资源简介

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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级下 学期 春季
课题 4.2 提取公因式法
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级下册 出版社： 浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1．会用提取公因式法分解因式 2. 理解添括号法则 3.体验提取公因式法分解因式的过程，学会逆向思维，渗透化归的思想方法，培养运算能力和推理能力
课前学习任务
复习因式分解的意义 2.复习分配律的运算
3. 预习提取公因式法
课上学习任务
【学习任务一】课堂导入 把下列多项式写成乘积的形式 (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 【学习任务二】 项目化活动1：多项式3ax2y+6x3yz为例，把各项表示： 追问1：应提取的公因式：__________________________ 追问2：因式分解的结果是：________________________ 追问3：先确定多项式5ab2c+15abc2各项的公因式，再进行因式分解 总结： 。 思考：从上述例子中，如何确定应提取的公因式？ 小试牛刀： 指出下列多项式中各项的公因式: 【学习任务三】典例精析 例1 把下列各式分解因式： (1)2x3+6x2 (2)3pq3+15p3q (3)-4x2+8ax+2x (4)-3ab+6abx-9aby. 例2 把2(a-b)2-a+b分解因式： 思考回答，提取公因式法的一般步骤？ 总结： 【学习任务五】课堂练习 1.添括号（填空）： （1）1-2x=+( ) （2）-x-2=-( ) （3）-x2-2x+1=-( ) 2.确定下列多项式的公因式，并分解因式. （1）ax+b （2）3mx-6nx2 （3）4a2b+10ab-2ab2 3．多项式8x2y3－12x3y2的公因式是（ ） A．x2y3 B．x2y2 C．4x2y3 D．4x2y2 4．多项式 2x2﹣2y2 分解因式的结果是（ ） A．2(x+y)2 B．2(x﹣y)2 C．2(x+y)(x﹣y） D．2(y+x)(y﹣x) 5．在实数范围内分解因式2x2-10=______________ 6．分解因式：a2(x﹣y)+(y﹣x)=_____________ 7．多项式的公因式是：x3﹣x=____________ 8．已知a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=_________________ 【学习任务六】作业布置 1.将下列各式因式分解： （1）4x2﹣16=_________ （2）﹣3x3+6x2y﹣3xy2=__________________________ 2.填一填： (1) 3a3-2a2+a=a( ) (2) -6p3-10p2+2p=-2p( ) (3)-24x3-12x2 +28x = -4x（ ） 3.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是_________ 3-1. 由3知，多项式的另一个因式是（ ） （A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y （C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y 4.如果二次三项式x2+ax-1可以分解为(x-a)(x+b),那么a+b的值为（ ） A.－2 B. －1 C. 1 D. 2 5.若关于x的多项式x2﹣px﹣16在整数范围内能因式分解,则整数p的个数有（ ） A．4 B．5 C．6 D．7
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第四章
课标要求 （1）了解因式分解的意义和因式分解与整式乘法的关系；（2）理解添括号法则；（3）掌握用提取公因式分解因式，掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式。
内容分析 本章的主要内容有因式分解的概念、方法以及简单应用。因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式能乘法，尤其是多项式的乘法联系十分密切，是培养学生逆向思维的良好载体。分解因式的几种基本方法都是直接依据整式乘法的法则和乘法公式。因式分解又是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它不仅是初中段分式的化简和运算、解方程(方程组)及代数式恒等变形的重要基础，也是高中阶段学习三角函数恒等变形等相关知识的重要基础，是中学代数的一个重要内容。本章在教学中应充分利用类比、逆向思考以及数形结合等数学思想方法，帮助学生了解因式分解的意义和概念，掌握用提取公因式法和公式法进行因式分解，并能解决一些简单的数学问题，培养学生的运算能力、推理能力、模型观念、应用和创新意识等。本章内容是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。
学情分析 在七年级上册，数系已扩展到实数，因式分解可以再实数域内进行，要充分利用“图说因式分解”设计题，让学生经历动手操作，观察思考、猜想验证的数学研究过程，学会用面积恒等的方法验证因式分解的正确性，从而感悟数形结合的思想方法、发展几何直观和推理能力。
单元目标 （一）教学目标1、了解因式分解的意义和因式分解与整式乘法的关系；2、理解添括号法则；3、掌握用提取公因式分解因式，掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式。（二）教学重点、难点教学重点：因式分解的概念和解法教学难点: 综合运用多种方法分解因式，能灵活运用因式分解的相关概念解决一些数学问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解的意义14.2提取公因式法14.3用乘法公式分解因式2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 因式分解的意义1.了解因式分解的概念。2.了解因式分解与整式乘法的关系。3.经历从因数分解到因式分解的类比过程、因式分解概念的产生过程，体验整式乘法与因式分解的互逆变形关系，渗透化归的思想方法，培养类比归纳能力和逆向思维，发展运算能力和推理能力。1.了解因式分解的概念。2.了解因式分解与整式乘法的关系。3.经历从因数分解到因式分解的类比过程、因式分解概念的产生过程，体验整式乘法与因式分解的互逆变形关系，渗透化归的思想方法，培养类比归纳能力和逆向思维，发展运算能力和推理能力。任务1.合作学习引入课题任务2. 出示例题4.2 提取公因式法会用提取公因式法分解因式理解添括号法则体验提取公因式法分解因式的过程，学会逆向思维，渗透化归的思想方法，培养运算能力和推理能力1.会用提取公因式法分解因式2.理解添括号法则3.体验提取公因式法分解因式的过程，学会逆向思维，渗透化归的思想方法，培养运算能力和推理能力任务1. 知识回顾引入课题任务2. 出示例题4.3.1 用乘法公式分解因式掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解了解因式分解的思考步骤，掌握提取公因式法和平方差公式分解因式的综合运用经历利用方差公式分解因式的过程，发展学生的逆向思维，培养运算能力和推理能力1.掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解2.了解因式分解的思考步骤，掌握提取公因式法和平方差公式分解因式的综合运用3.经历利用方差公式分解因式的过程，发展学生的逆向思维，培养运算能力和推理能力任务1. 生活实例引入课题任务2. 出示例题4.3.2 用乘法公式分解因式会用完全平方公式分解因式会综合运用提取公因式法、公式法分解因式经历利用完全平方公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，培养运算能力和推理能力1.会用完全平方公式分解因式2.会综合运用提取公因式法、公式法分解因式3.经历利用完全平方公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，培养运算能力和推理能力任务1. 合作学习任务2. 例题
《因式分解》单元教学设计
活动1：合作学习引入课题
4.1 因式分解的意义
活动2：例题
活动1：知识回顾引入课题
4.2 提取公因式法
因式分解
活动2：例题
活动1：生活实例引入课题
4.3.1 用乘法公式分解因式
活动2：例题
活动1：合 作 学 习
4.3.2 用乘法公式分解因式
活动2：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
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（浙教版）七年级
下
4.2 提取公因式法
因式分解
第四章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1. 会用提取公因式法分解因式
2. 理解添括号法则
3. 体验提取公因式法分解因式的过程，学会逆向思维，渗透化归的思想方法，培养运算能力和推理能力
把下列多项式写成乘积的形式
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
因式分解
知识回顾
一般地，把一个 多项式 化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式.
因式分解 多项式 → 整式的积
x 就是xa+xb这个多项式的公因式
一般地，一个多
项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
新知讲解
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
新知讲解
把公因式x 提出来后，多项式的各项 除以公因式x，所得的商是什么？
以多项式 3ax2y+6x3yz 为例，把各项表示如下：
3ax2y = 3·a·x·x·y
6x2yz =2·3·x·x·x·y·z
公因式：__________
因式分解：3x2y(a+2xz)
新知讲解
在提取公因式时候要注意什么？
1. 各项系数的最大公因数
2. 各项都含有的相同字母的最
低次幂的积
3x2y
思考：从上述例子中，如何确定应提取的公因式？
3ax2y+6x3yz
3ax2y=3 a x x y
6x3yz=2 3 x x x y z
3ax2y+6x3yz=3x2y（a+2xz）
公因式
3x2y
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
新知讲解
典例1 指出下列多项式中各项的公因式:
（1） ；
解：(1) 各项的公因式是 .
（2） ；
（3） ．
(3) 各项的公因式是 .
(2) 各项的公因式是 .
小试牛刀
公因式的确定方法： 各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
做一做：
先确定多项式 5ab2c+15abc2 各项的公因式，再进行因式分解.
公因式：5abc
因式分解：5abc(b+3c)
新知讲解
典例精析
例1 把下列各式分解因式：
(1) 2x3+6x2 (2)6pq3+15p3q
(3)-4x2+8ax+2x (4)-3ab+6abx-9aby
解：(1) 2x3+6x2=2x2(x+3)
(2)6pq3+15p3q=3pq(2q2+5p2)
(3)-4x2+8ax+2x=-2x(2x-4a-1)
(4)-3ab+6abx-9aby=-3ab(1-2x+3y)
当首项的系数为负时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号。
提取公因式法的一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.
注意：提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
新知讲解
典例精析
例2 把 2(a-b)2-a+b 分解因式
2(a-b)(a-b) -1(a-b)
把-a+b变形成-(a-b)，原多项式就转化为2(a-b)2-(a-b).若把(a-b)看做整体，原多项式就可以提取公因式(a-b).
典例精析
例2 把 2(a-b)2-a+b 分解因式
2(a-b)(a-b) -1(a-b)
解：2(a-b)2-a+b =2(a-b)2-(a-b)
=(a-b)[2(a-b)-1]
=(a-b)(2a-2b-1).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
添括号法则：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.
根据例2，我们得到
新知讲解
课堂练习
1. 添括号（填空）：
（1）1-2x=+( )
（2）-x-2=-( )
（3）-x2-2x+1=-( )
1-2x
x +2
x2 + 2x -1
2. 确定下列多项式的公因式，并分解因式.
（1）ax+b
（2）3mx-6nx2
（3）4a2b+10ab-2ab2
解:(1)没公因式，原式=ax+b
(2)公因式是3x，原式=3x(m-2nx)
(3)公因式是2ab，原式=2ab（2a+5-b）
课堂练习
3．多项式8x2y3－12x3y2的公因式是（ ）
A．x2y3 B．x2y2 C．4x2y3 D．4x2y2纪·教育·网】
4．多项式 2x2﹣2y2 分解因式的结果是（ ）
A．2(x+y)2 B．2(x﹣y)2
C．2(x+y)(x﹣y） D．2(y+x)(y﹣x)
课堂练习
D
C
5．在实数范围内分解因式2x2-10=______________
6．分解因式：a2(x﹣y)+(y﹣x)=_____________
7．多项式的公因式是：x3﹣x=____________
8．已知a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=_________________
课堂练习
2(x2-5)
(x-y)(a+1)(a-1)
x(x+1)(x-1)
6
课堂总结
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。
(2)字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
(3)相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂
2、整体的思想
当ｎ为奇数时
当ｎ为偶数时
(x-y)n=-(y-x)n
(x-y)n=(y-x)n
1、确定公因式的方法：
板书设计
(1).当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。
(2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误:
①提取不尽
②漏项
③疏忽变号
④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式。
作业布置
1. 将下列各式因式分解：
（1）4x2﹣16=_________
（2）﹣3x3+6x2y﹣3xy2=__________________________
2、填一填：
(1) 3a3-2a2+a=a( )
(2) -6p3-10p2+2p=-2p( )
(3)-24x3-12x2 +28x = -4x（ ）
6x2+3x-7
4(x+2)(x-2)
-3x(x-y)2
3-1. 由3知，多项式的另一个因式是（ ）
（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y
（C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y
3、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是_________
D
-6ab，
作业布置
4．如果二次三项式x2+ax-1可以分解为(x-a)(x+b),那么a+b的值为（ ）
A.－2 B. －1 C. 1 D. 2
5．若关于x的多项式x2﹣px﹣16在整数范围内能因式分解，则整数p的个数有（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
作业布置
C
B
Thanks!
2
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分课时教学设计
《 4.2 提取公因式法 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《提公因式法》是浙教版初中数学七年级下册第四单元第2课时的内容，本节课的内容是用提公因式法对多项式进行因式分解。之前已经学习了整式的乘法公式，为本节课的学习起到铺垫作用。同时本节课的内容也为后面继续学习用公式法和因式分解法打下了基础。有着承上启下的重要作用
学习者分析 本阶段的学生在生活中已经积累了很多经验，具备一定分析问题和解决问题的能力，逻辑思维日渐成熟，计算能力也达到一定要求。在一定已有知识经验的基础上，学生对本节课的学习是相对比较容易的。
教学目标 1.会用提取公因式法分解因式 2.理解添括号法则 3.体验提取公因式法分解因式的过程，学会逆向思维，渗透化归的思想方法，培养运算能力和推理能力
教学重点 用提取公因式法分解因式。
教学难点 多项式各项的公因式的确定;例2分解因式时需要添括号，还要运用整体的思想，
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 把下列多项式写成乘积的形式 (1) ma+mb+mc=( m )( a++b+c ) (2) x2 -1 =( x+1 )(x-1 ) (3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2 一般地，把一个 多项式 化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式.学生活动1： 知识回顾，回答问题活动意图说明： 回顾因式分解的意义，为本节课新知识的引入做下铺垫环节二：新知讲解教师活动2： 因式分解 多项式 → 整式的积 x 就是xa+xb这个多项式的公因式 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 问题：把公因式x 提出来后，多项式的各项 除以公因式x，所得的商是什么？ 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法. 以多项式3ax2y+6x3yz为例，把各项表示如下： 3ax2y=3·a·x·x·y 6x2yz=2·3·x·x·x·y·z 应提取的公因式为:_3x2y____ 提取公因式的时候要注意什么： 各项系数的最大公因数（当系数是整数时） 各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 思考：从上述例子中，如何确定应提取的公因式？ 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 小试牛刀： 指出下列多项式中各项的公因式: 做一做： 先确定多项式5ab2c+15abc2各项的公因式，再进行因式分解. 公因式：5abc 因式分解：5abc(b+3c)学生活动2： 学习并理解定义 同师一起回答 学生总结如何正确提取公因式，并独立思考完成下列例题活动意图说明：理解定义，学习提取公因式法的确定方法环节三：例题讲解教师活动3： 例1 把下列各式分解因式： (1)2x3+6x2 (2)3pq3+15p3q (3)-4x2+8ax+2x (4)-3ab+6abx-9aby. 解： （1）∵公因式是2x2，∴原式=2x2(x+3) （2）∵公因式是3pq，∴原式=3pq(q2+5p2) （3）∵公因式是-2x，∴原式=-2x(2x-4a-1) （4）∵公因式是-3ab，∴原式=-3ab(1-2x+3y) 注意：当首项的系数为负数时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号. 总结——提取公因式法的一般步骤： 1. 确定应提取的公因式。 2. 用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。 3. 把多项式写成这两个因式的积的形式。 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。 例2 把2(a-b)2-a+b分解因式： 解：2(a-b)2-a+b=2(a-b)2-(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1]=(a-b)(2a-2b-1). 添括号法则如下： 括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。学生活动3：活动意图说明：巩固新知，掌握学习目标：1.会用提取公因式法分解因式。2.理解添括号法则。
板书设计 .当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的 各项都变号。 (2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误: ①提取不尽 ②漏项 ③疏忽变号 ④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.添括号（填空）： （1）1-2x=+( 1-2x ) （2）-x-2=-( x+2 ) （3）-x2-2x+1=-( x2+2x-1 ) 2.确定下列多项式的公因式，并分解因式. （1）ax+b （2）3mx-6nx2 （3）4a2b+10ab-2ab2 3．多项式8x2y3－12x3y2的公因式是（ ） A．x2y3 B．x2y2 C．4x2y3 D．4x2y2 4．多项式 2x2﹣2y2 分解因式的结果是（ ） A．2(x+y)2 B．2(x﹣y)2 C．2(x+y)(x﹣y） D．2(y+x)(y﹣x) 选做题： 5．在实数范围内分解因式2x2-10=______________ 6．分解因式：a2(x﹣y)+(y﹣x)=_____________ 【综合拓展类作业】 7．多项式的公因式是：x3﹣x=____________ 8．已知a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=_________________
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 将下列各式因式分解： （1）4x2﹣16=_________ （2）﹣3x3+6x2y﹣3xy2=__________________________ 2.填一填： (1) 3a3-2a2+a=a( ) (2) -6p3-10p2+2p=-2p( ) (3)-24x3-12x2 +28x = -4x（ ） 3.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是_________ 3-1. 由3知，多项式的另一个因式是（ ） （A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y （C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y 选做题： 4.如果二次三项式x2+ax-1可以分解为(x-a)(x+b),那么a+b的值为（ ） A.－2 B. －1 C. 1 D. 2 【综合拓展类作业】 5．若关于x的多项式x2﹣px﹣16在整数范围内能因式分解，则整数p的个数有（ ） A．4 B．5 C．6 D．7
教学反思 由于学生基础较一般，因此教学起点必须要低，教学中将教材原有内容的讲解降低到学生的起点上，然后进行正常教学，将提取公因式法分成两个步骤教学：①先讨论“公因式”是什么，在研究如何提取公因式，从而降低起点，便于学生理解掌握这一知识
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