资源简介

人教八下数学
同步精品课件
人教版八年级下册
2025年春八下数学情境课堂课件
19.2 一次函数
19.2.2.2
一次函数的图象与性质
第19章 一次函数
1. 会画一次函数的图象.
2. 能根据图象理解正比例函数与一次函数的关系.
3. 能根据一次函数图象的规律探究一次函数的性质，并能根据性质解决相关问题.
学习目标
新课引入
1.我们学习了正比例函数的什么内容？顺序是什么？
解析式
图象
性质
y = kx
y = kx?
k＞0
k＜0
图象
?
?
图象特征
过原点，从左向右是上升的直线(↗)
过原点，从左向右是下降的直线(↘)
经过的象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
2.还记得图象和性质如何研究的吗？

列表、描点、连线 函数图象 图象的性质；
图象、增减性与一次项系数的关系：
当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；
以上的这些问题，通过画一次函数图象都可以解决!
3.正比例函数是特殊的一次函数，它的图象是否仍然是一条直线呢？
4.一次项系数的符号（正负）与图象的关系是否依然成立？常数k和函数图象又有何关系呢？
新知学习
画出函数 y=-6x+5 ，y=-6x与y=-6x-5 的图象.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
-1
-0.5
0
0.5
1
y=-6x+5
11
8
5
2
-1
y=-6x
6
3
0
-3
-6
y=-6x-5
1
-2
-5
-8
-11
函数 y=-6x+5 ，y=-6x与y=-6x-5 中，自变量 x 可以是任意实数.
解：列表：表示几组对应值.
描点：描出表中列出的几组对应点；
连线：画出函数 y=-6x+5 ，y=-6x ，y=-6x-5 的图象.
y
x
O
y=-6x+5
y=-6x-5
y=-6x
5
-5
1
-1
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
-1
-0.5
0
0.5
1
y=-6x+5
11
8
5
2
-1
y=-6x
6
3
0
-3
-6
y=-6x-5
1
-2
-5
-8
-11
思考
1.比较三个函数图象的相同点和不同点，填出你的观察结果：
（1）这三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜的程度 ；
直线
相同
y
x
O
y=-6x+5
y=-6x-5
y=-6x
5
-5
1
-1
（2）函数y=-6x的图象经过原点；
一次函数y=-6x+5的图象与y轴交于点 ，即它可以看作是由直线y=-6x
向 平移 个单位长度得到的；
一次函数y=-6x-5的图象与y轴的交点坐标是 ，可以看作是由直线y=-6x
向 平移 个单位长度得到的.
（0，5）
上
5
（0，-5）
下
5
y
x
O
y=-6x+5
y=-6x-5
y=-6x
5
-5
1
-1
2.比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗?
任取x 值时，函数y=-6x+5的值总等于函数y=-6x的值+5（即对应的纵坐标+5），也就是说：y=-6x图象上的所有的点向上平移5个单位后就得到函数y=-6x+5图象上的点坐标，这些点组成了函数y=-6x+5的图象.
同理：函数y=-6x图象上的点向上平移5个单位（纵坐标+5）得到函数y=-6x+5图象上的点，这些点组成了函数y=-6x+5的图象
y
x
O
y=-6x+5
y=-6x-5
y=-6x
5
-5
1
-1
3.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是什么形状？
一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象是一条直线 .
我们称它为直线 y = kx + b
4.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=kx（k≠0）有何关系？
①一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由直线y=kx平移 ???? 个单位长度得到(当b>0时， 向上平移；当b<0时，向下平移);
②直线y = kx + b与x轴的交点为 ，与y轴的交点为（0，b）

?
③直线y=kx+b∥直线y=kx（可以通过平移互相得到）
拓展：已知直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2：
若k1=k2，b1 ≠ b2 直线 y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2.
y
x
O
y=kx+b1
y=kx+b2
y=kx
b1
b2
一次函数图象是一条直线，所以选取一次函数图象上两点连线即可.因为“两点确定一条直线”.
两个特殊点(0，b)和 或 (1，k+b).
选择哪两个点呢？
如果是你，你会如何画出一次函数的图象？
例1 画出函数 y=2x-1 与 y=-0.5x+1 的图象.
分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它.
解：列表表示当 x=0，x=1 时两个函数的对应值.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
y=2x-1
y=-0.5x+1
两点法画一次函数图象.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
还有什么方法可以画这两个函数图象？
分析：画直线 y=2x 与 y=-0.5x，
y=2x
y=-0.5x
y=2x-1
y=-0.5x+1
平移法画一次函数图象.
向下平移1个单位
向上平移1个单位
y=2x-1
y=-0.5x+1
归纳总结
画一次函数图象的方法：
x
y
O
y=kx+b
(0，b)
（1）两点法：取直线y=kx+b上两点
（0，b）与 画直线.
归纳总结
（2）平移法：一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象可以由直线y=kx平移 ???? 个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移).
?
x
y
O
y=kx
y=kx+b(b>0)
y=kx+b(b<0)
你知道一次函数图象的平移规律吗？
归纳总结
平移前
平移方向(m＞0)
平移后
规律
y＝kx＋b
向上平移m个单位
y＝kx＋b＋m
上加下减
向下平移m个单位
y＝kx＋b－m
向左平移m个单位
y＝k(x＋m)＋b
左加右减
向右平移m个单位
y＝k(x－m)＋b
画出函数 y=x-1 、 y=-x+1、y=2x-1 、 y=-2x+1 的图象.
探究2
y = x - 1
y = 2x -1
y = -x + 1
y = -2x + 1
①一次函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中 ，k 对函数图象有什么影响？
思考
可以发现：
当k > 0 时，直线y=kx+b从左向右上升，y随x增大而增大；
当k < 0 时，直线y=kx+b从左向右下降，y随x增大而减小.
还有其他因素吗？
y = x - 1
y = 2x -1
y = -x + 1
y = -2x + 1
2.一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中 ，b 对函数图象有什么影响？
思考
可以发现：
当b > 0 时，直线y=kx+b交于y轴正半轴；
当b < 0 时，直线y=kx+b交于y轴负半轴.
y = x - 1
y = 2x -1
y = -x + 1
y = -2x + 1
一次函数 y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线
b>0时，直线经过第一、二、三象限
b<0时，直线经过第一、三、四象限


当k>0
当k<0
b>0时，直线经过第一、二、四象限
b<0时，直线经过第二、三、四象限
3.一次函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象与k，b之间的关系？
y = x - 1
y = 2x -1
y = -x + 1
y = -2x + 1
一次函数
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
k，b的
符号
k＞0
k＜0
b＞0
b＝0
b＜0
b＞0
b＝0
b＜0
图象
?
?
?
?
?
?
性质
y随x的增大而增大
(图象自左向右上升)
y随x的增大而减小
(图象自左向右下降)
与y轴交点的位置
正半轴
原点
负半轴
正半轴
原点
负半轴
经过的
象限
第一、二、三象限
第一、三象限
第一、三、四象限
第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
例2（2024 长沙）对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是(　　)
A. 它的图象与y轴交于点(0，－1)
B.y随x的增大而减小
C. 当x＞ 时，y＜0
D. 它的图象经过第一、二、三象限
A
(0，b)
k=2＞0，y随x的增大而增大
图象经过第一、三、四象限
当x= 时，y= ×2-1=0，∵y随x的增大而增大，∴当x＞ 时，y＞0
例3 已知y=(1+3k)x+4-6k是关于x的一次函数.
(1)若y随x的增大而减小，求k的取值范围;
(2)若函数图象经过原点，求一次函数的表达式;
(2)∵函数图象经过原点，
∴4－6k＝0，解得k＝ ，
∴1＋3k＝3，
∴一次函数的表达式为y＝3x.
(1)∵y随x的增大而减小，∴1＋3k＜0，解得k＜－
(3)若函数图象与y轴负半轴相交，已知图象上两点(-1， y1)，(2， y2)比较y1和 y2的大小.
解：
例3 已知y=(1+3k)x+4-6k是关于x的一次函数.
方法二:图象法
x
y
1
-1
1
-1
y2
y1
观察图象可得y1＜ y2
∵函数图象与y轴的交点在负半轴上，
∴4－6k＜0，解得k＞ ，
∴1＋3k＞3，
∴y随x的增大而增大，
∵－1＜2，∴y1＜y2.
方法一:增减性
2
例4 （2024 陕西） 在同一平面直角坐标系中，函数y＝－3x＋b和
y＝bx－3(b为常数，且b≠0)的图象可能是（ ）
解析：若b＞0，则函数y＝-3x＋b的图象过第一、二、四象限，函数y＝bx-3的图象过第一、三、四象限；若b＜0，则函数y＝-3x＋b的图象过第二、三、四象限，函数y＝bx-3的图象过第二、三、四象限，故选A.
A
归纳总结
判断两个一次函数图象的方法：
方法一：在选项中选定一个函数图象确定k，b的符号，看另一个函数图象的位置是否符合；
方法二：确定某选项中两个一次函数各自的k，b的符号，看结果是否一致，若一致，则正确；若不一致，则错误；
方法三：根据k，b的符号分四种情况讨论，看两个图象是否同时符合，若符合，则正确；若不符合，则错误．

1. 一次函数 y = kx - 6 (k < 0) 的图象大致是 ( )
D
随堂练习
A
B
C
D
2.已知一次函数y＝kx－2的图象如图所示，则一次函数y＝2x＋k的图象大致是(　　)
B
解析：由题图可得，一次函数y＝kx－2的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，∴一次函数y＝2x＋k的图象经过第一、二、三象限．
（1）(2024 甘肃)已知一次函数y＝kx＋2(k＞0)图象上两点A(－2，y1)，
B(3，y2)，则y1与y2的大小关系是 ____________；
（2）直线 y = 2x - 3 与 x 轴交点的坐标为 ________；与 y 轴交点的坐标为 _________ ；图象经过 ____________ 象限，y 随 x 的增大而 _______；
（3）一次函数 y = kx + b，y 随 x 的增大而减小，b > 0，则它的图象经过第 ____________ 象限；
（4）若一次函数 y = kx + b (k、b 是常数，k ≠ 0) 的图象经过第二、三、四象限，那么 k、b 应满足的条件是 _______________.
3.填空：
y1＜y2
( , 0)
(0 , -3)
一、三、四
增大
一、二、四
k < 0且 b < 0
（5）直线 y=3x+5 可以由直线y=3x向_________平移_______个单位得到；
（6）已知直线 y=kx+b 过点（0，3），且与直线 y=2x-5 平行，则k=____; b=____；
（7）(2024天津)将直线y=2x向上平移2个单位长度，平移后直线与x轴的交点坐标为__________.
上
5
2
3
(－1，0)
y=2x+2
令y=0，即0=2x+2
4.关于直线l1：y1＝k2x＋2k与直线l2：y2＝x－4.已知：①这两条直线平行；②l1的函数图象不经过第四象限．
(1)求直线l1的解析式；
解：(1)∵两条直线平行，
∴k2＝1，解得k＝±1，
∵直线l1的函数图象不经过第四象限，
∴2k＞0，
∴k＝1，
∴直线l1的解析式为y1＝x＋2；
(2)直线l1的解析式为y1＝x＋2，当2≤x≤5时，求y1的最大值．
(2)∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大．
当x＝5时，y1取得最大值，最大值y1＝5＋2＝7，
∴y1的最大值为7.
课堂小结
1.画一次函数图象的方法：
x
y
O
y=kx+b
(0，b)
(1， k+b)
（1）两点法：一般选取直线y=kx+b上两点（0，b）与（ ，0）画直线.
（2）平移法：一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象可以由直线y=kx平移 ???? 个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移).
?
x
y
O
y=kx
y=kx+b(b>0)
y=kx+b(b<0)
平移前
平移方向(m＞0)
平移后
规律
y＝kx＋b
向上平移m个单位
y＝kx＋b＋m
上加下减
向下平移m个单位
y＝kx＋b－m
向左平移m个单位
y＝k(x＋m)＋b
左加右减
向右平移m个单位
y＝k(x－m)＋b
2.一次函数图象的平移规律：
3.一次函数图象性质：
一次函数
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
k，b的
符号
k＞0
k＜0
b＞0
b＝0
b＜0
b＞0
b＝0
b＜0
图象
?
?
?
?
?
?
性质
y随x的增大而增大
(图象自左向右上升)
y随x的增大而减小
(图象自左向右下降)
与y轴交点的位置
正半轴
原点
负半轴
正半轴
原点
负半轴
经过的
象限
第一、二、三象限
第一、三象限
第一、三、四象限
第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
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