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微专题9 点、线、面的位置关系
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
点、线、面的位置关系问题是高考必考内容，试题主要以解答题
的形式考查，且一般作为解答题的第一问，试题主要以几何法或空间
向量法证明线、面位置关系，难度中等，往往因为几何体的不规则增
加试题难度.备考过程中要熟练掌握线、面位置关系的判定定理和性质
定理，且多进行不规则立体图形强化训练，提升空间想象能力.
微点1 线、面位置关系的判断
例1（1）[2024·全国甲卷]设 , 为两个平面，, 为两条直线，且
.下列四个命题：
①若,则 或 ；
②若,则 或 ；
③若 且 ,则 ；
④若与 , 所成的角相等，则 .
其中所有真命题的编号是( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
√
[解析] 对于①，因为，所以 ， ，又 ，
所以当 时，可得 ，当 时，可得 ，故①为真
命题.
对于②，在正方体中，连接 ，令平面
为 ，平面为 ，为，为 ，满足题设条件，但
与 不垂直，与 也不垂直，故②为假命题.
对于③，过 作平面，使平面与平面 相交，交线不与重合，
记交线为 ，则由线面平行的性质定理可知，过作平面，
使平面与平面 相交，交线不与重合，记交线为 ，
则由线面平行的性质定理可知，所以，因为 ，
，所以 ，又 ，，所以，
所以 ，故③为真命题.
对于④，在正方体中，连接，令平面
为 ，平面为 ，为，为，满足题设条件，
但与 不垂直，故④为假命题.
所以所有真命题的编号是①③，故选A.
（2）[2024·四川成都三模]已知不同的直线，， 与不同的平面
， ，下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若 ， ，则
C.若 ，，则
D.若 ，，，则
√
[解析] 对于A，若，，则, 平行、相交或异面，故A错误；
对于B，若 ，则存在 ，使得，又因为 ，
所以 ，而 ，所以 ，故B正确；
对于C，若 ，，则 或 ，故C错误；
对于D，若 ，，，且与 相交，则与
不垂直，故D错误.故选B.
【规律提炼】
线、面位置关系的判断问题的求解策略：
（1）熟练掌握和应用线、面位置关系的判定定理和性质定理；
（2）能够应用画图和具体实物直观分析判断线、面位置关系；
（3）能够应用简单几何体的结构特征判断线、面的位置关系.
【巩固训练】
1.[2024·天津卷]若,为两条不同的直线， 为一个平面，则下列结
论中正确的是( )
A.若 ， ，则
B.若 , ，则
C.若 , ，则
D.若 , ，则与 相交
√
[解析] 对于A，若 ， ，则, 平行、相交或异面，故A错
误.
对于B，若 , ，则, 平行或异面或相交，故B错误.
对于C，若 , ，过作平面 ，使得 ，则由线面平
行的性质定理得，又 ，所以，所以 ，故C正确.
对于D，若 , ，则与 相交或异面，故D错误.故选C.
2.[2024·福建泉州模拟]如图，点，，，， 为正方体的顶点或
所在棱的中点，则下列各图中，不满足平面 的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，如图①，，为正方体的顶点，
连接 ，由正方体的性质可得，
因为 平面， 平面 ，
所以平面；
对于B，作出平面 截正方体所得截面，
如图②，D,， 为所在棱的中点，由正方体的性
质可得，因为 平面，
平面，所以 平面 ；
对于C，作出平面截正方体所得截面 ，
如图③，D为所在棱的中点，连接，由正方体
的性质可得，因为 平面，
平面，所以平面 ；
对于D，作出平面截正方体所得截面，
如图④， 为所在棱的中点，易得 平面 .
故选D.
微点2 线、面位置关系的证明
例2 [2023·全国甲卷] 如图，在三棱柱中， 平
面， .
（1）证明：平面 平面 ；
证明：因为 平面， 平面 ,
所以 ,
因为 ，所以 ，
又, 平面， ,
所以 平面 ，
又 平面 ,
所以平面 平面 .
（2）设，，求四棱锥 的高.
解：如图，过点作，垂足为 .
因为平面 平面 ，
平面 平面，
平面 ，所以 平面 ，
所以四棱锥的高为 .
因为，， ，
所以 与全等，所以 .
设，则 ，
所以为 的中点，
所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以,所以 ,
即，解得 ，
所以 ，
所以四棱锥 的高为1.
【规律提炼】
线、面位置关系的证明问题的求解策略：
（1）熟练掌握和应用线、面位置关系的判定定理和性质定理，应用过
程中要保证定理使用的完整性和逻辑性，在图形上作出必要的辅助线.
（2）要能够熟练准确应用简单几何体的结构特征，证明之前要能够
根据结论，结合判定定理和性质定理寻找担当“重任”的线或面作为
目标，进而有方向性地进行证明和判断.
（3）求解点到面距离、体积、高等问题时，首先要根据几何体的结
构特征，证明线面垂直，进而应用勾股定理或等体积法进行求解.
（4）若已知条件中有面面垂直，则可以应用面面垂直的性质证明线
面垂直；若已知有关线段的长，则可以应用勾股定理证明线线垂直.
【巩固训练】
[2024·辽宁协作体三模] 如图，在正四棱柱 中，
,，为棱上一点（含端点），且 .
证明：如图，连接, . 因为几何体
是正四棱柱，所以底面为正方形，
且 平面 ，
所以 .
又 平面，所以 .
又, 平面,，所以 平面 .
又 平面，所以 .
（1）证明： ；
（2）当时，证明： 平面 ；
证明：当时，为棱 的中点，
所以，
所以 , .
又 ，
所以 ，所以 .
由（1）知，.因为, 平面, ，
所以 平面 .
解：因为为棱上一点（含端点），且 ，
所以 .又 ，
所以 ，
则 .
因为，所以，解得 ，
即 的取值范围是 .
（3）设几何体的体积为，若，求 的取值范围.
1.对于判断线、面位置关系的选填题，主要是应用画图的方式结合线、
面的平行、垂直的判定定理和性质定理进行判断.
2.对于线、面位置关系的解答题证明，要能够根据相关定理内容，选
择相应的线、面关系进行求解，注意步骤要规范、严谨.
例1 （多选题）[2024·湖南衡阳三模] 设 ， 是两个不同的平
面，， 是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A.若 ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ，，则
D.若 ， ， ，则
√
√
[解析] 对于选项A，若 ， ，则 ，所以A正确；
对于选项B，若 ， ， ，则与 平行或异面，所
以B不正确；
对于选项C，若 ，，则与 可能平行、相交或在平
面 内，所以C不正确；
对于选项D，设直线 的一个方向向量为，直线的一个方向向量
为，因为 ， ，所以是平面 的一个法向量，是
平面 的一个法向量，因为 ，所以，所以，
所以D正确.故选 .
例2 （多选题）[2024·河南周口四校联考] 设 , 为互不重合的两
个平面，， 为互不重合的两条直线，则下列说法正确的是
( )
A.若 ，， ，则
B.若，为异面直线，且 ， ， ， ，则
C.若，与 所成的角相等，则
D.若 ， ， ，则
√
√
√
[解析] 对于A，由 ， 得 ，
又，所以 ，故A正确；
对于B，如图①，在空间取一点，过点作， ，
使，，则与确定一个平面 ，
由 ， ，得 ， ，又
，所以 ，同理得 ，所
以 ，故B正确；
对于C，当，相交，且都与 平行时，，
与 所成的角相等，此时与 不平行，故C错误；
对于D，设，在上取一点，过 在
内作直线，使得 ，则 或，重
合，过在 内作直线，使得 ，
则或，重合，如图②，显然，则 ，故D正确.
故选 .
例3 金刚石也被称作钻石，是天然存在的最
硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探
机的钻头.金刚石呈现如图所示的“正八面体”
外形.正八面体由八个全等的等边三角形围成，
且对角面（如面 ）都是正方形.
（1）证明：平面 .
证明：由题意可知，对角面 是正方形，
所以 ，
又因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
证明：如图①，连接， ，
设，连接 ，
则 ，
因为 ，
所以， ，
又因为 平面， 平面 ，
且 ，
所以 平面 ，所以四棱锥 是正四棱锥.
（2）证明：四棱锥 是正四棱锥.
解：平面与平面 不垂直，理由如下：
如图②所示，取的中点，连接， ，
根据等边三角形的性质可知， ，
所以是二面角 的平面角.
设该正八面体的棱长为 ，则，
，在中， ，
所以 ，所以平面与平面 不垂直.
（3）平面与平面 是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂
直，请说明理由.

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