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平面直角坐标系与一次函数（综合压轴题分类专题）
考点目录
篇一：综合部分
【知识点1】平面直角坐标系
【考点1】点的位置...........................................................2
【考点2】坐标与图形.........................................................2
【考点3】坐标与规律.........................................................3
【考点4】新定义.............................................................4
【知识点2】函数基础知识
【考点5】函数图象的识别.....................................................5
【考点6】从函数图象中读取信息...............................................6
【考点7】动点问题的函数图象.................................................7
【知识点3】一次函数
【考点8】一次函数解析式.....................................................8
【考点9】一次函数图象平移...................................................9
【考点10】一次函数与坐标轴交点.............................................10
【考点11】一次函数与方程不等式.............................................10
【考点12】一次函数图象与位置综合判断.......................................11
【考点13】一次函数与实际应用...............................................11
【考点14】一次函数与几何综合...............................................12
篇二：压轴部分
【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题.............................14
【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题.............................15
【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题.............................16
【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题.............................17
篇一：综合部分
【知识点1】平面直角坐标系
【考点1】点的位置
1．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．点的坐标是，从，，6，2这四个数中任取一个数作为的值，再从余下的三个数中任取一个数作为的值．
（1）求点在平面直角坐标系中第四象限内的概率；
（2）若，则反比例函数的图象在二、四象限的概率是_______．
【考点2】坐标与图形
1．如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点、），点P是坐标平面内的一个动点中．若，则的最小值为 ．
4．在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，点绕点顺时针旋转到点，连接，，若为直角三角形，则点到轴的距离为 ．
【考点3】坐标与规律
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ．
2．如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
3．在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置；并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到……以此类推，得到，则点的坐标为 ．
【考点4】新定义
1．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
2．在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”．如果点在以边长为的等边的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为 ．

3．在平面直角坐标系xOy中，新定义一种变换：使平面内的点对应的像为，其中a、b为常数．已知点经变换后的像为．
（1）计算： ；
（2）若线段，则经变换后线段的长度为 ．（其中分别是线段 O、P经变换后的像．点 O 为坐标原点）．
【知识点2】函数基础知识
【考点5】函数图象的识别
1．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，下面可以近似的刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（min）的变化情况的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．下列不可能是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【考点6】从函数图象中读取信息
1．甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．12
3．某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．（ ）
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点7】动点问题的函数图象
1．如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
2．如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【知识点3】一次函数
【考点8】一次函数解析式
1．直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
2．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同．
3．如图，在平面直角坐标系中，点是直线上第一象限的点，点的坐标是， O是坐标原点，的面积为S，则S关于x的函数关系式是 ．

【考点9】一次函数图象平移
1．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图像直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
3．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
【考点10】一次函数与坐标轴交点
1．平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
2．如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点在坐标轴上，点在坐标平面内，若以、、、为顶点的四边形为矩形，则点的坐标为 ．
【考点11】一次函数与方程不等式
1．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ．
3．如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为 ．
【考点12】一次函数图象与位置综合判断
1．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
2．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
3．一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（ ）
①对于函数来说，y随x的增大而减小；
②函数的图象经过第一、二、四象限；
③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点13】一次函数与实际应用
1．某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
2．年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
3．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，继续巩固贵阳市生态文明建设的成果，贵阳市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级，降低污染物排放，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（ ）
A．月份的利润为万元 B．月份该厂利润达到万元
C．技术升级完成前后共有个月的利润低于万元 D．技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元
【考点14】一次函数与几何综合
1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
（1）的长为 ___________；的面积为 ___________；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
2．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
3．如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点．
（1）求m的值及直线的函数表达式；
（2）当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值；
（3）设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围．
4．如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．
（1）求点B、点C的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标．
篇二：压轴部分
【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题
1．已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在直线上，顶点B在x轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 ．
【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题
1．如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

3．当，是正实数，且满足时，就称点为“友谊点”．已知点与点都在直线上，点、是“友谊点”，且点在线段上．
（1）点的坐标为 ；
（2）若，，则的面积为 ．
【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题
1．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

2．如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
3．如图，矩形中，，，点E、F分别是线段、上的动点，且，则的最小值为 ．
【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题
1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点．若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动，求当点从点运动到点时，点运动的路径长是（　　）
A． B． C． D．
3．菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，沿的路径，在菱形的边上以每秒个单位长度的速度移动，移动到第秒时，点的坐标为 ．

21世纪教育网(www.21cnjy.com)平面直角坐标系与一次函数（综合压轴题分类专题）
考点目录
篇一：综合部分
【知识点1】平面直角坐标系
【考点1】点的位置...........................................................2
【考点2】坐标与图形.........................................................3
【考点3】坐标与规律.........................................................8
【考点4】新定义............................................................11
【知识点2】函数基础知识
【考点5】函数图象的识别....................................................14
【考点6】从函数图象中读取信息..............................................16
【考点7】动点问题的函数图象................................................19
【知识点3】一次函数
【考点8】一次函数解析式....................................................22
【考点9】一次函数图象平移..................................................25
【考点10】一次函数与坐标轴交点.............................................30
【考点11】一次函数与方程不等式.............................................34
【考点12】一次函数图象与位置综合判断.......................................35
【考点13】一次函数与实际应用...............................................37
【考点14】一次函数与几何综合...............................................41
篇二：压轴部分
【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题.............................47
【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题.............................53
【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题.............................59
【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题.............................65
篇一：综合部分
【知识点1】平面直角坐标系
【考点1】点的位置
1．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断．
解：解∶ 联立方程组，
解得，
∴P的坐标为，
∴点P在第四象限，
故选：D．
2．已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法，以及关于原点对称的两点坐标之间的关系以及一元一次不等式组的解法．先确定出点M在第三象限，然后根据第三象限内点的坐标特征列出不等式组，然后求解得到m的取值范围，从而得解．
解：∵点关于原点的对称点在第一象限，
∴点在第三象限，
∴，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
在数轴上表示如下：
．
故选：C．
3．点的坐标是，从，，6，2这四个数中任取一个数作为的值，再从余下的三个数中任取一个数作为的值．
（1）求点在平面直角坐标系中第四象限内的概率；
（2）若，则反比例函数的图象在二、四象限的概率是_______．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了点的坐标以及列表法与树状图法求概率，反比例函数的性质，解题的关键是画出树状图．
（1）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据第四象限点的坐标特征找出点在平面直角坐标系中第四象限内的结果数，然后根据概率公式求解即可；
（2）根据点P坐标的情况数，得出的情况数，然后根据概率公式进行计算即可．
解：（1）解：画树状图为：
∵共有12种等可能的结果，其中点在平面直角坐标系中第四象限内的结果数为：4，
∴点在平面直角坐标系中第四象限内的概率为；
（2）解：∵共有12种等可能的结果，其中的情况数有8种，即反比例函数的图象在二、四象限的情况数有8种，
∴反比例函数的图象在二、四象限的概率是．
【考点2】坐标与图形
1．如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案．
解：作，交y轴于点F，
由题可得：，
是等边三角形，，
∴是的角平分线，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
故答案为：．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
【答案】
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．
解：解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点、），点P是坐标平面内的一个动点中．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，根据题意可得点在半径为2的上，在线段上取一点，满足，证明，由相似三角形的性质得出，，从而得出，当且仅当三点共线时等号成立，再由勾股定理计算即可得出答案．
解：∵，
∴点在半径为2的上，
如图，在线段上取一点，满足，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，当且仅当三点共线时等号成立，
在，，
∴的最小值为．
故答案为：．
4．在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，点绕点顺时针旋转到点，连接，，若为直角三角形，则点到轴的距离为 ．
【答案】4，2或
【分析】本题考查了旋转过程中点的坐标的变化，根据特殊角的三角函数值求出与x轴的夹角是解题的关键；通过分类讨论，分三种情况逐个求解即可；
解：当，即点P与点B重合时，则P到轴的距离为4；
当点P与点B不重合，且时，此时P在第四象限，
，，，
，
，
，的坐标分别为，，
，，
，
，
，
和轴夹角为，
到轴的距离为，
当时，和轴夹角为，
到轴的距离为，
综上所述，到轴的距离为4，2或．
故答案为：4，2或．
【考点3】坐标与规律
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题．
解：正方形顶点M的坐标为，
,
是等边三角形，点B坐标是，
等边三角形高为，
由题知，
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
继续滚动有，的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组，
，
的坐标与的坐标一样为，
故答案为：．
2．如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标．
解：∵，，，，，，，…，，
∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，
∵，
∴的坐标为．
∴的坐标为
故答案为：．
3．在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置；并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到……以此类推，得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，规律问题，利用等边三角形的性质，探究边长为，然后得到与都在第三象限，即可求出坐标.
解：
解：由题意 ,
，
∴的边长，
，
与都在第三象限，坐标为
故答案为： ．
【考点4】新定义
1．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
【答案】C
【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．
解：∵点在第二象限，
∴，
∴，故选项A错误；
∵点为“整点”， ，
∴整数a为，，0，1，
∴点P的个数为4个，故选项B错误；
∴“整点”P为，，，，
∵，，，
∴“超整点”P为，故选项C正确；
∵点为“超整点”，
∴点P坐标为，
∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误，
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”．如果点在以边长为的等边的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为 ．

【答案】或
【分析】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先根据题意求出、、的长，然后设点的坐标，从而表示出点的坐标，再表示出点到直线的距离，构造不等式即可解答．
解：等边的边长为，
，，
，，
，
，
过作直线于点，设直线与x轴y轴分别交于点，如图：

当时，，当时，，
，，
，
∵点E，F的“确定三角形”是等边三角形，
∴当点与点C重合时，点E到直线的距离最短，
此时点E，F的“确定三角形”边最短，即为的长，故“确定三角形”的周长最小，
在中，，
点到直线的距离为，
，
或，
解得或．
故答案为：或．
3．在平面直角坐标系xOy中，新定义一种变换：使平面内的点对应的像为，其中a、b为常数．已知点经变换后的像为．
（1）计算： ；
（2）若线段，则经变换后线段的长度为 ．（其中分别是线段 O、P经变换后的像．点 O 为坐标原点）．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，读懂题目信息，理解新定义的变换规则是解题的关键．
（1）根据新定义的变换，列出方程组，求出、的值即可；
（2）根据两点之间的距离公式，求出的长度即可．
解：（1）由题意得：，
，
，
故答案为：；
（2）由（1）知：，，
，
，
故答案为：．
【知识点2】函数基础知识
【考点5】函数图象的识别
1．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．
解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，
故选：．
2．如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，下面可以近似的刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（min）的变化情况的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了用图象描述实际问题中变化情况的能力， 根据三个阶段甲容器的水面高度随时间的增长速度确定出此题正确的结果．
解：刚开始时注水都在甲容器，水面高度增长速度不变；
当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度不变；
当乙容器水位也到达连通部分后，甲、联通部分和乙三个容器水面一起升高，但升高速度较慢；
当水面超过联通部分，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度上升比三个容器一起上升的快，但速度比只有甲容器时慢，
选项C中图象符合该变化过程．
故选：C．
3．下列不可能是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象，根据的图象开口方向及与x轴的交点情况逐项判断即可．
解：
解：当的图象开口向上，与x轴只有一个交点时，图象可能是，
故A选项不合题意；
当的图象开口向下，与x轴有两个交点时，图象可能是，
故D选项不合题意；
当的图象开口向上，与x轴有两个交点时，图象可能是，
故C选项不合题意；
图象不可能是，
故选B．
【考点6】从函数图象中读取信息
1．甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题．
由图象知甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案．
解：由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，
由题意得：．
故选：B．
2．如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．12
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，等边三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于从函数图象上获取信息．
由图象知，，如图③，过点作，则，此时，最短，，，是等边三角形，点是的中点，是的中位线，进而可求的值．
解：由函数图象可知，当时，；当时，最小，当时，，
，，
如图③，过点作，则，此时，最短，
，
∴
，，
∴，
，
是等边三角形，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
故选：C．
3．某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．（ ）
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是．
解：①乙比甲晚出发，且当时，，
乙出发时，两人第一次相遇，
既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为，
甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
【考点7】动点问题的函数图象
1．如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
解：由图象可知，面积最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，
∴，即，
由图象可知，当时，，此时点P运动到点B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A
2．如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．
根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
解：由图象得：，当时，，此时点P在边上，
设此时，则，，
在中，，
即：，
解得：，
，
故选：B．
3．如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，根据图象当点到达点时，，据此计算即可求解．
解：设菱形的边长为，过点作于，如图，
，
则，
，
，
，，
由图可知，当点在点时，的面积最大，
此时，
解得：或（舍去），
，，
当点到达点时，，
，
．
故选：A．
【知识点3】一次函数
【考点8】一次函数解析式
1．直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式．
解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶

设与y轴的交点为点B，
令，得；令，即，
∴， ，
∴，，
即
∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线，
∴，，
∴，
则点，
设直线的解析式为，则
，解得，
那么，直线的解析式为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长．
2．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的应用，分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴；
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴，
联立，
解得：，
∴经过分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：．
3．如图，在平面直角坐标系中，点是直线上第一象限的点，点的坐标是， O是坐标原点，的面积为S，则S关于x的函数关系式是 ．

【答案】
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上的坐标特征，正确掌握三角形的面积公式是解题的关键．
把代入，得到的值，得到点在第一象限，且在直线的横坐标的取值范围，根据“点的坐标是”得到线段的长度，根据一次函数解析式，得到点到的距离关于的表示形式，根据三角形的面积公式，即可得到答案．
解：把代入，
，
解得：，
即点在第一象限，且在直线的横坐标的取值范围是：，
点到的距离为：，
线段的长度为：4，
，
即关于的函数关系式是．
故答案为：．
【考点9】一次函数图象平移
1．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答．
解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，
∵，
∴，，
∴．
∵在反比例函数的图象上，
∴．
∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，即点C的横坐标为2，
将代入，得，
∴C点的坐标为，
∴,，
∴，
∴,
∴
故选：B．
2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图像直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）或；（3）8
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可；
（2）图像法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可．
解：（1）点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
3．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可．
解：（1）解：由题意，将代入得：，
解得：，
将，，代入函数中，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴两个一次函数的解析式分别为，
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为：
由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，
∴当直线与直线平行时，，
∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，，
∴m的取值范围为．
【考点10】一次函数与坐标轴交点
1．平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
【答案】/0.6
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案．
解：根据题意画出图形如下，
设直线的解析式为：，
把，代入，
可得出：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线，
联立两直线方程：，
解得：，
∴
∵，，
∴，，
根据题意有：，
即，
，
解得：,
故答案为：．
2．如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．
解：将代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，解得：，
∴点C的坐标为，，
∴．
故答案为：9．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点在坐标轴上，点在坐标平面内，若以、、、为顶点的四边形为矩形，则点的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，涉及矩形的性质、一次函数的性质、平移的性质和相似三角形的性质．解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对应线段之间的关系．分类讨论：①点M在原点；②点M在x轴上；③点M在y轴上，利用相似及平移规律即可求解．
解：直线分别与轴、轴交于点A、，
当时，，时，，
点坐标，B点坐标，
分三种情况：①点在原点上，
矩形中，如图，
，
点坐标为；
②如图，点在轴上，如图，
矩形中，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
点坐标为，
将点向右平移8个单位，向下平移4个单位得到点，
∴N的坐标为；
③如图2，点在轴上，如图，
矩形中，，由②同理可得： ，
∴
∴，
点坐标为，
将点向左平移8个单位，向上平移4个单位得到点，
的坐标为，
∴点坐标为或或，
故答案为：或或．
【考点11】一次函数与方程不等式
1．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断．
解：解∶ 联立方程组，
解得，
∴P的坐标为，
∴点P在第四象限，
故选：D．
2．如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或等于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线不在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
先利用确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线不在直线的上方，于是可得到不等式的解集．
解：函数的图象过点，
，
解得，
由图象得：不等式的解集是：，
故答案为：．
3．如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为 ．
【答案】
【分析】当时，，当时，可求，由，即可求解．
解：当时，，
当时，，
解得：，
，
，
解得：，
故答案：．
【点拨】本题考查了求一次函数与坐标轴围成的面积，掌握求法是解题的关键．
【考点12】一次函数图象与位置综合判断
1．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．
解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.当时，，原说法错误；
D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A．
2．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可．
解：A、当时，，
一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意；
B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意
C、，
随的增大而减小，选项C错误，不符合题意；
D、，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意；
故选：D．
3．一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（ ）
①对于函数来说，y随x的增大而减小；
②函数的图象经过第一、二、四象限；
③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大；函数的图象经过第一、二、四象限，故①错误，②正确．
由图象可知，一次函数，的图象的交点横坐标为2．
∴，
∴，故③正确．
故答案：C．
【考点13】一次函数与实际应用
1．某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】（1）五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；（2）购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可；
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的性质求解即可．
解：（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
2．年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
【答案】（1）B款文化衫每件元，A款文化衫每件元；（2）购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式．
（1）设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（2）设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，可求，由题意知，，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可．
解：（1）解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
∴，
∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元；
（2）解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，
依题意得，，
解得，，
由题意知，，
∵，
∴当时，费用最低为（元），
∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元．
3．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，继续巩固贵阳市生态文明建设的成果，贵阳市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级，降低污染物排放，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（ ）
A．月份的利润为万元 B．月份该厂利润达到万元
C．技术升级完成前后共有个月的利润低于万元 D．技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，根据题意，分别求出一次函数、反比例函数解析式，结合图示中的信息代入求值比较即可求解．
解：∵技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，即，
∵完成后是一次函数图像的一部分，设一次函数解析式为，且点、在一次函数图象上，
∴，
解得，，
∴一次函数解析式为，
∴A、月份的利润为万元，原选项错误，不符合题意；
B、当时，（万元）万元，原选项错误，不符合题意；
C、∵完成后是一次函数图像的一部分，
∴，
解得，，且，
∴5月的利润低于万元；
技术升级完成前利用为100万元时，，则当时，这两个月的利润低于100万元；
∴技术升级完成前后有3月、4月、5月共3个月的利润低于 万元，故原选项错误，不符合题意；
D、技术升级完成后的利润为，
∴（万元），
∴技术升级完成后每月利润比前一个月增加 万元，故原选项正确，符合题意；
故选：D ．
【考点14】一次函数与几何综合
1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
（1）的长为 ___________；的面积为 ___________；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）4，；（2）
【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得；
（2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故．
解：（1）解：当时，P与O重合，此时，
当时，，P与B重合，
∴，，
∴的长为4，的面积为，
故答案为：4，；
（2）∵A在直线上，
∴，
设，
∴，即，
∴，
∴；
当时，设交于E，如图：

∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
当时，如图：

设直线解析式为，把，代入得
，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，．
【点拨】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
2．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解．
解：如图，延长交y轴于点E，
中，令，则，令，解得，
，，
，，
绕点逆时针方向旋转得到，
，，，
四边形是正方形．
，
，
点的坐标为．
故答案为：．
3．如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点．
（1）求m的值及直线的函数表达式；
（2）当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值；
（3）设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）或；（3）．
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由题意得，点、、的坐标分别为：、、，，则，即可求解；
（3）关于直线的对称点为，当点落在直线上时，则，解得：；当落在上时，同理可解．
解：（1）解：将点的坐标代入得：，
解得：，即点，
将点、的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
则直线的表达式为：；
（2）解：由题意得，点、、的坐标分别为：、、，
，
则，
解得：或；
（3）解：关于直线的对称点为，
当点落在直线上时，
则，
解得：；
当落在上时，
则，
解得：，
故．
4．如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．
（1）求点B、点C的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标．
【答案】（1），；；（2）；（3）存在，点M的坐标为或
【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）分别将和代入直线，即可求出点B、点C的坐标；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）先求出，再设点的坐标为，进而表示出，再根据的面积是的面积的，列方程求解即可．
解：（1）解：直线与x轴、y轴分别交于点B、C，
令，则，解得：，
令，则，
，；
（2）解：设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
即直线的解析式为；
（3）解：存在，理由如下：
，，
，
点M在射线上，
设点的坐标为，
，
的面积是的面积的，
，
解得：，
当时，，
当时，，
点M的坐标为或．
篇二：压轴部分
【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题
1．已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．
解：∵直线l：与x轴负半轴交于点，
∴点坐标为，
∴，
过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，

∵为等边三角形，
∴
∴，
∴
∴，
当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在直线上，顶点B在x轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是 ．
【答案】
【分析】解直角三角形得出，，求出，证明，，得出，，总结得出，从而得出．
解：∵，
∴，
∵轴，
∴点A的横坐标为，
∵，
∴点A的纵坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵轴，轴，
∴，，
∵轴，轴，轴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标规律探究，两直线的交点，一次函数图象性质．总结归纳出点A纵坐标变化规律是解题的关键．
联立直线与直线的表达式并解得：，，故，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，…，的纵坐标为即可求解．
解：联立直线与直线的表达式并解得：，，故；
则点，则直线的表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：，
将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为；
同理可得的纵坐标为，
的纵坐标为
按此规律，则点的纵坐标为，
故答案为：．
【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题
1．如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，
则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
令，
则：，
∴点在直线上运动，
当点与重合时，，此时，
当点与重合时，，此时，
∴点E所经过的路径长为；
故答案为：．
2．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

【答案】或
【分析】如图，由是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得在以为直径的圆上，，可得是圆与直线的交点，当重合时，符合题意，可得，当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，证明，设，可得，，而，则，再解方程可得答案．
解：如图，∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴在以为直径的圆上，，
∴是圆与直线的交点，

当重合时，
∵，则，
∴，符合题意，
∴，
当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，
∴，

∵，，
∴，
∴，
∴，设，
∴，，
而，
∴，
解得：，则，
∴，
∴；
综上：或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
3．当，是正实数，且满足时，就称点为“友谊点”．已知点与点都在直线上，点、是“友谊点”，且点在线段上．
（1）点的坐标为 ；
（2）若，，则的面积为 ．
【答案】 /
【分析】（1）由变式为，可知，所以在直线上，点在直线上，求得直线：，进而求得；
（2）根据直线平行的性质从而证得直线与直线垂直，然后根据勾股定理求得的长，从而求得三角形的面积．
解：（1）∵且，是正实数，
∴，即，
∴，
即“友谊点”在直线上，
∵点在直线上，
∴，
∴直线：，
∵“友谊点”在直线上，
∴由
解得，
∴，
故答案为：；
（2）∵一、三象限的角平分线垂直于二、四象限的角平分线，而直线与直线平行，直线与直线平行，
∴直线与直线垂直，
∵点是直线与直线的交点，
∴垂足是点，
∵点是“友谊点”，
∴点在直线上，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键．
【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题
1．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

【答案】
【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．
解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴，，
作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，
此时，，
∴有最小值，
作轴于点P，

则，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，则，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立，，解得，
即；
过点D作轴于点G，

直线与x轴的交点为，则，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题．
解：点A在直线上，且点A的横坐标为4，
点A的坐标为，
，
当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，
由对称性质可知，，
当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，
由对称性质可知，，
作于点，有，
设，则，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
，，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．
3．如图，矩形中，，，点E、F分别是线段、上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理矩形的判定与相似三角形知识，并建立平面直角坐标系，求出是的最小值是解题的关键，过E点作于点H，得到,,从而求出，
方法一：延长到点，使得,并连接,过H点，作∥,可得,故当三点共线时最短，最小值为,从而即可求出线段和的最小值；
方法二：再建立平面直角坐标系，设,则,由勾股定理求出，并把求最小值转化为在x轴上找一点，使其到两点的最小距离，由轴对称即勾股定理即可求解.
解：过E点作于点H，
∴,
∵,
∴,
在矩形中，∥,，，，
∴,,,
∴,
又,
∴,
∴,
即,解得：,
方法一：如图，延长到点，使得,并连接,过H点，作∥,
∵,∥,∥,
可知四边形,四边形都是平行四边形，
∴,
∴,
故当三点共线时最短，最小值为,
方法二：如图，建立直角坐标系，则
设,则,
∴,
∴,
其中可以看作是点到两点的距离，则求最小值就可以转化为，在x轴上找一点，使其到两点的最小距离，
且关于x轴的对称点为,
故答案是：．
【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题
1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．
解：由题意可得，
设直线AB的解析式为y=kx+b
则 解得：
∴直线AB的解析式为：y=x-4，
∴x=y+4，
设直线AC的解析式为y=mx+n
则 解得：
∴直线AC的解析式为：，
∴，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，
∴，
∵EP=3PF，
∴，
∴点P的横坐标为：，
∵，
∴．
∴
故答案为：A．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．
2．如图，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点．若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动，求当点从点运动到点时，点运动的路径长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，首先，需要证明线段就是点运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；其次，如答图①所示，利用，求出线段的长度，即点运动的路径长．
解：由题意可知，，点在直线上，轴于点，
把代入得，
点的坐标为，，
．
如答图①所示，设动点在点（起点）时，点的位置为，动点在点（终点）时，点的位置为，连接．
3．菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，沿的路径，在菱形的边上以每秒个单位长度的速度移动，移动到第秒时，点的坐标为 ．

【答案】
【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点的运动速度求出沿所需的时间，从而得出点P移动到第2017秒和第秒的位置相同，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．
解：，，
．
点的运动速度为米秒，
从点到点所需时间（秒），
沿所需的时间（秒）
，
移动到第秒和第秒的位置相同，当运动到第秒时，如图所示，可得，，

过P作于E，于F，
，
，
，，
即，，
解得：，，
故点的坐标为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是菱形的性质，相似三角形的判定和性质，根据题意得出点运动一周所需的时间是解答此题的关键．
，，
，
又，，
，
，且相似比为，
．
现在来证明线段就是点运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点运动至上的任一点时，设其对应的点为，连接，，．
，，
，
又，，
，
，
．
又，
，
，
点在线段上，即线段就是点运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点运动的路径（或轨迹）是线段，其长度为．
故选：D
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