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沪科版八年级数学下册《17.2一元二次方程的解法》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．方程的解是（ ）
A． B．， C． D．，
2．若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
3．解一元二次方程，配方后得到，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．解方程最合适的方法是（ ）
A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．无法确定
5．已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（　　）
A．16 B．22 C．24 D．16或22
6．一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根，则矩形的周长和面积分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
8．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
9．用配方法解方程时，配方后方程变形为 ．
10．方程的解是 ．
11．对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为 ．
12．若关于的一元二次方程有一个根是0，则 ．
13．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ．
14．一元二次方程的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的面积为 ；
15．若方程的两根为，则方程的两根为 ．
16．已知实数m，n满足，若，则t的值是 ．
三、解答题
17．按要求解方程：
(1)（配方法）；
(2)（因式分解法）．
18．解方程
(1)
(2)
19．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”．现给出下面两个方程，请通过计算说明这两个方程是否是自然方程．
(1)；
(2)．
20．【阅读材料】解方程．
解：设,则原方程可变形为．
当时，
当时，,此方程无实数根．
∴原方程的解为．我们将上述解方程的方法叫做换元法．
【问题解决】利用上述方法解方程．
21．阅读与思考
【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
【知识运用】
周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现 ，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最值．
参考答案
1．解：
移项得：，
因式分解得：，
解得：，．
故选：B．
2．解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴一元二次方程为，
∴，
∴，，
∴这个方程的另一个根是，
故选：．
3．解：，
，
，
，
．
故选：．
4．解：
∴最合适的方法是因式分解法解一元二次方程，
故选：C．
5．解：∵，
∴，
解得，，
∵第三边的长为二次方程的一根，
∴边长4，4，8不能构成三角形，
∴三角形的三边为：4，8，10，
∴三角形的周长为，
故选：B．
6．解：∵，
∴，
∴，，
∵矩形的长和宽恰好是方程的两个根，
∴矩形的长为，宽为，
∴矩形的周长为，面积为，
故选：．
7．解：∵，
∴，
整理得：，
解得：，．
故选：D
8．解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），
∴在方程中，或，
解得，
故选：C．
9．解：
移项得：，
∴，
配方得：，即．
故答案为．
10．解：方程移项得：，
分解因式得：，
可得，或，
解得：．
故答案为：．
11．解：根据题意得，
∵其中一个一元一次方程是，
∴，
则．
故答案为：4．
12．解：把代入方程中，得
，
解得或，
当时，，舍去，
故答案为：．
13．解：解方程，得，，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为．
故答案为10．
14．解：∴，
，
解得，
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，
这个直角三角形的面积为：．
故答案为：3．
15．解：可得，
，
，
所以．
故答案为：．
16．解：设，原方程等价于,
解得或，
∴或（不符合题意舍去），
故答案为：5．
17．（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
．
18．解：（1）∵，
∴，
∴，
即，
则，
∴；
∴，；
（2）∵，
∴，
则，
∴或，
解得：或．
19．（1）解：这里，，．
∵，
∴．
故根不是整数，该方程不是“自然方程”．
（2）解：原方程可变形为．
∴，或，
∴，．
故根是整数，且满足，
∴该方程是“自然方程”．
20．解：设，则原方程可变形为．
解得：，
当时，，解得，
当时，，解得．
∴原方程的解为．
21．解：（1）
，
的最小值是1；
（2），
的最大值是5.

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