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四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
1．（2025高二下·三台月考）数列的递推公式可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为数列第一项是1，从第二项起，每一项是前一项的，所以递推公式为.
故答案为：C.
【分析】观察数列可知：数列的第一项为1，且从第二项起，每一项是前一项的，由此可得数列的递推公式判断即可.
2．（2025高二下·三台月考）已知数列为等差数列，且，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，且，所以，则，所以.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列的性质求解即可.
3．（2025高二下·三台月考）函数 的单调增区间是（　　）
A． B． C． . D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： .
令 ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】
先求积的导数，再令 f′(x)>0，解得 x>2 即可得函数的单调增区间.
4．（2025高二下·三台月考）记为等比数列的前项和，若，则（　　）
A．21 B．18 C．15 D．12
【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为为等比数列的前项和，所以成等比数列，即3，6，成等比数列，
所以，解得．
故答案为：A．
【分析】根据等比数列性质可知成等比数列，求出，再求即可.
5．（2025高二下·三台月考）已知函数，满足当时，，若，则有（　　）
A． B．
C． D．与的大小关系不定
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，
则，
所以在上单调递增，
又因为，所以，则.
故答案为：B.
【分析】当时，，构造上的单调函数，再利用函数的单调性去比较大小，从而找出正确的选项。
6．（2025高二下·三台月考）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，
因为曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，所以切线的斜率，
即，解得，故点横坐标的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先求导，根据导数的几何意义结合点处切线倾斜角的取值范围是，列不等式求解即可.
7．（2025高二下·三台月考）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足：，所以，故，
所以，
又因为，所以，故，
所以．
故答案为：C.
【分析】原式变形可得，再利用累乘法得，故，最后利用裂项相消法求和即可．
8．（2025高二下·三台月考）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（　　）
A．2022 B．4044 C．2023 D．4046
【答案】D
【知识点】等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，根据等比数列额性质可得：，
因为函数，所以，
令，则，
所以，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，推出，再利用倒序相加法求解即可.
9．（2025高二下·三台月考）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（　　）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
【答案】C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当时，，
因为，所以，
则是递减数列，故A错误；
因为，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，
又因为是正整数，且或距离对称轴一样远，
所以当或时，取得最大值，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据的表达式和当时，的关系式，从而得出数列的通项公式，从而判断出选项A、选项B和选项C；利用结合二次函数的图象求最值的方法，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2025高二下·三台月考）下列命题正确的有（　　）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；导数的概念
【解析】【解答】解：对于A：因为函数在上可导，且，
所以，故错误；
对于：因为，
若，则，即，故正确；
对于：因为，故错误；
对于：因为，
所以，则，故正确.
故答案为：.
【分析】利用导数的概念判断出选项；对复合函数求导，从而计算判断出选项；用除法的求导法则判断出选项；先求导，再解方程得出的值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
11．（2025高二下·三台月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，，
所以，
，
所以数列从第4项起以4，2，1循环，而，所以，
.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件，求出数列的前几项，可得数列从第4项起以4，2，1循环，再逐项判断即可.
12．（2025高二下·三台月考）曲线在点在时的切线斜率为　 　.
【答案】3
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3.
故答案为：3.
【分析】求导，将代入求值即可.
13．（2025高二下·三台月考）正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，.前项和为，则的值为　 　.
【答案】384
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设数列后7项的公比为，易知首项为，因为，
所以，解得，
则，显然，所以．
故答案为：384.
【分析】设数列后7项的公比为，根据已知条件结合等比数列的性质求出及，再分组求和即可．
14．（2025高二下·三台月考）若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆圆心为，作出曲线和圆的图象，如图所示：
当垂直于曲线在点处的切线时，最小，取得最小值时，取得最小值，
设点，曲线求导可得，所以，即，
由于时满足上式，且在单调递增，所以有唯一解，
所以，此时，所以
故答案为：.
【分析】根据题意转化为求曲线上一点到圆心距离的最小值，找出取得最小值时候满足的条件，结合导数计算法则列式求解即可.
15．（2025高二下·三台月考）已知曲线．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若曲线在处的切线与曲线相切，求的取值．
【答案】（1）解：因为，又，，
故曲线在处的切线方程：， 即.
（2）解：因为，则曲线在处的切线方程为：，
又直线与曲线相切，
联立方程消得：，
由题意有，即，解得：.
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导，再求在处的导数值，即直线的斜率，利用直线的点斜式方程即可得曲线在处的切线方程；
（2）先求切线方程，再联立直线与曲线方程，最后由求即可.
16．（2025高二下·三台月考）等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由题意得，解得，
所以．
（2）解：因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
所以，所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组，求解即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可知，再利用分组求和即可.
17．（2025高二下·三台月考）已知函数，若曲线在点处的切线方程为.
（1）求和的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）解：由题意可得，
所以，即，则切线方程为，
所以，
所以，.
（2）解：由（1）得，，
函数定义域为，
所以当时，；
当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得到切线斜率，再结合已知条件求出b的值，从而得出切线方程，再由切点在曲线上和切线上，从而建立关于a的等量关系，进而求出a的值.
（2）利用（1）中a的值得出函数的解析式，再结合函数的定义域和导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的单调区间.
（1）由题可得，
所以，即，切线方程为，
所以.
所以；.
（2）由（1）得，，函数定义域为，
所以当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
18．（2025高二下·三台月考）某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
（1）写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列；
（2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）
【答案】（1）证明：由题意知．
即，所以．
由题意知，
所以数列的首项为，
所以是首项为，公比为的等比数列
（2）由（1）知数列的首项为，公比为．
所以，所以，当，得，
两边取常用对数得，所以，所以，
因为，所以，即至少经过年，该项目的资金达到翻一番
【知识点】指、对数不等式的解法；等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据题意可得，即，利用等比数列的定义证明数列为等比数列即可；
（2）由（1）中的结论求出数列的通项公式，再令，得，解不等式即可求解．
19．（2025高二下·三台月考）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为．
（1）求的值；
（2）求出的通项公式；
（3）设曲线在点处的切线斜率为，求证：．
【答案】（1）解：依题意，为正三角形，且，
观察图象得，又因为点在曲线上，
即，解得，
所以为正三角形，且，
又因为点在曲线上，
所以，
整理得，解得，
所以，.
（2）解：令为数列的前n项和，是正三角形，
点，，
所以点在曲线上，
则，即，
当时，，
两式相减得：，
整理得，
则，
又因为满足上式，因此，，
即数列是首项为，公差的等差数列，
所以，
所以数列的通项公式是.
（3）证明：由（2）知，当时，，
则点的横坐标，
显然满足上式，因此，
由求导得，，所以，
当时，，
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，从而解一元二次方程得出的值.
（2）令为数列的前n项和，利用与表示出点的坐标，再代入曲线方程可得与的关系式，结合数列的递推关系求出数列的通项公式.
（3）由（2）求出点的横坐标，利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，再利用裂项相消法和放缩法，从而证出不等式成立.
（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上，
即，解得，为正三角形，且，点在曲线上，
，整理得，解得，
所以，.
（2）令为数列的前n项和，是正三角形，点，
，于是点在曲线上，
则，即，当时，，
两式相减得：，整理得，
则，而满足上式，因此，，
即数列是首项为，公差的等差数列，，
所以数列的通项公式是.
（3）由（2）知，当时，，
则点的横坐标，显然满足上式，因此，
由求导得，，于是，
当时，，
所以.
1 / 1四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
1．（2025高二下·三台月考）数列的递推公式可以是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·三台月考）已知数列为等差数列，且，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2025高二下·三台月考）函数 的单调增区间是（　　）
A． B． C． . D．
4．（2025高二下·三台月考）记为等比数列的前项和，若，则（　　）
A．21 B．18 C．15 D．12
5．（2025高二下·三台月考）已知函数，满足当时，，若，则有（　　）
A． B．
C． D．与的大小关系不定
6．（2025高二下·三台月考）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·三台月考）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·三台月考）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（　　）
A．2022 B．4044 C．2023 D．4046
9．（2025高二下·三台月考）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（　　）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
10．（2025高二下·三台月考）下列命题正确的有（　　）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
11．（2025高二下·三台月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025高二下·三台月考）曲线在点在时的切线斜率为　 　.
13．（2025高二下·三台月考）正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，.前项和为，则的值为　 　.
14．（2025高二下·三台月考）若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为　 　.
15．（2025高二下·三台月考）已知曲线．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若曲线在处的切线与曲线相切，求的取值．
16．（2025高二下·三台月考）等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和．
17．（2025高二下·三台月考）已知函数，若曲线在点处的切线方程为.
（1）求和的值；
（2）求的单调区间.
18．（2025高二下·三台月考）某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
（1）写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列；
（2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）
19．（2025高二下·三台月考）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为．
（1）求的值；
（2）求出的通项公式；
（3）设曲线在点处的切线斜率为，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为数列第一项是1，从第二项起，每一项是前一项的，所以递推公式为.
故答案为：C.
【分析】观察数列可知：数列的第一项为1，且从第二项起，每一项是前一项的，由此可得数列的递推公式判断即可.
2．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，且，所以，则，所以.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列的性质求解即可.
3．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： .
令 ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】
先求积的导数，再令 f′(x)>0，解得 x>2 即可得函数的单调增区间.
4．【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为为等比数列的前项和，所以成等比数列，即3，6，成等比数列，
所以，解得．
故答案为：A．
【分析】根据等比数列性质可知成等比数列，求出，再求即可.
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，
则，
所以在上单调递增，
又因为，所以，则.
故答案为：B.
【分析】当时，，构造上的单调函数，再利用函数的单调性去比较大小，从而找出正确的选项。
6．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，
因为曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，所以切线的斜率，
即，解得，故点横坐标的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先求导，根据导数的几何意义结合点处切线倾斜角的取值范围是，列不等式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足：，所以，故，
所以，
又因为，所以，故，
所以．
故答案为：C.
【分析】原式变形可得，再利用累乘法得，故，最后利用裂项相消法求和即可．
8．【答案】D
【知识点】等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，根据等比数列额性质可得：，
因为函数，所以，
令，则，
所以，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，推出，再利用倒序相加法求解即可.
9．【答案】C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当时，，
因为，所以，
则是递减数列，故A错误；
因为，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，
又因为是正整数，且或距离对称轴一样远，
所以当或时，取得最大值，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据的表达式和当时，的关系式，从而得出数列的通项公式，从而判断出选项A、选项B和选项C；利用结合二次函数的图象求最值的方法，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；导数的概念
【解析】【解答】解：对于A：因为函数在上可导，且，
所以，故错误；
对于：因为，
若，则，即，故正确；
对于：因为，故错误；
对于：因为，
所以，则，故正确.
故答案为：.
【分析】利用导数的概念判断出选项；对复合函数求导，从而计算判断出选项；用除法的求导法则判断出选项；先求导，再解方程得出的值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，，
所以，
，
所以数列从第4项起以4，2，1循环，而，所以，
.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件，求出数列的前几项，可得数列从第4项起以4，2，1循环，再逐项判断即可.
12．【答案】3
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3.
故答案为：3.
【分析】求导，将代入求值即可.
13．【答案】384
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设数列后7项的公比为，易知首项为，因为，
所以，解得，
则，显然，所以．
故答案为：384.
【分析】设数列后7项的公比为，根据已知条件结合等比数列的性质求出及，再分组求和即可．
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆圆心为，作出曲线和圆的图象，如图所示：
当垂直于曲线在点处的切线时，最小，取得最小值时，取得最小值，
设点，曲线求导可得，所以，即，
由于时满足上式，且在单调递增，所以有唯一解，
所以，此时，所以
故答案为：.
【分析】根据题意转化为求曲线上一点到圆心距离的最小值，找出取得最小值时候满足的条件，结合导数计算法则列式求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，又，，
故曲线在处的切线方程：， 即.
（2）解：因为，则曲线在处的切线方程为：，
又直线与曲线相切，
联立方程消得：，
由题意有，即，解得：.
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导，再求在处的导数值，即直线的斜率，利用直线的点斜式方程即可得曲线在处的切线方程；
（2）先求切线方程，再联立直线与曲线方程，最后由求即可.
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由题意得，解得，
所以．
（2）解：因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
所以，所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组，求解即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可知，再利用分组求和即可.
17．【答案】（1）解：由题意可得，
所以，即，则切线方程为，
所以，
所以，.
（2）解：由（1）得，，
函数定义域为，
所以当时，；
当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得到切线斜率，再结合已知条件求出b的值，从而得出切线方程，再由切点在曲线上和切线上，从而建立关于a的等量关系，进而求出a的值.
（2）利用（1）中a的值得出函数的解析式，再结合函数的定义域和导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的单调区间.
（1）由题可得，
所以，即，切线方程为，
所以.
所以；.
（2）由（1）得，，函数定义域为，
所以当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
18．【答案】（1）证明：由题意知．
即，所以．
由题意知，
所以数列的首项为，
所以是首项为，公比为的等比数列
（2）由（1）知数列的首项为，公比为．
所以，所以，当，得，
两边取常用对数得，所以，所以，
因为，所以，即至少经过年，该项目的资金达到翻一番
【知识点】指、对数不等式的解法；等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据题意可得，即，利用等比数列的定义证明数列为等比数列即可；
（2）由（1）中的结论求出数列的通项公式，再令，得，解不等式即可求解．
19．【答案】（1）解：依题意，为正三角形，且，
观察图象得，又因为点在曲线上，
即，解得，
所以为正三角形，且，
又因为点在曲线上，
所以，
整理得，解得，
所以，.
（2）解：令为数列的前n项和，是正三角形，
点，，
所以点在曲线上，
则，即，
当时，，
两式相减得：，
整理得，
则，
又因为满足上式，因此，，
即数列是首项为，公差的等差数列，
所以，
所以数列的通项公式是.
（3）证明：由（2）知，当时，，
则点的横坐标，
显然满足上式，因此，
由求导得，，所以，
当时，，
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，从而解一元二次方程得出的值.
（2）令为数列的前n项和，利用与表示出点的坐标，再代入曲线方程可得与的关系式，结合数列的递推关系求出数列的通项公式.
（3）由（2）求出点的横坐标，利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，再利用裂项相消法和放缩法，从而证出不等式成立.
（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上，
即，解得，为正三角形，且，点在曲线上，
，整理得，解得，
所以，.
（2）令为数列的前n项和，是正三角形，点，
，于是点在曲线上，
则，即，当时，，
两式相减得：，整理得，
则，而满足上式，因此，，
即数列是首项为，公差的等差数列，，
所以数列的通项公式是.
（3）由（2）知，当时，，
则点的横坐标，显然满足上式，因此，
由求导得，，于是，
当时，，
所以.
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