即；设，则，，，由题意知，当为直角三角形时，分三种情况，利用勾股定了求解即可．
【详解】解：当时，，则；
将代入得，，即；
设，则，，，
由题意知，当为直角三角形时，分三种情况求解：
当时，，即，
解得，，
∴；
当时，，即，
解得，，
∴；
当时，，即，
解得，，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或，
故答案为：或或．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数交x轴于点A，交y轴于点B，若直线交x轴于点C，且，则直线的解析式为 ．

【答案】或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求得D点的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式．
【详解】一次函数交轴于点，交轴于点，
设直线的解析式为，
若点在直线右侧，
如图1，过点作，交于点，

过点作于，
且，
，
，
，
点，
直线过点．
，点得，
直线为；
若点C在直线的左侧时，如图2

同理可得，
直线过点，
，解得
直线为，
故答案为：或．
11．已知y与x成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点在这个函数的图象上，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键．
（1）设正比例函数为，将，代入得，，计算求解，然后作答即可；
（2）将代入得，，计算求解即可．
【详解】（1）解：设正比例函数为，
将，代入得，，
解得，
∴；
（2）解：将代入得，，
解得，，
∴a的值为．
12．己知与成正比例关系，并且当时，．
(1)写出y与x之间的函数关系式：
(2)当时，求y的值；
(3)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是设出正确的函数解析式；
（1）根据“与成正比例关系”设与之间的函数关系式为，将代入即可求出关系式；
（2）将代入函数关系式求解即可；
（3）将代入函数关系式求解即可；
【详解】（1）与成正比例关系，
设与的函数关系式为：，
把，代入得：，
解得：，
，
，
，
故y与x之间的函数关系式为；
（2）当时，，
故y的值为；
（3）当时，，
得，
解得，
故x的值为．
13．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线的解析式为．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线被直线和y轴所截线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与一次函数的交点以及勾股定理．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）先求出两条之间的交点C，过点C作轴于点D，求得和，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：由题意，设为，
再将A、B两点代入得∶
，
解得：，
∴直线的解析式为：
（2）设直线和直线的交点为C，
联立两方程：，
解得：，
∴，
过点C作轴于点D，如图，
则，，，
在中，，
故直线被直线和y轴所截线段的长为．
14．如图直线l：与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是．
(1)求C点坐标；
(2)若点A的坐标为，点P在y轴上，的面积为3，求出此时点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或．
【分析】（1）先把点B坐标代入直线l解析式中，用待定系数法求出解析式，进而求出当时，y的值即可求解．；
（2）设点P的坐标为，则，求出，根据三角形面积公式得到，即，解方程即可得到答案
（3）利用勾股定理求出的长度，分，，三种情况考虑：①当时，由可得出点的坐标；②当时，由结合点的坐标可得出点，的坐标；③当时，设，则，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程，解之即可得出点的坐标．综上，此题得解．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴直线l解析式为，
在中，当时，，
∴
（2）解：设点P的坐标为，则，
∵，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：在中，，，
．

①当时，
∵，
∴，
点的坐标为；
②当时，，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为；
③当时，设，则，
，即，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：在轴上存在一点，使得为等腰三角形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：．

(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为，，
【分析】（1）根据非负数的性质求得，的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）过点作轴于，证明，得出，，设，则，得出点的坐标为，求得的解析式为，令，即可求得点的坐标；
（3）由得出点的坐标，进而根据题意，分类讨论，利用平行四边形对角线的中点坐标相等，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值为；
（2）如图所示，过点作轴于，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，过点，，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴直线与轴的交点坐标为；

（3）存在，点的坐标为，，．
∵，，
∴，
又∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，，
设，
当为对角线时，
得：，
解得：，
∴；
当为对角线时，
得：，
解得：
∴，
当为对角线时，
得：，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为，，．
【点睛】本题考查非负数的性质，一次函数与几何图形综合，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形的性质等知识点，综合运用以上知识是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 一次函数重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 正比例函数的定义
题型二 正比例函数的图象
题型三 正比例函数的性质
题型四 根据一次函数的定义求参数
题型五 求一次函数自变量或函数值
题型六 列一次函数解析式并求值
题型七 一次函数的图象问题
题型八 已知函数经过的象限求参数范围
题型九 一次函数图象与坐标轴交点问题
题型十 一次函数的平移问题
题型十一 一次函数的增减性求参数
题型十二 比较一次函数值的大小
题型十三 一次函数的规律探究问题
题型十四 求一次函数解析式
【知识梳理】
知识点一：正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
知识点二：正比例函数图像和性质
正比例函数图象与性质用表格概括下：
k的符号 图像 经过象限 性质
k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大
k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少
知识点三：待定系数法求正比例函数解析式
1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．
2.确定正比例函数表达式的一般步骤：
(1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；
(2)代——；
(3)求——k；
(4)写——
知识点四：一次函数的定义
如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
知识点五：一次函数图像和性质
一次函数图象与性质用表格概括下：
增减性 k＞0 k＜0
从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少
图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
【提分要点】： 若两直线平行，则； 若两直线垂直，则
知识点六：一次函数的平移
一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。
口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。
一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。
口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数）
知识点七：求一次函数解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
基本步骤：设、列、解、写
⑴设：设一般式y=kx+b
⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）
⑶解：解出k、b；
⑷写：写出一次函数式
【经典例题一 正比例函数的定义】
【例1】已知函数，（m ，n是常数）是正比例函数，的值为（ ）
A． 或0 B． C．0 D．
【变式训练】
1．规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若y与成正比例，且当时，则当时 ．
3．已知与的关系如下表．
0 1 2 3
15 10 5 0
(1)根据上表写出与的关系式，并判断是否为的正比例函数；
(2)当时，求的值．
【经典例题二 正比例函数的图象】
【例2】七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式训练】
1、下列关于函数的结论正确的是（　　）
A．函数图象经过点
B．函数图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．不论x为何值，总有
2．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为

3．已知正比例函数．
(1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限；
(2)k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小．
【经典例题三 正比例函数的性质】
【例3】如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　)
A． B． 或
C． D． 或
2．对于正比例函数，y的值随x的值增大而增大，则m的值为 ．
3．已知正比例函数的图象过点，求：
(1)求正比例函数关系式；
(2)画出正比例函数的图象；
(3)当自变量x满足时，直接写出对应函数值y的取值范围．
【经典例题四 根据一次函数的定义求参数】
【例4】若点在函数的图象上，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式训练】
1．若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．点在直线上，则代数式的值是 ．
3．已知一次函数．
(1)当m、n为何值时，函数的图像过原点
(2)当m、n满足什么条件时，函数的图像经过二、三、四象限
【经典例题五 求一次函数自变量或函数值】
【例5】关于直线，下列说法不正确的是（ ）
A．点在上 B．经过定点
C．必定经过第一、三象限 D．当时，随的增大而增大
1．若点关于y轴的对称点在一次函数的图象上，则k的值为（）
A． B． C．2 D．
2．已知一次函数，原点到直线的最大距离为 ．
3．如图，画出函数的图象．

(1)列表：
… 0 1 …
… …
(2)描点并连线；
(3)判断点，，是否在函数的图象上；
(4)若点在函数的图象上，求出的值．
【经典例题六 列一次函数解析式并求值】
【例6】对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
0 1 2 3
2 5 8 12 14
A．2 B．5 C．8 D．12
【变式训练】
1若一个正比例函数的图像经过，两点，则n的值为（ ）
A．-9 B．1 C．4 D．9
2．点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上，则代数式12a－3b＋1的值等于 ．
3．《国务院关于印发全民健身计划（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客，举行大型回馈活动，特推出两种“冬季唤醒计划”活动方案．
方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费30元．
方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元．
设王彬一年内来此健身中心健身的次数为（次），选择方案1的费用为（元），选择方案2的费用为（元）．
(1)分别写出，与之间的函数关系式；
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出它们的函数图象；
(3)预计王彬一年内能来此健身中心12次，选择哪种方案比较合算？并说明理由．
【经典例题七 一次函数的图象问题】
【例7】下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．两个一次函数，（为常数），它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
2．一次函数的图象如图所示，化简 ．
3．设一次函数（为常数，且），图象过，．
(1)求该一次函数的解析式，并画出它的图象；
(2)判断点是否在该一次函数图象上．
【经典例题八 已知函数经过的象限求参数范围】
【例8】过点的直线不经过第三象限，若，则p的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点，那么一定有（　　）
A． B． C． D．
2若一次函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是 ．
3．已知一次函数为常数，且．
(1)当函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上时，求m的取值范围．
(2)当函数图象经过第二、三、四象限时，求m的取值范围．
(3)当时，一次函数的最大值为4，求m的值．
【经典例题九 一次函数图象与坐标轴交点问题】
【例9】若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．一次函数的图象与x轴的交点坐标为，且，则p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则的值为 ．
3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)直线上存在两点，求的面积；
【经典例题十 一次函数的平移问题】
【例10】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图像向上平移3个单位长度后得到一次函数的图像，下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A． B．随的增大而减小
C．图像与轴、轴均交于正半轴 D．点在该函数的图像上
【变式训练】
1．如图，在的方格纸中（每个小正方形的边长均为1）点，，均为格点（即小正方形的顶点），其中点，的坐标分别记为，，过点作直线，则点的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线l与直线平行，且l过点，则直线l的表达式为 ．
3．已知一次函数，其中．
(1)若点在y的图象上，求a的值；
(2)当时，若函数有最小值，求的函数表达式；
(3)对于一次函数，其中，若对一切实数x，都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
【经典例题十一 一次函数的增减性求参数】
【例11】21．若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．若，且，当时，关于x的代数式恰好能取到两个非负整数值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是关于x的函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围是 ．
3．已知一次函数．
(1)当函数图象经过点时，求的值；
(2)若函数值随的增大而减小，求的取值范围．
【经典例题十二 比较一次函数值的大小】
【例12】若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式训练】
1．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．若，这两个不同点在y关于x的一次函数图象上，且，则a的取值范围 ．
3．已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求k、b的值．
(2)若点，在此函数的图象上，且，则______填“>”，“=”或“<”
(3)将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的图象与x轴的交点为点C，求点C坐标．
【经典例题十三 一次函数的规律探究问题】
【例13】如图，正方形、正方形、正方形、…、正方形的顶点A、、、…、和O、C、、、…、分别在一次函数的图象和x轴上，若正比例函数则过点，则系数k的值是（ ）．

A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…，照此规律运动，动点依次经过点，则当动点到达处时，运动的总路径的长为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ．
3．含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，
【探究】
(1)点的坐标是______；
(2)点的坐标是______；
(3)点的坐标是______（为正整数）．
【经典例题十四 求一次函数解析式】
【例14】如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的表达式为
B．点不在该函数图象上
C．点，在图象上，若，则
D．将图象向上平移1个单位得到直线
【变式训练】
1．一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
2．如图，射线射线与的平分线交于点E，，点P是射线上的一动点，连结并延长交射线于点Q．若，，则y关于x的函数表达式为 ．

3．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．
(1)求的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围．
【拓展培优】
1．七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一次函数，当时，函数值的取值范围是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．如图，在平面直角坐标系中有一个等腰如图放置，，，点，，在x轴上找一点P，使最短，则点P坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ．
7．如图，若正比例函数图象与四条直线相交围成的长方形有公共点，则k的取值范围是 ．
8．已知，是一次函数图像上不同的两点，若，则的取值范围是 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点在直线l上，P为x轴上一动点，当为直角三角形时，点P的坐标为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数交x轴于点A，交y轴于点B，若直线交x轴于点C，且，则直线的解析式为 ．

11．已知y与x成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点在这个函数的图象上，求a的值．
12．己知与成正比例关系，并且当时，．
(1)写出y与x之间的函数关系式：
(2)当时，求y的值；
(3)当时，求x的值．
13．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线的解析式为．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线被直线和y轴所截线段的长．
14．如图直线l：与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是．
(1)求C点坐标；
(2)若点A的坐标为，点P在y轴上，的面积为3，求出此时点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：．

(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
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