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专题 一次函数综合题存在性问题
1．已知如图，点A和点B分别在x轴和y轴上，且，．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若是等腰直角三角形，点C在直线上且横、纵坐标相等，点D是y轴上一动点，且；
①如图1，当点D运动到原点时，求点E的坐标；
②是否存在点D，使得点E落在直线上．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且．
(1)求点B与点C的坐标；
(2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
3．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，．

(1)求直线的解析式；
(2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标；
(3)如图2，在轴负半轴有一点，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，两点，直线交轴于C点，交直线m于点．

(1)填空： ， ， ；
(2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若与互相平分，求点E的坐标及四边形的面积；
(3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点的坐标．
5．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点．
(1)求的面积；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由：
(3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）．
6．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结．
(1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标；
(2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由．
7．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 且 ．点A是直线上的一个动点．
(1)求的长和k的值；
(2)当的面积是12时， 求出点A的坐标．
(3)若点A的横坐标为6，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形 若存在．直接写出出点 P的坐标：若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴、y轴分别交于点B，D，与直线交于点C．

(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)已知 是x轴上的一个动点，连接．
①当的周长最短时，求点Q的坐标；
②过点Q作y轴的平行线，分别与直线，交于点E， F，当与的面积之间存在2倍关系时，直接写出a的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．

(1)求出点A的坐标．
(2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式．
(3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，．
(1)分别求点A和点B的坐标；
(2)求y与x的函数关系式，并写出定义域；
(3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点．
(1)求m和b的值；
(2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
12．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点 B，与x轴交于点 C，线段的长是一元二次方程 的两个根，直线 交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积S与m的函数关系式；
(3)M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线向下平移4个单位长度得到直线，直线与x轴交于点B，与相交于点C．
(1)直线的解析式为 ；
(2)求点C的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．
(1)求点P的坐标；
(2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为：
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；
(3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处．
(1)求点的坐标；
(2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因．
16．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段的中点．
(1)求直线的函数解析式．
(2)如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标．
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由．
17．如图直线:经过点，．
(1)求直线的表达式；
(2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标；
(3)根据图像，直接写出关于x的不等式的解集；
(4)在直线上存在异于点M的另一点，使得的面积是的面积2倍，请直接写出点的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2．
(1)求直线的解析式；
(2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标；
(3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
19．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A 的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点．

(1)A点坐标为____________ ，B点坐标为 ________________
(2)求直线的函数解析式．
(3)在直线上找一点P，使得，请直接写出点P的坐标．
(4)在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．

(1)求m和的值；
(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当的面积为6时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰．

(1)求点C的坐标，并求出直线的关系式；
(2)如图2，直线交y轴于E，在直线上取一点D，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于点M，是线段上一点，在x轴上是否存在一点N，使面积等于面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E．
(1)直接写出直线l对应的函数表达式；
(2)在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标；
(3)在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．

(1)填空：　　　　；　　　　；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若动点在射线上从点开始以每秒2个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
25．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，且线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．

(1)求出点A，B的坐标；
(2)如图2，若，，分别平分，，求（用含的代数式表示）；
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点．
(1)分别求直线和直线的表达式；
(2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点．
①求点的坐标；
②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，四边形为矩形，，将矩形沿直线折叠，使点A落在点处．
(1)求证：；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在y轴上作点，连接，点N是x轴上一动点，直线上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1)求点和点的坐标；
(2)轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过点的直线交轴正半轴于点，交轴于点，，直线交轴负半轴于点．
(1)直线的解析式为______；直线的解析式为______．
(2)横坐标为的点在线段上（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式并直接写出相应的的取值范围．
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线经过y轴负半轴上的点C，且．
(1)求直线的函数表达式；
(2)直线向上平移9个单位，平移后的直线与直线交于点D，连结，求面积；
(3)在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为x轴上的一点，直线上是否存在点N（不与点D重合），使以点E，M，N为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 一次函数综合题存在性问题
1．已知如图，点A和点B分别在x轴和y轴上，且，．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若是等腰直角三角形，点C在直线上且横、纵坐标相等，点D是y轴上一动点，且；
①如图1，当点D运动到原点时，求点E的坐标；
②是否存在点D，使得点E落在直线上．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质等，分类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）①证明，得到、两点关于轴对称，即可求解；
②当点在点的上方时，证明，即可求解；当点在点的下方时，同理可解．
【详解】（1）解∵，，点A和点B分别在x轴和y轴上
∴点、的坐标分别为：、，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
则直线的表达式为；
（2）解：①点在直线上，且横纵坐标相等，设点，
又点在直线上，
，即，
故点．
当点运动到原点时，由已知可知，，
，
，
轴平分，
又，
、两点关于轴对称．
点；
②存在这样的点，理由如下：
设点，过点作轴，垂足为点，
当点在点的上方时，过点作轴，垂足为点，作轴于点，
如图所示，由（1）可知点，，
，，
，
，，
．
，，
，即点，
点在直线上，
，即．
点；
当点在点的下方时，过点作轴，垂足为，
如图所示，
同理可得：点，．
，，
，即点，
点在直线上，
，即，
点，
综上所述，点的坐标为或．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且．
(1)求点B与点C的坐标；
(2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，且
(3)存在，或5
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
（1）分别求出、点坐标，再由题意求出，可求点坐标；
（2）根据点的运动特点先求出点坐标为，再求三角形面积即可；
（3）分两种情况讨论：当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，通过证明，可得，再将点代入直线的解析式：，求的值；当时，过点作轴交于点，同理可得，求出，即可求．
【详解】（1）当时，，
，
当时，，
，
，
，
，
；
（2），动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，
，
，
，
，且；
（3）存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下：
如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
解得；
如图2，当时，过点作轴交于点，
同理可得，
，，
，
，
解得；
综上所述：的值为或5．
3．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，．

(1)求直线的解析式；
(2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标；
(3)如图2，在轴负半轴有一点，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、含角的直角三角形的特征、一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）当时，得，进而可得，进而可得，再将代入即可求解；
（2）联立方程组，解得，进而可得，过点作轴垂线交于点，设，则，根据得，进而可求解；
（3）由（1）得：，令，则，进而可得，可得，进而可得，由，再根据勾股定理得，再利用直角三角形的特征得，再由平移的性质得出直线的解析式为，然后分两种情况分析：当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接并延长交于点M；当点M在y轴左侧时，过点B作轴交交于点M，分别利用一次函数的性质及平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
，
，
，
，
将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：．
（2）联立方程组：，
解得：，
∴，
，
∴，
过点作轴垂线交于点，如图：

设，则，
，
∴，
或，
∴或．
（3）存在，理由如下：
由（1）得：，
令，则，
，
，
，
，
，
，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，
∵将直线平移过点得直线，直线的解析式，
∴设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
直线的解析式为：．
当时，，
∴，
当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接并延长交于点M，如图所示：

∴，
∴，
∴，符合题意，
设直线的函数解析式为，将点B、M代入得：
，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
联立，
解得：，
∴；
当点M在y轴左侧时，过点B作轴交交于点M，如图所示：

∵，
，
，
∵，直线的解析式为，
∴当时，，
解得，
∴，
综上可得：或 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，两点，直线交轴于C点，交直线m于点．

(1)填空： ， ， ；
(2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若与互相平分，求点E的坐标及四边形的面积；
(3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点的坐标．
【答案】(1)，，4
(2)，四边形E的面积
(3)点N坐标为或或或
【分析】（1）当，，得：，将代入得，，将代入，得；
（2）①由（1）知，，证明出四边形为平行四边形，设，，则，解得①当为菱形的边时，设，由，得，解得，，从而求解；②当，为菱形的边时，③当为菱形的对角线时，利用菱形的性质求解．
【详解】（1）解：当，，
解得：，
将代入得，
，
解得：，
将代入，
得，
解得：，
故答案为：，，4；
（2）解：由（1）知，
，
∵与互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∴，
设，，
则，
解得，，
∴；
∴点P是的中点
∴四边形的面积=，
（3）解：分为菱形的边与为菱形的对角线两种情况：
①当为菱形的边时，
设，
由，得，
解得，，
当时，，
∵且，
∴；
ⅱ）当时，，
此时；
②当，为菱形的边时，
由，得，
解得，，（舍去），
∴，
此时；
③当为菱形的对角线时，
由菱形的性质可知垂直平分，
∴，
将代入得，，
∴，
∴，
综上，符合条件的点N有四个，分别是或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，菱形的性质，平行四边形的判定及性质等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．
5．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点．
(1)求的面积；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由：
(3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）．
【答案】(1)6
(2)存在，点E的坐标为
(3)存在，点Q的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式，再求得点A和点D的坐标，根据三角形面积公式即可求解；
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，分为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况讨论，结合点坐标的平移即可求解．
【详解】（1）∵直线 与x轴交于点A，且经过定点，
∴，
解得：，
∴直线．
∵直线经过点，
∴，
∴，
把代入，得到．
∴，
对于直线，令，得到，
∴，
∴．
对于直线，令，得到，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：在x轴上存在一点E，使的周长最短．
如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短．
根据轴对称图形的性质可知的坐标为．
设直线的函数解析式为．
将代入，得
，
解得，
∴直线的函数解析式为．
令，得到，
解得，，
∴点E的坐标为．
（3）解：，，，
，
当为平行四边形的边时，，
∴
∴点的横坐标为：或，
点Q的坐标为或，
当为平行四边形的对角线时，，
点C向右平移2个单位，向下平移2个单位到点A，
则点D向右平移2个单位，向下平移2个单位到点Q，
∴点Q的坐标为，即；
综上，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是一次函数的交点问题，轴对称图形的性质，坐标与图形面积，平行四边形的性质等知识，第二问利用轴对称的性质找到点E的位置是解题的关键，第三问利用平行四边形的性质和点坐标的平移是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结．
(1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标；
(2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)P（，）
(2)存在，13
【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
（1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可．
【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B，
则有，
∵，
∴，
此时P的纵坐标为，
∴，
∴此时所求点P坐标为（，）．
（2）动点P在直线运动过程中，存在最小值．
如图，作点O关于直线的对称点，
则有，
在中，令，得，令，得，
直线与x轴交点为，，
直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∵点O关于直线的对称点，
，
∵，当点P运动至三点共线时取等号，
∵，
∴的最小值为13，
即的最小值为13．
7．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 且 ．点A是直线上的一个动点．
(1)求的长和k的值；
(2)当的面积是12时， 求出点A的坐标．
(3)若点A的横坐标为6，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形 若存在．直接写出出点 P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)存在，点 P的坐标或或或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式中参数，一次函数点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想和分类思想解决问题是解本题的关键．解题的关键在于（3）根据等腰三角形的不同分情况讨论．
（1）由得到，进而得到，以及点，将其代入解析式求解，即可解题；
（2）利用的面积是12，得到，解出，将其代入一次函数求解，即可得到点A的坐标；
（3）利用勾股定理得到，根据x轴上存在点P，使是等腰三角形分以下三种情况讨论①当时，点 P在、处，②当时，点 P在处，③当时，点 P在处，结合等腰三角形性质和勾股定理求解，即可解题．
【详解】（1）解： 与x轴、y轴分别交于B、C两点，
，即，
，
，即，
有，解得，
，；
（2）解： 的面积是12，
，
即，解得，
或，
由（1）知，
当时，，解得，有；
当时，，解得，有；
点A的坐标是或；
（3）解：存在，
点A的横坐标为6，
点A的坐标是，
x轴上是存在点P，使是等腰三角形，且，
①当时，点 P在、处，
点 P的坐标为或；
②当时，点 P在处，
点 P的坐标为；
③当时，点 P在处，
设点 P的坐标为，，
则，解得；
综上，点 P的坐标或或或．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴、y轴分别交于点B，D，与直线交于点C．

(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)已知 是x轴上的一个动点，连接．
①当的周长最短时，求点Q的坐标；
②过点Q作y轴的平行线，分别与直线，交于点E， F，当与的面积之间存在2倍关系时，直接写出a的值．
【答案】(1)
(2)6
(3)①点Q的坐标为；②a的值为或
【分析】（1）将代入，可求；
（2）由（1）可知，当时，可求，则，联立，可求，则，然后计算面积即可；
（3）①如图，作点A于x的对称点，连接交轴于点，连接，则，，，可知当三点共线时，最小，的周长最短，当时，，可得，待定系数法求直线的解析式为，令，计算求解，进而可得点Q的坐标；②令，则，，，， 由与的面积之间存在2倍关系，可知分和两种情况求解；当时，，则，计算求解即可；当时，，则，计算求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知，
当时，
解得，
∴，
联立，
解得，，
∴，
∴，
∴的面积为6；
（3）①解：如图，作点A于x的对称点，连接交轴于点，连接，

∴，，
∴，
∴当三点共线时，最小，的周长最短，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点，D的坐标代入得，解得，
∴直线的解析式为，
令，
解得，
∴点Q的坐标为；
②解：令，则，，，，
∵与的面积之间存在2倍关系，
∴分和两种情况求解；
当时，，
∴，
当时，解得，；
当，解得；
当时，，
∴，
当时，解得，；
当时，解得；
综上所述，a的值为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，轴对称的性质，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形，轴对称的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．

(1)求出点A的坐标．
(2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式．
(3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点或
【分析】（1）根据，解方程组得，得；
（2）根据得到，根据点D是直线上一点，设，根据，确定点D坐标，设解析式解答即可；
（3）分是正方形的一边和一条对角线两种情形，结合正方形的性质解答即可．
【详解】（1）根据题意，得，
解方程组，得，
故点；
（2）∵，
∴，
∵点D是直线上一点，
设，
根据题意，得，
解得或，
∵点D在线段上，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴解析式为．
（3）∵，，设，
∵四边形是正方形，
当是正方形的一边时，
∵，
∴且．
∴点一定位于x轴上，
∴．
解得，
∴，
根据正方形的性质，得；

当是正方形的对角线时，
∵，
∴其中点坐标为．
∴点一定位于直线，
∴．
解得，
∴，
根据正方形的对称性质，得；
综上所述，符合题意的点或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正方形的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，正方形的性质是解题的关键．
10．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，．
(1)分别求点A和点B的坐标；
(2)求y与x的函数关系式，并写出定义域；
(3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解；
（2）根据勾股定理求出的长，解得，再进一步求出，即可求解；
（3）连接，先证明四边形为菱形，再通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与轴轴交于，与轴交于，
∴令，则，
∴
令，则，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
，
∴，
在上运动与重合时，与重合则，
∵与不重合，
∴．
（3）解：连接，如图：
∶垂直平分，
∴，，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，则，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
且在上
∴当与重合时，
如图：
当在A上方与重合时，
，，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
综上，为或．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点．
(1)求m和b的值；
(2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在t的值，使为等腰三角形，t的值为4或或或8
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可；
（2）①利用面积公式列出方程进行求解即可；②三种情况：当时；当时；当时；分别求出t的值即可．
【详解】（1）在中，当时，；
当时，；
∴；
∵点C在直线上，
∴，
又∵点也在直线上，
∴，
解得：；
（2）①在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，过C作于E，如图1所示：
则，
∵的面积为10，
∴，
解得：；
②存在，理由如下：
过C作于E，如图1所示：
则，
∴，
∴；
a、当时，，
∴，
∴；
b、当时，如图2所示：
则，
∴，，
∴，或；
c、当时，如图3所示：
设，则，，
∴，
解得：，
∴P与E重合，，
∴，
∴；
t的值为4或或或8．
12．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点 B，与x轴交于点 C，线段的长是一元二次方程 的两个根，直线 交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积S与m的函数关系式；
(3)M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，M的坐标为或或或
【分析】（1）通过解方程确定点，再用待定系数法求直线表达式为，最后联立，解二元一次方程组即可；
（2）分类讨论，当点P在点E下方时，即，得到；当点P在点E上方时，即，得到，代入即可求解；
（3）分类讨论，若，，则有，得到，若或，则，得到，分别求解即可．
【详解】（1）解： ，
解得：或，
∴，
将代入
得：，
解得：，
∴直线表达式为，
∴联立得：，
解得，
∴点；
（2）解：由题意得点P在直线上，设直线与直线交于点E，交x轴于点F，
将代入得，∴，
①当点P在点E下方时，即，如图：
；
当点P在点E上方时，即，如图：
，
综上所述：的面积S与m的函数关系式为：；
（3）解：令直线为，直线为，
，则，
，
①如图1，若，，
过点Q作，
∴点G为中点，
∴，
则有，
，
或，
，或，
②如图2，图3，若或，
则，
，
或，
，或．
综上所述，M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二元一次方程组，三角形的面积，等腰直角三角形的存在性问题，考查了分类讨论思想．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线向下平移4个单位长度得到直线，直线与x轴交于点B，与相交于点C．
(1)直线的解析式为 ；
(2)求点C的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点N的坐标为或或
【分析】本题考查一次函数图像的平移，求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
（1）根据“左右平移，x左加右减；上下平移，b上加下减”即可求解；
（2）将直线与解析式联立，解二元一次方程组，即可得到点C的坐标；
（3）设点N的坐标为，分为对角线，为对角线，为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解．
【详解】（1）解：直线：向下平移4个单位长度得到直线：，
故答案为：；
（2）解：将直线与解析式联立，
得：，
解得，
点C的坐标为；
（3）解：存在，点N的坐标为或或．
理由如下：
直线：中，令，得，
解得，
点A的坐标为，
直线：中，令，得，
解得，
点B的坐标为．
设点N的坐标为，
如图，分三种情况：
当为对角线时，，
得，
解得，
点N的坐标为；
当为对角线时，，
得，
解得，
点N的坐标为；
当为对角线时，，
得，
解得，
点N的坐标为．
综上可知，点N的坐标为或或．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．
(1)求点P的坐标；
(2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为：
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；
(3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标为
(2)①；②或
(3)存在最小值，最小值为
【分析】（1）联立，即可得到点的坐标；
（2）①由点的坐标为，得点的坐标为，点的坐标为，即可求出的长度；
②分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值；
（3）存在最小值．在上取点，使得，连接，证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值．
【详解】（1）解：由直线与直线交于点，
联立，
解得，
点的坐标为；
（2）①轴，
点、、的横坐标相等，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
；
②若点是线段的中点，
，，，
，，
点是的中点，
，
即，
解得，；
若点时线段的中点，
，，，
，，
点时线段的中点，
，
即，
解得；
综上所述，或；
（3）存在最小值，
在上取点，使得，连接，
由直线与直线，
得，，，
，，
，
，
，
点的坐标为，
，
轴，
是线段的垂直平分线，
，轴，
，轴，
，
轴，
，
，
，，
，
，
，
得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质与判定，勾股定理，最值问题等，本题的关键是构造全等三角形，把的最小值问题转化为的最小值问题．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处．
(1)求点的坐标；
(2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，，
【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等：
（1）由翻折可知，，,设, 在 ，根据，构建方程求出x即可解决问题；
（2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题；
（3）点有二种情况：当为边时，当为对角线时，分别求解即可；
其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【详解】（1）解：的坐标，
则：，，
在中，根据勾股定理得：，
将沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，，
，
设,则,
在中，由勾股定理得：,
即,
解得,
．
（2）过点作于点，
根据三角形面积可得，，
∴，
故点的横坐标为，
即：，
正比例函数经过，
，
，
，
，
①当点在段时，即：，
如图：过点作于点，
，
，
，
②当点在段时，如下图，过点作于点，
，
，，
，
综上所述：．
（3）由（2）知，点，
当时，则点，
而点,设点，
①当为边时，
点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点，
即且，
解得或，
故点的坐标为或；
②当为对角线时，
由中点公式得且，
解得，
综上点的坐标为或或．
16．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段的中点．
(1)求直线的函数解析式．
(2)如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标．
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或
(3)存在，，，或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、以及平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，采用分类讨论的方法解决问题．
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求得点A，B的坐标，由点M是线段的中点可得出点M的坐标，根据A、M的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）设点P的坐标为，求出，根据，得到，求出，由此得到点P的坐标；
（3）设点N的坐标为，分别以的三边为对角线，利用平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式即可得到关于m，n的方程，解之即可求解.
【详解】（1）解：当，，
，
当，即，解得，
点M为线段的中点，
．
设直线的函数解析式为，将，代入得，
，
解得
直线的函数解析式为．
（2）解：设点P的坐标为，
，
，
，
点P的坐标为或．
（3）解：如图所示，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形存在以下三种情况，设N的坐标为
① 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得，
，
解得，
② 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
③ 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
综上所述，在坐标平面内是存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N坐标为，，或．
17．如图直线:经过点，．
(1)求直线的表达式；
(2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标；
(3)根据图像，直接写出关于x的不等式的解集；
(4)在直线上存在异于点M的另一点，使得的面积是的面积2倍，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)直线的表达式为；
(2)点的坐标为
(3)
(4)的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
（3）根据图象即可求解；
（4）与底边都是，根据的面积是面积的2倍，可得点的坐标．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：，得，
点的坐标为；
（3）把代入得，，解得，
观察图象，关于的不等式的解集为；
（4）与底边都是，的面积是面积的2倍，
高就是点到直线的距离的2倍，即纵坐标的绝对值，
点纵坐标是，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2．
(1)求直线的解析式；
(2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标；
(3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)M的坐标为或
(3)的坐标为或或，
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）求出，再用待定系数法可得直线的解析式为；
（2）设，则，，由，得，解得或，从而的坐标为，或，；
（3）求出，①当为直角顶点时，过作轴于，证明，可得，，故的坐标为；②当为直角顶点时，过作轴于，同理可得的坐标为；③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，，设，有，可解得的坐标为，．
【详解】（1）在中，令得，
；
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）如图：
设，则，，
，
，
或，
解得或，
的坐标为，或，；
（3）在中，令得，
，
①当为直角顶点时，过作轴于，如图：
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
的坐标为；
②当为直角顶点时，过作轴于，如图：
同理可得，
，，
，
的坐标为；
③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，
，，
设，
，
解得，
的坐标为，；
综上所述，的坐标为或或
19．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A 的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点．

(1)A点坐标为____________ ，B点坐标为 ________________
(2)求直线的函数解析式．
(3)在直线上找一点P，使得，请直接写出点P的坐标．
(4)在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)和
(4)或或
【分析】本题考查函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式，一次函数几何结合问题，平行四边形性质等．
（1）根据题意令求出函数值即为点坐标，令求出自变量值即为点坐标；
（2）由（1）中点坐标即可求出点M的坐标，设直线的函数解析式，代入点坐标和点M的坐标继而求出；
（3）先求出，再设点，用含的代数式表示，再列等式即可得出点P的坐标，再根据对称性求出另一个；
（4）利用对角线分情况讨论即可求出．
【详解】（1）解：∵函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴令，得，即：，
令，得，即：，
故答案为：，；
（2）解：∵点M为线段的中点，，
∴，
设直线的函数解析式，
将和代入得：，解得：，
∴直线的函数解析式：；
（3）解：∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵点关于点的对称点为，
∴满足条件的点坐标为：和；
（4）解：存在点，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形，
∵，，，
①以为对角线，
根据平移的性质，点，
②以为对角线，
根据平移的性质，点，
③以为对角线，
根据平移的性质，点，
综上所述：点的坐标为或或．
20．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．

(1)求m和的值；
(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当的面积为6时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①11；②存在，或
【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值；
（2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案；
②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可；
本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答．
【详解】（1）解：把点代入函数，
得：
所以点坐标为
把点代入函数，得：，
所以；
（2）①当时，，所以
所以函数的图象与轴的交点A的坐标为，
由（1）得：
∴函数的表达式为
当时，，
∴，
∴函数的图象与轴的交点D的坐标为，
∴
由题意得：，则，
过点C作轴，垂足为点F，

∵，
∴
当的面积为6时，即，
∴，
解之得：，
所以当t的值为11时，的面积为6
存在，或．
理由：当时，，
所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为，
∵，，
∴，
∴，
当时，则，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
解得；
当，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上，当或时，为直角三角形．
21．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，勾股定理等，
（1）先求出点的坐标，再依据点是的中点，可求出点的坐标；
（2）根据（1）中的结论得出，的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案；
（3）存在，点在轴上时，设点的坐标为，分两种情况讨论：①，②；点在轴上时，设点的坐标为，分两种情况讨论：①，②，由勾股定理可求解；
利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∵，，，
∴，
∴，
即的面积为；
（3）存在，
点在轴上时，设点的坐标为，
①时，点与原点重合，此时点坐标为；
②时，则，
∵，，，
∴，
解得：，
∴；
点在轴上时，设点的坐标为，，
①时，点与原点重合，此时点坐标为；
②时，则，
∵，，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，当点的坐标为或或时，是直角三角形．
22．如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰．

(1)求点C的坐标，并求出直线的关系式；
(2)如图2，直线交y轴于E，在直线上取一点D，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于点M，是线段上一点，在x轴上是否存在一点N，使面积等于面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)见解析
(3)存在，或．
【分析】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
（1）如图1，作轴，垂足为，利用等腰直角三角形的性质证明，
根据全等三角形的性质求，的长，确定点坐标，利用待定系数法求出直线的关系式即可；
（2）同（1）的方法证明，再根据线段的相等关系证明，得出结论；
（3）依题意确定点坐标，可知中边上的高，再由，求，进而得出．
【详解】（1）解：如图1，作轴，垂足为，

当，，
当，，解得
∴点B的坐标是,点A的坐标是,
∴，
，，
，
又，，
，
，，，
，
设直线解析式为，由，可得，
解得
∴直线解析式为；
（2）证明：如图2，作轴于，轴于，轴于，

，，
，
∵，
，
，

，
∵，
∴四边形是矩形，
，
∵，，
，
；
（3）解：如图3，

设直线解析式为，由，可得，
解得
∴直线的解析式是，
∵是线段上一点，
∴，
∴，
当时，，
解得，
∴，
，则．
设点，则，
假设存在点使面积等于面积的一半，
则，
或，
故点的坐标为：或．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E．
(1)直接写出直线l对应的函数表达式；
(2)在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标；
(3)在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)存在，或
【分析】（1）根据一次函数平移的方法求出直线l对应的函数表达式；
（2）再联立两个直线解析式求出交点坐标，作轴于M，轴于N，利用，得到F点的横坐标，再代入解析式求出F点纵坐标即可；
（3）在y轴正半轴上取一点Q，使，利用等腰三角形的性质得，即可求出，再由勾股定理求出的长，得到点P坐标．
【详解】（1）正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度，
得；
（2）联立两个直线解析式，得，解得，
∴，
如图，作轴于M，轴于N，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴；
（3）由（2）知，
∵在中，当时，，
∴，
∴，，
如图，在y轴正半轴上取一点Q，使，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴或．
【点睛】本题考查一次函数综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握一次函数解析式的求法，以及利用数形结合思想解决一次函数与几何综合问题．
24．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．

(1)填空：　　　　；　　　　；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若动点在射线上从点开始以每秒2个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，4
(2)存在一点，使的周长最短，；
(3)存在t的值，使和的面积比为，t的值为或．
【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）利用待定系数法求解即可．
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．求出直线的解析式，即可解决问题；
（3）分两种情况：①点P在线段上，②点P在线段的延长线上，由和的面积比为，可得，根据比例的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，且经过定点，
∴，
∴，
∴直线，
∵直线经过点，
∴，
∴，
把代入，得到．
∴，，
故答案为：，4；
（2）解：作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．

∵，
∴．
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
∴，
∴直线的解析式为，
令，得到，
∴，
∴存在一点E，使的周长最短，；
（3）解：∵点P在射线上从点D开始以每秒2个单位的速度运动，直线，
∴，
∵，
∴，
∵点P的运动时间为t秒，
∴，
分两种情况：①点P在线段上，

∵和的面积比为，
∴，
∴，
∴
∴；
②点P在线段的延长线上，

∵和的面积比为，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上：存在t的值，使和的面积比为，t的值为或．
25．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，且线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．

(1)求出点A，B的坐标；
(2)如图2，若，，分别平分，，求（用含的代数式表示）；
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为或或
【分析】此题考查了算术平方根及绝对值的非负性，求一次函数的解析式，平行线的性质，
（1）根据算术平方根及绝对值的非负性得到，解方程组即可得到点A，B的坐标；
（2）由得，根据角平分线得到，，过点M作，推出，，由此得到；
（3）存在点P，分两种情况求出点P的坐标即可．
【详解】（1）∵，
∴，
解得，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
过点M作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）存在点P，
当点P在x轴上时，设，
∵的面积和的面积相等，
∴
∴，
∴点P的坐标为；
当点P在x轴上时，设，
设的解析式为，
则，解得，
∴的解析式为，
当时，，
∴，
∵的面积和的面积相等，
∴，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或，
综上，点P的坐标为或或．
26．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点．
(1)分别求直线和直线的表达式；
(2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点．
①求点的坐标；
②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线：；直线：
(2)的坐标； ，，
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①作于，令交轴于，则，由角平分线的性质得出，由得出，从而得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案；②分三种情况：当时；当时，作轴于，连接交于；当时；分别画出图形，利用全等三角形的性质以及勾股定理求解即可得出答案．
【详解】（1）解：直线：与直线：相交于点，
，，
解得：，，
直线：；直线：；
（2）解：①如图，作于，令交轴于，则，
点的坐标为，
，，
，
平分，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
；
②如图，当时，
此时，，
轴，
，
；
如图，当时，作轴于，连接交于，
，
，，
垂直平分，
设，则，，，
将代入得：，
解得：，
由勾股定理得出，
，
解得：（不符合题意，舍去）或，
此时，
故；
如图，当时，
由（1）可得：，
，
，
，
，，
设，则，
解得：或（舍去），
故；
综上所述：，，．
27．如图，四边形为矩形，，将矩形沿直线折叠，使点A落在点处．
(1)求证：；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在y轴上作点，连接，点N是x轴上一动点，直线上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，，，理由见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、一次函数与平行四边形的综合等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键．
（1）先说明，由折叠可得，进而得出，最后根据等角对等边即可解答；
（2）先求出，进而得出，根据勾股定理求出，即，进而得到点E的坐标，最后用待定系数法求解即可；
（3）①当为对角线时，于互相平分，即的中点也是的中点，再求出的中点坐标，设出点M，N的坐标，建立方程求解即可；②当EF为边时，a.为对角线时，先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立两直线的解析式即可解答；b.为对角线时，的中点，也是的中点，得出的中点在直线上，先求出的中点坐标，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
在中，，
∴解得：，
∴，
∵点E在上，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
（3）解：∵以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当为对角线时，于互相平分，
∴的中点也是的中点，
由（2）知，，
∵，
∴的中点坐标为，
设，，
∴，，
∴，，
∴，；
②当为边时，
a.为对角线时，，
由（2）知，直线的解析式为，
∵点
∴直线的解析式为，
∴，
∵，，
根据待定系数法可得：直线的解析式为，
∵
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴；
②为对角线时，的中点，也是的中点，
∴的中点在直线上，
设，
∵，
∴的中点坐标为，
∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴的中点坐标为，
设，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴满足条件的点，，．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1)求点和点的坐标；
(2)轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出和，再根据勾股定理即可求出的长，由翻折可知，，得出，设，则．再在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标；
（2）求出的值，即可得出的值，再根据，即可求出的值，从而即得出P点坐标．
【详解】（1）∵，
令得：，
∴．
∴
令得：，解得：，
∴
∴．
在中，，
由翻折可知，，
∴，
∴
设，则．
在中，，即，
解得：，
∴；
（2）∵，，
∴．
∵点P在y轴上，，
∴，即，
解得：，
∴P点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过点的直线交轴正半轴于点，交轴于点，，直线交轴负半轴于点．
(1)直线的解析式为______；直线的解析式为______．
(2)横坐标为的点在线段上（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式并直接写出相应的的取值范围．
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】本题考查的是一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的思想解题是关键．
（1）先设出函数解析式，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）设．可得点的纵坐标为．求解．可得．从而可得函数解析式；
（3）分三种情况讨论：①如图1，当时，有，，，②如图2，当时，有，的长等于点的纵坐标，③如图3，当时，有，再利用等腰直角三角形的性质与方程思想解题即可．
【详解】（1）解：，
∴设直线的解析式为，
∵直线经过，
，
，
∴直线的解析式为，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为：；
（2）点在上，且横坐标为，
．
∵轴，
点的纵坐标为．
代入直线，得，解得．
．
．
即与之间的函数关系式为．
（3）①如图1，当时，有，，，

，解得．
．
②如图2，当时，有，的长等于点的纵坐标，

．
，
解得．
点的横坐标为．
．
③如图3，当时，有，

．
，
．
过点作于点，
．
，即．
同理可得．
．
点与点的纵坐标相同，
．
，解得．
．
点的横坐标为．
．
综上所述，在轴上存在点的坐标为或或，使为等腰直角三角形．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线经过y轴负半轴上的点C，且．
(1)求直线的函数表达式；
(2)直线向上平移9个单位，平移后的直线与直线交于点D，连结，求面积；
(3)在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为x轴上的一点，直线上是否存在点N（不与点D重合），使以点E，M，N为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）由点B的坐标可求得m的值，然后根据直线的解析式可以求得A的坐标，再结合得到C的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式；
（2）根据直线的平移规律得到直线的解析式，从而求得D的坐标，然后根据即可求解；
（3）先根据直线的解析式求出点E，根据勾股定理以及平行四边形的性质，分三种情况可得到点N的坐标．
【详解】（1）解：将点代入直线，
得到，
∴直线，
令，得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
（2）解：∵直线向上平移9个单位，
∴直线的解析式为，
∵平移后的直线与直线交于点D，
∴，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴
=
=；
（3）解：∵直线：与x轴交于点E，
∴点，
∴，
当时，过点N作x轴的垂线交x轴于一点F，如图所示：
设，
则，，
在中，，
即，
解得，
∴或；
当时，如图所示：
∵，
∴，
∴点E为的中点，
∵，，
∴，
综上，存在，此时点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的图像、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像的平移、平面直角坐标系中求图形的面积、求两直线交点坐标，分类讨论，数形结合是解答本题的关键．
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