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(共32张PPT)
第四章 三角形
4.4 利用三角形全等测距离
郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
1.掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）；
拓展性目标 2.能针对不同实际情境，合理设计测量方案，清晰表述测量步骤，精确计算出两点间的距离
挑战性目标 3.学生能发现生活中的问题尝试进行数学建模，实际操作测量出数据.
二 复习回顾
预备性知识
全等三角形的性质有哪些？
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
判定三角形全等有哪些方法？
①边边边SSS：三边分别相等的两个三角形全等。
②角边角ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
③角角边AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
④边角边SAS：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
三 新知讲解
基础性练习
1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
B
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标）
一位经历过战争的老人讲述过
这样一个故事：在一次战役中，我军阵地
与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，
需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过
河测量又没有任何测量工具的情况下，一
名战士想出了一个办法:如图，他面向碉堡
的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正
好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标）
（1）按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.
具体操作时，可以用一张纸或一个本子代替帽檐，先确定好一个目标，再调整“帽檐”，使视线通过“帽檐”望去恰好落在目标上，然后保持“帽檐”不动，转过一个角度再望出去，视线所落的位置即为第二个目标.最后用步测等方法测量出两个目标与观察者的距离，验证战士做法的合理性.
确定第二个目标时，可以重复2-3次后求平均数，以避免出现较大的误差.
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标）
（2）你能解释其中的道理吗？
人面向两个不同方向，人的身体分别与视线、地平线构成的两个三角形全等（ASA），再根据全等三角形的对应边相等，量出自己与那个点的距离就是他与碉堡间的距离.
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标）
在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E=90°，∠A= ∠D。则有BC=EF，为什么？
如图所示，将实际问题转换成数学问题为：
A
B
C
D
E
F
∴BC=EF（全等三角形的对应边相等）
理由：在△ACB与△DFE中，
∠A=∠D
AB=DE（公共边）
∠B=∠E
∴△ACB≌△DFE（ASA）
三 新知讲解
拓展性练习
2.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
A.大于100 m B.等于100 m
C.小于100 m D.无法确定
B
三 新知讲解
活动3：（挑战性目标）
你能说明其中的道理吗
如图所示，A,B两点分别位于一个池塘的两端,小丽想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位叔叔帮他出了这样一个主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,DE的长度就是A,B间的距离.
三 新知讲解
活动3：（挑战性目标）
你能说出小丽每一步的理由吗？
小丽的思考过程如下。
解:在△ABC和△DEC中,
因为AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,
所以△ABC≌△DEC,
所以AB=DE.
三 新知讲解
活动3：（挑战性目标）
解:在△ABC和△DEC中,
AC=DC(已知),
∠ACB=∠DCE (对顶角相等),
BC=EC(已知),
∴△ABC≌△DEC(SAS),
∴AB=DE(全等三角形对应边相等).
三 新知讲解
挑战性练习
3.如图所示,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,先在地面上取一点C,使∠ACB=90°,然后延长BC至点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就能得到A,B两点之间的距离,请说明其中的道理.
解:∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ACD=90°.
在△ACD和△ACB中,
AC=AC,
∠ACD=∠ACB,
CD=CB,
∴△ACD≌△ACB(SAS),
∴AD=AB,
∴测量出AD的长度就能得到A,B两点之间的距离.
四 课堂总结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
基础性目标
1.掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）；
拓展性目标 2.能针对不同实际情境，合理设计测量方案，清晰表述测量步骤，精确计算出两点间的距离。
挑战性目标 3.学生能发现生活中的问题尝试进行数学建模，实际操作测量出数据.
五 当堂检测
（必做题）
1.如图所示，某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离，他们在点B同侧选择了一点C，测得∠ABC=70°，∠ACB= 40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们还应做什么才能测得A,B之间的距离(　　)
A.直接测量BM的长
B.测量BC的长
C.测量∠A的度数
D.作∠BCN=40°,且CN交射线BM于点N,测量BN的长
D
五 当堂检测
（必做题）
2.如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由A走到B的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语CD，具体信息如下：AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD交于点O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB=40m，根据上述信息，可知标语的长度为 40 m.
五 当堂检测
（必做题）
3.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
解：∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，
BM=CM，
∠BME=∠CMF，
∴△BME≌△CMF(ASA)，
∴BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
五 当堂检测
（选做题）
4.（教材新增习题变式）阅读并完成相应的任务.如图,小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点处（ 与堤岸垂直）停有一艘游艇,他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离,于是制定了如下方案.
五 当堂检测
（选做题）
（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整.
解：如图所示.
五 当堂检测
（选做题）
（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是__8_米.
②请说明小明的方案正确的理由.
解：由题意,得米,米,米, ,
,, .
和中，
.
米. 小明的方案是正确的.
五 当堂检测
（综合拓展题）
5.已知在和中，， ，
，与相交于点 .
（1）如图1，当 时，试说明：
① .
② .
（综合拓展题）
, .
，
.
. .
五 当堂检测
五 当堂检测
（综合拓展题）
（2）如图2，当 时， 的
度数为______.
（3）的度数为___.（用含 的式
子表示）
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
1.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端的距离，如果，则只需测出其长度的线段是( B )
A.PO B.PQ C.MO D. MQ
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
2.如图所示，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并分别延长至点C，D，使PC=PA，PD=PB，连接CD.测得CD的长为10 m,则池塘的宽度AB为　　　m.理由是_______________________________.
10
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等
六 作业布置
拓展性练习(必做题)：
3.某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师
的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这
样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行15cm处有一棵树C，继续前行15cm到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得DE的长为10m．
根据测量数据求河的宽度．
六 作业布置
【答案】解：河流的两岸是平行的，由题意得AB⊥BC，
DE⊥BC，BC=CD=15，所以∠ABC=∠EDC=90°．
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDC,
BC=DC,
∠ACB=∠ECD
所以△ABC≌△EDC(ASA)，
所以AB=DE．
因为DE的长为10m，所以AB=DE=10m．
答：河宽为10m．

六 作业布置
挑战性练习(选做题)：
4.如图，要测量河两岸相对的两点A,B的距离，因无法直接量出A,B两点的距离，请你设计一种方案，求出A,B的距离，并说明理由．
六 作业布置
解：如图，在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，测量出DE的长就是AB的长．
理由如下： 因为AB⊥BF，ED⊥BF，
所以∠ABC=∠EDC=90°.
又因为CD=CB，
∠ACB=∠ECD，
所以△ACB≌△ECD，所以AB=DE．
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine《4.4 利用三角形全等测距离》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对于利用三角形全等测距离的内容要求为：通过实例，让学生理解利用三角形全等测距离的原理，体会数学知识在实际生活中的广泛应用。要求学生能够借助全等三角形的判定和性质，设计测量距离的方案，并能有条理地表达测量的过程与结果。在这一过程中，着重培养学生的应用意识和实践能力，使其能从实际问题中抽象出数学模型，运用所学数学知识加以解决，感受数学与生活的紧密联系，增强学生对数学的学习兴趣与信心。
本节课的学业要求是学生能清晰阐述利用三角形全等测距离的理论依据，即全等三角形对应边相等。能针对不同的实际场景，合理选择全等三角形的判定方法（如 SSS、SAS、ASA、AAS 等），设计切实可行的测量方案，并准确运用数学语言描述测量步骤和推理过程。能够通过实际操作或模拟测量活动，收集数据并进行分析，验证测量方案的合理性与准确性，提升解决实际问题的能力，同时培养学生的创新思维和团队协作精神。
在教学实施过程中，可引入生活中诸如测量池塘宽度、建筑物之间距离等实际问题，引导学生思考如何将实际的距离测量转化为数学中的三角形全等问题。以问题引导学生逐步探索，如 “如何构建全等三角形来测量无法直接到达的两点间距离？”“选择哪种全等三角形判定方法更适合当前测量场景？” 等，激发学生的探究欲望，让学生在解决问题的过程中，深入理解利用三角形全等测距离的本质，提升数学应用能力。
（二）教材解读
《利用三角形全等测距离》是北师大版七年级下册第四章 “三角形” 的重要内容。从知识架构来看，它建立在学生已掌握三角形全等的判定和性质的基础之上，是对三角形全等知识的深度应用拓展。此前学生学习三角形全等，更多停留在理论层面的图形证明，而本节课将知识延伸至实际生活场景，让学生领悟数学知识从理论到实践的转化过程，拓宽了学生对三角形知识的认知维度。
利用三角形全等测距离的原理及测量方案设计是本节课的重点。学生需要深刻理解通过构造全等三角形，将难以直接测量的距离转化为可测量的对应边长度。而如何根据实际情况，灵活、巧妙地设计全等三角形测量方案，准确找到全等的条件，排除测量过程中的干扰因素，是本节课的难点所在。
教材在内容编排上，呈现了丰富且贴近生活的实例，从简单的测量河宽到复杂的野外测量场景等。通过这些实例，由易到难引导学生思考和探索，帮助学生逐步掌握利用三角形全等测距离的方法技巧。同时，教材配备了相应的练习题，涵盖不同类型的测量情境，从模仿设计测量方案到自主创新解决实际问题，使学生在练习中不断巩固知识，提升运用能力，深化对知识的理解，构建起完整的知识应用体系。
三、学情分析
1. 基础知识
学生此前已系统学习三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）以及全等三角形的性质，对全等三角形的概念和相关知识有了较为扎实的掌握。在之前的数学学习中，也积累了一定的几何图形分析和解题经验，能够理解图形之间的基本关系，这为学习利用三角形全等测距离提供了坚实的知识基础。他们能够依据已知条件，在静态的几何图形中判断三角形是否全等，并运用全等性质进行简单的推理和计算，这些知识储备有助于学生理解测量方案背后的数学原理，顺利开展本节课的学习。
2. 行为习惯
在日常数学学习中，学生已养成按时完成作业、参与课堂互动的习惯，能够跟随教师的教学节奏思考问题。但在面对实际问题时，部分学生存在缺乏主动分析问题、将实际情境转化为数学模型的意识，且在团队合作探究过程中，沟通协作的效率和深度有待提升。对于复杂问题，自主探索和归纳总结解决方案的能力不足，在知识的迁移应用方面较为薄弱，未能形成良好的知识拓展和延伸习惯，需要在本节课的学习中加以引导和强化。
3. 关键能力
七年级学生对新鲜事物充满好奇，具有较强的观察能力和一定的动手操作能力，这为开展测量实践活动提供了有利条件。在课堂上，他们能够积极参与测量方案的讨论和设计，但在将抽象的数学原理与复杂的实际测量场景相结合时，存在一定困难。空间想象能力和逻辑推理能力尚在发展阶段，在设计测量方案时，可能无法全面考虑实际因素对测量结果的影响，在阐述测量方案的逻辑推理过程中，思维的严谨性和条理性欠佳。期望通过本节课多样化的实践活动和针对性指导，帮助学生提升这些关键能力，更好地掌握利用三角形全等测距离的知识与技能
提升学生在这些方面的能力。
四、学习目标
基础性目标 1.掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）；
拓展性目标 2.能针对不同实际情境，合理设计测量方案，清晰表述测量步骤，精确计算出两点间的距离；
挑战性目标 3.学生能发现生活中的问题尝试进行数学建模，实际操作测量出数据.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
主动探究 基础过关 5分钟 提出基础性知识及练习，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生探究拓展性知识及练习并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性知识及练习，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 11分钟 指导学生完成挑战性目标，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 2分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
答疑解惑 拓展能力 8分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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