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微专题4 等差数列、等比数列
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
等差数列、等比数列是高考必考内容，以选择题、填空题和解
答题的形式进行考查.试题考查等差数列、等比数列的基本量计算和
相关性质的综合应用，且常常与其他数学知识，如函数、概率、解
析几何等综合考查，试题也常常以信息题（新定义题）的形式进行
考查，试题的难度较大.高考备考建议熟练掌握等差、等比数列的常
用结论和常见题型的解法，注重提升学生逻辑推理核心素养.
微点1 等差数列、等比数列的基本量的应用
例1（1）[2024·全国甲卷]记为等差数列的前 项和.已知
,,则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为 ,
所以,则 ,
又因为,所以公差,所以 ,故选B.
方法二：设等差数列的公差为，由 ，
得，即，
又 ，所以， .故选B.
（2）[2023· 新课标Ⅱ卷]记为等比数列的前 项和，若
，，则 ( )
A.120 B.85 C. D.
√
[解析] 方法一：由题易知公比且， ，
，， ，
则， .故选C.
方法二：由等比数列的性质可得，，， 成等
比数列，因此，
将， 代入上式，解得或.
当时， ，不满足题意，，
则 ，由等比数列的性质可知，
得 .故选C.
【规律提炼】
等差数列、等比数列基本量应用的求解策略：
（1）基本量是指五个量，，，，,具体问题中主要是应
用含有五个量的公式进行求解，往往会应用函数与方程思想或待定
系数法进行求解；
（2）当求解数列问题没有思路时，可以尝试回归基本量公式进行求解.
【巩固训练】
[2023· 新课标Ⅰ卷] 设等差数列的公差为,且.令 ，
记，分别为数列，的前 项和.
（1）若，，求 的通项公式；
解：因为，所以，即 ，
故 .
所以，是首项为，公差为 的等差数列，
所以， .
因为，所以 ，
即，解得或（舍去），
故 的通项公式为 .
（2）若为等差数列，且，求 .
解：若为等差数列，则 ，
即 ，
即 ，
所以或 .
当时，， ，
故， .
又，所以 ，
即，解得或 （舍去）.
当时，， ，
故， .
又 ，
所以 ，
即，解得（舍去）或 （舍去）.
综上， .
微点2 等差数列、等比数列定义的应用
例2 [2022·全国甲卷] 记为数列的前 项和.已知
.
（1）证明： 是等差数列；
证明：由已知得.当 时，原式恒成立.
当时， ，
两式相减得 ,
整理得 ,
因为,所以 ,
则 .
故数列 是公差为1的等差数列.
（2）若,,成等比数列，求 的最小值.
解：设的公差为，则由（1）得 .
由题意知,即,解得 ，
故 ，
因为,所以或时， 取得最小值，
故 .
【规律提炼】
应用等差、等比数列的定义求解有关问题的策略：
1.定义法是解决判断、证明等差、等比数列问题的基本方法，是解决
解答题的主要方法.具体问题中要找到相邻项之间的关系，要注意是
否满足首项也符合定义条件；中项法也是判断和证明等比数列、等
差数列的常用方法.
2.函数法是解决选填题判断等差数列、等比数列常用的方法，要注意
数列是特殊的函数，其特殊在于其定义域是正整数集，因此其图象
是一系列离散的点.
3.若已知等差数列、等比数列，则可以直接应用相关性质和公式、结
论进行求解，也可以直接应用特值法求解有关参数.
【巩固训练】
已知数列的各项均不为0，其前项和为， 为不等于0的常数，
且 .
（1）证明： 是等比数列.
证明：因为 ，
所以 ，
由得，即 .
当时，，即，所以 ，所
以对任意，恒成立，所以是公比为 的等比数列.
（2）若,,成等差数列，则对于任意的正整数， ，
， 是否成等差数列？若成等差数列，请给出证明；若不成
等差数列，请说明理由.
解：对任意正整数,,, 成等差数列.证明如下：
由,,成等差数列，得，且 ，
即 ，
化简得 .
因为 ，
，
所以 ，
所以对于任意的正整数,,, 成等差数列.
微点3 等差数列与等比数列的综合应用
例3（1）[2024·陕西安康模拟]已知在各项均为正数的等比数列
中，，且,10,成等差数列，则 ( )
A.157 B.156 C.74 D.73
[解析] 因为等比数列的各项均为正数，所以 ，
由,10,成等差数列，可得，所以 ，
所以等比数列的公比，
所以, ,，
所以 .故选D.
√
（2）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 已知为等差数列， 为公比为2
的等比数列，且 .
①证明： ;
证明：设等差数列的公差为 ，
由,得,故 .
由,得 ,
故，将代入上式,整理得 ,得证.
②求集合, 中的元素个数.
解：由①知,由 ，
得 ，
即,即 .
因为,所以,由 ,
可得， ，
故集合, 中的元素个数为9.
【规律提炼】
等差数列、等比数列综合问题的求解策略：
（1）两个数列的综合问题，往往是一个作为母数列，另一个是在其
基础上构建的数列，此类问题关键是抓住母数列，应用母数列的基
本量表示另一数列，在相关条件下求解问题；
（2）两个数列往往具有一定的关系，通常都是通过两个数列的基本
量，结合两个数列的项之间的关系，运用方程思想和相关的公式、
性质求解有关参数问题.
【巩固训练】
1.[2024·广东东莞模拟]已知等差数列和等比数列 都是各项均
为正数的无穷数列，且，，的前项和为 ，
的前项和为 ，下列结论正确的是( )
A.是递增数列 B. 是递增数列
C. D.
√
[解析] 当数列和数列均为常数列1,1,1,1, 时，A，B，C错
误.
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由 ，
可知,，所以，由，可知, ，
又，，所以，所以 ，
且 ，
所以，即 ，
所以，所以，
又 ，所以 ，故D正确.故选D.
2.[2024·重庆八中模拟] 已知等差数列的首项为，公差 ，
记的前项和为 .
（1）若，求 ；
解：因为等差数列的首项为，公差为 ，
所以， ，
.
因为 ，
所以 ，
化简得，因为，所以 ，
所以 .
（2）若对于任意的，存在实数，使, ,
成等比数列，求公差 的取值范围.
解：由题知 ，
，
，
因为,, 成等比数列，
所以 ，
即 ，
化简整理得 .
因为对于任意的，存在实数 使上式成立，
所以对任意 恒成立，
即对任意 恒成立，
即对任意 恒成立.
当时， ，符合题意；
当时，二次函数 的图
象开口向上，
方程的解为, ，
则原不等式的解为或 ，
因为，所以, 之间一定有一个整数，
所以，所以 .
综上所述，公差的取值范围为 .
1.等差数列、等比数列的性质涉及项与项数之间的关系、单调性、最
值等.若，则等比数列满足 ，
等差数列满足，并且等差数列的该性质常常与前
项和公式 相结合考查；相隔等距离的项组成的数列仍是
等比（等差）数列，即，，， 成等比（等差）数列.
例1（1）[2024·南京模拟]已知等差数列的前项和为 ，公差为
，且为递增数列，若，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由为等差数列，且，得 ，
因为数列为递增数列，所以，
即 从第二项开始，各项均为正数，所以 ，
且，可得 .故选D.
√
（2）记为等比数列的前项和.若，，则
( )
A.7 B.8 C.9 D.10
√
[解析] 方法一：设等比数列的公比为.若，则 ，
，即，与已知矛盾，故.设 ，
则由已知得①，②，
，
由，分别得，，解得 .
方法二：根据等比数列前项和的性质知，,, 也成等
比数列，即有，解得 .
（3）已知等差数列的前项和为，且 ，
，则正整数 的值为___.
5
[解析] 在等差数列中，由，得 ，
因为，所以由对称性知 ，
则 ，
所以，
所以，所以 ，所以，解得 .
2.等差数列、等比数列的综合问题，关键是回归母数列的基本量，通
过方程的方法求解通项.
例2 [2024·广东肇庆模拟] 在等差数列中，公差大于0， ，
且，，成等比数列，数列的前项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
解：设等差数列的公差为， .
因为，，成等比数列，所以，又 ，
所以，解得（舍去）或 ，
所以数列的通项公式为 .
（2）若，求数列的前项和 .
解：由（1）得 ，
所以 ，
则 ，
由 得 ，
所以 .

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