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金陵中学2024-2025学年第二学期期中考试
高二数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足iz＝1＋i，则z·＝ ( )
A． B． C．2 D．4
2．已知变量x与y的数据如下表所示，若y关于x的线性回归方程是＝1.2x＋8.4，则表中m＝ ( )
x 1 2 3 4 5
y 10 11 m 13 15
A． 11 B． 12 C． 12.5 D． 13
3．圆M：(x－3)2＋y2＝16的圆心与抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点重合，A，B为两曲线的交点，则|AB|＝ ( )
A．2 B．5 C．4 D．3
4．由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为 ( )
A．144 B．168 C．156 D．192
5．在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(105，σ2)．若X在[90，120]内的概率是0.6，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于90的概率是 ( )
A． B． C． D．
6． 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为 ( )
A．[0，) B．(－1，) C．[0，) D．(－1，)
7．已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设X为摸出的红球总数，则X的期望值E(X)是 ( )
A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8
8．若函数f(x)＝(mx2－x)ex在[2，4]上存在单调递增区间，则m的取值范围是 ( )
A．(，＋∞) B．(，＋∞) C．(，＋∞) D．(，＋∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．下列说法正确的是 ( )
A．若A＝6C，则n的值为6
B．已知(1－2x)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2025x2025，则＋＋…＋＝0
C．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为12
D．在(3x－2y)6的展开式中，系数绝对值最大项是第3项
10．暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为，，；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，，，下列说法正确的是 ( )
A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
11．已知双曲线E：－＝1的左焦点为F，直线l过点F，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点A，B，C，D(从左到右)．下列说法正确的是 ( )
A．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则E的离心率为．
B．若∠OBA＝90°，且B为线段CF的中点，则E的离心率为
C．若∠OBA＝90°，且B为线段DF的中点，则E的离心率为
D．若E的离心率为2，则存在无数条直线l，使AB≠CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．不同放法种数是 (用数字作答)．
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3an＝2Sn＋1，则S6＝ ．
14．三棱锥S－ABC中，SC＝AB，AD⊥SC于点D，BD⊥SC，△ASC和△BSC的面积都是，则当三棱锥S－ABC的体积取得最大值时，cos∠ADB＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．
(1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；
(2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．
16．(本小题满分15分)
已知P(3，1)为椭圆C：＋＝1上一点，斜率为－的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直．
(1)若|MN|＝，A为椭圆C的上顶点，求△AMN的面积．
(2)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值．
17．(本小题满分15分)
如图，△ABC是等边三角形，直线EA⊥平面ABC，
直线DC⊥平面ABC，且EA＝2DC＝2，F是线段EB的中点．
(1)求证：DF//平面ABC；
(2)若直线CF与平面ABC所成角为45°，
求平面CEF与平面DEF夹角的余弦值．
18．(本小题满分17分)
已知函数f(x)＝－x2＋ax－lnx，a∈R
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)当函数f(x)有两个极值点x1，x2且x1＜x2．证明：4f(x1)－f(x2)≤．
19．(本小题满分17分)
为助力农业发展，科研团队对某农作物种子的发芽情况进行研究，记录种子发芽天数为随机变量Y(Y∈N*)，且最多需要m(m≥3，m∈N*)天发芽．
(1)在不同温度条件下进行发芽实验，得到如下数据：
温度(℃) 发芽 未发芽 总计
20 60 40 100
25 80 20 100
总计 140 60 200
能否有95%的把握判断种子发芽是否与温度有关
(2)已知该种子在甲地发芽的概率为0.7，在乙地发芽的概率为0.6．若随机选择甲地或乙地进行实验(两地被选中的概率均为 0.5)，求种子发芽的概率．
(3)深入研究发现：发芽天数为1的种子在全体种子中占20%；且对于1≤k≤m－2，
k∈N*，发芽天数为k＋1的种子在发芽天数超过k的种子中占25%．
①证明：{P(Y＝k)}，k＝2，3，…，m－1(k∈N*)构成等比数列；
②求该农作物种子发芽天数Y的数学期望E(Y)．
附：参考公式：χ2＝．其中n＝a＋b＋c＋d．
临界值表：
P(χ2≥K0) 0.10 0.05 0.010 0.001
K0 2.706 3.841 6.635 10.828
高二数学试卷 参考答案
1.【答案】D
【解析】由iz＝1＋i，得z＝＝－i，故＝＋i，所以z·＝(－i)(＋i)＝4．故选D．
2.【答案】A
【解析】＝＝3，＝＝，因为线性回归方程经过样本中心(，)，所以＝1.2×3＋8.4，解得m＝11．故选：A．
3【答案】C
【详解】圆M：(x－3)2＋y2＝16的圆心为(3，0)，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为(，0)，所以＝3，p＝6，所以y2＝12x，联立，得x2＋6x－7＝0，解得x＝－7或x＝1，在抛物线y2＝12x中，x≥0，所以x＝1，代入y2＝12x得A(1，2)，B(1，－2)，所以|AB|＝|2－(－2)|＝4．故选：C．
4【答案】C
【解析】若个位上的数字为0，可以组成A＝60个无重复数字的4位数的偶数，若个位上的数字为2或4，可以组成CCA＝96，故可以组成60＋96＝156个符合条件的数．故选：C．
5【答案】B
【解析】因为学生成绩服从正态分布(105，σ2)，且P(90≤X≤120)＝0.6，所以P(90≤X≤105)＝0.3，P(X＜90)＝0.2，P(X≥90)＝0.8＝，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于90的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于90的概率是C()2×＝．故选：B．
6【答案】B
【解析】当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，当x∈(－∞，－1)时，f(x)单调递减；当x∈(－1，0)时，f(x)单调递增．当x≤0时，f(x)min＝f(－1)＝－1．当x＞0时，f(x)＝，则f'(x)＝，当x∈(0，)时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(，＋∞)时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减．当x＞0时，f(x)max＝f()＝＝．画出函数f(x)的图象如图所示．因为函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，所以y＝m与y＝f(x)的图象有3个交点，由图知：－1＜m＜．故选：B．
7【解析】方法一：X可能取值为0，1，2，3．P(X＝0)＝×＝×＝．P(X＝1)＝×＋×＝×＋×＝＋＝．P(X＝2)＝×＋×＝×＋×＝＋＝．P(X＝3)＝×＝×＝．所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝＝1.7．故选C．
方法二：设Y为从甲袋中摸出的红球数，Z为从乙袋中摸出的红球数，则Y~H(2，3，5)，Z~H(2，1，4)，E(Y)＝2×＝，E(Z)＝2×＝，E(X)＝E(Y)＋E(Z)＝1.2＋0.5＝1.7．故选C．
8【答案】D
【解析】f(x)＝(mx2－x)ex，则f'(x)＝ex(mx2＋2mx－x－1)．函数f(x)在区间[2，4]上存在单调递增区间，只需f'(x)＞0在区间[2，4]上有解，即h(x)＝mx2＋2mx－x－1＞0在区间[2，4]上有解．
方法一：即m＞在区间[1，3]上有解，所以m＞()min．令x＋1＝t，t∈[3，5]，则＝＝＝．令g(t)＝t－，所以g(t)在[3，5]上单调递增，所以g(t)max＝g(5)＝，即()min＝，所以m＞．
方法二：当m≤0时，mx2＋2mx－x－1＜0，不符合；当m＞0时，只需要h(2)＞0，或h(4)＞0，所以m＞．
故选D．
9【答案】CD
【解析】对于选项A，由A＝6C得n(n－1)(n－2)＝6×，解得n＝7，检验符合题意，所以A错误；对于选项B，令x＝0，得a0＝1，令x＝，得0＝a0＋＋＋…＋．∴＋＋…＋＝－1，故B错误；对于选项C，因为(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋x)4＋2x2(1＋x)4的展开式中含x3的系数为1×C＋2C＝12，所以C正确；对于选项D，二项式(3x－2y)6的通项公式为：Tr＋1＝C·(3x)6－r·(－2y)r，设第r＋1项的系数绝对值最大，所以有≤r≤，因为r∈N*，所以r＝2，所以系数绝对值最大项是第3项，D正确．故选CD．
10【答案】ACD
【解析】设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件A1，“甲同学今天早上乘公交车出行”为事件A2，“甲同学今天早上乘地铁出行”为事件A3，“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为B．对于选项A，A1与A2不能同时发生，A正确；对于选项B，因为P(A2)＝，P(A3)＝，但P(A2A3)＝0，故P(A2A3)≠P(A2)·P(A3)，B错误；对于选项C，则P(A1)＝，P(B|A1)＝，P(A2)＝，P(B|A2)＝，P(A3)＝，P(B|A3)＝，由全概率公式得：P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝＞．C正确；对于选项D，由题意可知所求概率为P(A1|B)＝＝＝＝；D项正确．故选：ACD．
11【答案】AC
【解析】对于选项A，＝1，则＝＋1＝2，所以e＝，A正确；对于选项B，不妨设l的斜率为正，则联立得B(－，)，由B为线段CF的中点，所以C(，)，代入y＝x得，c2＝4a2，所以e＝2，B错误（或者利用几何法，可以求得∠BOF＝60°）；对于选项C，将(，)代入－＝1，化简得e＝，C正确（或设右焦点为F'，由FB＝b，OB＝a，得FD＝2b，F'D＝2a，从而由2b－2a＝2a得）；对于D，分别设A，B，C，D的横坐标为x1，x2，x3，x4，则由消去y，得8x2－2cx－(c2＋9a2)＝0，从而x1＋x4＝，由消去y，得8x2－2cx－c2＝0，从而x2＋x3＝，因为x1＋x4＝＝x2＋x3，线段AD，BC有相同的中点，则|AB|＝|CD|，即对所有直线l，AB＝CD，D错误．故选AC．
12【答案】1560
【解析】将6个小球分成4个小组可以是3＋1＋1＋1或2＋2＋1＋1，然后再分别放入4个不同盒子，共有(C＋)A＝1560种排法．
13【答案】364
【解析】令n＝1，得3a1＝2S1＋1＝2a1＋1，得a1＝1，由3an＝2Sn＋1，当n≥2时，3an－1＝2Sn－1＋1，两式相减得，3an－3an－1＝2(Sn－Sn－1)＝2an，即an＝3an－1，由于a1＝1≠0，所以an≠0(n∈N*)，所以＝3，数列{an}是以a1＝1为首项，3为公比的等比数列，所以S6＝＝364．
14【答案】
【解析】设SC＝2a，在△ASC中，AD⊥SC，所以S△ASC＝×SC×AD＝×2a×AD＝，所以AD＝，同理，BD＝．在等腰△ADB中，设AB上的高为h，则h＝＝．因为AD⊥SC，BD⊥SC，且AD∩BD＝D，所以SC⊥面ADB，所以三棱锥S－ABC的体积V＝S△ADB×SC＝××2a××2a＝．设f(x)＝3t－t3(t＞0)，令f'(x)＝3－3t2＝0，得t＝1，且当0＜t＜1时，f'(x)＞0，f(x)递增；当t＞1时，f'(x)＜0，f(x)递减；所以f(x)max＝f(1)＝2．所以当a2＝1时，V取得最大值．此时AB＝2，AD＝BD＝，cos∠ADB＝＝．
15解 (1)有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3．
每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X~B(3，)，则
P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝C()()2＝，
P(X＝2)＝C()2()＝，P(X＝3)＝()3＝．
则D(X)＝3××(1－)＝． 7分
说明：①概率对一个得1分，全对得5分；②分布列全对但没有公式过程或没有列表倒扣1分．
(2)不放回抽样时，则Y~H(3，2，8)
P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝，
则E(Y)＝3×＝． 13分
说明：①概率对一个得1分，全对得4分；②分布列全对但没有公式过程或没有列表倒扣1分．
16解 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y＝－x＋m．
由得4x2－6mx＋9m2－36＝0，
由Δ＝(6m)2－144(m2－4)＞0，得－＜m＜，
则x1＋x2＝，x1x2＝． 3分
(1)由|MN|＝·＝·＝，
解得m＝2或m＝－2．
当m＝2时，直线l：y＝－x＋2经过点P(3，1)，不符合题意，舍去．
则m＝－2时，此时直线l的方程为y＝－x－2． 5分
点A(0，2)到直线l的距离d＝＝， 7分
故△AMN的面积S＝|MN|·d＝××＝6． 9分
说明：m的解直接解得m＝－2，没有说明扣2分．d没有单独算，结果正确不扣分，结果错误不给分．
(2)因为直线PM，PN均不与x轴垂直，所以x1≠3，x2≠3，则m≠0且m≠2，
所以k1k2＝·．
(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝[(m－1)2－1]． 11分
(y1－1)(y2－1)＝(－x1＋m－1)(－x2＋m－1)
＝x1x2－(x1＋x2)＋(m－1)2＝[(m－1)2－1]． 13分
所以k1k2＝·＝＝，即k1k2为定值． 15分
说明：如果没有单独算出分子，分母，结果正确不扣分，结果错误本题不得分。结果一定要能比较明显得到比是，最后一步2分才给．
17解 (1)证明：取AB的中点M，连接FM和CM．
在△EAB中，F是EB的中点，M是AB的中点，
所以FM∥EA且FM＝EA＝．
因为DC⊥平面ABC，而EA⊥平面ABC，所以FM∥DC，
2分
又DC＝ 且故FMDC．
因此，四边形FMCD是平行四边形，所以DF∥CM． 4分
由于CM平面 ABC，DF平面ABC，所以DF∥平面ABC． 6分
说明：踩关键点给分，例如“FM∥DC”，“平行四边形”．
(2)因为EA⊥平面ABC，又由(1)知，FM∥EA，所以FM⊥平面ABC．
所以∠FCM为直线CF与平面ABC所成角，所以∠FCM＝45°，
在Rt△FMC中，CM＝FM＝．
又等边△ABC中，M为AB的中点，所以AB＝2． 9分
说明：不出现“FM⊥平面ABC”或不出现文字说明角只给结论分1分．
以M为原点，MA为x轴，MC为y轴，FN为z轴，建立空间直角坐标系．
C(0，，0)，E(1，0，2)，F(0，0，)，D(0，，)．
所以＝(0，－，)，＝(1，0，)，＝(0，，0)．
设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则，
取n＝(，－1，1)； 11分
设平面DEF的法向量为m＝(a，b，c)，则，
取m＝(，0，1)； 13分
设平面CEF与平面DEF夹角为θ，则cosθ＝＝＝，
所以平面CEF与平面DEF夹角的余弦值为． 15分
说明：不画坐标系扣1分．
18解 (1)当a＝1时，f(x)＝－x2＋x－lnx，则f'(x)＝－x＋1－
所以f'(1)＝－1，又f(1)＝－＋1＝，
所以函数f(x)在x＝1处的切线方程为y－＝－(x－1)，即
2x＋2y－3＝0． 3分
(2)函数f(x)＝－x2＋ax－lnx，a∈R的定义域为(0，＋∞)，
则f'(x)＝－x＋a－＝－， 5分
①当a≤0时，f'(x)＜0； 6分
②当a＞0时，
令f'(x)＝0，即x2－ax＋1＝0，则Δ＝a2－4．
(i)当Δ＝a2－4≤0，即0＜a≤2时，f'(x)≤0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
8分
(ii)当Δ＝a2－4＞0，即a＞2时，
方程x2－ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，
由于x1＋x2＝a＞0，x1x2＝1，所以两根均为正根，且x1＜x2，
则x∈(0，)时，f'(x)＜0；x∈(，)时，f'(x)＞0；x∈(，＋∞)时，f'(x)＜0． 10分
说明：不说明两根均为正根的理由扣1分．
综上，当a≤2，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在(0，)，(，＋∞)上单调递减，在(，)上单调递增．
11分
(3)证明：由(2)知，当a＞2时，f(x)有两个极值点，满足，
则0＜x1＜1＜x2，
所以4f(x1)－f(x2)＝4(－x＋ax1－lnx1)－(－x＋ax2－lnx2)
＝－2x＋4ax1－4lnx1＋x－ax2＋lnx2
＝－2x＋4(x1＋x2)x1－4lnx1＋x－(x1＋x2)x2＋lnx2
＝2x－－5lnx1＋3 13分
说明：化为一元函数准确即可给分．
＜5－－5lnx1．
令g(t)＝5－－lnt，其中0＜t＜1，
则g'(t)＝－＝，
令g'(t)＝0，则t＝，且0＜t＜时，g'(t)＞0，＜t＜1时，g'(t)＜0；
所以g(t)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减．
g(t)max＝g()＝(1＋ln5)＜,从而4f(x1)－f(x2)＜． 17分
19解 (1)提出假设 H0：种子发芽是否与温度无关， 1分
χ2＝≈9.52， 3分
由于由于P(χ2≥3.841)≈0.05，
χ2≈9.52＞3.841，
所以我们有95%的把握判断种子发芽是否与温度有关． 4分
说明：不出现“95%”，或“3.841”，扣1分．
(2)设“选择甲地进行试验”为事件A1，“选择乙地进行试验”为事件A2，“种子发芽”为事件B，则
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.5×0.7＋0.5×0.6＝0.65．
即种子发芽的概率为0.65． 8分
说明：结果正确，“设”与“答”都没有，扣1分．
(3)①证明：由题可得，P(Y＝1)＝0.2，
当1≤k≤m－2时，P(Y＝k＋1)＝0.25P(Y＞k)，
同理可得，当2≤k≤m－1时，P(Y＝k)＝0.25P(Y＞k－1)，
两式相减得P(Y＝k＋1)－P(Y＝k)＝－0.25P(Y＝k)， 10分
即P(Y＝k＋1)＝0.75P(Y＝k)，
因为P(Y＝2)＝0.25P(Y＞1)＝0.25×[1－P(Y＝1)]＝0.25×0.8＝0.2，
所以P(Y＝k)≠0，k＝2，3，…，m－1，
所以＝0.75(2≤k≤m－2)，
所以当2≤k≤m－1时，{P(Y＝k)}是以0.2为首项，0.75为公比的等比数列，
12分
说明：不写成比扣1分．
②P(Y＝m)＝1－P(Y＝i)＝0.8－0.2×(0·750＋0·75＋…＋0·75m－3)，
所以P(Y＝k)＝； 14分
（P(Y＝m)＝0.8·0.75m－2）
E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＋…＋mP(X＝m)
＝1×0.2＋0.2×[2×0.750＋3×0.751＋…＋(m－1)×0.75m－3]
＋m[0.8－0.2×(0.750＋0.751＋…＋0.75m－3)]
＝0.2＋0.8m＋0.2×[(2－m)×0.750＋(3－m)×0.751＋…＋(－1)×0.75m－3]，
令T＝(2－m)×0.750＋(3－m)×0.751＋…＋(－1)×0.75m－3，
则0.75T＝(2－m)×0.75＋(3－m)×0.752＋…＋(－1)×0.75m－2，
两式相减得，0.25T＝(2－m)×0.750＋0.751＋…＋0.75m－3－(－1)×0.75m－2
＝1－m＋＋0.75m－2＝5－m－3×0.75m－2，
所以T＝20－4m－12×0.75m－2，
则E(X)＝0.2＋0.8m＋0.2T＝4.2－2.4×0.75m－2． 17分

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