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专题 一次函数综合题最值问题
1．如图，直线与x轴，y轴分别交于两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4．
(1)求b的值和点D的坐标；
(2)已知P是坐标平面内一点，连接所得的的面积分别为设；
①如图（2），若点P的坐标为，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
②如图（3），若点F在x轴上，坐标为，点Q是y轴上的一个动点，当时，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)①，理由见详解②
【分析】本题考查了一次函数—几何综合问题，求函数解析式，解题关键是过动点向x轴，y轴作垂线．
（1）将点E代入中即可得点E的坐标，将点E代入即可求解；
（2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴，可得，由此即可得
，，将， ，代入即可求解；
②当时，，即可求得点，然后利用两点之间线段最短即可求得的最小值为．
【详解】（1）解：点E在直线上，点E的横坐标为4，
，
点E在直线上，
，
直线与x轴交于点D，
；
（2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴如图：
，
直线与x轴，y轴分别交于两点，
，
,,
,
，，
， ，
，
，
，
②解：如图所示，
过点作轴于点，
则，
∴
∴
由①可得，
∴在上时，
设且，
依题意，当重合时，最小，
此时在原点，点，则的最小值为．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．

(1)求线段的长；
(2)当时，求点的坐标；
(3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连结，，求线段的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出点坐标，得出，再根据等面积法建立等式，计算即可作答．
（2）设点D的坐标为，结合，表达出的值，再结合（1）求出的解析式，表达出点F的坐标，根据建立等式，计算即可作答．
（3）在上取点，连接，运用勾股定理求出，然后得到，根据全等性质，得，，点三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点
∴当则 ，故；
当，则，故；
∴
∵
∴
即
∴
∴；
（2）解：依题意，设点D的坐标为，
∵过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且
∴当，则，解得
∴，即；
过点C作

由（1）知，
∴
根据等面积法，
得
∴
则
设直线的解析式为
把代入
解得
∴直线的解析式为
则点
∴
∵
∴
解得
∴；
（3）解：如图：在上取点，连接

∵，，，
∴
∵直线过点，
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
∵要求线段的最小值
∴要求出最小值
则点三点共线时，则有最小值，
此时最小值
【点睛】本题考查了一次函数的几何综合：求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度大，运算律大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，直线经过原点和点，直线经过点和点．点是轴上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点．
(1)求直线，函数关系式；
(2)设点的横坐标为，若点在线段上．
①若，求四边形的面积；
②若点是线段的三等分点，求的值．
(3)过点作直线的对称点，当点在轴上运动时，点也随之运动．在此运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2) ； 或
(3)
【分析】（）利用待定系数法求解即可；
（）过点作轴于点，求出点坐标，把四边形的面积转化为求解即可；
用表示出点的坐标，求出、，分两种情况解答即可求解；
（）根据垂线段最短得：当直线时，线段最短，设，过点作轴，利用勾股定理即可求解；
【详解】（1）解：直线经过点，
，
，
，
直线经过点和点，
∴，
解得，
；
（2）当时，代入函数，得，
，则，，
过点作轴于点，
，
，，
，
；
点在上，
，
点在上，
，
则，，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上所述，点是线段的三等分点，则或；
（3）解：根据轴对称性质得：，
当点在轴上运动时，点在直线上运动，
根据垂线段最短得：当直线时，线段最短，
设，过点作轴，
则，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
最小值为．
【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合，利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，勾股定理，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，点是轴上一点．
(1)求直线的表达式．
(2)如图1，连接，将沿翻折至，若点恰好落在直线上，求点的坐标．
(3)如图2，点在轴的正半轴上，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，请问有最小值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)有最小值，最小值为
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据翻折可得，得到，进而得到，最后在中利用勾股定理列方程求出即可；
（3）由可设解析式为，过作于，过作于，过作于，由即可得到等腰直角三角形，，设，由全等求出点坐标，最后求出点的轨迹方程即可求出最小值．
【详解】（1）设直线的表达式为，
把，代入可得
，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）∵，，
∴，，
∴，，
∵将沿翻折至，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得,
∴；
（3）过作于，过作于，过作于，
∵
∴设解析式为，
∴设，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转至的位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
整理得：
∴，解得
∴
∵
∴令，整理得
∴在直线上移动，
∴直线与轴交点坐标，与轴交点坐标，
∴，
∴，
过作于，则即为的最小值，
∴，
∴．
∴有最小值，最小值为．
【点睛】本题考查一次函数解析式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，点的轨迹方程，垂线段最短等知识点．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
(1)直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标；
(2)动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时动点N从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒．
①若△NPH的面积为1，求t的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标和最小值；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)①或2；②，最小值
【分析】（1）令可得，令可得，令可得；
（2）①分两种情况讨论：的高是确定的，当N在的左侧即当 时；当N在PH的右侧即当时；
②当C、H、Q在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质即可．
【详解】（1）∴令得，
解得，
∴
∴令，得，
∴．
∵点C为OB的中点，且四边形AOCD为矩形，
∴，
当时，，
∴，
∴
（2）①分两种情况讨论：
第一种情况当 时，如图1，
根据题意可知：经过t 秒，， ， ，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
第二种情况：当时，如图2，
根据题意可知：经过t 秒，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
∴当或2时，存在△NPH的面积为1；
②如图，连接，
是的中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
要使的值最小，只需、、三点共线即可，
点是点关于点的对称点，
，
又点，
∴直线的解析式为：，
把代入，得，
解得，
∴
令，得，
∴，
∴所求点P的坐标为，
根据勾股定理可得，
此时，，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，矩形的判定及性质，三角形面积的求法和三点共线及最值，勾股定理，解题的关键是作辅助线进行求解．
6．如图，正方形的边长为，点为坐标原点，边，分别在轴，轴上，点是的中点，点是线段上的一个点，如果将沿直线对折，使点的对应点恰好落在所在的直线上．

(1)连接，求证：；
(2)利用你所学的数学知识求出折痕所在直线的函数解析式；
(3)请问轴上是否存在一点，使的周长有最小值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由轴对称的性质，利用证明即可；
（2）连接，求出，设点，，，，可得出，解方程可得解，得到点的坐标，设所在直线的函数解析式为，代入点坐标求出函数解析式即可；
（3）可得出点关于轴的对称点是，求出直线的函数表达式为，代入求出，即可求出的周长最小时，点的坐标．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由轴对称的性质可知，，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：连接，

∵正方形的边长为，点是的中点，
∴，，
由折叠的性质可知，，，
∴，
设点设点，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设所在直线的函数解析式为，代入点坐标得：，
解得：，
∴OP所在直线的表达式是；
（3）解：存在．若的周长为最小，长度固定不变，
即是要为最小，
∵记点关于轴的对称点是，由（2）得，
∴，
当、、三点在同一条直线上时，最小，即最小，
设直线的解析式为，
代入点、坐标得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
代入，得：，
解得：，
∴点．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，最短路径，正方形的性质．解题关键是求线段和最小值问题，其基本解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．
7．如图：直线是一次函数的图象，且与x轴交于A点，直线是一次函数的图象，且与x轴交于B点．

(1)请用a、b表示出A、B、P各点的坐标；
(2)若点Q是与y轴的交点且，．求点P的坐标及直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，连接，F是线段上一个动点，连接，在F的运动过程中是否存在最小值和最大值，若存在，求出长度变化范围，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，直线的解析式为
(3)
【分析】（1）分别令，求得两个函数对应的x的值，即可求出点A、B的坐标，联立两个函数的解析式，即可求出点P的坐标；
（2）连接OP，则点Q的坐标为，则四边形的面积＝的面积+的面积，根据已知的两个条件可得关于a、b的方程，解方程求出a、b，可得点P、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）当时，的值最小，当点F与B重合时，的值最大，然后分别利用等面积法和两点间的距离公式求解即可得出答案．
【详解】（1）对于，
令，可得，
∴，
对于，
令，可得，
∴，
由，解得，，
∴；
（2）连接OP，则点Q的坐标为，

∵四边形的面积＝的面积+的面积，
∴，
整理得，①，
∵，
∴，即②，
把②代入①并整理得，
∴（负值舍去），，
∴，B，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴直线的解析式为；
（3）如图，

由题意，Q，B，，
∴的面积，
∴， ，
∵点F在线段上，
∴时，的值最小，最小值，
当点F与B重合时，的值最大，此时，
∴．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、直线与坐标轴的交点、勾股定理、方程组的求解等知识，熟练掌握一次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．

(1)求直线的解析式；
(2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标；
(3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）先由菱形的性质得出点C的坐标，再用待定系数法即可求出解析式；
（2）先确定当取到最小值时点P的位置是直线与y轴的交点，即可根据、的解析式，求出点P的坐标，即可解答；
（3）存在，设点Q的坐标为，先求出菱形的面积，根据面积相等，即可求出y，从而求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
设的解析式为，
则，解得：，
∴；
（2）连接，交于点P，连接，交于点N，

∵四边形是菱形，
∴，
∴ ，
由三角形三边关系可知：，
∴当A、P、D三点共线时，最小，
设的解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
∴，
联立，
解得，
∴P点坐标为；
（3）∵，，
∴，
如图，设交y轴于点E，则，设，

则
，
∴，
∴或，
∴Q点的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数的图象性质和菱形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
9．如图，矩形的顶点在原点上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，直线的解析式为．
(1)求点，，的坐标．
(2)连接交于点，是轴上一动点，求周长的最小值．
(3)若横坐标、纵坐标都是整数的点叫作格点．现将直线向上平移（）个单位长度后记为直线，当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数解析式分别令求得的坐标，根据矩形的性质求得点的坐标；
（2）根据轴对称的性质求线段和的最值，作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而求得周长最小值为，进而勾股定理，即可求解；
（3）根据题意，观察坐标系中符合题意的4个点的位置，进而根据临界位置求得的值．
【详解】（1）解：∵直线的解析式为
当时，，当时，
∴，，即
∵四边形是矩形，
∴
∴
（2）解：如图所示，
作关于轴的对称点，连接交轴于点，
∴，则的周长最小
∵，是的交点，
∴，
∴的周长为
（3）解：如图所示，
设平移后的解析式为
当在上时，
∴，
解得：，
∵当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点
∴
当经过点时，，解得：
综上所述，的取值范围为
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数与几何图形，轴对称的性质，勾股定理求两点距离，一次函数的平移，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，．
(1)求点C的坐标；
(2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标；
(3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理解求出菱形的边长，即可得出答案；
（2）y轴垂直平分线段，可得，当A，P，C共线时等号成立，作轴于点H，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再求出直线的解析式，可得点P的坐标；
（3）分、两种情况，画出图形，分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
，
设菱形的边长为a， 即，
，
，
顶点D的坐标为，
，
，
，
，顶点A在x轴上，
点C的坐标为；
（2）解：由（1）知，
y轴垂直平分线段，
，
，当A，P，C共线时等号成立，如图，作轴于点H，
，，
，
的最小值为4；
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
点P的坐标为；
（3）解：以点B、D、Q为等腰三角形时,有两种情况：
当时，如图：
此时点Q与点A重合，坐标为；
当时，如图：
，，
，
点Q的坐标为，
综上可知，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，求一次函数的解析式等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结．
(1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标；
(2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)P（，）
(2)存在，13
【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
（1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可．
【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B，
则有，
∵，
∴，
此时P的纵坐标为，
∴，
∴此时所求点P坐标为（，）．
（2）动点P在直线运动过程中，存在最小值．
如图，作点O关于直线的对称点，
则有，
在中，令，得，令，得，
直线与x轴交点为，，
直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∵点O关于直线的对称点，
，
∵，当点P运动至三点共线时取等号，
∵，
∴的最小值为13，
即的最小值为13．
12．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，且，我们就称直线与直线互相平行．已知一次函数的图象为直线l，过点且与已知直线l平行的直线为．解答下面的问题：
(1)直接写出直线的函数表达式；
(2)设直线分别与轴、轴交于点，，过坐标原点作，垂足为点，求和两平行线之间的距离的长；
(3)若为上一动点，求的最小值，并求取得最小值时点的坐标；
(4)在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)；
(4)或，
【分析】（1）依题意，直线的解析式为，把点代入即可求得的值，则函数的解析式即可求解；
（2）首先求得、的长度，依据，即可求得的长度；
（3）关于轴的对称点，连结 交轴于，则勾股定理求得的最小值为，待定系数法求解析式直线的解析式为，得出；
（4）分当时，当时，两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为，将点代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由
当时，，当时，，
∴则，
∵，
∴
（3）∵关于轴的对称点，连结 交轴于，
∴的最小值为 ，
∵，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
∴．
（4）解：∵
∴,
∵为以为腰的等腰三角形，
当时，或，
当时，设，则
解得：或（舍去）
∴
综上所述，或，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及直角三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的综合应用，正确确定的位置，理解平行的条件是关键．
13．四边形是正方形，E是直线上一点，连接，在右侧，过点E作射线，F为上一点．
(1)如图1，若点E是边的中点，且，连接，则________；
(2)如图2，若点E是边上一点（不与B，C重合），，判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)若正方形边长为1，且，当取最小值时，求的面积．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图所示，过点F作交延长线于G，利用证明∴，得到，进而证明，得到，则；
（2）如图所示，在上取一点M使得，先证明，然后利用证明，即可证明；
（3）先利用一线三垂直模型分图1和图2两种情况，证明，推出，即点F在直线上运动；如图3所示，作点B关于直线的对称点H，连接，则，则当三点共线时，最小，即最小，求出直线解析式为，联立，求出，则．
【详解】（1）解：如图所示，过点F作交延长线于G，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图所示，在上取一点M使得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图1所示，当点E在右侧时，过点F作交延长线于G，以B为原点，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴点F在直线上运动；
如图2所示，当点E在左侧时，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴点F在直线上运动；
综上所述，点F的运动轨迹即为直线；
如图3所示，作点B关于直线的对称点H，连接，则，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴，y轴于A，B两点，．
(1)如图1，点C在线段AB上，点D在线段AO上，于点E，于点F，若，，求证：；
(2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式；
(3)如图2，若，点M，N分别是（2）中直线l和线段OB上的动点，求周长最小值的平方．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）证明，，即可求解；
（2）设，得到，，，利用，求解a值，进而求解；
（3）分别作点P关于直线l和y轴的对称点、，连接分别交直线l和y轴于点M、N，则此时周长最小，即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，
∵，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
在等腰中，由得：，
在等腰中，由得：，
则，，
在等腰中，，即，
解得：，则，
则直线的表达式为：；
（3）解：如图2，分别作点P关于直线l和y轴的对称点、，连接分别交直线l和y轴于点M、N，则此时周长最小，理由：
由对称性知，，，则周长为最小，
∵在直线l和x轴的夹角为，，则，
∴为等腰直角三角形，则轴，
由（2）知，，则，，
则，
即周长最小值的平方为：．
【点睛】本题是一次函数的综合题，涉及到待定系数法求直线解析式，点的对称性、三角形全等等，其中（1），证明三角形全等是本题解题的关键．
15．在平面直角坐标系中有两点，．
(1)如图1，点是轴上的点，当最小时，点坐标为________；（直接写出答案）
(2)如图2，点，在轴上，且，当最小时，点的坐标________（直接写出答案，请用含的式子表示）．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点落在第一象限，连接，当的最小值时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有最小值，继而求出答案；
（2）将向右平移个单位得，作关于轴的对称点，连接交轴于，点在左侧个单位，由平行四边形性质和对称轴性质可得此时最小，求出直线解析式为，即可得点的坐标；
（3）过点作轴的垂线，分别交轴于两点，证明，设，则，再设点关于直线对称点是，与对称点连线与交点是使为最小值的点，继而求出答案．
【详解】（1）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
，
∵，
∴最小，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
∴点坐标为：，
故答案为：；
（2）解：将向右平移个单位得，作关于轴的对称点，连接交轴于，点在左侧个单位，如下图：
，
由作图可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由关于轴对称可得，
∴，
∴，即最小，
设直线解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线解析式为：，
令，则，
∴点的坐标为：，
故答案为：；
（3）解：设点，过点作轴的垂线，分别交轴于两点，
，
∵等腰直角，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线：上运动，
设点且点关于的对称点是，
∴三点共线时使为最小值的点，此时点为直线与直线的交点，
∴，解得：，
∴点，
∵点的坐标为，
∴直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴点．
【点睛】本题考查最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，解分式方程，一次函数图象及性质等．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，且．C为线段上一点，轴于点的平分线交x轴于点E．
(1)直线的函数表达式为___________；
(2)若，求出点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，在线段上有一动点M，在y轴上有一动点N，连接，那么的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求解，再利用30度角的直角三角形的性质与勾股定理求解，可得，可得直线的解析式；
（2）设，证明，，由，可得，可得，再求解即可；
（3）如图，取的中点，连接，，作关于轴的对称点，连接，证明，可得，当，，，四点共线时，取最小值，即的长，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴直线为．
（2）∵直线为．轴，设，
∴，，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）如图，取的中点，连接，，作关于轴的对称点，连接，
∴，，
∵，轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，关于直线对称，
∴，
∴，
当，，，四点共线时，取最小值，即的长，
∵，
∴，
∵，，为的中点，
∴，
∴，
∴的周长最小值为．
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，化为最简二次根式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
17．如图，直线与、轴分别交于点、．为轴上的动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)当点坐标为时，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接．则的最小值为　　　　　　　（直接写结果）
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）运用待定系数法求的解析式即可；
（2）设证明可得，的边上的高为8，由勾股定理求出，分两种情况由面积关系可得结论，
（3）设点P的坐标为，则可得，，得出点C在直线上运动，设直线交轴于点，，作点关于直线的对称点，连接，得出当三点共线时，此时，的值最小，最小值为根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把.代入得，
，
解得，，
所以，直线的解析式为；
（2）解：过点C作轴于点F，如图，
∵
∴
∴
又
∴
∵
∴
∴
∴
，
设点D的坐标为，
①当点D在点B下方时，
∴，
解得，，
∴
②当点D 在点B上方时，同理可求出，
∴,
综上，点D 的坐标为：或；
（3）解：作点关于直线的对称点，连接，
由（2）知，
∴
设点P的坐标为，则
∴，
∴，
∴点C在直线上运动，
设直线交轴于点，
令则解得，；
令则
∴，点在直线上，
∵
∴
∵与关于轴对称，
∴
∴
∴
∴点在直线上，
∵与关于直线对称，
∴
∴
∴，
在中，由三边关系得
当三点共线时，此时，的值最小，最小值为
∵
∴
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数图象与性质，待定系数法、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，数形结合是解题的关键．
18．如图，直线与x轴交于点A，直线（k、b为常数，且）与x轴交于点，直线与交于点．
(1)求点C的坐标及直线的函数表达式；
(2)若点D是线段上一个动点，点D的横坐标是m，的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式；
(3)在y轴上是否存在点P，使得的值最小 若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；直线的函数表达式为
(2)
(3)在y轴上存在点使得的值最小，最小值为
【分析】本题主要考查直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称-最短路线问题：
（1）把点代入，求得点C的坐标，然后根据待定系数法即可求得k，b的值；
（2）求出点A的坐标，得出，根据点D在直线上可得，再根据三角形面积公式可得结论；
（3）如图，作点B关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为P点，此时，的值最小；由勾股定理可求出的最小值为，再运用待定系数法求出直线的函数表达式为，令，求出，从而得出点P的坐标．
【详解】（1）解：直线过点
，
．
直线过，
解得，
直线的函数表达式为．
（2）解：直线与x轴交于点A，
令，则，
，
∵，
．
点D在线段上．
．
．
（3）解：在y轴上存在点P，使得的值最小，理由如下：
如图，作点B关于y轴的对称点，连接，
与y轴的交点即为P点，此时，的值最小，
，则，
，
即的最小值为．
设直线的函数表达式为，
，
解得
直线的函数表达式为．
令，则，
．
故在y轴上存在点使得的值最小，最小值为．
19．如图，已知，直线与x轴交于点B，直线与y轴交于点C，与直线交于点E．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)点P为y轴上的一个动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
(3)最小值为5
【分析】本题考查一次函数的综合应用，求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点的坐标，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）作点关于轴的对称点，得到，求出的长即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
把代入，得：，
把代入，得：，
故直线的解析式为：；
（2）令，解得：，
点，
；
（3），作点关于轴的对称点，
∴，
∴当，三点共线时，，值最小，
作轴，连接，与轴交于点，
∴
的最小值为5．
20．一次函数的图象与x、y轴分别交于点，．
(1)求该函数的解析式，并说明点是否在函数图象上；
(2)O为坐标原点，设OB、AB的中点分别为C、D．P为OA上一动点，求的最小值．并求取得最小值时P点的坐标．
【答案】(1)，在
(2)存在，最小值为，
【分析】（1）用待定系数法求解即可；把横坐标的值代入函数解析式中，求出函数值，是否等于点的纵坐标，即可判断；
（2）取点C关于x轴的对称点，连接，则的最小值为长度；求出直线的解析式，即可求得它与x轴的交点，此点即为点P的坐标；由勾股定理可求得的长度，从而求得的最小值．
【详解】（1）解：∵过，
∴将点A，B的坐标代入得，解得：，
∴解析式为：；
当时，，所以点在函数图象上
（2）解：存在一点P，使最小；
∵，，且C为BO的中点，
∴点C的坐标为，
如图，作C关于x轴对称点，则，连接，
则，
即当三点共线时，取得最小值，且最小值为长度；
又∵，且D为AB的中点，
∴点D的坐标为
连接，设的解析式为，
把点代入得，
把点代入，得，
∴是的解析式，
∵，
∴，
即，
∵的最小值，
∴由勾股定理得．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，最短距离，对称性，勾股定理，直线与坐标轴的交点等知识，正确求出函数解析式是关键．
21．如图，在直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，点在直线上，过点的直线交轴于点．

(1)求的值和直线的函数表达式；
(2)求的面积
(3)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的综合应用．
（1）将代入，求出的值，设直线：，待定系数法求出直线的函数表达式即可；
（2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可；
（3）将转化为的一次函数，进行求解即可．
解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解．
【详解】（1）解：将代入，得：；
∴，
∵，
∴设直线：，将，代入，得：，
∴；
（2）∵，当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）∵点在线段上，点在直线上，
∴，，，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为．
22．如图，在平面直角坐标系中．直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴的夹角为，过点作直线，交轴于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点在直线上，当时，求点坐标；
(3)在（2）的条件下，设点的横坐标为，点在直线上，点为点关于轴的对称点，点在轴上，当取最大值时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意，求出、，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案；
（2）根据题意，分两种情况，作出图形，由平行线间的两个三角形同底等高得到，再由含的直角三角形性质及勾股定理求出相关线段长即可得到答案；
（3）根据题意，作出图形，由三角形三边关系分析动点运动情况，得到当在同一直线，且时，取到最小值，最小值为，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在中，，
，即，
，
∴在中，，则，即，
∴设直线解析式为：，
将点代入上式得，解得，
；
（2）解：如图，过点作的平行线交于点，过点作轴垂线，垂足为点，
由平行线的性质可知，当时，两个三角形边上的高，
在中，，则，
，由勾股定理可得，
，
，
，
，
在中，，则，
，则由勾股定理可得，
，
；
当点在第三象限时，如图所示：
同理可得，，
，
；
综上所述，或；
（3）解：根据题意，点在上，连接，如图所示：
在中，，
当点为延长线上与交点时，达到最大，如图所示：
此时，
、，
设直线解析式为：，
将点代入上式得，解得，
；
点，则
当在同一直线，且时，取到最小值，最小值为，如图所示：
在中，，则 ．
【点睛】本题考查直线综合，涉及待定系数法确定函数表达式、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形三边关系、动点最值问题-点到直线距离等知识，熟练掌握直线图象与性质、直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，直线与y轴相交于点C，与x轴的负半轴相交于点D，其中，直线与直线相交与点B．
(1)填空：
①m＝______；
②直接写出不等式的解集：_______．
(2)猜想的度数，并说明理由；
(3)如图2，连接，在直线上有一点P，连接，若，求的最大值．
【答案】(1)①；②；
(2)，理由见解析；
(3)．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、两条直线交点问题，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质，
（1）①先求出，再代入求得m的值即可；②先联立方程组求得点B坐标，再通过数形结合回答即可；
（2）先求出，再通过勾股定理的逆定理求解即可；
（3）先求出直线的函数关系式为：，设，只有当时，有最大值，求出的值即可．
【详解】（1）①将代入直线中得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
将代入直线中得：
，
解得：，
故答案为：；
②联立方程组得： ，解得，
∴不等式的解集为：，
故答案为：；
（2），理由如下：
将代入直线中得：，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）设直线的函数关系式为：，
由题意得：，解得：，
∴直线的函数关系式为：，
设，
∵，
∴，
∴只有当时，有最大值，
∴，
∴直线的函数关系式为，
联立方程组得：，解得：，
∴，
∴，
∴的最大值为，
24．如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限．

(1)当时，求直线的函数解析式．
(2)如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；连接，交轴分别与、两点．
①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由．
②与的面积有什么关系？若，，，当面积取到最大值时，求的长．
【答案】(1)y=-x
(2)①，理由见解析；②，当面积取到最大值时，的长为
【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，证明（），可得，，设，即则，利用待定系数法即可求解．
（2）①过点作轴于点，过点作轴于点，根据全等三角形的判定和性质即可得出结论．
②过点作于点，过点作于点，证明（），，利用三角形的面积公式可得，由可得当为的边上的高（）时，最大，即可得的长
【详解】（1）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，根据

轴，轴，
，
，，
，
，，
，
，，
当时，直线解析式为，
设，即，，
，，
点在第四象限，，，
设直线解析式为，
将代入得，解得，
故直线解析式为；
（2）①，理由如下：
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

点、的纵坐标相等，
轴，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
②如图，过点作于点，过点作于点，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
当为的边上的高时，最大，
当面积取到最大值时，的长为．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．

(1)求a，b的值；
(2)当线段最短时，求点B的坐标；
(3)在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，最大值
【分析】
（1）首先把点代入直线得出的值， 再进一步代入直线求得的值即可；
（2）当直线时, 线段最短，进而得出的坐标即可；
（3）由三角形的三边关系得，,当三点共线时, ，, 即最大, 即为,进而解答即可.
【详解】（1）把点代入直线，
解得：，
把代入，
解得：，
∴，；
（2）当垂直于直线时，线段最短，把直线与y轴的交点标记为E，

当时，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点B作于点M，
∴，
∴，
∴B；
（3）
在轴上取点，由三角形的三边关系得，,
当三点共线时, ，, 即最大, 即为,
所以点在上,
把代入中,
得,
得,
∴,
∵,
过点作于点，
，
【点睛】
本题考查了一次函数的综合题，关键是根据一次函数图象上点的坐标特征与垂线段最短的性质解答，结合图形，选择适当的方法解决问题.
26．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．

(1)求的值；
(2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为
【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值；
（2）由点在直线上可得点坐标，由三角形面积公式可求与的函数关系式；
（3）根据（2）中解析式，点的横坐标取值范围即可求面积的最大值．
【详解】（1）解：直线过点，
，
；
（2）解：∵点的坐标为，
∴，
点在直线上，
点，
，
，
点在线段上的一个动点，
；
（3）解：点是线段上的一个动点，，且，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键．
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，过轴上动点作直线轴分别与直线、交于、两点．

(1)①请直接写出点，点，点的坐标：______，______，______．
②若，求的值；
(2)如图2，若为线段上动点，过点作直线交直线于点，求当为何值时，最大，并求这个最大值．
【答案】(1)①、、；②或3；
(2)当时，最大，最大值．
【分析】（1）①令函数值等于0，可求与x轴交点坐标，联立函数解析式解方程组可得函数图像交点坐标；
②设点，则点，则，即可求解；
（2）设点，则点，求出点．进而用t表示出、长，根据t的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出的最大值．
【详解】（1）解：①对于直线①，
令，解得，故点，
对于，同理可得：点，
则，解得，
故点的坐标为，
故答案为：、、；
②点在直线上，则设点，同理点，
则，即：
解得或3；
（2）点在直线上，则设点，同理点，
∵，
∴，
∴点F的纵坐标为，解得，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，最大，最大值．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2）要注意用点的坐标表示线段长．
28．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点E为线段的中点，直线经过点E，且与x轴交于点，与y轴交于点D．
(1)如图1，求直线的解析式；
(2)如图2，连接，点P为直线上一点且在E点的右侧，线段在x轴上移动且，点G在点F的左侧，当四边形的面积为时，求的最大值；
(3)如图3，将沿着射线方向平移个单位长度，点A的对应点是M，点B的对应点是N，点K为直线上一点．在平面直角坐标系中是否存在点H，使以M、N、K、H四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点H的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，
【分析】（1）先求出，，由点E为的中点，得到，设的解析式为，代入，即可求解；
（2）过P点作轴交于Q点，根据题意得到，设，则，进而得，求出，得到，将P点水平向左平移2个单位长度，得到点，连接并延长交轴于点G，将G点水平向右平移2个单位长度得到点F，连接，此时取到最大值，最大值为的长度．利用勾股定理即可求解；
（3）根据点E为线段的中点，由，，得到，点A的对应点是M，点B的对应点是N，设点E的对应点是，设，根据沿着射线方向平移个单位长度，得到，利用勾股定理求得，由点E平移到点，得到平移方式，即可得到，，由点K为直线上，设，根据M、N、K、H四点构成的四边形是以为边的菱形，利用勾股定理求得，根据菱形的性质，分类讨论，即可得到点H的横坐标．
【详解】（1）解：中，当时，；当时，．
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴设的解析式为，
∴，
解得：，
∴的解析式为：；
（2）解：过P点作轴交于Q点，

∵，，
∴
设，
，
∴，
∵，
∴，则．
将P点水平向左平移2个单位长度，得到点，连接并延长交轴于点G，将G点水平向右平移2个单位长度得到点F，连接，此时取到最大值，最大值为的长度．
，，
，
∴的最大值为；
（3）解：存在，点H的横坐标为：，，，，
理由如下：
点E为线段的中点，，，
，点A的对应点是M，点B的对应点是N，
设点E的对应点是，，
沿着射线方向平移个单位长度，
，
，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
点E向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点，
，，
，
点K为直线上，
设，M、N、K、H四点构成的四边形是以为边的菱形，
根据菱形的性质，分类讨论，
当，即，
整理得：，
解得：或，
当时，点M的横坐标到点K的横坐标变化为：，
点N经过同样的变化得到点H的横坐标为：，
当时，点M的横坐标到点K的横坐标变化为：，
点N经过同样的变化得到点H的横坐标为：，
当，即，
整理得：，
解得：或，
当时，点N的横坐标到点K的横坐标变化为：，
点M经过同样的变化得到点H的横坐标为：，
当时，点N的横坐标到点K的横坐标变化为：，
点M经过同样的变化得到点H的横坐标为：，
综上所述，点H的横坐标为：，，，．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
29．如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过点M分别作于点C，于点D．
(1)当点M在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由；
(2)当点M运动到什么位置时，四边形的面积有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)不发生变化，总是等于8，理由见详解
(2)即当点位于时，四边形的面积取得最大值，最大值为4
【分析】（1）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，从而可得出矩形的周长，继而可作出判断；
（2）求出关于的表达式，利用配方法确定最值即可．
【详解】（1）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
则，，
，
当点在上运动时，四边形的周长不发生变化，总是等于8．
（2）解：根据直线的解析式可得，点的坐标为，点的坐标为，
，
当时，取得最大值，最大值为4．
即当点位于时，取得最大值，最大值为4．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，解答本题的关键是熟练点的坐标与线段长度之间的转化，掌握三角形及矩形的面积计算公式，总体来说本题难度不大．
30．如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．
(1)请直接写出直线的关系式：_________
(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；
(3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．
【答案】(1)
(2)当或时，
(3)
【分析】（1）根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）设，分别用含的式子表示出出，由此即可求解；
（3）是等腰直角三角形，设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，
∴，
如图所示，点在直线上，过点作轴于，
∴设，，
∴，，，
①当，即时，，
若，则，解得，
则；
②当，即时，
，
若，则，解得，（舍去）；
③当，即时，
，
若，则，解得，
则；
综上所述，当或时，；
（3）解：已知，设，
∴在中，，
∵是等腰直角三角形，，
∴；
如图所示，过点作轴于，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，且轴，
∴是等腰直角三角形，，
则点的轨迹在射线上，
如图所示，作点关于直线的对称点，
连接，，，，
∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质，
∴，
∴轴，且，
∴，则，
如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值；
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 一次函数综合题最值问题
1．如图，直线与x轴，y轴分别交于两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4．
(1)求b的值和点D的坐标；
(2)已知P是坐标平面内一点，连接所得的的面积分别为设；
①如图（2），若点P的坐标为，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
②如图（3），若点F在x轴上，坐标为，点Q是y轴上的一个动点，当时，求的最小值．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．

(1)求线段的长；
(2)当时，求点的坐标；
(3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连结，，求线段的最小值．
3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，直线经过原点和点，直线经过点和点．点是轴上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点．
(1)求直线，函数关系式；
(2)设点的横坐标为，若点在线段上．
①若，求四边形的面积；
②若点是线段的三等分点，求的值．
(3)过点作直线的对称点，当点在轴上运动时，点也随之运动．在此运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，点是轴上一点．
(1)求直线的表达式．
(2)如图1，连接，将沿翻折至，若点恰好落在直线上，求点的坐标．
(3)如图2，点在轴的正半轴上，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，请问有最小值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
(1)直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标；
(2)动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时动点N从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒．
①若△NPH的面积为1，求t的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标和最小值；如果没有，请说明理由．
6．如图，正方形的边长为，点为坐标原点，边，分别在轴，轴上，点是的中点，点是线段上的一个点，如果将沿直线对折，使点的对应点恰好落在所在的直线上．

(1)连接，求证：；
(2)利用你所学的数学知识求出折痕所在直线的函数解析式；
(3)请问轴上是否存在一点，使的周长有最小值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图：直线是一次函数的图象，且与x轴交于A点，直线是一次函数的图象，且与x轴交于B点．

(1)请用a、b表示出A、B、P各点的坐标；
(2)若点Q是与y轴的交点且，．求点P的坐标及直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，连接，F是线段上一个动点，连接，在F的运动过程中是否存在最小值和最大值，若存在，求出长度变化范围，若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．

(1)求直线的解析式；
(2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标；
(3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
9．如图，矩形的顶点在原点上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，直线的解析式为．
(1)求点，，的坐标．
(2)连接交于点，是轴上一动点，求周长的最小值．
(3)若横坐标、纵坐标都是整数的点叫作格点．现将直线向上平移（）个单位长度后记为直线，当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点时，请直接写出的取值范围．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，．
(1)求点C的坐标；
(2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标；
(3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结．
(1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标；
(2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由．
12．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，且，我们就称直线与直线互相平行．已知一次函数的图象为直线l，过点且与已知直线l平行的直线为．解答下面的问题：
(1)直接写出直线的函数表达式；
(2)设直线分别与轴、轴交于点，，过坐标原点作，垂足为点，求和两平行线之间的距离的长；
(3)若为上一动点，求的最小值，并求取得最小值时点的坐标；
(4)在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
13．四边形是正方形，E是直线上一点，连接，在右侧，过点E作射线，F为上一点．
(1)如图1，若点E是边的中点，且，连接，则________；
(2)如图2，若点E是边上一点（不与B，C重合），，判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)若正方形边长为1，且，当取最小值时，求的面积．
14．在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴，y轴于A，B两点，．
(1)如图1，点C在线段AB上，点D在线段AO上，于点E，于点F，若，，求证：；
(2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式；
(3)如图2，若，点M，N分别是（2）中直线l和线段OB上的动点，求周长最小值的平方．
15．在平面直角坐标系中有两点，．
(1)如图1，点是轴上的点，当最小时，点坐标为________；（直接写出答案）
(2)如图2，点，在轴上，且，当最小时，点的坐标________（直接写出答案，请用含的式子表示）．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点落在第一象限，连接，当的最小值时，求点的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，且．C为线段上一点，轴于点的平分线交x轴于点E．
(1)直线的函数表达式为___________；
(2)若，求出点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，在线段上有一动点M，在y轴上有一动点N，连接，那么的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
17．如图，直线与、轴分别交于点、．为轴上的动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)当点坐标为时，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接．则的最小值为　　　　　　　（直接写结果）
18．如图，直线与x轴交于点A，直线（k、b为常数，且）与x轴交于点，直线与交于点．
(1)求点C的坐标及直线的函数表达式；
(2)若点D是线段上一个动点，点D的横坐标是m，的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式；
(3)在y轴上是否存在点P，使得的值最小 若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由．
19．如图，已知，直线与x轴交于点B，直线与y轴交于点C，与直线交于点E．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)点P为y轴上的一个动点，求的最小值．
20．一次函数的图象与x、y轴分别交于点，．
(1)求该函数的解析式，并说明点是否在函数图象上；
(2)O为坐标原点，设OB、AB的中点分别为C、D．P为OA上一动点，求的最小值．并求取得最小值时P点的坐标．
21．如图，在直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，点在直线上，过点的直线交轴于点．

(1)求的值和直线的函数表达式；
(2)求的面积
(3)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
22．如图，在平面直角坐标系中．直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴的夹角为，过点作直线，交轴于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点在直线上，当时，求点坐标；
(3)在（2）的条件下，设点的横坐标为，点在直线上，点为点关于轴的对称点，点在轴上，当取最大值时，求的最小值．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，直线与y轴相交于点C，与x轴的负半轴相交于点D，其中，直线与直线相交与点B．
(1)填空：
①m＝______；
②直接写出不等式的解集：_______．
(2)猜想的度数，并说明理由；
(3)如图2，连接，在直线上有一点P，连接，若，求的最大值．
24．如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限．

(1)当时，求直线的函数解析式．
(2)如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；连接，交轴分别与、两点．
①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由．
②与的面积有什么关系？若，，，当面积取到最大值时，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．

(1)求a，b的值；
(2)当线段最短时，求点B的坐标；
(3)在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值．
26．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．

(1)求的值；
(2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)求面积的最大值．
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，过轴上动点作直线轴分别与直线、交于、两点．

(1)①请直接写出点，点，点的坐标：______，______，______．
②若，求的值；
(2)如图2，若为线段上动点，过点作直线交直线于点，求当为何值时，最大，并求这个最大值．
28．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点E为线段的中点，直线经过点E，且与x轴交于点，与y轴交于点D．
(1)如图1，求直线的解析式；
(2)如图2，连接，点P为直线上一点且在E点的右侧，线段在x轴上移动且，点G在点F的左侧，当四边形的面积为时，求的最大值；
(3)如图3，将沿着射线方向平移个单位长度，点A的对应点是M，点B的对应点是N，点K为直线上一点．在平面直角坐标系中是否存在点H，使以M、N、K、H四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点H的横坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过点M分别作于点C，于点D．
(1)当点M在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由；
(2)当点M运动到什么位置时，四边形的面积有最大值？最大值是多少？
30．如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．
(1)请直接写出直线的关系式：_________
(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；
(3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．
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