资源简介

函数的零点与方程的解
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】函数零点所在区间的判定
【题型二】函数零点个数的判定
【题型三】 根据函数的零点个数求参
【题型四】二分法
【题型五】等高线
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：数形结合以及作图的规范
：1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用
3.高考以选择填空最后一题为主，难度较大
：深刻理解如下几个概念
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【题型一】函数零点所在区间的判定
【例1】函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，，则，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.
故选：B.
【例2】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】当时，由可得，
令，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【例3】（多选）下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用二分法的使用条件，结合图象即可得解.
【详解】能用二分法求零点的函数必须在给定区间上连续不断，
并且有，A、B中不存在，D中函数不连续．
故选：ABD．
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【变式1】已知定义在R上的函数满足，，且，设函数，则（ ）
A．只有1个零点，且该零点在内
B．有2个零点，且2个零点分别在和内
C．只有1个零点，且该零点在内
D．有2个零点，且2个零点分别在和内
【答案】C
【分析】根据已知求得，进而由解析式判断的单调性，应用零点存在性定理判断零点所在区间，即可得答案.
【详解】令，得，又，
所以，解得，所以，
令，得，所以，即．
函数在R上单调递增，且.
故选：C
【变式2】已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可.
【详解】在同一坐标系内，作，图象，如图，

由图象可排除AB选项，
又,
，
，
所以由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点，
所以C错误，D正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间.
【题型二】函数零点个数的判定
【例1】若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】C
【分析】根据函数的周期性画出的图象，结合指数函数，对数函数图象画出图象数形结合得出交点个数即可得出零点个数.
【详解】∵，
∴是周期为2函数，
∵时，则，的图象如下：
时且递增，时且递减，
时且递增，
又，，，

由图知：区间上函数交点共有12个．
故选：C．
【例2】若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】求导数，由题意知，是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图象可得答案.
【详解】，，是方程的两根，
由，得或，
即的根为或的解．
∵根据题意画图：
，
由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3.
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想，属于中档题.
【例3】已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由已知，讨论的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可．
【详解】是定义在上的函数，且有，
当时，，
则时，，则
时，
时，
时，
画出函数与函数的图象，
由图象可知方程的根的个数为3.
故选：C.
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
【变式1】（多选）函数的零点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解.
【详解】由，，得，
求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数.
函数的导函数，当时；当时.
所以函数在上单调递增，在单调递减.
时有最大值，时，
时，，.
过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示.
所以函数的零点个数为1个或2个.
故选：BC.
【变式2】已知函数，，若， 则的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据已知有并画出函数大致图象，数形结合确定的零点个数即可.
【详解】由题设，函数大致图象如下，
其中当趋近于时，；当趋近于时，，
判断的图象与直线的交点个数：
由图知，时它们有3个不同的交点，
所以函数的零点个数为3.
故选：B
【变式3】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用的定义，进行分段讨论，找出与图象交点个数即可.
【详解】由题，，故时，，与没有交点，
当时，，与没有交点，
当时，，与有一个交点，
当时，，与有1个交点，
当时，，与没有交点，
故共有2个交点，
故选：C.
【题型三】 根据函数的零点个数求参
【例1】已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.
【详解】由题设有，
令，则有，即，
因为在区间内没有零点，
故存在整数，使得，
即，因为，所以且，故或，
所以或.
故答案为：.
【例2】（多选）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．方程有2个不相等实数根
B．函数在上单调递增
C．函数无最值
D．实数的取值范围为
【答案】AC
【分析】画出函数图象，根据图象可以判断ABC是否正确，对于D选项，将方程是为一元二次方程，利用韦达定理，结合分段函数的图象性质，得到根的分布，进而求出参数的取值范围．
【详解】由函数解析式，可得函数图象如图：
由图知方程有2个的不相等实数根，函数没有最值，故A、C正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
由于方程有4个不同的实数根，令，
则有2个不同的实数根，所以恒成立，
设两个不等的实根为，由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
即函数有两零点
，解得，故D错误.
故选：AC.
（活动性栏目） (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.
【变式1】（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有两个零点
B．当时，是的极大值点
C．当时，点为曲线的对称中心
D．当时，在区间上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性.
【详解】已知，所以,
当时，，方程有两个根，所以正确，
当时，的解集为，的解集为，
所以在上单调减，在上单调增，所以在处取极小值，所以错误,
当时，，
所以关于中心对称，所以正确，
当时，的解集为，而,所以在上单调递增，所以正确.
故选：
【题型四】二分法
【例1】已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解.
【详解】由二分法可知，第一次计算，又，，
由零点存在性定理知零点在区间上，
所以第二次应该计算，又，
所以零点在区间上．
故选：A．
【例2】已知函数的部分函数值如表所示:
那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析零点所在区间，再根据二分法可得结果.
【详解】根据题干所给数据可知，，，且函数在上为增函数，
由零点存在定理可知，函数的唯一零点在区间内，
区间长度为，结合选项可知，其近似值为.
故选：B.
【变式1】用二分法求方程在内的近似解时，记，若，据此判断，方程的根应落在区间 内.
【答案】
【分析】由题意可得，根据函数的零点存在定理以及单调性求得函数的零点所在的区间.
【详解】根据题意可得在R上单调递增，且，
所以函数的零点所在的区间为.
故答案为：.
【题型五】等高线
【例1】已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（ ）
A． B．最小值为9
C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根
【答案】ABD
【分析】画出函数的图象后可判断A的正误，由图象的局部对称性可判断B的正误，利用换元法可判断CD的正误.
【详解】图像如下，
可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确：
由对称性可知，而，所以，
则，所以，
当且仅当时等号成立，B成立：
对于，令，
则有两个不同根，，
各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误；
对于D，令在时有三个根：，
而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根，
共8个，所以D正确．
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，一般刻画出内外两个方程对应函数的图象，再根据外方程的解判断内方程的解，从而得到原方程的解的个数.
【例2】已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值2 B．m的取值范围是
C． D．方程有4个不同的解
【答案】ACD
【分析】由题意作出函数的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结合图象即可判断C；令，数形结合即可判断D．
【详解】解：由题意作出函数的图像，如图所示：
可得，，，，
所以有最小值2，故A正确；
有四个不等的实数解，，，，可得，故B错误；
因为为偶函数，所以图象关于轴对称，
又的对称轴为直线，
所以由对称性可知，，可得，故C正确；
令，则方程可化为方程，
结合图像得有4个解，且，，，，
因为有最小值2，所以只有当时，有4个不同的x与之对应，
故方程有4个不同的解，故D正确，
故选：ACD．
【变式1】（多选）已知函数，令，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间为 B．当有3个零点时，
C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点
【答案】BD
【分析】函数，结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数的图象，根据图象找出单调增区间即可判断选项A；根据图象观察函数和图象有3个交点时的取值范围即可判断选项B；解方程即可判断选项C；当时，观察函数和的图象的交点个数即可判断选项D.
【详解】作出函数的图象如图所示，，，
对于A选项，由图象可知，函数的增区间为和，故A选项错误；
的零点是函数和图象交点的横坐标，
对于B选项，由图象可知，当有3个零点时，，故B选项正确；
对于C选项，由和得或，即当时，有两个零点，和1，所有零点之和为，故C选项错误；
对于D选项，当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，故D选项正确．
故选：BD.
【变式2】已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，作出函数的图象，将方程实根问题转化为直线与函数图象交点问题求解.
【详解】方程有三个不同的实数根，即函数的图象与直线有三个不同交点，
作函数的图象如图所示，，
观察图象，得当时，函数的图象与直线有三个交点，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
易错点：数形结合以及作图的规范
例1已知是函数的零点，则 .
【解析】由题可知，，
所以，
令,则单调递增，且,
所以，所以，
所以.故答案为：
例2、函数的零点个数为___.
【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图像有2个交点.
变式1、已知函数 f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
【解析】 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像
相切时，联立 整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a＝1或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，有1变式2、设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【解析】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)函数的零点与方程的解
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】函数零点所在区间的判定
【题型二】函数零点个数的判定
【题型三】 根据函数的零点个数求参
【题型四】二分法
【题型五】等高线
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：数形结合以及作图的规范
：1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用
3.高考以选择填空最后一题为主，难度较大
：深刻理解如下几个概念
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【题型一】函数零点所在区间的判定
【例1】函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【例2】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（多选）下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【变式1】已知定义在R上的函数满足，，且，设函数，则（ ）
A．只有1个零点，且该零点在内
B．有2个零点，且2个零点分别在和内
C．只有1个零点，且该零点在内
D．有2个零点，且2个零点分别在和内
【变式2】已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（ ）
A． B． C． D．
【题型二】函数零点个数的判定
【例1】若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【例2】若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例3】已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
【变式1】（多选）函数的零点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】已知函数，，若， 则的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型三】 根据函数的零点个数求参
【例1】已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是 ．
【例2】（多选）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．方程有2个不相等实数根
B．函数在上单调递增
C．函数无最值
D．实数的取值范围为
（活动性栏目） (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.
【变式1】（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有两个零点
B．当时，是的极大值点
C．当时，点为曲线的对称中心
D．当时，在区间上单调递增
【题型四】二分法
【例1】已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知函数的部分函数值如表所示:
那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】用二分法求方程在内的近似解时，记，若，据此判断，方程的根应落在区间 内.
【题型五】等高线
【例1】已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（ ）
A． B．最小值为9
C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根
【例2】已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值2 B．m的取值范围是
C． D．方程有4个不同的解
【变式1】（多选）已知函数，令，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间为 B．当有3个零点时，
C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点
【变式2】已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易错点：数形结合以及作图的规范
例1已知是函数的零点，则 .
例2、函数的零点个数为___.
变式1、已知函数 f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
变式2、设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑