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微专题7 数列在问题情境中的应用
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
基于问题情境下的数列问题是高考中的热点和难点，通过具体
的问题背景或新的定义，考查数列在问题情境中的应用，以此来检
验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识.试题以选择题、
填空题和解答题的形式考查，试题难度中等.试题常常与集合、概率
统计、导数等知识相结合.建议备考中熟练掌握数列的相关知识，熟
练掌握应用数列求解银行储蓄问题的两种模型，注重阅读能力和理
解能力的训练.
微点1 数列的新定义题
例1（1）[2024·上海浦东新区模拟]对于无穷数列和正整数 ，若
对一切正整数恒成立，则称具有性质 .设无穷数
列的前项和为 ，给出下列两个命题：
①若是等比数列且对一切正整数，数列 都具有性质
，则具有性质 ；
②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列 不具有性
质，则的公差 .那么( )
A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题
C.①②都是真命题 D.①②都是假命题
√
[解析] 对命题①，设数列的公比为，因为数列 具有性质
，所以对任意,，即 ，因此数列
为递增数列，故①是真命题.
对命题②，设等差数列 的首项为，对每个使得数列不具有
性质的正整数 ，存在正整数，使得，
则 ，
从而,因为是定值，当 时，
，，所以 ，故②是真命题.故选C.
（2）数学家杨辉在其专著《详解九章算法》和《算法通变本末》中，
提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶
等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的
差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16
为二阶等差数列.现有二阶等差数列 ，其前六项分别为1，3，6，
10，15，21，则 的最小值为___.
1
[解析] 由数列 的前六项分别为1，3，6，10，15，21，得
，，， ，
，则
，整理得
.又满足上式，所以 ，
所以.设， ，
则，所以，
所以 的最小值为1.
【规律提炼】
解决数列的新定义问题的策略：
（1）解决数列新定义问题常用解题思路:审题、建模、研究模型.
（2）研究模型时需注意:
①读懂定义，理解新定义数列的含义；
②可以先通过特例列举前面的一些项来寻找规律和性质以及新定义
数列与已知数列（如等差与等比数列）的关系，再进行求解.
【巩固训练】
1.（多选题）[2024·重庆八中二模] 在数列 中，若
,，为非零常数，则称 为“等方差数
列”，称 为“公方差”.下列关于“等方差数列”的说法正确的是
( )
A. 是等方差数列
B.若各项均为正数的等方差数列的首项，且,, 是等
比数列，则
C.等比数列不可能为等方差数列
D.存在数列 既是等差数列又是等方差数列
√
√
[解析] 对于A，因为当 时，
，不为常数，
所以数列 不是等方差数列，故A错误；
对于B，由题可知，
所以 ，，
由得，因为 ，，是等比数列，
所以，即 ，整理得
，又，所以，所以，从而 ，
故B正确；
对于C，设等比数列的公比为，则 ，
当时， ，
若为常数，则必有，此时 ，
与题意不符，所以数列 不可能是等方差数列，故C正确；
对于D，假设存在数列既是等差数列又是等方差数列，
则当 时，且，
若，则 ，此时，不合题意，
若 ，则，得，
又 ，所以，此时为常数列，，
与 矛盾，所以假设不成立，故D错误.故选 .
2.[2023·杭州模拟] 定义：对于数列，如果存在常数 ，使得对任
意，都有成立，则称数列为“
摆动数列”，称为数列的摆动值.若 ，且
数列的摆动值为0，则 的取值范围为______.
[解析] 由数列的摆动值为0知.当 为偶数时，
，故当 为奇数时，
，即当为奇数时， ，
即，所以,得，故的取值范围为 .
微点2 数列与概率问题的综合应用
例2 重庆南山风景秀丽，可以俯瞰渝中半岛，是徒步休闲的好去处.
上南山的步道很多，目前官方推荐的步道共有18条.某徒步爱好者俱
乐部发起一项活动，若挑战者连续12天每天完成一次徒步上南山
（每天多次上山按一次计算）运动，即可获得活动大礼包.已知挑战
者甲从11月1号起连续12天都徒步上南山一次，每次只在凉水井步道
和清水溪步道中选一条上山.甲第一次选凉水井步道上山的概率为 ，
而前一次选择了凉水井步道，后一次继续选择凉水井步道的概率为 ，
前一次选择清水溪步道，后一次继续选择清水溪步道的概率为 ，如
此往复.设甲第天走凉水井步道上山的概率为 .
（1）求和 ；
解：由题知，甲第二天走凉水井步道上山的概率
.
由题意得 ，
整理得 ，
又 ，所以数列是首项为，
公比为 的等比数列，所以 .
（2）求甲在这12天中选择走凉水井步道上山的概率小于选择走清水
溪步道上山概率的天数.
解：由题意知，若选择走凉水井步道上山的概率小于选择走清水溪
步道上山的概率，则 ，
即，即 ，
整理得 .
当为偶数，即当，4， ，12时， 恒成立.
当为奇数，即,3, ,11时，有 .
当 时，显然不等式不成立，
当时，，不等式成立，又数列 为递减数列，
因此当 ,7,9,11时不等式成立.
综上，有11天符合要求，所以甲在这12天中选择走凉水井步道上山
的概率小于选择走清水溪步道上山概率的天数是11.
【规律提炼】
求解数列与概率综合问题的策略：
（1）认真审题，确定题中有关数列的数量关系；
（2）确定数列中的递推关系，一般都是找第项与第项的关系，
确定相应关系式，关系式的系数均为事件概率，而且这种递推关系
基本上是满足全概率公式的；
（3）应用构造法求解数列的通项公式，一般是根据形如
的递推关系式求通项公式，进而确定相应的概率公式.
【巩固训练】
1.（多选题）[2024·广东肇庆三模] 学校食堂每天中午都会提供,
两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种）.经过统计分析发
现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为 ；前一
天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择 套餐的概
率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为 ，选择
套餐的概率也是.记某同学第天选择套餐的概率为，选择 套
餐的概率为 个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学在一天中
选择套餐的人数为 .下列说法中正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为每人每次只能选择A,B两种套餐中的一种，所以
，故A正确；
依题意知 ，
则，又，所以 ，
所以数列是首项为，公比为 的等比数列，
故，则 ，故C正确；
因为，所以 ，
由题知，当时， ,
则，又 ，
所以，故 ，故D正确；
因为 ，
所以，故B错误.故选 .
2.[2024·郑州三模] 抛掷一枚质地不均匀的硬币，正面向上的概率为
，反面向上的概率为.记 次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为
，则数列的通项公式为 __________.
[解析] 根据题意知，抛掷 次，偶数次正面向上的情况由抛
掷次偶数次正面向上的情况下第次反面向上和抛掷 次奇
数次正面向上的情况下第 次正面向上组成，则
，所以，
所以数列是首项为 ，公比为的等比数列.
又，所以 ，
所以，故 .
微点3 数列的实际应用问题
例3 [2022·新高考全国Ⅱ卷]图①是中国古代建筑中的举架结构， ,
,, 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图
②是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中,,, 是举，
,,,是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ,
,,．已知,, 成公差为0.1的等差数列，
且直线的斜率为，则 ( )
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
√
[解析] 设,则, ,
,.由题意知，点A的坐标为 ,
即，所以,所以 ,故选D.
【规律提炼】
数列知识可以用来解决实际生活中的很多问题.求解数列实际问题的
注意事项：
（1）审题，抓住数量关系，建立数学模型，注意问题是求什么
.
（2）解答数列应用题要注意步骤的规范性：设出数列，判断数列，
解题完毕要作答.
（3）在归纳或求通项公式时，一定要将项数计算准确.
（4）在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系.
【巩固训练】
[2022·全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探
测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日
周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ，
，， ，依此类推，其中
.则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：用特殊值法.假设,则,, ,
,,,,，经比较可得 ，故选D.
方法二：由已知得,,，故 ，
则,排除A；因为，其中 ，
所以，排除B；因为，其中 ，所以
，排除C.故选D.
1.数列与函数的综合应用.数列是一种特殊的函数，所以数列具有相
应函数的性质，比如单调性、最值等.
例1 （多选题）[2024·济南模拟] 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》
和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等
差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差
数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之
差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，
10被称为二阶等差数列.现有二阶等差数列 ，其前六项分别为4，
8，10，10，8，4，设其通项公式为 ，则下列结论中正确
的是( )
A.数列的公差为2 B.
C.数列的前7项和最大 D.
√
√
[解析] 因为二阶等差数列 的前六项分别为4，8，10，10，8，4，
从第二项开始，每一项与前一项的差组成新数列的前五项，分别为
4,2,0,,，易知新数列的公差为，即数列 的公差为
，故A错误.
易知是首项为4，公差为 的等差数列，利用等差数列前 项和公式可得 ,
故B正确.
由等差数列的通项公式可得 ，所以，， ，
，累加可得 ，所以当 时，，又符合上式，所以 ，.
利用二次函数的性质可知， ，又 的前6项均为正数，，所以当时，,当 时，，因此数列 的前6项和最大，故C错误.
由可得 ，故D正确.
故选 .
2.“新定义”型问题，需要读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，
根据新定义进行运算、推理、迁移，关键是正确提取新定义中的新
概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、
概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的
共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效
输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决.
例2 [2024·江苏盐城模拟] 在数列的第项与第 项之间插入
个1，这个过程称为变换 .将数列通过变换 所得数列记为
，将数列通过变换 所得数列记为， ，以此
类推，将数列通过变换 所得数列记为
（其中 ）.
（1）已知等比数列的首项为1，项数为，其前项和为 ，
若，求数列 的项数.
解：设等比数列的公比为，显然 ，
由，，得
解得
故数列有8项，经过1次变换 后所得数列的项数为
，即 的项数为36.
（2）若数列的项数为3，的项数记为 .
①当时，试用表示 ；
解：由的项数为，可知当 时，
，
所以 .
②求证： .
证明：因为数列的项数为3，所以 ，
由 ，
可得 ，
于是 ，
则 ，
所以，得 ，
即，又 ， 所以 .
因为，所以 ，
所以 ，
则，可得 ，
所以，即，又 ，
所以 .
综上所述， .
例3 （多选题）[2024·昆明模拟] 为提高学生学习数学的热情，某校
积极筹建数学兴趣小组.小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的
概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积
为同一个常数（不为0）.已知数列是一个“等积数列”， ,
，其前项和为 ，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.的一个通项公式为
D.
√
√
√
[解析] 由“等积数列”的定义得，，又 ，所
以，因此数列的奇数项相同，偶数项相同，又 ，
所以当为奇数时，.由，得，则当
为偶数时，.对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C，若，则当为奇数时，，当为偶数时， ，符合题意，故C正确；
对于D，当 为奇数时，
，满足，
当 为偶数时，
，满足
，故D正确.故选 .

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