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专题5.2.1 菱形（一）七大题型（一课一讲）
（内容：菱形的性质及其应用）
【浙教版】
题型一：对菱形性质的理解
【经典例题1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）能够判定一个四边形是矩形的条件为（ ）
A．四条边都相等 B．对角线互相平分
C．四个角都相等 D．对角线互相垂直
【变式训练1-1】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）下列命题中，其命题是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【变式训练1-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接其四边中点所得的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对
【变式训练1-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）在下列条件中，能判定四边形是菱形的条件有（ ）
①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③对角线相等；④对角线互相垂直平分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（ ）
①一组邻边相等的四边形是菱形．
②对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形．
③对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形．
④四条边都相等的四边形是菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-5】（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形对角线互相垂直
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
【变式训练1-6】（24-25八年级下·天津东丽·期中）在下列四边形中，为菱形的是（ ）
A．一组邻边相等，一组对角相等
B．一组邻边相等，对角线互相垂直
C．一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一组对角
D．一组邻边相等，另一组邻边也相等
题型二：利用菱形的性质求角度
【经典例题2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（24-25八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的长等于 ，的度数为 ．
【变式训练2-5】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，对角线长，，点、在边、上，以直线为折痕折叠，若，则的度数为 ．
【变式训练2-6】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为 ．
题型三：利用菱形的性质求线段长度
【经典例题3】如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式训练3-1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形，测得，，则该菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，对角线相交于点，过点O作，垂足为H，则点O到边的距离等于（ ）
A．2 B． C． D．
【变式训练3-3】（2025·陕西渭南·一模）如图，在菱形中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，于点H．若，菱形的周长为32，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式训练3-5】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，为中点，是的中点，交对角线于点，连接，取中点，取中点，连接，若，，则的长度为 ．
【变式训练3-6】（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．若于点H，，则 ．
题型四：利用菱形的性质求面积
【经典例题4】已知菱形的两条对角线的长度分别为6和8，则菱形的面积是（ ）
A．48 B．36 C．27 D．24
【变式训练4-1】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，菱形花坛的边长为，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，则菱形花坛的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则为（　　）
A．6 B．8 C．24 D．12
【变式训练4-3】（23-24八年级·陕西宝鸡·阶段练习）如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式训练4-4】（2025八年级下·广东广州·专题练习）已知菱形，点分别为边的中点，若四边形的面积为，则菱形的面积为 ．
【变式训练4-5】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，菱形的对角线和相交于，过点作于点连接，，若菱形的面积为，则的长为 ．
【变式训练4-6】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，点D，F把线段分成三条线段，分别以这三条线段为一条对角线作菱形，菱形，菱形，连结组成四边形．若菱形的边长为，，则四边形的面积是 ．
题型五：利用菱形的性质证明
【经典例题5】（2025·山东济南·二模）如图，在菱形中，于点E，于点F，求证：．
【变式训练5-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，△ABC的边和的边在同一条直线上，，，，连接，．
(1)求证：①；
②四边形是平行四边形．
(2)若四边形为菱形，，，求线段的长．
【变式训练5-2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过M作于点E，．
(1)若，求的长；
(2)求证：；
(3)求证：．
【变式训练5-3】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在菱形中，过点作于点，作于点．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【变式训练5-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形内作一个等边三角形，．
(1)与是否相等？请说明理由；
(2)设，试用含x的式子表示和的大小；
(3)求的度数．
【变式训练5-5】（2025八年级下·广西·专题练习）如图，在菱形中，若，，过点作于点．
(1)菱形的面积为 ．
(2)求的长．
(3)过点作，垂足为，求四边形的面积．
【变式训练5-6】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在菱形中，连接，过B作交于点E，过D作交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
题型六：菱形中的折叠问题
【经典例题6】（24-25八年级·贵州贵阳·期中）如图，将矩形纸片按照如图所示的方式折叠，点A，点C恰好落在对角线上，得到菱形．若，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式训练6-1】（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】（24-25八年级·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（ ）
【变式训练6-3】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式训练6-4】（2025·河北·一模）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为 ．
【变式训练6-5】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ．
【变式训练6-6】（24-25八年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ．
题型七：菱形的性质综合
【经典例题7】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，四边形是菱形，对角线交于点，点是直线上一点．
(1)如图1，若，，点是线段中点，连，直接写出的长（不需要说明理由）；
(2)如图2，若为等边三角形，点为线段上任一点（异于点），点为边上一点，且，求的值；
(3)如图3，若为等边三角形，点在的延长线上，点在的延长线上，，判断的形状，并说明理由．
【变式训练7-1】（24-25八年级·贵州贵阳·期中）【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）．
【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：．
【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积．
【变式训练7-2】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边△APE（A，，按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
【变式训练7-3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质．
如图1，菱形的边长为，，则___________，___________．
【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：；
【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·安徽淮南·开学考试）如图1，在平行四边形中，过点作，，垂足分别为点，，，分别交于点，．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，若四边形是菱形，延长，相交于点．
①求证：；
②当时，求证：．
【变式训练7-5】（23-24八年级下·安徽宣城·自主招生）请按以下要求完成尺规作图．
(1)如图1，菱形中，点在对角线上，请作出一对以所在直线为对称轴的全等三角形，使交于点，交于点，．你有几种解法？请在下图中完成；（保留必要作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，点是菱形内部一点，请作出一条过点的直线，交射线，射线于点，且，聪明的你肯定有多种不同作法？请在下图中完成两种作法，并选择其中一种证明：．（保留必要作图痕迹，不写作法）
【变式训练7-6】（24-25八年级·福建南平·期中）在边长为6的菱形中，，点E，F分别在边和上，且．
(1)如图1，求证：是等边三角形；
(2)如图2，交于点P，交于点G，
①当的周长最小时，求证；
②已知交的延长线于点H，求证．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.2.1 菱形（一）七大题型（一课一讲）
（内容：菱形的性质及其应用）
【浙教版】
题型一：对菱形性质的理解
【经典例题1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）能够判定一个四边形是矩形的条件为（ ）
A．四条边都相等 B．对角线互相平分
C．四个角都相等 D．对角线互相垂直
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定，根据以上判定定理逐项判断即可求解，掌握以上判定定理是解题的关键．
【详解】解：、四条边都相等的四边形是菱形，该选项不合题意；
、对角线互相平分的四边形是平行四边，该选项不合题意；
、四个角都相等的四边形是矩形，该选项符合题意；
、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，该选项不合题意；
故选：．
【变式训练1-1】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）下列命题中，其命题是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据全等三角形的判定、勾股数的概念、菱形的判定，线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定判断即可．
【详解】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
如图：
∵，
∴，
则，
∴，
∴四边形是平行四边形，
则一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，D选项是真命题，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接其四边中点所得的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，从而可得，再证出四边形是平行四边形，然后证出，根据菱形的判定即可得．
【详解】解：如图，四边形的对角线，点分别是的中点，
∵点是的中点，
∴，
同理可得：，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，，
∴，
∴平行四边形是菱形，
故选：B．
【变式训练1-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）在下列条件中，能判定四边形是菱形的条件有（ ）
①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③对角线相等；④对角线互相垂直平分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：依题意，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
故④符合题意；
故选：A
【变式训练1-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（ ）
①一组邻边相等的四边形是菱形．
②对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形．
③对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形．
④四条边都相等的四边形是菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据菱形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：①一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意；
②对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意；
③对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，故原说法正确，符合题意；
④四条边都相等的四边形是菱形，故原说法正确，符合题意；
综上所述，正确的有③④，共个，
故选：B．
【变式训练1-5】（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形对角线互相垂直
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形的性质和判定定理，难度不大．
利用矩形、菱形的性质和判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、矩形的四个内角都是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、矩形对角线互相平分且相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-6】（24-25八年级下·天津东丽·期中）在下列四边形中，为菱形的是（ ）
A．一组邻边相等，一组对角相等
B．一组邻边相等，对角线互相垂直
C．一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一组对角
D．一组邻边相等，另一组邻边也相等
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的判定，如四条边都相等的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，熟练运用菱形的各种判定方法是解题关键．
利用菱形的判定定理逐项分析即可．
【详解】解：A、一组邻边相等，一组对角相等的四边形不是菱形，此选项错误，不符合题意；
B、一组邻边相等，对角线互相垂直，不是菱形，此选项错误，不符合题意；
C、一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一组对角，那么这个四边形的四条边都相等，这个四边形是菱形，此选项正确，符合题意；
D、一组邻边相等，另一组邻边也相等的四边形不是菱形，此选项错误，不符合题意．
故选：C．
题型二：利用菱形的性质求角度
【经典例题2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形两锐角互余的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质性质是解题的关键；
先根据菱形的性质得，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余、同角的余角相等即可解答．
【详解】解：四边形是菱形，对角线与相交于点，
，，
，
于点，
，
，
，
故选：A．
【变式训练2-1】（24-25八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得，推出，结合，即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式训练2-2】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
，
于点，于点，
，
，
，
故选：C．
【变式训练2-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴
故选：B．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的长等于 ，的度数为 ．
【答案】 5 /32度
【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形中位线定理，证明出是的中位线是本题的关键．
根据菱形的性质得出，，，根据等边对等角可得，由三角形中位线定理得出．
【详解】 四边形是菱形，
，，，
，
是边的中点，，
是的中位线，
．
故答案为：，．
【变式训练2-5】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，对角线长，，点、在边、上，以直线为折痕折叠，若，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】此题考查了菱形的性质、折叠的性质以及含30度的直角三角形等知识．首先连接，，相交于点，由在菱形中，对角线长，，可求得，又由以直线为折痕折叠，若，即可求得的度数，继而求得答案．．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，相交于点，
在菱形中，对角线长，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练2-6】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等腰三角形的性质，由菱形的性质可得，，证明，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
题型三：利用菱形的性质求线段长度
【经典例题3】如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：∵在菱形中，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【变式训练3-1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形，测得，，则该菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是关键．
根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由周长的计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴菱形的周长为，
故选：B ．
【变式训练3-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，对角线相交于点，过点O作，垂足为H，则点O到边的距离等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握利用菱形的性质计算线段的长度是解题关键．
先根据菱形的性质得到，，，并用勾股定理求出，再利用面积法计算即可．
【详解】∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，
∴，即
∴．
故选：D．
【变式训练3-3】（2025·陕西渭南·一模）如图，在菱形中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的中位线定理可得，根据菱形的性质可得，即可求解．
【详解】解：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长为，
故选：A．
【变式训练3-4】（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，于点H．若，菱形的周长为32，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，含度直角三角形的性质和勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键．由菱形的性质可知，，，再根据含度直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：∵菱形的周长为32，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，则，
又∵，
∴，
故选：B．
【变式训练3-5】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，为中点，是的中点，交对角线于点，连接，取中点，取中点，连接，若，，则的长度为 ．
【答案】/
【分析】根据菱形的性质得出，，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，，分解中位线性质得出，，，在中，过点O作于点P，根据勾股定理求出，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵E为中点，是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵M为的中点，N为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
在中，过点O作于点P，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练3-6】（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．若于点H，，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，且，则可由勾股定理求出的长，进而得到，再根据菱形面积计算公式求解即可．
【详解】解：在菱形中，
∴，，且，
在中，，则由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴
解得:，
故答案为：．
题型四：利用菱形的性质求面积
【经典例题4】已知菱形的两条对角线的长度分别为6和8，则菱形的面积是（ ）
A．48 B．36 C．27 D．24
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的面积等于两条对角线积的一半计算即可．
【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8，
这个菱形的面积为，
故选：D．
【变式训练4-1】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，菱形花坛的边长为，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，则菱形花坛的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题关键．
由菱形的性质和得出是等边三角形，进而得出的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵菱形花坛的边长为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在 中，由勾股定理得：，
∴，
∴花坛的面积为：，
故选：B．
【变式训练4-2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则为（　　）
A．6 B．8 C．24 D．12
【答案】C
【详解】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识，由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，由菱形对角线的性质可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴菱形的面积．
故选：C．
【变式训练4-3】（23-24八年级·陕西宝鸡·阶段练习）如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
菱形，
，
菱形的周长为40，
，
，
菱形的面积，
，
故选B．
【变式训练4-4】（2025八年级下·广东广州·专题练习）已知菱形，点分别为边的中点，若四边形的面积为，则菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接交于，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得四边形是矩形，得到，进而根据菱形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接交于，
∵四边形是菱形，
∴，
∵点分别是边的中点，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵四边形的面积为，
∴，
∴菱形的面积．
故答案为：．
【变式训练4-5】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，菱形的对角线和相交于，过点作于点连接，，若菱形的面积为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
由菱形的性质得，，，再求出，则，然后由菱形面积求出，则，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
∵菱形的面积，
，
，
在中，由勾股定理得：；
故答案为：
【变式训练4-6】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，点D，F把线段分成三条线段，分别以这三条线段为一条对角线作菱形，菱形，菱形，连结组成四边形．若菱形的边长为，，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，解题关键是运用菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．
连接、、，分别交于点、、，设，，求出，，，运用勾股定理求得，，即可得解．
【详解】解：连接、、，分别交于点、、，如图所示，
，，
，
设，，
即，
四边形、、都是菱形，
，，，
，， ，，
菱形的边长为，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
题型五：利用菱形的性质证明
【经典例题5】（2025·山东济南·二模）如图，在菱形中，于点E，于点F，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式训练5-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，△ABC的边和的边在同一条直线上，，，，连接，．
(1)求证：①；
②四边形是平行四边形．
(2)若四边形为菱形，，，求线段的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析(2)
【分析】（1）①利用平行线的性质得，即可证得；
②由①得，可得、，证得，即可得证四边形是平行四边形．
（2）连接，交于点，根据菱形的性质得、、，利用勾股定理求出，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，计算即可求解．
【详解】（1）证明：①，
，
在和中，
，
；
②由（1）知，
，，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：如图，连接，交于点，
四边形是菱形，
，，，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
．
【变式训练5-2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过M作于点E，．
(1)若，求的长；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线平分对角，根据平行线的性质得出，等量代换可得，根据三线合一即可求得，即可求解；
（2）由题意，借助三角形全等的判定定理即可得证；
（3）由（2）中，得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
在与中，
，
；
（3）证明：由 （2）中得，
，
，
，
，，，
，
，，
，
设，在中，，则，
，
在中，，
，，，
，
．
【变式训练5-3】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在菱形中，过点作于点，作于点．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查菱形的性质以及利用菱形的性质证明，解题的关键是利用菱形性质证明以及利用菱形内角的关系进行角度计算．
（1）利用四边形是平分，有因为，，
得出；
（2）先根据菱形邻角互补求出，再求出，进而得出的度数，最后根据求出结果．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
平分，
，，
．
（2）四边形是菱形，，
．
，，
．
，
．
【变式训练5-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形内作一个等边三角形，．
(1)与是否相等？请说明理由；
(2)设，试用含x的式子表示和的大小；
(3)求的度数．
【答案】(1)相等，理由见解析(2)，(3)
【分析】本题主要考查菱形的性质及等腰三角形的性质，掌握菱形的对边平行、邻边相等及等边对等角是解题的关键，注意方程思想和三角形内角和定理的应用．
（1）由菱形的性质可得，，证明，可得，再结合三角形内角和定理可得；
（2）由（1）的结论可表示出，再根据菱形的对边平行，结合平行线的性质可表示出和；
（3）在中结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得x的值，则可求得．
【详解】（1）解：相等，理由如下：
∵四边形为菱形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）可知，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，；
（3）在中，，
∴，
又由（2）可得，
∴，
解得，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴．
【变式训练5-5】（2025八年级下·广西·专题练习）如图，在菱形中，若，，过点作于点．
(1)菱形的面积为 ．
(2)求的长．
(3)过点作，垂足为，求四边形的面积．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式（两条对角线的乘积的一半），矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题关键．
（1）利用面积公式进行求解即可；
（2）等积法求出的长即可；
（3）根据题意，画出图形，得到四边形为矩形，利用矩形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形ABCD的面积为．
故答案为：24．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴在中，，
∵，
∴菱形的面积，
∴．
（3）解：如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴四边形的面积．
【变式训练5-6】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在菱形中，连接，过B作交于点E，过D作交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，综合应用上述知识点是解题的关键．
（1）由菱形的性质可得，，，由可得，再证，即可证明；
（2）连接交于O，由菱形的性质可得，，结合可证，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：连接交于O，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型六：菱形中的折叠问题
【经典例题6】（24-25八年级·贵州贵阳·期中）如图，将矩形纸片按照如图所示的方式折叠，点A，点C恰好落在对角线上，得到菱形．若，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】设菱形的对角线交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，即折叠后，点落在点处，同理可得，即折叠后，点落在点处，再设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，设菱形的对角线交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠后，点恰好落在对角线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即折叠后，点落在点处，
同理可得：，即折叠后，点落在点处，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
即，
故选：B．
【变式训练6-1】（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，根据菱形的性质得出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得的长，进而求得，根据折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，则是等边三角形，
∵，为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴图形的面积是，(此时点重合)
故选：B．
【变式训练6-2】（24-25八年级·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案．
【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F，
∵四边形是菱形，且，
∴，其中．
在中，，设，
∴，
根据勾股定理，得．
∴，
根据折叠得，
在中，，
即，
解得，
∴．
故选：B．
【变式训练6-3】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键；由题意易得是等腰直角三角形，则有，然后问题可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知：，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
故选A．
【变式训练6-4】（2025·河北·一模）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为 ．
【答案】55度/
【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，
先根据菱形等腰三角形的性质得，再根据折叠的性质求出，最后根据三角形内角和定理得出答案.
【详解】解：四边形是菱形，
，
．
由折叠的性质得，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练6-5】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况①当时， 连接， 作于，由菱形的性质得出，求出，， 证明，得出， 证出、、三点共线， 设， 在中， 由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时， ， 得到 是等边三角形， 即可解题．
【详解】解：分两种情况：
①当时， 连接， 作于，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵为的中点，
∴，
由折叠的性质得： ，， ，
在和中，
，
，
，
，
∴、、三点共线，
设则，
在中， 由勾股定理得：，
解得： ，即；
②当时，，此时点与重合，与点重合，如图所示：
则是等边三角形，(含这种情况)；
综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或，
故答案为：或．
【变式训练6-6】（24-25八年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ．
【答案】或3
【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可．
【详解】解：①若，如解图①，连接，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，由折叠，
∴，
∴．
∵点E是的中点，
∴，
过点E作，垂足为G，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
②若，如解图②，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形，点落在上，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的长为或3．
故答案为：或3
题型七：菱形的性质综合
【经典例题7】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，四边形是菱形，对角线交于点，点是直线上一点．
(1)如图1，若，，点是线段中点，连，直接写出的长（不需要说明理由）；
(2)如图2，若为等边三角形，点为线段上任一点（异于点），点为边上一点，且，求的值；
(3)如图3，若为等边三角形，点在的延长线上，点在的延长线上，，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知菱形的性质和等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）延长到T，使得，连接，根据菱形对角线互相垂直平分得到的长，，再由勾股定理求出的长，证明是的中位线，则有；
（2）由菱形的性质可得，，，再由等边三角形的性质得到，，证明，得到；利用勾股定理推出，据此可得答案；
（3）由（2）可得，则，据此可证明；再证明，得到，导角证明，即可得到是等边三角形．
【详解】（1）解：如图所示，延长到T，使得，连接，
∵四边形是菱形，对角线交于点，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵点是线段中点，，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，对角线交于点，
∴，，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
由（2）可得，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【变式训练7-1】（24-25八年级·贵州贵阳·期中）【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）．
【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：．
【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积．
【答案】拓展：证明见解析；应用：
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
拓展：先根据菱形的性质可得，，，，从而可得，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证；
应用：先证出，根据三角形的面积公式可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的性质求解即可得．
【详解】证明：拓展：∵四边形、均为菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
解：应用：∵四边形为菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∴，即，
∵的面积为8，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴菱形的面积为．
【变式训练7-2】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边△APE（A，，按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
【答案】(1)
(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据菱形的性质结合，可证明，都是等边三角形，然后利用证明，得到，，延长交于，由，可求出，即，即可证明结论；
（2）结论仍然成立，根据题意作出图形，证明过程与（1）类似．
【详解】（1）解：如图，连接，延长交于H，如图所示，
∵四边形是菱形，，
∴，都是等边三角形，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证是等边三角形，
∴，
∴，即，
又∵，
∴．
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图，连接，如图所示，
∴，为等边三角形，
在和中，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
设与交于点H，
同理可得，
∴，
又∵，
∴．
【变式训练7-3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质．
如图1，菱形的边长为，，则___________，___________．
【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：；
【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】（1））30，12；（2）见解析；（3）不变，，理由见解析．
【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可．
（2）根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可．
（3）根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得．
【详解】解：（1）30，12，理由如下：
连接交于点，如图所示：
菱形的边长为，，
，，，，
，
，
，
故答案为：30，12；
（2）证明：四边形，是菱形，
，，，，
，，
，，
，
，
，
；
（3）解：的大小不变，且，理由如下：
四边形是菱形，，
，
，
，
，
．
故的大小不变，且；
【变式训练7-4】（24-25八年级下·安徽淮南·开学考试）如图1，在平行四边形中，过点作，，垂足分别为点，，，分别交于点，．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，若四边形是菱形，延长，相交于点．
①求证：；
②当时，求证：．
【答案】(1)(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）首先由平行四边形的性质得到，，然后根据平行线的性质求解即可；
（2）①首先由菱形得到，，，然后得到，进而求解即可；
②首先得到，然后得到是等边三角形，得到，推出，得到，连接，得到是等边三角形，进而求解即可．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴是直角三角形斜边的中点，
∴，
由①知，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
如图，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴．
【变式训练7-5】（23-24八年级下·安徽宣城·自主招生）请按以下要求完成尺规作图．
(1)如图1，菱形中，点在对角线上，请作出一对以所在直线为对称轴的全等三角形，使交于点，交于点，．你有几种解法？请在下图中完成；（保留必要作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，点是菱形内部一点，请作出一条过点的直线，交射线，射线于点，且，聪明的你肯定有多种不同作法？请在下图中完成两种作法，并选择其中一种证明：．（保留必要作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)作图见详解(2)作图见详解
【分析】（1）根据菱形的性质，全等三角形的判定方法作图即可；
（2）根据菱形的性质，全等三角形的判定方法作图即可．
【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以大于，小于的长为半径画弧交于点，交于点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，且，
∴，
∴点即为所求点的位置；
如图所示，连接并延长，分别交于点，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴点即为所求点的位置；
（2）解：方法一，如图所示，
连接交于点；
连接并延长交于点；
以点为圆心，以为半径画弧，交于点；
连接，以点为圆心，以为半径画弧，交于点；
连接，并向两边延伸，交于点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点即为所求点的位置；
方法二，如图所示，
连接，以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接；
以点为圆心，以为半径画弧交于点；
连接并向两边延时交于点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，且，
∴，即，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴点即为所求点的位置．
【变式训练7-6】（24-25八年级·福建南平·期中）在边长为6的菱形中，，点E，F分别在边和上，且．
(1)如图1，求证：是等边三角形；
(2)如图2，交于点P，交于点G，
①当的周长最小时，求证；
②已知交的延长线于点H，求证．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）连接，证明，则，即可证明结论；
（2）①连接，当时，的周长最小，由（1）得，得到，在中，，由即可得到结论；②连接，证明，则 ，证明，则，结论得证．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵四边形是菱形，
在和中，
是等边三角形．
（2）①如图2，连接，
当时，的周长最小
由（1）得
在中，

②如图2，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

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