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人教八下数学
同步精品课件
人教版八年级下册
2025年春八下数学情境课堂课件
19.2 一次函数
19.2.1.2
正比例函数的图象和性质
第19章 一次函数
1. 会画正比例函数的图象.
2. 能根据正比例函数图象探究正比例函数的性质.
3. 能根据正比例函数的解析式，画出函数图象，知道函数图象的性质；
4. 能根据正比例函数图象及性质解决相关问题.
学习目标
1.下列函数哪些是正比例函数？
(1)y=－3x ； (2)y= x + 3；
(3)y= 4x； (4)y= x2.
新课引入
2.这类函数的图象是什么？有什么特点呢?
3.如何画它们函数图象呢？
(1)、(3)是正比例函数.
这就是我们本节课将要学习的内容！
一般地，形如 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 的函数，叫做正比例函数.
画出下列正比例函数的图象.
新知学习
(1)y=2x ， y= x;
解：(1)函数y=2x 和y= x中自变量 x可取任意实数，列表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x
…
…
y = x
…
…
-4
-2
0
2
4
0
O
-1
y=2x
4
-4
描点、连线：在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点. 将这些点连接起来.
1
2
3
4
-4
-3
-2
x
y
得到另一条经过原点和第一、第三象限的直线 . 它就是函数y = x 的图象.
得到一条经过原点和第一、三象限的直线. 它就是函数 y= 2x的图象.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x
…
-4
-2
0
2
4
…
y = x
…
0
…
(3)y= ?1.5x , (4)y=-4x .
?
画出下列正比例函数的图象.
解：函数y= ?1.5x 和y= ?4x 中自变量 x可取任意实数，列表：
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
…
-2
-1
0
1
2
…
y= -1.5x
…
…
y= ?4x
…
…
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
…
-2
-1
0
1
2
…
y= -1.5x
…
…
…
…
3
1.5
0
-1.5
-3
-8
4
0
-4
8
描点、连线： 在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点. 将这些点连接起来.
得到另外一条经过原点和第二、四象限的直线 . 它就是函数y = - 4 x 的图象.
得到一条经过原点和第二、四象限的直线. 它就是函数y = -1.5x的图象.
y=-1.5x
O
1
2
3
4
-3
3
-4
-3
-2
-1
x
y
y=-2x
4
-4
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=1.5x
…
3
1.5
0
-1.5
-3
…
y= ?4x
…
8
4
0
-4
-8
…
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=1.5x
…
3
1.5
0
-1.5
-3
…
…
8
4
0
-4
-8
…
思考
从以上的函数图象中，你发现什么特点？
4 个正比例函数的图象都是一条经过原点的直线.
其中函数y=2x 和 y= x 的图象经过第一、第三象限，从左向右上升；
函数 y= ?1.5x 和 y= ?4x 的图象经过第二、第四象限，从左向右下降.
?
y=2x
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
y=????????x
?
y=-1.5x
O
1
2
3
4
-3
3
-4
-3
-2
-1
x
y
y=-4x
任意写一个正比例函数解析式，并画出它的图象，和上面的4个函数图象对比，你发现了什么？
做一做
它们的函数图象都是经过原点的一条直线，并且图象大致分为两种：
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
y =kx
y = -kx
当k>0时，函数图象经过第一、第三象限，从左向右上升；
当k<0时，函数图象经过第二、第四象限，从左向右下降.
一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
当k>0时，直线 y=kx 经过第一、第三象限，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；
当k<0时，直线 y=kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小.
思考
1.经过原点与点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线是哪个函数的图象?
这个函数是 y=kx的形式，再由x=1时，y=k确定这个函数是 y=kx.
2.怎么画正比例函数的图象最简单？
根据“两点确定一条直线”，所以找出正比例函数y=kx（k≠0）的图象上的两点即可画出函数图象.
一般地，过原点和点 (1 , k) （k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y=kx（k≠0）的图象.
例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1) y = x；(2) y = -3x.
y = x 是经过 (0 , 0)，(1, ) 的直线.
y = x
y = -3x 是经过 (0 , 0)，(1, -3) 的直线.
y = -3x
例2 已知正比例函数y＝(1－3k)x.
(1)当k为何值时，函数图象经过第二、四象限？
解：由题意可得1－3k＜0，解得k＞ .
(2)若x的值每增大2，y的值增大8，求k的值.
由题意可得1－3k＝ ,解得k＝－1.
(3)当y随x的增大而增大时，求k的取值范围.
题意可得 1－3k＞0 ,解得k＜ .
例2 已知正比例函数y＝(1－3k)x.
(4)已知点P(2，-4k)是函数图象上一点．
①求k的值；
解： 将点(2，-4k)代入函数y＝(1－3k)x中，
得2(1－3k)＝－4k，
解得k＝1，
∴ y = -2x
解：方法1：直接代入求值，再比较： ∵k＝1，∴(1－3k)＝-2，∴y=-2x，
当x=2时，y1=-4；
当x=-4时，y2=8；
∴ y1＜y2.
方法2:根据增减性比较：
∵k＝1，
∴(1－3k)＝-2，
∴y随x的增大而减小，
又2＞-4，
∴ y1＜y2.
正比例函数y＝(1－3k)x. (k=1)
②当(2，y1)、(-4，y2)为函数图象上一点，比较y1与y2的大小.
确定k的符号，用增减性比较大小更简单.
例2 已知正比例函数y＝(1－3k)x.
(5)当－1≤ x ≤2时，函数的最大值为8，求此时k的值．
解：当1－3k＞0，即k＜ 时，
此时函数图象大致如图：
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
y随 x 的增大而增大，
∴当x＝2时，函数取最大值，即2(1－3k)＝8，
解得k＝－1，符合题意；
当1－3k＜0，即k＞ 时，此时函数图象如图所示：
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
y随x的增大而减小，
∴当x＝－1时，函数取最大值，
即－(1－3k)＝8，
解得k＝3，符合题意．
综上所述，当k的值为－1或3时，
函数在－1 ≤ x ≤ 2时有最大值8.
1. 在平面直角坐标系中，正比例函数 y = kx (k < 0) 的大致图象是 ( )
A
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
D
C
B
随堂练习
（1）函数y=3x的图象经过第 、 象限，经过点（0, ）和点（ ，3），y随x的增大而 .
一
三
0
1
增大
（2）函数y=-2x的图象经过第 、 象限，经过点（0， ）和点（-1， ），y随x的增大而 .
二
四
0
2
减小
2.填空：
（3）对于正比例函数 y = kx，当 x 增大时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围为 .
k > 0
3.已知点A(2，y1)，B(5，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，y1与y2的大小关系是什么？
方法二：根据增减性比较
∵3＞0
∴y随x的增大而增大
又∵2＜5
∴y1＜y2
方法一：直接代入求值比较
当x = 2时，y1 =6；
当x = 5时，y2 =15；
∴y1＜y2
解：
图象
正比例函数的
图象和性质
正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象是
一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
性质
过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y=kx（k≠0）的图象.
当k>0时，直线 y=kx 经过第一、第三象限，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；
当k<0时，直线 y=kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小.
画法
课堂小结
比较大小的方法
法一：直接代入求值比较;
法二：根据增减性比较.
谢谢
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