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(共40张PPT)
微专题1 三角恒等变换与三角函数
的图象和性质
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
三角恒等变换与三角函数的性质和图象为高考中必考的题目，
在高考中一般以小题形式出现，重点考查三角恒等变换求值或以恒
等变换为工具求解有关三角函数的性质和图象问题，会涉及图象的
平移变换问题.高考备考中要强化记忆且能熟练应用有关结论，并能
够根据图象求解相应的性质问题.
微点1 三角恒等变换
例1（1）[2024·山西大同二模]已知，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，得
，
即 ，所以 ，所以
，
所以 .故选C.
√
（2）[2023· 新课标Ⅰ卷]已知， ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为 ，
，所以 ，
所以 ，
所以 .
方法二：由， ，可得
，
所以 .
【规律提炼】
三角恒等变换问题主要有两类，一是求值问题，二是函数式的结构
变换问题.
1.三角函数求值问题的类型及解题方法.
（1）“给角求值”：若所给出的角是非特殊角，则要注意各个角之间
的和差关系、互补（余）关系、倍半关系等，从而选择相应的公式，
把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，进而求值.
（2）“给值求值”：解题关键在于能够利用已知角和特殊角表示所求
角，同时还要注意半角和倍角间的关系以及诱导公式的应用.
2.三角函数式结构变换的步骤：一般要先进行“降幂”，然后应用辅助
角公式、三角恒等变换等转化为 的形式.
【巩固训练】
1.[2024·陕西安康模拟]将函数 的图象向右平移
个单位长度得到函数的图象，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ，其中 .
因为的图象向右平移 个单位长度得到函
数的图象，所以 ，所以 .故选A.
√
2.[2024· 新课标Ⅱ卷] 已知 为第一象限角， 为第三象限角，
,，则 _ _____．
[解析] 方法一：由题得 .
,, , ,
,, ,
即 ,,
.
，
则
.
微点2 三角函数的图象与性质
考向1 三角函数图象的变换
例2（1）[2024·四川遂宁二模]已知曲线 ，
，则下列结论正确的是( )
A.把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得
到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B.把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得
到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C.把曲线上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到
的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D.把曲线上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到
的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
√
[解析] 对于曲线 ，要得到曲线
，则需把曲线上各点的横坐标缩短到原来的 ，
纵坐标不变，得到 的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，得到
的图象，即得到曲线 .故选D.
（2）已知函数，将 的
图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再将所得图
象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若 为偶函数，
则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得
，
则，
由 为偶函数，得 ，，解得 ，
，
又，所以当时， 取得最小值 .故选B.
【规律提炼】
解决三角函数图象变换问题的一般步骤：①统一函数名称，若是两
个不同“名”函数图象间的变换，要先将函数“名”统一，再进行相应
变换；②确定是先平移变换还是先伸缩变换，平移变换确定平移量
时，要先将的系数（不为1）提取后再确定，伸缩变换不影响 值，
而只针对的系数.
考向2 三角函数的性质及其应用
例3（1）在下列区间中，为函数 的一个单调递
减区间的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数 ，
由 ，解得
，
则 的单调递减区间为.
取，可得函数 的一个单调递减区间为，
又 ，所以A选项满足条件.
（2）（多选题）[2024·河南洛阳模拟] 已知函数 ，
则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为
B.点为 的图象的一个对称中心
C.若关于的方程在 时有两个不同的实
数根，则
D.若的导函数为，则函数的最大值为
√
√
√
[解析] 由题意可得的最小正周期 ，
故A正确；
，所以点不是 的
图象的一个对称中心，故B错误；
由题知直线与 的图象在上有两个不同的交点，作出在 上的大致图象和直线 ，如图，
由图可得 ，故C正确；
，
其中，故D正确.故选 .
【规律提炼】
解决与三角函数的性质有关的问题，一般要先将函数解析式化为
或的形式.
求解与三角函数的性质有关的问题的关键是应用正弦、余弦、正切
函数的性质结合相应函数图象，采用直接法或整体思想求解.一般地
求解单调区间、对称轴（或对称中心）、周期等问题可直接应用“母
函数”的性质求解.若求解已知区间内的单调性或零点等问题，可将其
转化为 的范围，进而结合正弦函数或余弦函数或正切函数的
性质和图象求解.
注意：在求解此类函数的单调区间问题时，若，要先利用诱导
公式将的系数转化为，再结合的正负情况求解.
考向3 图象与性质的综合应用
例4 已知函数 的部分
图象如图所示，则满足条件
的最小正整数 为___.
2
[解析] 由题图知
为函数的最小正周期）, ,
则，不妨取.
由 及图象得 ,,解得 , ,
不妨取，则,
, ，
，
则 或.
当时，令 ，可得，区间 内没有整数；
易知，由题图知，当 时，， .故满足条件的最小正整数 为2.
【规律提炼】
三角函数的图象与性质的综合问题一般会涉及零点、方程、不等式、
对称轴（或对称中心）、周期、单调区间等.解决问题的关键：一是
根据图象能够分析有关的性质；二是能够确定解析式，并根据解析
式利用整体代换的方法，对比正弦、余弦、正切函数的性质进行求
解.注意数形结合思想和函数与方程思想的应用.
微点3 求解参数值或范围问题
例5（1）[2024·重庆沙坪坝区模拟]将函数 的图
象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数 在
上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知
.
当时，，
在上单调递增， ，
.
，此时 ，又，， .
若，则，,
又， ，此时，与 矛盾，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为 .故选B.
（2）[2023· 新课标Ⅱ卷] 已知函数
，如图，， 是直线
与曲线 的两个交点，若
，则 _ ____.
[解析] 依题意设, ，则 ，
因为，即 ，
所以，
又 ， ，
，，
不妨取 ，则 ，
故 .
【规律提炼】
求解 的值主要应用赋值法，一般是应用作图的五个关键点.若 没
有明确的范围限制，则其值要表示为“”的形式.求解 的
值一般与周期性、对称性、单调性、零点等有关，经常应用整体代
换的方法与正弦、余弦、正切函数的性质综合应用进行求解.其他的
参数问题主要应用三角函数的性质，结合函数图象合理建立方程
（组）或不等式（组）求解.
1.应用恒等变换求角时，注意角的取值范围.应用恒等变换求值时，
解题的关键是利用已知角和特殊角表示所求角，注意观察所求角和
已知角之间的关系，通过作差或和的方式，得到对应的特殊角，进
而应用两角和与差的正弦、余弦公式及诱导公式等求解.当所求角和
已知角之间是倍角与单角关系时，往往要应用二倍角公式，先求对
应的倍角.
例1 已知,,且 ,,则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以 ,
故 .
因为,所以 ,
又,所以 ,
故,所以 .故选A.
√
例2 [2024·江西宜春三模] 已知 ，且
，则 ___.
3
[解析] 由，得 ，可得
，
又，所以，故 .
2.参数范围问题.
首先要明确参数的意义，进而有方向地去研究问题；
借助图象，分析问题的关键点，进而得到相关的临界条件；
注意“ ”的取值问题.
例3 [2024·山东济宁三模] 已知函数，
若在区间 上的取值范围为，则实数 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意得，函数.
当时， ，
显然,，且正弦函数在 上单调递减，
则由在区间上的取值范围为， 得，解得，所以实数的取值范围是 . 故选D.
例4 （多选题）[2024·安徽合肥模拟] 已知函数
，则下列说法正确的是
( )
A.当时，直线 是 的图象的一条对称轴
B.若，且 ，则
C.存在，使得的图象向左平移 个单位长度后得到的图
象对应的函数为偶函数
D.若在上恰有5个零点，则 的取值范围为
√
√
[解析] .
对于A，当时， ，所以，所以直线 不是 的图
象的一条对称轴，故A错误；
对于B，由题意知， 的最小正周期 ，所以 ，又因为，所以 ，故B正确；
对于C，的图象向左平移 个单位长度后，得到
的图象，
假设为偶函数，则 ，，解得 ，
，与 矛盾，所以假设不成立，C错误；
对于D，当时， ，
令，则，
因为 在上恰有5个零点，所以，
解得 ，故D正确.故选 .

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