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专题5.1.1 矩形（一）八大题型（一课一讲）
（内容：矩形的性质及其应用）
【浙教版】
题型一：矩形性质的理解
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）．
A．对角线相等 B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
根据矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、矩形的对角线平分、相等，故A正确，不符合题意；
B、矩形的四个角都是直角，故B正确，不符合题意；
C、矩形是轴对称图形，故C正确，不符合题意；
D、矩形对角线相等，不一定互相垂直，故D错误，符合题意．
故选D．
【变式训练1-1】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．正六边形的每一个外角都是
C．矩形的对角线互相垂直
D．内错角相等
【答案】B
【分析】此题考查了命题的真假，平行四边形的判定方法、正六边形的性质、矩形的性质及平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
利用平行四边形的判定方法、正六边形的性质、矩形的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、正六边形的每个外角都是，正确，是真命题，符合题意；
C、矩形的对角线相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：B．
【变式训练1-2】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可得到答案．
【详解】解：在矩形中，对角线相交于点，
∴，，，
故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误，
故选：C
【变式训练1-3】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，， ，
，不一定成立，不一定成立，，一定成立，
故选：D．
【变式训练1-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．任意两个邻角互补 D．对角互补
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，根据矩形和平行四边形的性质逐一判断即可．
【详解】解；A、矩形和平行四边形的对边都互相平行且相等，故此选项不符合题意；
B、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；
C、矩形和平行四边形的任意两个邻角互补，故此选项不符合题意；
D、矩形的对角互补，平行四边形的对角不一定互补，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-5】（24-25八年级·广东茂名·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形
B．对角线的长度变大
C．四边形的面积不变
D．四边形的周长不变
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键．根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可．
【详解】解：A、因为矩形框架向右扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意；
B、向右扭动框架，的长度变大，故B正确，不符合题意；
C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意；
D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意，
故选：C．
【变式训练1-6】（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（ ）
A． B．
C．若，则是等边三角形 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定，矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，根据矩形的性质和等边三角形的判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，故A、B说法正确，不符合题意，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，故C正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明，故D说法错误，符合题意．
故选：D．
题型二：利用矩形的性质求角度
【经典例题2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是矩形边上一点，且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
设的中点为，连接，，得到，，，则，得到，继而得到是等边三角形，得出，得到，求出，得到，即可得到答案．
【详解】解：设的中点为，连接，如图所示：
设，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
在中，是斜边上的中线，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
点是矩形边上一点，
故选：C．
【变式训练2-1】（2025·湖南·二模）如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是矩形，则，，由平行线的性质可得，然后通过等边对等角得出，，然后由平角定义求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练2-2】（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，根据题意可得，再通过矩形的性质可得，即可解答，熟练运用矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点O作的垂线交于点F， ，
，
四边形是矩形，
，，
即，
，
故选：A．
【变式训练2-3】（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
故选：C．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形为矩形，P是线段上一动点，M是线段上一点，，是 （填“锐角、直角、钝角”）三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的内角和定理，根据矩形的性质可得，再根据即可得解．
【详解】解：四边形为矩形，
，
，
，
，
即，
是直角三角形，
故答案为：直角．
【变式训练2-5】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的额关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可推出，得到，再根据三角形的内角和定理可得，结合，推出，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练2-6】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，且，则为 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质．
则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出．
【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点O，，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
题型三：根据矩形的性质求线段长度
【经典例题3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于点，是等边三角形，且，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理．由矩形和等边三角形，求得，再根据勾股定理求得的长，据此求解即可．
【详解】解：∵平行四边形是矩形，是等边三角形，
∴，
∵，
在中，由题意可知，，
，
∴的周长是．
故选：D．
【变式训练3-1】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，与交于，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，则的值为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握各性质并利用面积法是解题的关键．
连接，过点A作于G，利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积求出，然后根据的面积求出即可．
【详解】解：如图所示，连接，过点A作于G，
，，
∴由勾股定理可得：，
，即，
解得：，
在矩形中，
，，
，
故，
故选：B．
【变式训练3-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查中位线的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．利用中位线求出，利用矩形性质求出，，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】解：∵点是的中点，是的中点，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练3-3】（2025·甘肃临夏·一模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【分析】连接，先证明，得到，中垂线的性质得到，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：连接，设交于点，如图：
∵矩形，
∴，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，；
故选A．
【变式训练3-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，相交于点O，，垂足为E，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，由矩形的性质得出，，，由，得到垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，证明出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求出，得到，由勾股定理即可得解．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
，，
∴垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练3-5】（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接 ，由矩形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质得，设，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
题型四：根据矩形的性质求面积
【经典例题4】（湖南省长沙市一中教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷）如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，是解决问题的关键．
首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，再进一步求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练4-1】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，矩形中，P为对角线上一点，过P分别作、的平行线于矩形边相交，若矩形的面积为S，则阴影部分的面积可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，矩形的对角平分面积求解，掌握矩形的性质是解题的关键．
根据矩形的性质得出，然后利用矩形面积空白部分即可求解．
【详解】解：设，，，，
在矩形中，有，，，
，即：，
则，
，
，
故选：B．
【变式训练4-2】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解．
【详解】解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，
，
故选：C．
【变式训练4-3】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，点P是矩形的边上一动点，、长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线和的距离之和是（ ）
A．26 B．12 C．24 D．不能确定
【答案】B
【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
由矩形可得：，又由，，可求得的长，则可求得与的长，又由，代入数值即可求得结果．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，，
，，
，
，
．
点到矩形的两条对角线和的距离之和是12．
故选：B．
【变式训练4-4】（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
【变式训练4-5】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理和直角三角形的性质算出对应的底和高．根据阴影部分的面积求解即可
【详解】解：∵是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点M作，
∴，
则图中阴影部分的面积
，
故答案为：．
【变式训练4-6】（24-25八年级·江西·开学考试）如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据矩形的性质得出，，推出，然后证明，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
等底同高的三角形面积相等，
，
．
故答案为：．
题型五：利用矩形的性质证明
【经典例题5】（2025·江西鹰潭·一模）如图，在矩形中，点为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是找出全等三角形并证明；
（1）证明，再根据矩形的性质证明即可；
（2）根据，得出，再根据（1）中全等证明即可．
【详解】（1）证明：点是的中点，且四边形是矩形，
，，，，
，
．
（2）证明：
∴，
由（1）得，
，
又由（1）知，
∴，
，
．
【变式训练5-1】（24-25八年级·贵州黔东南·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出矩形的边长，再根据矩形的面积公式计算即可．
根据矩形的性质可得，利用可证；
根据全等三角形的性质可得，利用勾股定理可求，根据矩形的面积公式计算即可求出四边形的面积．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
，
又，
，
在和中，，
；
（2）解：由可知，
，
又，,
，
矩形的面积是．
【变式训练5-2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在矩形中，平分，平分，求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质及全等三角形的性质和判定，掌握其性质定理是解决此题的关键．
根据角平分线的定义和平行线的判定和性质得，再根据证明即可．
【详解】证明：矩形中，，，，
，
平分，
，
平分，
，
，
在和中，
，
．
∴．
【变式训练5-3】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，已知矩形矩形，延长至点，使得，对角线，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查矩形的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练运用以上知识点是解决本题的关键．
（1）根据矩形的性质以及已知条件，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论；
（2）过点作于点，根据矩形性质，等腰三角形性质以及中位线定理可求出的长度，然后根据勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
∴，．
，
∴，．
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点．
矩形，
，
是的中点，
是的中位线，有．
在中，，，
．
【变式训练5-4】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，．
(1)求证；
(2)若，求矩形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后证明，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质可得，继而得到，根据矩形的性质得到，继而得到，进而可证明是等边三角形，即可得到，进而求得，，即可求得矩形的面积．
【详解】（1）证明：∵在矩形中， ，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，由（1）知，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，即点是矩形对角线的交点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，，，
∴矩形的面积．
【变式训练5-5】（2025八年级下·广西·专题练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
（1）证四边形是平行四边形，得，结合题意，得，即可求解；
（2）根据题意可证得，则，再由矩形的性质得，则，即可求解．
【详解】（1）解：证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：由（1）得：，四边形是矩形，
∴，
∵，
设，则，
，解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
题型六：求矩形在坐标系中的坐标
【经典例题6】2024·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，，
由折叠的性质，可知，，
．
设，则．在中，由勾股定理，
得，
解得．
点的坐标为，
故选B．
【变式训练6-1】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接相交于点E，根据四边形是矩形，可得点E是的中点，即可求出，再将代入即可求出b的值．
【详解】解：连接相交于点E，如下图所示，

∵，
∴轴，
∵四边形是矩形，相交于点E，
∴，点E是的中点，
∴，即，
∵直线平分矩形的周长，
∴直线经过点，
∴，解得，
故选：A．
【变式训练6-2】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，
∵，
∴点的横坐标与点相同，为，
点的纵坐标与点相同，为，
∴点的坐标为．
故选：C．
【变式训练6-3】（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果．
【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示，
∵AD平分∠CAO，
∴DO=DE，
∵点B的坐标为，
∴OA=4，OC=3，
∴，
∴，
∴，
∴OD=，
∴D点坐标为（0，），
故选：D．
【变式训练6-4】（24-25八年级·黑龙江绥化·阶段练习）如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的性质、求一次函数的解析式，连接、，交于点，根据矩形的性质求出点的坐标，因为直线将四边形的面积分成相等的两部分，所以直线过点，利用待定系数法求出即可．
【详解】解：如下图所示，连接、，交于点，
点的坐标为，
的坐标为，
又直线将四边形的面积分成相等的两部分，
直线过点，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
故答案为：．
【变式训练6-5】（23-24八年级·江西九江·阶段练习）如图，一次函数与坐标轴相交于，两点，是射线上的一点，过作轴于点，轴于点，若矩形的面积为20，则点的坐标为 ．

【答案】，，
【分析】设点的坐标为，继而根据矩形的面积公式可用含的代数式表示长方形的面积，解方程即可．
【详解】解：当时，，
，
当时，，
解得，
所以点的坐标为，
设点的坐标为，
长方形的面积为或，
由解得或5，
由解得或，
，
或5或．
点的坐标为，，．
故答案为：，，．
【变式训练6-6】（24-25八年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标．
【详解】解：点和的横坐标相等，
点和的纵坐标相等，
要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等，
∴第四个顶点的坐标为；
故答案是：．
题型七：矩形中折叠问题
【经典例题7】（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠使点D落在点处，与交于点F，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查平行和翻折相结合，考查到的知识点有：翻折，平行性质，勾股定理，同高不等底的两三角形的面积比．难点在于如何证明．
由翻折知，，则，故，在中，由，求出6 ，进而求解．
【详解】解：由翻折知，，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得：，
，
则的值为，
故选：A．
【变式训练7-1】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据矩形与折叠的性质可得出，，利用证明，设，则，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵翻折，
∴，，，
在与中，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
故选A．
【变式训练7-2】（（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，将边沿直线折叠，使点D落在边上的点F处．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是翻折变换，矩形的性质；根据图形翻折变换的性质可知，，据此可得出结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，
∴，，
∴．
故选：B．
【变式训练7-3】（（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，根据折叠和平行线的性质得到，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】设，则
由折叠可知
因为
所以，则
所以
在中，根据勾股定理可得，
解得，
∴．
故选：A．
【变式训练7-4】（（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）如图，在矩形中，是边的中点，将沿所在直线折叠得到，延长交于点，已知，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．连接，由折叠的性质可得，又由是边的中点，可得，然后证得，继而求得线段的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．注意证得是关键．
【详解】解：如图，连接，
是的中点，
，
沿折叠后得到，
，
，
在矩形中，
，
，
在和中，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
．
故选：C．
【变式训练7-5】（（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，，再根据折叠的性质可得，，，然后根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
故答案为：．
【变式训练7-6】（（2024八年级下·广东·专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在边上点处，点的对应点为，连接交边于点，连接，若，，点为的中点，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】连接，勾股定理求得，进而证明，设，，根据，以及三边关系建立方程组，解方程组求解即可．
【详解】如图，连接，
∵折叠
∴，，
∵四边形是长方形，，，
，，
设
则
∵是的中点，
∴
在中，
在，
∴
即
解得
∴，
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
设，
在中
即①
又
∴②
由①可得③
将②代入③得④
②④得
解得
即
∴
故答案为：．
【变式训练7-7】（（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使得点B与点D重合，折痕是，连接，则四边形的周长是 ．
【答案】20
【分析】由矩形的性质得，，，证明得，结合折叠的性质可证，由勾股定理得，求得，进而可求出四边形的周长．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵将矩形纸片折叠，使得点B与点D重合，折痕是，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴四边形的周长是20，
故答案为：20．
题型八：矩形的性质综合
【经典例题8】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【回归课本】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长到点，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证．
【类比迁移】
（1）如图2，是的中线，交于点，交于点，且，试判断线段和的数量关系．小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长至点，使，连接，易证___________，
__________，，___________，
和的数量关系为___________．
【拓展应用】（2）如图3，在四边形中，，点、分别是、的中点，连接，若，求的长．
【答案】（1），，，；（2）
【分析】（1）按照步骤作答即可；
（2）过点、分别做，，交于、，分别延长、，使，，可求得，，求得，，继而求得四边形是矩形，即，根据，求得，即可求得的长．
【详解】（1）证明：如图2，延长至点，使，连接，
∵，
，
，，
，
，
，
，
，
和的数量关系为，
故答案为：△CDM，，，；
（2）解：过点、分别做，，交于、，
分别延长、，使，，连接，
∵，点、分别是、的中点，
∴，，，
又∵，，
∴，，
∴，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【变式训练8-1】（（24-25八年级下·重庆渝北·期中）在矩形中，为矩形对角线，在边上，连接．
(1)如图1，若，，，求；
(2)如图2，，，连接交于，当为的中点时，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由矩形的性质得，因为，所以，则，所以，求得；
（2）作于点，则，由，得，由，得，而，，可根据“”证明，得，，因为，所以，可根据“”证明，则．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
的长是；
（2）证明：如图2，作于点，则，
，
，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【变式训练8-2】（（2025八年级下·广西·专题练习）已知：如图，在△ABC中，，，垂足为，是△ABC外角的平分线，，垂足为，连接交于．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)①判断四边形的形状，并证明你的结论．
②线段与有怎样的关系？直接写出你的结论．
【答案】(1)见解析(2)①四边形是平行四边形，见解析；②，，理由见解析
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形和矩形的各种判定方法是解题关键．
（1）根据，，得，根据等腰三角形的三线合一，得，根据角平分线的定义，得，推出，即可证明四边形为矩形；
（2）①根据四边形为矩形，得，，根据等腰三角形三线合一，得，推出，即可证明；②根据四边形为矩形，得，根据四边形是平行四边形，得，，即可求解．
【详解】（1）证明：∵在中，，，，
∴，平分，
∴，
∵是△ABC外角的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②，，理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，．
【变式训练8-3】（2025·吉林长春·一模）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，点E、F分别在边上，且，连结．试探究线段与的长度之和的最小值．
【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，延长至点G，使，连结．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）线段与的长度之和的最小值为
【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图③，在△ABC中，，米，米．和分别是两条固定端点B、C但可调节端点M、N的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点M、N的位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳与长度之和的最小值为 米．
【答案】问题解决：（1）见解析；（2）；方法应用：
【分析】问题解决：（1）利用证明，即可得出结论；
（2）连接，当三点共线时，有最小值，由（1）知，则有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解；
方法应用：如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长．
【详解】问题解决：
（1）证明：∵矩形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）连接，
当三点共线时，有最小值，
由（1）知，则有最小值，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴；
方法应用：
解：如图作，使得米．作交的延长线于，连接．
，
，
，，
，
，
，
的最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，，
在中，
，米，
，，
∴，
在中，米，
∴钢丝绳与长度之和的最小值为米．
【变式训练8-4】（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形，E，F分别为，边上的点，，的延长线交于点G，．
(1)求证：；
(2)如图2，Q，H分别是，边上的点，交于点P，，；
①求证：；
②连接，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据矩形的性质得出，根据，即可得出答案；
（2）①过点E作，交于点M，先证明，得出，根据，得出，证明，得出答案即可；
②连接，，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：①过点E作，交于点M，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练8-5】（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）（1）如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明；
（2）若点在的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
（3）如图3，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）；（4）条件：点是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．结论：
【分析】（1）过作于点，由矩形得到，且互相平分，，然后证明出，得到，进而证明即可；
（2）过作于点，同理可证，即可证明；
（3）连接和，交于O，由正方形的性质得出，，由三角形面积关系得出，证出，即可得出结论；
（4）由图1、图2、图3的特性求解即可．
【详解】解：（1）证明：过作于点，如图：
∵，
∴四边形是矩形
∴，
∴
∵四边形是矩形
∴，且互相平分
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴，即．
（2）结论：
证明：过作于点，如图：
同理可证，
∵，
∴
∴，即；
（3）解：；
连接和，交于O，如图3所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵于点F，于点G，
∵，
∴，
∴，
∴．
（4）由图1、图2、图3的特性可得，如图①，
条件：点是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．
结论：．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.1.1 矩形（一）八大题型（一课一讲）
（内容：矩形的性质及其应用）
【浙教版】
题型一：矩形性质的理解
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）．
A．对角线相等 B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直
【变式训练1-1】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．正六边形的每一个外角都是
C．矩形的对角线互相垂直
D．内错角相等
【变式训练1-2】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( )
A． B． C． D．
【变式训练1-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．任意两个邻角互补 D．对角互补
【变式训练1-5】（24-25八年级·广东茂名·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形
B．对角线的长度变大
C．四边形的面积不变
D．四边形的周长不变
【变式训练1-6】（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（ ）
A． B．
C．若，则是等边三角形 D．
题型二：利用矩形的性质求角度
【经典例题2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是矩形边上一点，且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（2025·湖南·二模）如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形为矩形，P是线段上一动点，M是线段上一点，，是 （填“锐角、直角、钝角”）三角形．
【变式训练2-5】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ．
【变式训练2-6】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，且，则为 ．
题型三：根据矩形的性质求线段长度
【经典例题3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于点，是等边三角形，且，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，与交于，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，则的值为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．10
【变式训练3-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式训练3-3】（2025·甘肃临夏·一模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．
【变式训练3-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，相交于点O，，垂足为E，且，则 ．
【变式训练3-5】（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点．若，则的长为 ．
题型四：根据矩形的性质求面积
【经典例题4】（湖南省长沙市一中教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷）如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式训练4-1】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，矩形中，P为对角线上一点，过P分别作、的平行线于矩形边相交，若矩形的面积为S，则阴影部分的面积可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，点P是矩形的边上一动点，、长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线和的距离之和是（ ）
A．26 B．12 C．24 D．不能确定
【变式训练4-4】（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练4-5】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式训练4-6】（24-25八年级·江西·开学考试）如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是 ．
题型五：利用矩形的性质证明
【经典例题5】（2025·江西鹰潭·一模）如图，在矩形中，点为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
【变式训练5-1】（24-25八年级·贵州黔东南·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【变式训练5-2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在矩形中，平分，平分，求证：
【变式训练5-3】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，已知矩形矩形，延长至点，使得，对角线，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【变式训练5-4】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，．
(1)求证；
(2)若，求矩形的面积．
【变式训练5-5】（2025八年级下·广西·专题练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？
题型六：求矩形在坐标系中的坐标
【经典例题6】2024·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为( )
A． B． C． D．
【变式训练6-1】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（ ）

A． B． C． D．
【变式训练6-2】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】（24-25八年级·黑龙江绥化·阶段练习）如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ．
【变式训练6-5】（23-24八年级·江西九江·阶段练习）如图，一次函数与坐标轴相交于，两点，是射线上的一点，过作轴于点，轴于点，若矩形的面积为20，则点的坐标为 ．

【变式训练6-6】（24-25八年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ．
题型七：矩形中折叠问题
【经典例题7】（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠使点D落在点处，与交于点F，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练7-1】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】（（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，将边沿直线折叠，使点D落在边上的点F处．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】（（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练7-4】（（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）如图，在矩形中，是边的中点，将沿所在直线折叠得到，延长交于点，已知，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-5】（（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点，若，，则的长为 ．
【变式训练7-6】（（2024八年级下·广东·专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在边上点处，点的对应点为，连接交边于点，连接，若，，点为的中点，则线段的长为 ．
【变式训练7-7】（（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使得点B与点D重合，折痕是，连接，则四边形的周长是 ．
题型八：矩形的性质综合
【经典例题8】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【回归课本】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长到点，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证．
【类比迁移】
（1）如图2，是的中线，交于点，交于点，且，试判断线段和的数量关系．小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长至点，使，连接，易证___________，
__________，，___________，
和的数量关系为___________．
【拓展应用】（2）如图3，在四边形中，，点、分别是、的中点，连接，若，求的长．
【变式训练8-1】（（24-25八年级下·重庆渝北·期中）在矩形中，为矩形对角线，在边上，连接．
(1)如图1，若，，，求；
(2)如图2，，，连接交于，当为的中点时，求证：．
【变式训练8-2】（（2025八年级下·广西·专题练习）已知：如图，在△ABC中，，，垂足为，是△ABC外角的平分线，，垂足为，连接交于．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)①判断四边形的形状，并证明你的结论．
②线段与有怎样的关系？直接写出你的结论．
【变式训练8-3】（2025·吉林长春·一模）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，点E、F分别在边上，且，连结．试探究线段与的长度之和的最小值．
【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，延长至点G，使，连结．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）线段与的长度之和的最小值为
【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图③，在△ABC中，，米，米．和分别是两条固定端点B、C但可调节端点M、N的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点M、N的位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳与长度之和的最小值为 米．
【变式训练8-4】（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形，E，F分别为，边上的点，，的延长线交于点G，．
(1)求证：；
(2)如图2，Q，H分别是，边上的点，交于点P，，；
①求证：；
②连接，求的度数．
【变式训练8-5】（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）（1）如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明；
（2）若点在的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
（3）如图3，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．

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