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立体几何小题
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】表面积与体积的计算
【题型二】最短路径问题
【题型三】立体几何新定义
【题型四】截面问题
【题型五】交线与轨迹问题
【题型六】“球”的切接问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：动点导致的体积，角度变化
：立体几何小题几乎年年考。
通常考点有，多面体，旋转体表面积、体积的考察；与内切球，外切球的方式考察；截面问题，轨迹问题，动点问题形式考察
：
1.锻炼自己的空间想象能力
2.熟悉各种解题模型
3.会对多面体的各个截面讨论
【题型一】表面积与体积的计算
【例1】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系，再结合和即可计算.
【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图，
该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则，
即，
设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则，
由，解得，
则此圆锥的表面积为.
故选：B
【例2】如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据小球的体积和原来水中的体积之和为整个圆台的体积，结合圆台体积的计算公式，列出方程，即可求得结果.
【详解】圆台水杯上底面圆半径为，下底面半径为，
当杯底水平放置时，液面半径为，
为方便理解，画出圆台的轴截面图如下所示：
因为此时杯中水的高度为，故为；
整个水杯盛满水时的体积为：，
未放置小球前水的体积为：，
又小球体积为；
故，即，解得.
故选：D.
【例3】如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得，求得，进而由可求得圆锥的高.
【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为，
设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为，
所以圆锥的高.
故选：D
【变式1】若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件确定圆锥的底面半径和高，在利用圆锥的体积公式求结论.
【详解】因为圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，
所以圆锥的底面半径，高，
所以圆锥的体积.
故选：A.
【变式2】（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（ ）
A．高为4 B．母线与底面所成角为
C．侧面积为 D．体积为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形、侧面积及体积公式逐项求解判断.
【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上、下底边长分别，腰长，
对于A，圆台的高等于圆台轴截面等腰梯形的高，A正确；
对于B，母线与底面所成角等于圆台轴截面等腰梯形的底角，，B错误；
对于C，圆台的侧面积，C正确；
对于D，圆台的体积，D正确.
故选：ACD
【题型二】最短路径问题
【例1】如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可．
【详解】
把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，
则蚂蚁爬行的最短路径为，
如图，由题意可知，，
在，，
所以它爬行的最短路程为，
故选：C
【例2】圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的线段，过作的垂线，垂足为，求出的长即可.
【详解】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，

则该扇形半径，弧长为，圆心角，
最短路线即为扇形中的线段，,
过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小，
于是为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大，
于是为下坡路段，下坡路段长.
故选：B
【变式1】如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ．
【答案】2
【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离.
【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示．
当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长．
因为，，所以，
则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2．
故答案为：2.
【变式2】已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可.
【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径，
又，所以上底面半径为，
将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图，
显然弧的长为，弧的长为，设，则，，
则，又，即，所以，则，，
在中由余弦定理
，
所以蚂蚁爬行的最短路程为.
故选：A
【题型三】立体几何新定义
【例1】从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一笔画的要求，先找到都是偶点的图形，一定可以一笔画，再验证奇点的图形是否符合一笔画的条件.
【详解】从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，凡是偶点组成的图形一定可以一笔画，所以C 选项正确;
从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，凡是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画，
而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画.
故选：C
【例2】如果拉伸两个端头，下列绳子会打结的是？ .
【答案】
【分析】通过想象每根绳子在拉伸两个端头时的变化过程，来确定哪些绳子会形成结，直接判断即可.
【详解】绳子1的判断：当拉伸绳子1的两个端头时，由于绳子自身的缠绕方式，在拉伸过程中会形成一个结，可以想象将两个端头慢慢拉开，绳子中间的缠绕部分会收紧形成结；
绳子2的判断：同样，对于绳子2，其缠绕方式使得在拉伸两个端头时，中间部分会因为绳子的交叉缠绕而形成一个结；
绳子3的判断：绳子3在拉伸两个端头时，绳子可以顺利地被拉直，不会出现打结的情况，因为其缠绕方式并没有形成闭环式的交叉；
绳子4的判断：绳子4拉伸时也能顺利拉直，不会形成结，其交叉部分在拉伸过程中会自然解开；
根据对每根绳子拉伸过程的想象和判断，会打结的绳子是，
故答案为：.
创新题主要是在原概念、原公式、原定理、原法则、原运算等的基础上，给出新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，然后此基础上去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
【变式1】给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D.
【详解】对于A，同时与垂直，
，
且构成右手系，即成立，A正确；
对于B，，则，B错误；
对于C，，
与共线，且方向相同，
与共线，且方向相同，
与共线，且方向相同，
则与共线，且方向相同，
因此，C正确；
对于D,，，
因此，D正确．
故选：B
【变式2】在一张纸上写着一个词，把纸对半折下，使能够看到词的下半部分.从纸的另一面你能看到什么 描述一下.
【答案】答案见解析
【分析】想象各张纸的上半部分折过去然后旋转过来，即从另一面看过来的图象即可．
【详解】由题意各纸张从另一面看的图形为：
1为
2为
3为
4为
【变式3】在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根据向量组线性相关，无关的定义列出等式，解方程组即可判断.
【详解】因为为一组不共面的空间向量，则不能用，线性表示，
即只有当时，.
对于A：设，
整理得：，
所以有，取，
所以，，线性相关，故A错误；
对于B：设，
整理得：，
所以有，取，
所以，，线性相关，故B错误；
对于C：设，
整理得：，
所以有，取，
所以，，线性相关，故C错误；
对于D：设，
整理得：，
所以有，解得，
所以，，线性无关，故D正确.
故选：D
【题型四】截面问题
【例1】如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（ ）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
【答案】D
【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.
【详解】分别取的中点，连接，
如图即为过点、B、E截正方体所得的截面图形，
由题意可知：且，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以,
所以，同理，所以四边形为平行四边形，
又因为，所以平行四边形为菱形，
故选：.
【例2】已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，在上取一点，使得，连接，则四边形为平行四边形，即平行四边形为所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函数关系和三角形的面积公式求出，即可求解.
【详解】
如图，在上取一点，使得，连接，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以与相交于且为的中点，
又在上，所以与相交于，且O平分，，
所以四点四点共面且四边形为平行四边形，
所以过三点的截面是平行四边形，
，
，
，
故截面面积为.
故选：A.
【变式1】如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案．
【详解】延长交于点，则，
即为的中点，
连接，取中点，连接，则，

所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形，
，，
，
记边上的高为，

则解得
所以．
故选：D．
【变式2】如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，得到五边形即为截面，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面周长.
【详解】延长，与直线相交于，
连接与分别交于点，连接，
则五边形即为截面，
正方体的棱长为2，点分别是的中点，
所以，
由得，
，，
所以分别为靠近的三等分点，故，
所以由勾股定理得，
，
，
所以的周长为.
故选：C.
【变式3】如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S的面积为；
④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面.
【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确；
②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确；
③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为
所以，③正确.
④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确；
故选：D
【题型五】交线与轨迹问题
【例1】如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】由题意知，，在上取点，使得，
则且，所以四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
所以平面.
在上取点，使得，
有，所以，则，
又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，则点M的轨迹为线段.
在中，，由余弦定理，
得，
即点M的轨迹长度为.
故选：B
【例2】在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，是平面内一点，且，若，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，作交的延长线于点，利用线面垂直的判定得到平面，进而得出，再结合余弦定理和同角三角函数的基本关系可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，最后结合圆的周长计算公式即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接，易得，
又，平面，所以平面，
又，所以，，，
在中，，由余弦定理得，
作交的延长线于点，则，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以，所以，
在中，，则，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
则点的轨迹长度为，
故选：C，
【变式1】在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为 ．
【答案】/
【分析】根据题设描述确定Q的轨迹，即可求其长度.
【详解】由题意，在面的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆弧，

所以轨迹长度为.
故答案为：
【变式2】已知正方体棱长为，点在正方体内部运动（包括表面），且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积为 ．
【答案】/
【分析】利用截面平面，判断出动点的轨迹在三角形及其内部，即求的面积即可得到结果.
【详解】因为平面平面，
所以点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，
所以点的轨迹是三角形及其内部，
所以的面积为.
故答案为：．

【题型六】“球”的切接问题
【例1】已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为球与正三棱柱各面均相切，所以正三棱柱高是球直径，底面正三角形内切圆半径是球半径，由此确定正三棱柱底面边长. 求球心到平面距离时，找到相关点连线，利用正三棱柱上下底面中心与高的关系得到，再在直角三角形中求，进而得出球心到平面距离. 根据勾股定理求截面圆半径，再用圆面积公式得截面圆面积. 用球表面积公式求球表面积，最后算两者面积比值.
【详解】如图，设球的半径为球与正三棱柱的各个面均相切
正三棱柱的高为，底面边长为.
设正三棱柱上，下底面的中心分别是是的中点，连接交于，
则到平面的距离
.又.
所得截面圆半径，
故选：A.
【例2】已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把平面平面，转化为，再利用等边三角形的性质，确定和的外接圆的圆心的位置，从而得到四边形为正方形，进一步得到，再求出的外接圆半径，在包含球半径的中求解即可.
【详解】如图所示，取的中点，连接，
由题意可知和均为全等的等边三角形，
所以，且，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以.
设为球心，为的外心，为的外心，
则平面，平面，且，
所以四边形为正方形，即.
又因为的外接圆半径，
所以在中，，即，
所以球的表面积为.
故选：B.
【变式1】已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．384 B．1152 C． D．
【答案】B
【分析】利用直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，再利用过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心，就可以构成勾股定理求距离，从而可求得最大体积.
【详解】因为，，所以为的外接圆的直径，即半径，

由过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心可知，
球心到平面的距离，
又直角面积，
当且仅当时取等号，
而点到平面的距离的最大值为，
所以三棱锥体积的最大值为．
故选:B．
易错点：动点问题导致的体积，角度，距离的变化
解题技巧：1.对各个题型进行总结。
2.在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。
例1.（多选）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为
C．若是棱的中点，则点到平面的距离为
D．若与平面所成的角为，则
【答案】ACD
【分析】对于A选项，，由题 面，所以不论在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化；对于B选项，作出过的平面截正方体所得截面，再求出相关线段的长即可；对于C选项，运用等体积法计算即可；对于D选项，以为坐标原点，建立坐标系，用向量法求出设面的法向量，代入线面角公式即可求范围.
【详解】对于A选项，，因为，可得面，
所以不论在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化，
即为定值，故A选项正确；
对于B选项，四边形为过的平面截正方体所得截面，
因为平面平面，且面平面，
面面，
有，又因为为中点，所以为四等分点，
则，故B选项错误；
对于C，当是棱的中点时，，，.
由余弦定理，则.
所以.
，又.
设点到平面的距离为，根据，即，解得，所以选项C正确.
对于D选项，以为坐标原点，建立坐标系如图，
则，，，设，，所以，，，设面的法向量为，则，令，解得，所以，当时，，当时，，当且仅当时等号成立，因此，故D选项正确；
故选：ACD.
变式1．（多选）在长方体中，已知，点P是线段上的动点．则下列说法正确对的是（ ）
A．若，则
B．若，则点P到平面的距离是
C．若，则直线AP与直线所成角的范围是
D．若，分别经过且平分三棱锥体积的截面面积依次为，则
【答案】ABD
【分析】由，即为正方体，根据正方体的结构特征及线面垂直的判定及性质判断A；通过证明面，得到点P到平面的距离，即为到面的距离，再求出到面的距离为，结合判断B；注意直线AP与直线所成角，即为直线AP与直线所成角，利用与重合时判断C；根据长方体的性质有，，，结合即可判断D.
【详解】若，即为正方体，
由，又面，面，则，
又都在面内，故面，面，
所以，同理可证，又都在面内，
所以面，而面，则，A对；
由正方体的结构特征易知，为平行四边形，则，
面，面，则面，而，
所以点P到平面的距离，即为到面的距离，
若到面的距离为，则，可得，
所以，B对；

由，则直线AP与直线所成角，即为直线AP与直线所成角，
当与重合时，由面，面，即，
此时，即直线AP与直线所成角为，不在内，C错；
由经过且平分三棱锥体积的截面分别为、、，
所以，，，
又，显然，D对；

故选：ABD
变式2．（多选）若正方体的棱长为1，为棱的中点，点满足，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．若平面，则动点的轨迹长度为
C．至少存在一个点，使平面
D．若直线与平面所成角的正切值为2，则点轨迹的长度为
【答案】ABD
【分析】对于A，由正方体几何性质可得面面平行，利用三棱锥的体积公式，可得答案；
对于B，在正方体中延拓平面，由正方体几何性质可得面面平行，根据题意可得答案；
对于C，利用空间向量的基本定理，表示出相关直线的方向向量，根据数量积运算，可得答案；
对于D，由正方体几何性质可得线面垂直，可得线面角，根据锐角三角函数的定义，结合圆的定义，可得答案.
【详解】对于A，由题意可作图如下：
由点满足，其中，则点平面，
由平面平面，则点到平面的距离，
所以三棱锥的体积，故A正确；
对于B，分别取的中点为，连接，如下图：
在正方体中，分别为的中点，
易知，，，
因为，所以共面，即平面，
因为，平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又因为，且平面，
所以平面平面，由图可知平面平面，
由A可知平面，当时，平面，则平面，
所以为动点的轨迹，易知，故B正确；
对于C，由题意可作图如下：
设，以其为一组基底，易知，
则，，，
，
假设平面，则，，
可得，解得，显然不符合题意，故C错误；
对于D，由题意作图如下：
在正方体中，易知平面，
则为直线与平面所成角，
在中，，可得，解得，
所以的轨迹为以为圆心，以为半径的圆弧，可得其长度为.故D正确.
故选：ABD.
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【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】表面积与体积的计算
【题型二】最短路径问题
【题型三】立体几何新定义
【题型四】截面问题
【题型五】交线与轨迹问题
【题型六】“球”的切接问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：动点导致的体积，角度变化
：立体几何小题几乎年年考。
通常考点有，多面体，旋转体表面积、体积的考察；与内切球，外切球的方式考察；截面问题，轨迹问题，动点问题形式考察
：
1.锻炼自己的空间想象能力
2.熟悉各种解题模型
3.会对多面体的各个截面讨论
【题型一】表面积与体积的计算
【例1】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（ ）
A．高为4 B．母线与底面所成角为
C．侧面积为 D．体积为
【题型二】最短路径问题
【例1】如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【例2】圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（ ）
A．0 B． C． D．
【变式1】如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ．
【变式2】已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【题型三】立体几何新定义
【例1】从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】如果拉伸两个端头，下列绳子会打结的是？ .
创新题主要是在原概念、原公式、原定理、原法则、原运算等的基础上，给出新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，然后此基础上去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
【变式1】给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】在一张纸上写着一个词，把纸对半折下，使能够看到词的下半部分.从纸的另一面你能看到什么 描述一下.
【变式3】在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【题型四】截面问题
【例1】如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（ ）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
【例2】已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S的面积为；
④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型五】交线与轨迹问题
【例1】如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
【例2】在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，是平面内一点，且，若，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为 ．
【题型六】“球”的切接问题
【例1】已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．384 B．1152 C． D．
易错点：动点问题导致的体积，角度，距离的变化
解题技巧：1.对各个题型进行总结。
2.在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。
例1.（多选）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为
C．若是棱的中点，则点到平面的距离为
D．若与平面所成的角为，则
变式1．（多选）在长方体中，已知，点P是线段上的动点．则下列说法正确对的是（ ）
A．若，则
B．若，则点P到平面的距离是
C．若，则直线AP与直线所成角的范围是
D．若，分别经过且平分三棱锥体积的截面面积依次为，则
变式2．（多选）若正方体的棱长为1，为棱的中点，点满足，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．若平面，则动点的轨迹长度为
C．至少存在一个点，使平面
D．若直线与平面所成角的正切值为2，则点轨迹的长度为
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