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微专题3 解三角形
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
解三角形是高考中的必考内容，试题主要以应用正弦定理、余
弦定理求解三角形的边长、角、面积、周长等问题为主，也会涉及
角平分线、中线等内容.试题常常与基本不等式、三角恒等变换、向
量、三角函数等知识综合考查.试题主要以解答题的形式考查.高考备
考中要熟练掌握与面积、周长有关的常见题型的解题方法，还要充
分理解正弦定理、余弦定理的应用条件，并能够准确应用基本不等
式和三角函数的有界性求解有关的范围、最值问题.
微点1 应用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 [2024·天津卷] 在中，内角，，所对的边分别为 ，
，，且，， .
（1）求 ；
解：设,， ，则由余弦定理得
，
即，可得，故 .
（2）求 ；
解：方法一：因为为 的内角，所以
，
由正弦定理得，即，解得 .
方法二：由（1）可得 ，由余弦定理得
，
因为 ，所以 .
（3）求 .
解：方法一： 因为，且，所以 .
因为，所以，所以 ，
则 ，
，
所以
.
方法二： ，
，
因为为的内角，所以 ，
所以 .
【规律提炼】
应用正弦定理和余弦定理解三角形的策略：
（1）正弦定理可实现边与角正弦的互化，当题中存在关于边或角正
弦的齐次等式或分式时，可直接应用正弦定理进行边与角正弦的互
化，一定要注意必须是“齐次”的等式或“齐次”的分式才可实现互化；
（2）余弦定理主要可实现边的平方与角余弦之间的互化，当题中存
在边的平方时一般可应用余弦定理将其转化为角的余弦.
（3）当条件等式中三角形的三个内角都出现时，一般都会应用内角
和为 并结合三角恒等变换进行消角，即“三角齐出，必减角”.
【巩固训练】
在中，内角,,的对边分别为,,，已知 .
（1）若，求角 的大小；
解：在中， ，
由余弦定理得 ，
，
.
由正弦定理得 ，
，
，
，或 （舍去），即
.
，， .
（2）若为锐角三角形，求 的取值范围.
解：由题意及（1）得， ，由正弦定理得
.
为锐角三角形，
解得 ，
，
的取值范围为 .
微点2 三角形中“多条线”问题
例2 在中，内角,,所对的边分别为,, ，其外接圆的半径
为，且 .
（1）求角 的大小；
解：因为 ，
所以由正弦定理得 ，
又，所以 ，
所以 ，
即 .
因为，所以 ，
所以，即 ，
又，所以 .
（2）若角的平分线交于点,，点在线段 上，
，求 的面积.
解：由（1）知，因为的外接圆的半径为 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 .
因为是的平分线，所以 ，
又， ，
所以，即 .
由余弦定理得，所以 .
由①②可得，所以， ，
因为，，所以，所以 ，
所以 .
【规律提炼】
三角形中的“多条线”常常有角平分线、中线、高线、定比分点线段
等，具体问题中有着相应的常用方法和思维切入点.
（1）角平分线，可以应用角平分线定理，大小三角形的面积关系以
及作平行线等方法求解.大小三角形的面积关系是角平分线问题常用
的方法，例如例2（2）中的，进而应用三
角形面积公式即可得到相应关系式.
（2）中线及定比分点线段，可以应用向量、补平行四边形、互补角
等方法求解，其中将中线或定比分点线段用与其相邻两边对应的向
量线性表示是常用的方法.
（3）高线常常应用面积或向量法求解.
【巩固训练】
[2024·河北“五个一”名校联盟一联] 在中，内角,, 的对边
分别为,,，且 .
（1）求角 的大小；
解：因为 ，
所以由正弦定理得 ，
即 ，即，
由余弦定理得 ，
因为，所以 .
（2）若，边的中点为，求中线 的长的最大值.
解：因为为 的中点，所以 ，
则
，
由余弦定理得 ，即，
所以 .
由，得 ，当且仅当
时取等号，
所以 ，
所以，所以，
故中线的长的最大值为 .
微点3 求解三角形的面积和周长问题
考向1 求解三角形的面积、周长
例3 [2023·全国甲卷] 记的内角,,的对边分别为,, ，已
知 .
（1）求 ；
解：因为 ，
所以，解得 .
（2）若，求 的面积.
解：由正弦定理可得
，
则 ，即 ，
因为，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
例4 [2024· 新课标Ⅱ卷] 记的内角，，的对边分别为, ,
,已知 .
（1）求 ；
解：方法一：, ,
,即 .
方法二：由，，得
，解得，
又，.
（2）若,,求 的周长.
解： ,
,
又, ,
则，得 ，
由正弦定理得 ,
, ，
的周长为 .
【规律提炼】
余弦定理是求解三角形面积和周长问题常用的“工具”，这是因为余
弦定理中不仅有面积公式所需的“两边积”，而且可以将两边平方和
转化为两边和的平方与两边积的形式，例如
，所以具体问题中要注意对余弦定
理的应用.
考向2 求解三角形面积、周长的范围、最值
例5 [2024·四川南充模拟] 已知满足 .
（1）求 ；
解：设内角，，的对边分别为，， ，
因为 ，所以由正弦定理得 ，
即 ，
由余弦定理得，
又 ，所以 .
（2）若，求 的周长的最大值.
解：由余弦定理得 ，
所以 ，
又，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当
时取等号，则 .
又，所以 ，
即的周长的最大值为 .
例6 [2024·安徽六安三模] 在中，内角,,的对边分别为, ,
，且 .
（1）求角 的大小；
解：由 ，得,则 ，
因为 ，所以
，
所以 ，
即 .
由正弦定理得 ，
因为,，所以，所以 ，
又，所以 .
（2）若为锐角三角形，且，求 的面积的取值范围.
解：因为,所以,所以 ,
由正弦定理得 .
因为为锐角三角形，所以解得 ，
所以,所以,所以 ,所以
.
因为 ，
所以，故的面积的取值范围为 .
【规律提炼】
三角形的面积和周长范围问题的求解策略：
求解三角形面积或周长的最值、范围问题，可以应用余弦定理和基
本不等式求解.若已知三角形的类型，则常常先应用正弦定理将其转
化为角的形式，再应用三角函数有界性或辅助角公式求解.
【深度挖掘】
例5和例6涉及应用基本不等式和三角函数的有界性求解最值问题，
根据条件不同也可以有其他的变换情况.
（1）例5中得到的“ ”具有“双向转化性”，既可以求
解面积的最值，也可以如本题一样求解周长的最值.若求解面积最值，
则由，即可得到 的最大值为3，进而
得到面积的最大值为 .转换的原则是：若求周长的取值范围，则将
其应用基本不等式得到关于 的一元二次不等式，若求解面积最
值，则将其应用基本不等式转化为关于 的不等式即可.
当然此类试题也可以应用正弦定理转化为角，即
，进而应用辅助角公式和三角函数
有界性求解.
（2）例6条件中已知三角形为锐角三角形，此时不方便用基本不等
式求解，可应用正弦定理，将面积转化为角的形式求解.本例题中已
知的是与 ，即不是对边对角，此类试题一般都能转化为关于正切
函数的最值问题，若已知的是对边和对角，则可以转化为关于正弦、
余弦的二倍角形式，且应用辅助角公式求解函数的最值.关于细化角
的范围，要保证所有的角都用同一个角来表示，并且满足所有角都
为锐角.
1.“爪型”三角形或多三角形问题中，要注意不同三角形中的相等关系，
不同三角形之间是否存在公共边，公共边两侧的角是否互补等，通
常要结合这些关系与正弦定理、余弦定理构建方程.
2.有关三角形的周长、面积的最值问题，有时会借助边长关系构建不
等式，有时会借助正、余弦定理转化为角的范围问题.
例1 在中，内角，，的对边分别为，， ，且
.
（1）求角 的大小；
解：由题意及正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 .
（2）若点在边上，且，，求 的面积的最
小值.
解：设 ，则 ，
因为，，所以 .
在中，因为，所以 .
在中，由正弦定理得，可得 .
所以 .
过点作的垂线，交于点，设三角形的面积为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为,所以当时，取得最小值 ,
故三角形的面积的最小值为 .
例2 如图，在四边形中，已知， .
（1）若的面积为，求 的周长；
解：在 中，由余弦定理得
，
， ，
由 ，得
，
， ，
，即的周长为 .
解：设 ，则 ，
又 ， ，
.
在中，由正弦定理得 ，
可得 .
在中，由正弦定理得 ，可得 .
（2）若， ， ，求 的大小.
，即 ，
即 ，即
，
，
，
， ，
，解得 ，故 .

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