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微专题5 递推数列
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
递推数列是高考的热点和重点.考查递推关系求解数列通项主要
以构造方法为主，因此备考中要熟练掌握常见的递推数列模型，比
如相邻两项的关系式为常数型、一次型、指数型等，注意培养学生
计算能力和逻辑推理能力.
微点1 相邻两项的递推公式
例1 已知数列满足，且 ,
.
（1）求， 的值；
解：由，得，所以 ，
代入并整理得 ，
可得 .
因为，所以 ，
所以 .
（2）求数列 的通项公式；
解：由，得,又 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以 .
（3）求数列的前项和 .
解：由，得 ，
所以 .
【规律提炼】
相邻两项的递推关系式常见的有常数型、函数型、倒数型，具体问
题中要熟练掌握相应模型的解法.
模型1：形如（其中,均为常数且）的递推式：
①当时，数列为等差数列；
②当时，数列为等比数列；
③当且时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定
系数法构造等比数列来求.
模型2：形如的递推式：其中 可以是
关于 的一次型函数或指数型函数，此类题型主要采用待定系数法构
造相应的等比数列进行求解.
模型3：形如，，是不为0的常数 的递推式，可变
形为 .
①若，则是等差数列，且公差为 ，可用公式求通项；
②若，则转化为 ，再利用待定系数法
构造新数列求解.
【巩固训练】
已知数列满足,，则 的通项公
式为_________.
[解析] ，若，则，又 ，
所以对任意,.由 ，
可得，即，
所以 是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，所以 .
微点2 相邻三项的递推公式
例2 在数列中，，，且对任意的 ，都有
.
（1）证明： 是等比数列；
证明：方法一：因为，，所以 .
因为 ，
所以 ，
又，所以 ，
所以，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列.
方法二：设 ，
则解得所以 ，
又，所以数列 是以4为首项，2为公比
的等比数列.
（2）求数列 的通项公式.
解：由（1）可得 ，
所以 ，
又，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以 .
【规律提炼】
已知形如的递推式问题的求解方法：
方法一：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解.设
，比较系数得,，可
解得，，于是是公比为的等比数列，这样就转化为
再继续求解.
方法二：直接构造法，根据问题中所给的引导提示，有倾向性地进
行构造数列，进而求解.
【巩固训练】
[2024·四川雅安模拟] 已知数列满足 ，
，，且为递增数列，则 的取值范围为________.
[解析] 因为，所以 ，
所以数列是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以，
又因为 为递增数列，所以，所以，
所以，解得 ，故 的取值范围为 .
微点3 分段递推公式
例3 已知数列满足且 ，求数列
的通项公式.
解：由题意得，当时， ①，
，
将①代入②得，所以 是首项为1，公比为2的
等比数列，
所以 .
由，将②代入上式得 ，
所以 ，
令，则 ，
又，所以 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以 .
综上，
【规律提炼】
已知分段递推公式问题的求解策略：
（1）递推关系式中若含有，则其通项公式可以写成分段形式，
求解数列的通项时一定要分序号为奇数、偶数进行讨论；
（2）求解分段数列问题，要“分段”研究，要根据每段数列内的性质，
结合等差数列、等比数列的相关知识进行求解通项或求值；
（3）若是序号分奇偶的分段型，一般同奇数项或同偶数项数列具有
相同的性质，因此解决求和问题时可以分奇偶项进行求和，求值问
题可以交替进行求解.
【巩固训练】
已知各项都为整数的数列满足： ；
（1）若，求 的值；
解：若为奇数，则，解得，与 为奇数矛盾；
若为偶数，则，解得，符合 为偶数，所以
.
当为奇数时，，解得，同理可得 ，不
满足 ；
当为偶数时，，解得，若为奇数，则 ，
若为偶数，则，均满足 .
综上，或 .
（2）求证：数列 中总包含无穷多个等于1的项.
证明：由题易知，记为的最小项，则 为奇数且
，
所以，解得，所以 ，
显然第一个1后面的项为2，1，2，1，2， ，所以数列 中总包
含无穷多个等于1的项.
微点4 两个数列交叉的递推公式
例4 已知数列满足， .
（1）证明：数列 为等比数列；
证明：因为，所以 ，
又，所以 是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）在与之间插入个数，使得这个数组成公差为
的等差数列，求 的值.
解：由（1）可得，则 .
由题意得， ，
即，解得，所以 的值为39.
【规律提炼】
两个数列交叉形式的递推关系问题的求解策略：
（1）要明确两个数列的项数之间的关系，两个数列项之间的关系；
（2）要注重应用基础数列的有关公式和结论求解另一数列的相关问题.
【巩固训练】
已知各项均为正数的数列，满足,，且, ,
成等差数列，,, 成等比数列.
（1）求, 的值；
解：因为,,成等差数列，所以 ，
当时，，即，所以 .
因为,,成等比数列，所以 ，
当时，，即，所以 .
（2）证明：数列{ }为等差数列；
证明：由题知，，又, ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 为等差数列.
（3）求数列 的通项公式.
解：由知数列为等差数列且， ，
所以数列 { }是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即当时，，又 也符合上式，
所以 .
微点5 利用与 的关系求通项
例5 [2024·呼和浩特一模] 已知数列的前项和为, 且
, .
（1）求 的值；
解：因为 ，
所以 ，
两式相减得, .
所以 .
（2）求数列 的通项公式.
解：因为 ，
所以当时， ，
因为,，所以 ，
又，所以 .
由得, ，
又，所以 的偶数项是公差为4的等差数列，
的奇数项是公差为4的等差数列，
又,，，，
所以 是首项为3，公差为2的等差数列，所以 .
【规律提炼】
根据与的关系求通项公式时，通常利用，将与
之间的关系转化为与其相邻项之间的关系，进而求解.
【巩固训练】
已知数列满足 ，则数列
的通项公式为_ ________________.
[解析] 当时，.当 时，
①，
，
由 得.因为不满足上式，
所以
【深度挖掘】
微点1考查了相邻两项的递推关系，此类题型常用的解法总结如下.
1.形如（其中,均为常数且）的递推式：
当且时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系
数法构造等比数列来求.
方法一：设 ，展开移项整理得
，与题设 比较系数得
，则，则 是以
为首项， 为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式
求出的通项，整理可得 .
方法二：由,得 ，两式相减并
整理得,则是以为首项， 为公
比的等比数列，求出的通项再应用累加法便可求出 .
2.形如 的递推式：
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
方法一：设 ，通过待
定系数法确定，的值，转化成以 为首项的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出 的通
项，整理可得 .
方法二：当的公差为时，由 ，得
，两式相减得
，令 ，得
，求出 ，再用待定系数法构造新的等比数
列求出 .
（2）当递推公式为（其中， 均为不为0的常数）
或（其中，， 均为不为0的常数）时，要先在
原递推公式两边同时除以，得 ，引入辅助数列
，得 ，再用待定系数法构造新的等
比数列求出 .
1.数列相邻项递推关系也常常会涉及相邻项的和与积，此类问题要通
过分别讨论项数为奇数、偶数来确定奇偶项的通项公式.
2.倒数形式的递推关系一般都是分式型，通过取倒数得到新的递推关
系，进而应用相应方法求解.
3.两个数列的交叉递推关系，主要就是理顺项数与项的区别和联系，
能够应用对应的方法求解问题.
例1 [2024·山东青岛二模] 已知数列 满足
，且 .
（1）求数列 的通项公式；
解：因为，所以 ，
由得，由，可得 .
数列 的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，
则，即当 为奇数时，
；
数列 的偶数项是首项为5，公差为4的等差数列，
则，即当为偶数时， .
综上，数列的通项公式为 .
（2）设，数列的前项和为，若 ，求
的最小值.
解：由（1）知，显然数列是首项为 ，
公比为4的等比数列，
则，由，得 ，
整理得 .
因为数列是递增数列，且, ，
所以 ，所以 的最小值为5.
例2 [2024·武汉模拟] 已知数列满足， .
（1）求证数列是等差数列，并求数列 的通项公式；
解：显然，由，得 ，
又，所以数列是首项为1，公差为 的等差数列，
所以，所以 .
（2）设，求数列的前20项和 .
解：由（1）可知
，
所以
.
例3 [2024·沈阳模拟] 已知数列的前项和为，且 满足
.
（1）求数列 的通项公式；
解：因为，所以 ，
即 ，
当时， ，
当时， ，
因为 也满足上式，
所以的通项公式为 .
（2）若数列的通项公式为，求的前项和 ；
解：由（1）可知 ，
所以 ，
所以 ，
由得
，
所以 .
（3）在任意相邻两项与（其中）之间插入 个3，使
它们和原数列的项构成一个新的数列，记为数列的前 项
和，求 的值.
解：由题意，数列中的项依次为，,,, ,
在到之间3的个数为，故到处 共有
35项，所以前36项中含, , 及31个3，
所以
.

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