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人教八下数学
同步精品课件
人教版八年级下册
2025年春八下数学情境课堂课件
19.1 函数
19.1.1.2 函数
第19章 一次函数
1..通过实例，了解函数的三种表示方法和函数的概念.
3. 能求简单实际问题中函数的解析式、自变量的取值范围及函数值.
学习目标
生活中充满了许许多多变化的量，你了解这些变量之间的关系吗？
高铁行驶的路程与行驶时间、速度有关
新课引入
运动消耗的能量与运动时间、激烈程度有关
抛出的篮球，篮球的高度和运动时间、抛掷点的位置有关
我们生活在一个瞬息万变的世界里，在这个世界里，许多东西相互之间有一定联系. 今天，我们就用数学的视角来研究和学习这些“变”与“不变”，看看这些量之间有何关系……
问题 上节课中的四个问题中，有几个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km.
行驶时间 t/h 1 3 3.4 4 9 … t
行驶路程 s/km …
60
180
204
240
540
t 和s是两个变量，每当 t 取定一个值时，s 就有唯一确定的值与其对应，
s 的值随 t 的值的变化而变化.
新知学习
s=60t
(2) 每张电影票的售价为 10 元，第一场售出 150 张票，第二场售出 205张票，第三场售出 310 张票，三场电影的票房收入各多少元？设某场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元.
当 x = 150 张时，y = 1500 元；
当 x = 205 张时，y = 2050 元；
当 x = 310 张时，y = 3100 元；
y = 10x.
x和y是两个变量，每当 x 取定一个值时，y 就有唯一确定的值与其对应，y 的值随 x 的值的变化而变化.
...
(3) 当圆的半径 r 为 10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的值如何变化？
当 r = 10 cm 时，面积 S = 100π cm2；
当 r = 20 cm 时，面积 S = 400π cm2；
当 r = 30 cm 时，面积 S = 900π cm2；
S = πr2.
r和S是两个变量，每当 r 取定一个值时，S 就有唯一确定的值与其对应，S 的值随 r 的值的变化而变化.
...
当 x = 3 m 时，y = 2 m；
当 x = 3.5 m 时，y = 1.5 m；
当 x = 4 m 时，y = 1 m；
y = 5 - x.
(4) 用 10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长 x 分别为 3 m，3. 5 m，4 m，4. 5 m 时，它的邻边长 y 分别为多少？y 的值随 x 的值如何变化？
x和y是两个变量，每当 x 取定一个值时，y 就有唯一确定的值与其对应，y 的值随 x 的值的变化而变化.
...
在上面的变化中，两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
在生活中，经常还会用一些图或表格表达这种变化关系.一起来看看吧！
s=60t y = 10x S = πr2 y = 5 - x
1.下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量. 在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应吗？
对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应.
思考
2.下表是我国人口数统计表，年份与人口数可以分别记作两个变量 x 与 y，年份 x和人口数 y 是什么关系？
年份 人口数/亿
1984 10.34
1989 11.06
1994 11.76
1999 12.52
2010 13.71
对于表中的每一个确定的年份 x，都对应着一个确定的人口数 y.
我们发现：在每一个变化过程中，都有两个变量 x 与 y ，并且对于x的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应.
对于这样的关系我们该怎样定义呢？x 和 y 又代表什么含义呢？
如果当 x = a 时， y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
(1) 汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h.
3.你能指出下列问题中的自变量及函数吗？
(2) 体检时的心电图，横坐标时间x，纵坐标心脏部位的生物电流 y，它们是两个变量.
(3) 在我国人口数统计表，年份与人口数可以分别记作两个变量 x 和 y .
时间 t 是自变量
路程 s 是 t 的函数
时间 x是自变量
心脏部位的生物电流y是x的函数
年份x是自变量
人口数y是x的函数
s=60t
例1 汽车油箱中现有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶的路程 x (单位：km) 的增加而减少，耗油量 0.1 L/km.
(1) 写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
解：y 与 x 的函数关系式为：y = 50 - 0.1x.
像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.
例1 汽车油箱中现有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量
y (单位：L) 随行驶的路程 x (单位：km) 的增加而减少，耗油量
0.1 L/km.
(2) 指出自变量 x 的取值范围；
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，要满足实际意义.我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围.
解： 从解析式y = 50 - 0.1x 看，x 可以取任意实数.
但 x 代表行驶路程，因此 x 不能取负数，
即 x ≥ 0.
又∵行驶中的耗油量为 0.1x，不能超过油箱中现有汽油量 50，
即 0.1x ≤ 50，
∴ x ≤ 500.
因此，自变量 x 的取值范围是：
0 ≤ x ≤ 500.
确定自变量的取值范围时，
不仅要考虑使函数关系式
有意义，而且还要注意问
题的实际意义.
例1 汽车油箱中现有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶的路程 x (单位：km) 的增加而减少，耗油量 0.1 L/km.
(3) 汽车行驶了 200km 时，油箱中还剩下多少汽油？
解：汽车行驶 200km 时，油箱中的汽油量是函数 y = 50 - 0.1x 在 x = 200 时的函数值.
将 x = 200 代入 y = 50 - 0.1x，得
y = 50 - 0.1×200 = 30.
汽车行驶了200km 时，油箱中还剩下汽油30L.
计算函数值时，自变量的取值要在其取值范围内.
例2 下列函数中自变量 x 的取值范围是什么？
.
0
.
-1
.
-2
x取全体实数
常见函数解析式中自变量的取值范围：
归纳总结
归纳总结
思考
4.函数的表示方法有哪些？
图象法
列表法
y = 50 - 0.1x
解析式法
随堂练习
1. 下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式.
(1) 改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化.
自变量 x，S 是 x 的函数. S = x2 .
自变量 x，y 是 x 的函数. y = 0.1x .
(2) 每分钟向一水池注水 0.1 m3，注水量 y (单位: m3) 随注水时间 x (单位：min) 的变化而变化.
(3) 秀水村的耕地面积是 106 m2，这个村人均占有耕地面积 y (单位：m2) 随这个村人数 n 的变化而变化.
自变量 n，y 是 n 的函数. y = .
自变量 t ，V 是 t 的函数. V = 10 - 0.05t.
(4) 水池中有水 10 L，此后每小时漏水 0.05 L 水池中的水量 V (单位：L)随时间 t (单位：h) 的变化而变化.
(2)油箱中有油 30 kg，油从管道中匀速流出，1 h 流完，则油箱中剩余油量 Q (kg) 与流出时间 t (min) 之间的函数关系式是 ，自变量 t 的取值范围是 .
2. 填空
(1) 函数 中，自变量x的取值范围是 .
x ≥ 2
0 ≤ Q ≤ 30
3. 梯形的上底长 2 cm，高 3 cm，下底 x cm 大于上底长但不超过 5 cm.
写出梯形面积 S 关于 x 的函数解析式及自变量 x 的取值范围.
S = ，即 S = x + 3，
由题意可得x的取值范围是：2 < x ≤ 5.
解：
4.一次函数y 与 x 之间的函数关系式为：y = 15 - 0.5x，你可以在实际生活中找到它的应用场景吗？
解：（1）假设一个室内空间的初始温度为15℃，由于外部影响，温度每过一分钟下降0.5℃.这个降温过程可以用函数 y = 15 - 0.5x 来描述；
（2）价格和数量的关系：假设某种商品的单价是 15 元，每多买一件商品，价格就会减少 0.5 元.那么购买 n 件商品时的总价 y 与购买数量 x（件）之间的关系可以表示为 y = 15 - 0.5x.
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
课堂小结
概念
函数
函数解析式
函数值
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.
当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
自变量取值范围
函数
谢谢
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