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三角函数
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】三角函数的定义及其应用
【题型二】同角关系的应用
【题型三】 sinα±cosα与sinα·cosα的关系
【题型四】诱导公式及其应用
【题型五】三角函数式的化简、求值
【题型六】三角函数解析式与参数
【题型七】 的取值范围
【题型八】三角函数图象和性质的综合问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点1：忽视了化正才能求三角函数的单调区间
易错点2：图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个平移
：三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用．
这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用．
：三角函数作为基础题题型之一，在新结构试卷中，原本第一道解答题的位置可能被替代，所以小题的三角函数问题就会突出，常考的齐次化切、范围相关的问题都会是今年的重点题型，需要清晰的分清对于三角函数图象的影响以及题干的条件从而用对应的方法解决。
【题型一】三角函数的定义及其应用
【例1】已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用三角函数的定义求得，再由求解.
【详解】因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，
所以，
所以，
故选：C
【例2】已知点是角终边上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义即可求解.
【详解】根据三角函数的定义，可得.
故选：A.
【变式1】已知角的终边上一点P的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式即可得解.
【详解】由题意，得，
则.
故选：C.
【变式2】“”是“角为第二象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的符号法则判断.
【详解】当角为第二象限角时，，则；
反之，当时，或，
则为第二象限角或为第四象限角，
所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件.
故选：B
【变式3】已知，角的终边经过点 则 .
【答案】
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算可得.
【详解】因为角的终边经过点，又，
所以，又，
所以.
故答案为：
【题型二】同角关系的应用
【例1】已知为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意设，结合平方关系求出即可得解.
【详解】因为为第二象限角，，所以设，
所以，解得，所以.
故选：B.
【例2】在中，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用同角公式、诱导公式及和角的正切公式计算得解.
【详解】在中，由，得，则，
所以.
故选：C
【变式1】已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据两向量平行的坐标关系求出的值，再将所求式子转化为关于的表达式，最后代入的值进行计算.
【详解】已知，，且.
可得：，即..
，将其变形为.
分子分母同时除以（因为，若，则，此时，，两向量不平行），
得到.
将代入可得：
，则.
故选：D.
【变式2】已知，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
【题型三】 sinα±cosα与sinα·cosα的关系
【例1】已知 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在等式两边平方，求出的值，再利用切化弦可求得的值.
【详解】在等式两边平方可得，可得，
所以.
故选：B.
【例2】已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由是第四象限角，得到，再由求解.
【详解】因为是第四象限角，且，
所以，
所以，
故选：A
【变式1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用和差公式和二倍角公式化简即可得解.
【详解】因为，
整理得，两边平方得，得.
故选：B
【变式2】（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系结合完全平方公式代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为①，
所以，则，
因为，所以，，所以，故A正确；
所以，
所以②，故D正确；
由①②联立可得，，，故B错误；
所以，故C错误．
故选：AD
【题型四】诱导公式及其应用
【例1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解.
【详解】由，得
.
故选：D
【例2】（1）化简：；
（2）已知，求.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用诱导公式及商数关系化简即可求解；
（2）找到角与角的关系，利用诱导公式即可求解.
【详解】（1）.
（2）.
【变式1】已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解即可；
（2）先利用诱导公式化简，再将（1）中的结论代入即可.
【详解】（1）由题意知，，
，
，
（2）由（1）知，,.
∴.
【变式2】已知
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角的三角函数关系得到，再由二倍角的正切公式求出；
（2）由诱导公式化简再由同角的三角函数可得.
【详解】（1），解得，
所以.
（2），
【题型五】三角函数式的化简、求值
【例1】设是方程的两根，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解.
【详解】因为是方程的两根，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
则，
所以.
故选：B.
【例2】（多选）下列式子化简后等于的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A：根据两家和差公式分析判断；对于BD：根据倍角公式分析判断；对于C：切化弦结合倍角公式分析判断.
【详解】对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：因为，故C正确；
对于选项D：因为，故D错误；
故选：ABC.
【变式1】的值是
【答案】/
【分析】应用两角差的余弦公式计算求解.
【详解】.
故答案为：.
【变式2】 ．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
【变式3】已知，，则 ．
【答案】
【分析】根据三角恒等变换的知识来求得正确答案.
【详解】依题意，，
若，则，
而，
与矛盾，所以，，
所以，
则，
即
故答案为：
【题型六】三角函数解析式与参数
【例1】已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】AB选项中，CD选项中，排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
【例2】（多选）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
【答案】ABD
【分析】根据图象求出的解析式，利用代入检验法可判断，根据三角函数的单调性可判断；利用三角函数的图象平移结合诱导公式可判断.
【详解】由图知，，
所以，解得，
过点，所以，
又因为，所以.
所以，
对于：，
所以函数的图象关于点中心对称，故正确；
对于：，
所以函数的图象关于直线对称，故正确；
对于：，
解得，
令，得，令，得，
所以在和上单调递减，故错误；
对于：的图象向右平移个单位长度，
可得，故正确.
故选：.
【变式1】已知函数，若存在满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由解析式易得，，应用辅助角公式有，进而易知在有对称轴满足，结合已知可得，再应用诱导公式将目标式化为，最后利用即可求值.
【详解】函数，
其中，，，
，是在内的两根，
又，，
则在有对称轴满足，
故有，则，
那么，
由，知.
故选：A
【点睛】关键点点睛：化简函数式为，并确定在有对称轴满足为关键.
【变式2】已知函数的部分图象如图所示，
(1)求及的解析式；
(2)写出其图象对称中心坐标；
(3)若时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象可求得，进而得的值，再结合可求得，有由可求得，从而可求解；
（2）利用整体代换法可求出对称中心坐标；
（3）由的范围可求出的范围，然后求出的最大值，结合即可得解.
【详解】（1）由题意可得，则，
因为，且，所以，
由图可知，则，
解得，
又因为，所以，
由图可知，解得，
所以.
（2）令，解得，
所以图象对称中心坐标.
（3）因为，所以，
所以当，即时，取得最大值4，
因为时，恒成立，所以，解得，
则的取值范围是.
【题型七】 的取值范围
【例1】已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可.
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上至少有3个零点，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：C.
【例2】已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用相位整体思想来解决三角函数单调性问题和三角函数值非负问题，可得到相位的范围，结合不等式来求解，再利用分类讨论可求出交集即可.
【详解】由已知可知，
由，解得，
因为在上单调递增，所以，
即，解得①，
此时，解得；
又因为在上，恒成立，所以，
解得，由于，
所以，解得②，
此时，解得，又因为，所以
当时，由①②可知，解得；
当时，由①②可知解得，
所以的取值范围为.
故选:B.
【变式1】已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为 ．若在上单调，且若，则 ．
【答案】 2
【分析】先把化简成的形式，结合正弦函数的图象和性质，可求解.
【详解】因为.
因为，所以.
由，所以.
若在上单调，且若，
则，
所以.
故答案为：；2
【变式2】已知函数的定义域为，若有且仅有两个解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用辅助角化简得出，由已知条件分析可知方程在时有两个解，当时，求出的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，
由可得，可得，
即，则，
即方程在时有两个解，
因为，当时，，
由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式3】若函数的图象经过点，且在区间上单调，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据正弦函数过的点坐标可求出，再由单调性得出不等式即可解出.
【详解】由题可知，且，解得，
又的图象在上单调，且，可得，解得，
故的取值范围为.
故答案为：
【题型八】三角函数图象和性质的综合问题
【例1】已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.
(1)求的解析式.
(2)若在上有两个不等的解，，求实数的取值范围及的值.
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根据平移变换得到图像，再结合函数的性质可得的解析式；
（2）令，问题等价于在上有两解，数形结合得到结果.
【详解】（1）由的相邻两条对称轴的距离是，则，，
，
函数的图像关于原点对称，，所以
（2）令，则所以
若有两解，即在上有两解，
由的图象可得，，即
，
的取值范围是.
在上有两个不等的解，，
则，所以.
【例2】已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若方程在有两个根，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可.
（2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求解即得.
（3）探讨函数在上的性质，借助直线与函数的图象交点问题求解.
【详解】（1）函数，
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由，解得，
所以函数的单调递减区间是.
（3）当时，，由，得，
则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到，
当时，直线与函数的图象有两个交点，
即方程在有两个根，
所以的取值范围.
【变式1】已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，求的最大值和最小值，并求出对应的x的取值；
(3)当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)，的最小值，，的最大值2，
(3)
【分析】（1）根据积化和差以及二倍角，辅助角公式化简，即可利用整体法求解，
（2）利用整体法即可求解，
（3）代入化简可得有解，利用函数的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）令,
解得，
故单调递增区间为
（2）当时，，
当时，此时，取最小值，
当时，此时，取最大值，
（3）由可得，
故，
由于，所以，故，
令，则在单调递减，
所以当时，，
故，故，
【变式2】已知函数.
(1)求的最小正周期及的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，直线与函数的图象分别交于，两点，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）整理可得，进而可得的最小正周期及的值；
（2）根据三角函数图象变换求函数的解析式；
（3）根据题意结合三角恒等变换整理可得，结合正弦函数有界性分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，
所以的最小正周期为；.
（2）将函数图象的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到，
再向左平移个单位长度得到函数.
（3）由题意可知：两点的坐标为，
可得
，
因为，则，可得，
所以在时的最大值为.
易错点1：忽视了化正才能求三角函数的单调区间
易错点2：图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个平移
例1、已知函数（）的最小正周期.求函数单调递增区间.
【错解】
因为函数（）的最小正周期.
所以，由于，所以.
所以，令解得。
【正解】（1）；
【详解】
解：因为函数（）的最小正周期.，
所以，由于，所以.
所以，
所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，
令，解得，
所以函数单调递增区间为.
例2、为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【第一种错解】A 【第二种错解】B
【第一种错解】
【第二种错解】B
点评：首先本题要弄清楚一个问题，题目中的原函数是哪一个？目标函数是哪一个？考生只看到两个函数，就想当然为是原函数，目标平移成导致错误。注意到本题结构“为了得到”这是一个目标，所以本题正确结构是从平移成。其次三角函数平移“左加又减”一定要特别注意是单独一个“”向左移或者向右移。不能将整个拿去平移。
【正解】D
【详解】
解：，
故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
故选：D．
变式1、已知函数．求：函数的单调递减区间，对称轴，对称中心；
【答案】（1）单调递减区间为；对称轴为，；对称中心为，
【详解】化简可得，
由，，可得，，
∴函数的单调递减区间为，
令，可得，故函数的对称轴为，；
令，得，故函数的对称中心为，．
变式2、要得到函数y=cos2x的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】C
【详解】
由于
要得到函数y=cosx的图像，只要将函数的图像，向右平移个单位即可，
故选：C
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【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】三角函数的定义及其应用
【题型二】同角关系的应用
【题型三】 sinα±cosα与sinα·cosα的关系
【题型四】诱导公式及其应用
【题型五】三角函数式的化简、求值
【题型六】三角函数解析式与参数
【题型七】 的取值范围
【题型八】三角函数图象和性质的综合问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点1：忽视了化正才能求三角函数的单调区间
易错点2：图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个平移
：三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用．
这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用．
：三角函数作为基础题题型之一，在新结构试卷中，原本第一道解答题的位置可能被替代，所以小题的三角函数问题就会突出，常考的齐次化切、范围相关的问题都会是今年的重点题型，需要清晰的分清对于三角函数图象的影响以及题干的条件从而用对应的方法解决。
【题型一】三角函数的定义及其应用
【例1】已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知点是角终边上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知角的终边上一点P的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．3
【变式2】“”是“角为第二象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】已知，角的终边经过点 则 .
【题型二】同角关系的应用
【例1】已知为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】在中，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【变式1】已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知，则（ ）
A． B． C． D．2
【题型三】 sinα±cosα与sinα·cosα的关系
【例1】已知 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】诱导公式及其应用
【例1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】（1）化简：；
（2）已知，求.
【变式1】已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【变式2】已知
(1)求的值；
(2)求的值．
【题型五】三角函数式的化简、求值
【例1】设是方程的两根，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
【例2】（多选）下列式子化简后等于的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】的值是
【变式2】 ．
【变式3】已知，，则 ．
【题型六】三角函数解析式与参数
【例1】已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（多选）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
【变式1】已知函数，若存在满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数的部分图象如图所示，
(1)求及的解析式；
(2)写出其图象对称中心坐标；
(3)若时，恒成立，求的取值范围.
【题型七】 的取值范围
【例1】已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为 ．若在上单调，且若，则 ．
【变式2】已知函数的定义域为，若有且仅有两个解，则的取值范围为 ．
【变式3】若函数的图象经过点，且在区间上单调，则的取值范围为 .
【题型八】三角函数图象和性质的综合问题
【例1】已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.
(1)求的解析式.
(2)若在上有两个不等的解，，求实数的取值范围及的值.
【例2】已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若方程在有两个根，求的取值范围.
【变式1】已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，求的最大值和最小值，并求出对应的x的取值；
(3)当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.
【变式2】已知函数.
(1)求的最小正周期及的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，直线与函数的图象分别交于，两点，求的最大值.
易错点1：忽视了化正才能求三角函数的单调区间
易错点2：图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个平移
例1、已知函数（）的最小正周期.求函数单调递增区间.
例2、为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
变式1、已知函数．求：函数的单调递减区间，对称轴，对称中心；
变式2、要得到函数y=cos2x的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
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