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15.3分式的方程应用题训练
为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用厚型纸单面打印，总质量为克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用薄型纸双面打印，总质量为克．已知每页薄型纸比厚型纸轻克，求例子中的厚型纸每页的质量．墨的质量忽略不计提示：总质量每页纸的质量纸张数．
2．某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍．
(1)求A，B两种科普书每本进价各是多少元；
(2)该书店计划A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为86元，购进A种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还多4本，若A，B两种科普书全部售出，使总获利超过1560元，则至少购进B种科普书多少本？
3．为了节约用水，若民用自来水水费调整为每月用水量不超过包括时，则按规定标准2.8元（含污染费和排污费），若每月用水量超过，则超过的部分按收费（含污染费和排污费）．
(1)小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2020年月起计划平均每月用水量比2022年月到2023年月平均每月用水量减少，这使小敏家在相同的月数内，从计划前的用水量变为计划后的用水量，求小敏家从2022年月起计划平均每月用水量；
(2)小敏家从2022年月到2023年月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的，有四个月超出现在计划月平均用水量的，其余的四个月的用水量与2020年月到2023年月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从2022年月到2023年月这一年中应交的总水费．
4．为了迎接即将到来的元旦节，某班计划为全班同学每人准备一份精美的零食礼盒，去商店了解后发现有A，B两种类型的零食礼盒可供选择，因为想品尝到更多的品种，班级两种都订．若购买A种礼盒花费1600元，购买B种礼盒花费960元，且购买A种礼盒的数量是B种礼盒的2倍．已知购买一个B种礼盒比购买一个A种礼盒多花8元．
(1)购买一个A种礼盒和一个B种礼盒各需多少元？
(2)该班的学生总人数有50人，购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍，且不超过B种礼盒的数量的三倍．设购买的A种礼盒有m个，总费用为w元，请问共有哪几种购买的方案？哪种方案的总费用最少，最少为多少元？
5．某开发公司生产的1920件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙厂单独加工完这批产品比甲厂单独加工完这批产品多用20天，而乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的，公司需付甲厂加工费用每天120 元，需付乙厂加工费用每天80元．
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
(2)公司制定产品加工方案如下∶可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成；在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天20元的午餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
6．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼，已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多50个，甲种月饼每个的单价是乙种月饼每个单价的1.5倍．
(1)求甲、乙两种月饼的每个的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个．若总金额不超过1100元，问最多购进多少个甲种月饼？
7．某中学为创建“绿色学校”，响应“节能减排”号召，决定购进甲、乙两种型号的节能灯，已知甲型号节能灯的单价比乙型号节能灯的单价贵5元，用1080元购买甲型号节能灯恰好与用900元购买乙型号节能灯的盏数相同．
(1)甲、乙两种型号的节能灯的单价各是每盏多少元？
(2)李老师购买这两种节能灯共60盏，且投入的经费不超过1700元，那么最多可购买多少盏甲型号节能灯？
(3)根据“节能减排”要求，为了更省电，学校对原灯泡进行了更换，发现李老师买的节能灯不够，又派出刘老师去购买，且两种型号的节能灯都要买，她一共花了300元，你知道她甲、乙两种型号的节能灯各购买多少盏吗？
8．核酸检测时需要先采集样本，采集样本结束后，再统一把样本送检测中心检验，且采集的样本和送达的样本的时间必须在小时内完成，超过小时送达，样本就会失效．已知、两个采样点到检测中心的路程分别为、，经过了解获得、两个采样点的送检车有如下信息：
信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的平均速度倍；
信息二：、两个采样点送检车行驶的时间之和为小时．
若采样点完成采集样本的时间小时，判断样本送达检测中心后会不会失效？
9．每年3月中旬到4月下旬是白茶采摘季，某白茶种植镇每年都有10万采茶工按时到来．出于防疫安全考虑，最新采茶工住宿管理规定，一间房最多住6人或者每人2.5平方米的住宿面积．该镇原有的10万床位难以满足最新规定，要对原有床位进行改造的同时，还需寻找新的房间．
(1)根据测算，原有床位改造后的数量会下降20%，该镇已经找到新房间400间，则至少还需寻找多少平方米的空建筑搭建房间，才能满足住宿要求？
(2)该镇召集了150名工人同时对原有床位进行改造或对新住房进行床位搭建，若每个工人每天的工作能力为：从原有床位改造出40张床位或在新住房搭建20张床位，则如何分配工人，能让原有床位改造和新床位搭建同时完工？
10．某校为了鼓励学生增加书籍阅读量，计划从书店购进A，B两种图书各若干本免费赠阅．每本A图书的价格比每本B图书的价格多10元，若在书店购买时每1本A图书和1本B图书可以组成一个套装，每个套装购买时可以享受八折优惠．
(1)若学校购买每个套装的费用不超过120元，那么B图书的最高售价不能超过多少元？
(2)若用1040元购买的套装中B图书的数量与用600元单独购买B图书的数量相同，那么B图书的售价是多少？
11．列方程解应用题：某商店将甲、乙、丙三种糖果混合而成什锦糖，并以糖的平均价格作为什锦糖的单价，若购买10千克甲种糖果和20千克乙种糖果共需费用650元，购买20千克甲种糖果和10千克乙种糖果共需费用700元．
(1)求甲、乙两种糖果的单价；
(2)设丙种糖果单价为15元千克，且甲、乙、丙三种糖果的重量之比为，若什锦糖的单价为20元千克，求的值．
12．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，求江水的流速为多少？设江水的流速为．
(1)根据题意，用含有x的式子填写下表：
速度（km/h） 时间（h） 距离（km）
顺流航行 90
逆流航行 60
列出方程，并求出问题的解．
13．国务院总理李克强表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．响应国家号召，某社区拟建两类地摊摊位，已知每个类摊位占地面积比类摊位多平方米，建类摊位需元/平方米，类摊位元/平方米，用平方米建类摊位的个数恰好是同样面积建类摊位个数的．
(1)求每个类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)若该社区拟建两类摊位共个，且类摊位的数量不大于类摊位数量的倍，建造总费用不超过元，则总费用最少是多少？
14．王明和高岩利用假期时间进行了两次徒步爬山活动．
(1)第一次爬北岳恒山，他们沿通往主峰的山路爬到某景点A，行程2000米，两人从山脚同时出发．王明爬的很快，其平均速度是高岩的1.25倍，结果比高岩早到10分钟到达景点A，求王明爬山的平均速度是每分钟多少米．
(2)第二次爬五台山，王明爬到了顶峰用了n(n＞2)小时，高岩爬到顶峰所用的时间是王明的1.1倍还多1小时，那么王明爬山的平均速度是高岩的2倍吗 请说明理由．
15．某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．
(1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？
(2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？
16．某商场销售两种商品，售出1件A种商品比售出1件B种商品所得利润多 元，售出A种商品获利元的件数和售出B种商品获利元的件数相同．
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，两种商品很快售完，商场决定再一次购进两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于7400元，求商场至少购进多少件A商品？
17．某公司有960件新产品需经加工后才能投放市场，现有甲、乙两家工厂都想加工加工这批产品．已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天120元．
(1)甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？
(2)公司制定的方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以有两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师进行技术指导，并担负每天25元的午餐补助，请帮公司需出一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
参考答案：
1．解：设例子中的厚型纸每页的质量为x克，
由题意得，
方程两边同时乘，得
整理，得，
解得，，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即例子中的厚型纸每页的质量为4克．
2．（1）解：设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是所列分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，
根据题意得：，
解得：，
∵m为正整数，且为正整数，
∴m为3的倍数，
∴m的最小值为75，
答：至少购进B种科普书75本．
3．（1）解：设小敏家从年月起计划平均每月用水量为，则从年月到年月平均每月用水量为，
依题意有：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴小敏家从年月起计划平均每月用水量为；
（2）解：超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为，
∴这四个月的水费为元；
超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为，
∴这四个月的水费为元；
设年月到年月的平均每月用水量为，
根据题意有：，
解得：
∴其余四个月的平均用水量为，
∴这四个月的水费为元．
∴小敏家从年月到年月这一年中应交的总水费为元．
4．（1）解：（1）设购买一个A种礼盒需x元，则购买一个B种礼盒需元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：购买一个A种礼盒需40元，一个B种礼盒需48元．
（2）解：依题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为34，35，36，37，
∴共有4种购买方案，
方案1：购买34个A种礼盒，16个B种礼盒；
方案2：购买35个A种礼盒，15个B种礼盒；
方案3：购买36个A种礼盒，14个B种礼盒；
方案4：购买37个A种礼盒，13个B种礼盒．
选择方案1所需费用为（元），
选择方案2所需费用为（元），
选择方案3所需费用为（元），
选择方案4所需费用为（元）．
∵，
∴方案4的总费用最少，最少为2104元．
5．（1）设甲每天加工新产品件，则乙每天加工新产品 件
根据题意得：
解得：
检验：把代入符合题意
则
答：甲、乙两个工厂每天各能加工48个，32个新产品
（2）甲单独加工完成需要（天）
费用为：元
乙单独加工完成需要（天）
费用为：元
乙合作完成需要（天）
费用为：元
所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作完成．
6．（1）解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个单价为元，根据题意，得：
解得：
（元）
答：甲种月饼每个的单价为6元，乙种月饼每个单价为4元
（2）解：设购进个甲种月饼，则购进个乙种月饼，根据题意，得：
解得：
答：最多购进150个甲种月饼
7．（1）解：设乙型号节能灯的单价为元，则甲型号节能灯的单价为（+5）元，根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，此时+5=30，
答：则甲型号节能灯的单价为30元，乙型号节能灯的单价为25元.
（2）解：设购买甲型号节能灯盏，则购买乙型号节能灯(60－a)盏，根据题意，得
30a+25(60-a)≤1700，
解得：a≤40，
答：最多可购买甲型号节能灯40盏.
（3）解：设购买了盏甲型号节能灯，盏乙型号节能灯，根据题意，得
30m+25n=300,
故.
因为m，n均为正整数，所以，.
答：购买5盏甲型号节能灯，6盏乙型号节能灯.
8．解：设采样点送检车的平均速度是，则采样点送检车的平均速度为，
依题意得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，即采样点送检车的平均速度是，采样点送检车的平均速度为，
∴采样点送检车的行驶时间为．
∵，
∴采样点采集的样本不会失效．
9．（1）解：（1）设还需寻找x平方米空建筑搭建房间，才能满足住宿要求，
依题意得：400×6+≥100000×20%，
解得：x≥44000．
答：至少还需寻找44000平方米的空建筑搭建房间，才能满足住宿要求．
（2）解：设应安排m名工人对原有床位进行改造，则安排（150﹣m）名工人对新住房进行床位搭建，
依题意得：＝，
解得：m＝100，
经检验，m＝100是原方程的解，且符合题意，
∴150﹣m＝150﹣100＝50（人）．
答：应安排100名工人对原有床位进行改造，50名工人对新住房进行床位搭建，才能让原有床位改造和新床位搭建同时完工．
10．（1）解：设B图书的售价为x元，则A图书的售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：B图书的最高售价不能超过70元；
（2）解：设B图书的售价是a元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
答：B图书的售价是60元．
11．（1）解：设甲、乙两种糖果的单价分别是元千克、元千克，根据题意列方程组：
，
解方程组得，
答：甲、乙两种糖果的单价分别是25元千克、20元千克，
（2）根据题意可得分式方程：
，
解分式方程得，
经检验是分式方程的解．
答：若什锦糖的单价为20元千克，的值为1．
12．（1）解：根据题意可得顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，所用时间（h）分别为：，；
（2）解：根据题意，得．
解得．
经检验，是原分式方程的解．
答：江水的流速为．
13．（1）解：设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米；
由题意可得：
解得：
经检验，是原方程的解；
∴
答：每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位占地面积为平方米
（2）解：设建造个类摊位，则建造个类摊位；
由题意可得：
解得：．
又∵为整数，∴可以取，，；
∴共有种建造方案；
方案1：建造个类摊位，个类摊位；
总费用：（元）；
方案2：建造个类摊位，个类摊位；
总费用：（元）；
方案3：建造个类摊位，个类摊位；
总费用：（元）
答：总费用最少是元．
14．（1）解：设高岩爬山的平均速度是每分钟x米，则王明爬山的平均速度是每分钟米，
根据题意得：，
解得：．
经检验是原方程的解，所以，
答：王明爬山的平均速度是每分钟50米；
（2）王明爬山的平均速度不是高岩的2倍．
理由如下：由题意知，王明爬山的平均速度是，高岩爬山的平均速度是，
，
∵，
∴，
∴，
∴王明爬山的平均速度不是高岩的2倍．
15．（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟,
根据题意得，，
解得，，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟；
（2）设这段坡路的下坡路程是y米，
∵上坡的平均速度是，，下坡的平均速度是，
∴根据题意得，，
解得，，
∴，
答：这段坡路的总路程是2100米．
16．（1）解：设每件种商品售出后所得利润为元，则每件种商品售出后所得利润为元．
由题意，得，
解得，，
经检验是原分式方程的解，
（元）．
答：每件种商品售出后所得利润为300元、每件种商品售出后所得利润为200元．
（2）解：设购进种商品件，则购进种商品件，
由题意，得，
解得．
答：商场至少购进6件A商品．
17．（1）解：设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，
则：
解得：x＝16
经检验，x＝16 是原分式方程的解
∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品；
（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天，
需要的总费用为：60×（80+25）＝6300 元
方案二：乙工厂单独完成此项任务，则
需要的时间为：960÷24＝40 天
需要的总费用为：40×（120+25）＝5800元
方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则
16a+24a＝960
∴a＝24
∴需要的总费用为：24×（80+120+25）＝5400元
综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱

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