资源简介

《4.4利用三角形全等测距离》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
全等三角形的性质有哪些？
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
活动1：基础性知识
判定三角形全等有哪些方法？
①边边边SSS：三边分别相等的两个三角形全等。
②角边角ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
③角角边AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
④边角边SAS：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
【基础性练习】
1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( B )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
活动2：拓展性知识
一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：在一次战役中，我军阵地
与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了一个办法:如图，他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
（1）按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.
具体操作时，可以用一张纸或一个本子代替帽檐，先确定好一个目标，再调整“帽檐”，使视线通过“帽檐”望去恰好落在目标上，然后保持“帽檐”不动，转过一个角度再望出去，视线所落的位置即为第二个目标.最后用步测等方法测量出两个目标与观察者的距离，验证战士做法的合理性.
确定第二个目标时，可以重复2-3次后求平均数，以避免出现较大的误差.
（2）你能解释其中的道理吗？
人面向两个不同方向，人的身体分别与视线、地平线构成的两个三角形全等（ASA），再根据全等三角形的对应边相等，量出自己与那个点的距离就是他与碉堡间的距离.
如图所示，将实际问题转换成数学问题为：
在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E=90°，∠A= ∠D。则有BC=EF，为什么？
理由：在△ACB与△DFE 中，
∠A=∠D
AB=DE（公共边）
∠B=∠E
∴△ACB≌△DFE（ASA）
∴BC = EF.
【拓展性练习】
2.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( B )
A.大于100 m B.等于100 m
C.小于100 m D.无法确定
活动3：挑战性知识
如图所示，A,B两点分别位于一个池塘的两端,小丽想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位叔叔帮他出了这样一个主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,DE的长度就是A,B间的距离.
你能说明其中的道理吗
小丽的思考过程如下。
解:在△ABC和△DEC中,
因为AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,
所以△ABC≌△DEC,
所以AB=DE.
你能说出小丽每一步的理由吗？
解:在△ABC和△DEC中,
AC=DC(已知),
∠ACB=∠DCE (对顶角相等),
BC=EC(已知),
∴△ABC≌△DEC(SAS),
∴AB=DE(全等三角形对应边相等).
3.如图所示,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,先在地面上取一点C,使∠ACB=90°,然后延长BC至点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就能得到A,B两点之间的距离,请说明其中的道理.
解:∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ACD=90°.
在△ACD和△ACB中,
AC=AC,
∠ACD=∠ACB,
CD=CB,
∴△ACD≌△ACB(SAS),
∴AD=AB,
∴测量出AD的长度就能得到A,B两点之间的距离.
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1. 如图所示，某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离，他们在点B同侧选择了一点C，测得∠ABC=70°，∠ACB= 40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们还应做什么才能测得A,B之间的距离(　D　)
A.直接测量BM的长
B.测量BC的长
C.测量∠A的度数
D.作∠BCN=40°,且CN交射线BM于点N,测量BN的长
2. 如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：，相邻两平行线间的距离相等，，交于点，，垂足为已知，根据上述信息，可知标语的长度为 40
3.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
解：∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，
BM=CM，
∠BME=∠CMF，
∴△BME≌△CMF(ASA)，
∴BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
（选做题）
4.（教材新增习题变式）阅读并完成相应的任务.如图,小明站在堤岸凉亭点A处，正对他的点B处（AB 与堤岸垂直）停有一艘游艇,他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离,于是制定了如下方案.
、
（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整.
解：如图所示.
（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是__8米.
②请说明小明的方案正确的理由.
解：由题意得AC=20米,CD=20米,DE=8米,∠A=90° ,
∠D=90° ,
∴AC=DC,∠A=∠D .
在△ABC和△DEC中，
∠A=∠D,
AC=DC,
∠ACB=∠DCE,
∴△ABC≌△DEC(ASA) .
∴AB=DE=8 米.
∴ 小明的方案是正确的.
（综合拓展题）
5.已知在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α ，AE与BD相交于点F .
（1）如图1，当α=90° 时，试说明：
①△ACE≌△BCD .
②AE⊥BD .
解：①∵∠ACB=∠DCE=90° ，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE ，
即∠ACE=∠BCD .
在△ACE和△BCD 中，
AC=BC,
∠ACE=∠BCD,
CE=CD
∴△ACE≌△BCD(SAS) .
②∵△ACE≌△BCD,
∴∠CAE=∠CBD .
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90° ，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90° .
∴∠AFB=90° .
∴AE⊥BD .
如图2，当α=60° 时，∠AFB 的度数为___ 60° ___.
（3）∠AFB的度数为_α__.（用含α的式子表示）
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端的距离，如果，则只需测出其长度的线段是( B )
A. B. C. D.
2.如图所示，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并分别延长至点C，D，使PC=PA，PD=PB，连接CD.测得CD的长为10 m,则池塘的宽度AB为_10___m.理由是__
__两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等_______________.
拓展性作业（必做题）
3.某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：
在河流的岸边点处，选对岸正对的一棵树；
沿河岸直行处有一棵树，继续前行到达点处；
从点处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的点处时，停止行走；
测得的长为．
根据测量数据求河的宽度．
【答案】解：河流的两岸是平行的，由题意得，，，
所以．
在和中，
所以≌，
所以．
因为的长为，所以．
答：河宽为．
挑战性作业（选做题）
4.如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，因无法直接量出，两点的距离，请你设计一种方案，求出，的距离，并说明理由．
【答案】解：如图，在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使，，在一条直线上，测量出的长就是的长．理由如下： 因为，， 所以 又因为，， 所以≌，所以．
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
全等三角形的性质有哪些？
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活动1：基础性知识
判定三角形全等有哪些方法？
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【基础性练习】
1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
活动2：拓展性知识
一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：在一次战役中，我军阵地
与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了一个办法:如图，他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
（1）按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.
（2）你能解释其中的道理吗？
如图所示，将实际问题转换成数学问题为：
在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E=90°，∠A= ∠D。则有BC=EF，为什么？
【拓展性练习】
2.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
A.大于100 m B.等于100 m
C.小于100 m D.无法确定
活动3：挑战性知识
如图所示，A,B两点分别位于一个池塘的两端,小丽想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位叔叔帮他出了这样一个主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,DE的长度就是A,B间的距离.
你能说明其中的道理吗
小丽的思考过程如下。
解:在△ABC和△DEC中,
因为AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,
所以△ABC≌△DEC,
所以AB=DE.
你能说出小丽每一步的理由吗？
【挑战性练习】
3.如图所示,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,先在地面上取一点C,使∠ACB=90°,然后延长BC至点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就能得到A,B两点之间的距离,请说明其中的道理.
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.如图所示，某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离，他们在点B同侧选择了一点C，测得∠ABC=70°，∠ACB= 40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们还应做什么才能测得A,B之间的距离(　　)
A.直接测量BM的长
B.测量BC的长
C.测量∠A的度数
D.作∠BCN=40°,且CN交射线BM于点N,测量BN的长
2. 如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：，相邻两平行线间的距离相等，，交于点，，垂足为已知，根据上述信息，可知标语的长度为
3.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
（选做题）
4.（教材新增习题变式）阅读并完成相应的任务.如图,小明站在堤岸凉亭点A处，正对他的点B处（AB 与堤岸垂直）停有一艘游艇,他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离,于是制定了如下方案.
、
（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整.
解：如图所示.
（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是__米.
②请说明小明的方案正确的理由.
（综合拓展题）
5.已知在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α ，AE与BD相交于点F .
（1）如图1，当α=90° 时，试说明：
①△ACE≌△BCD .
②AE⊥BD .
(2)如图2，当α=60° 时，∠AFB 的度数为______.
（3）∠AFB的度数为___.（用含α的式子表示）
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端的距离，如果，则只需测出其长度的线段是( )
A. B. C. D.
2.如图所示，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并分别延长至点C，D，使PC=PA，PD=PB，连接CD.测得CD的长为10 m,则池塘的宽度AB为___m.理由是__
__ _________.
拓展性作业（必做题）
3.某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：
在河流的岸边点处，选对岸正对的一棵树；
沿河岸直行处有一棵树，继续前行到达点处；
从点处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的点处时，停止行走；
测得的长为．
根据测量数据求河的宽度．
挑战性作业（选做题）
4.如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，因无法直接量出，两点的距离，请你设计一种方案，求出，的距离，并说明理由．

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