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人教八下数学
同步精品课件
人教版八年级下册
2025年春八下数学情境课堂课件
19.2 一次函数
19.2.3.2
一次函数与二元一次方程组
第19章 一次函数
1. 知道一次函数与二元一次方程组之间的关系.
2. 能根据一次函数图象求方程组的解、不等式的解集.
学习目标
新课引入
问题：
1.一次函数y=ax + b 与一元一次方程ax + b =0的关系？
数：方程ax + b =0的解
形：直线 y=ax + b 与x轴交点的横坐标
2.一次函数y=a1x + b1、y=a2x + b2的交点与方程组
是否也存在上述关系呢？
a1x + b1=0 a2x + b2 =0
写出二元一次方程x+y=3的几组解，并画出一次函数y=-x+3的图象.
思考1
二元一次方程 x+y=3 的解有
x=1,
y=2,
x=-1,
y=4,
x=0,
y=3,
x=3,
y=0
一次函数 y=-x+3 的图象为如图所示.
y
x
O
3
3
y=-x+3
写出的几组解和一次函数的图象有什么关系？
…
新知学习
二元一次方程的解是这条直线上点的横纵坐标( x， y)
问题：1 号探测气球从海拔 5 m 处出发，以 1 m/min 的速度上升. 与此同时，2 号探测气球从海拔 15 m 处出发，以 0.5 m/min 的速度上升. 两个气球都上升了 1 h.
解：气球上升时间x满足:0≤x≤60.
1 号气球：y = x + 5；
2号气球：y = 0.5x + 15 .
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位：m)关于上升时间x(单位：min)的函数关系；
(2) 在某个时刻两个气球能否位于同一个高度？若能，这时气球上升了多长时间，位于什么高度？
函数y= x+5和y=0.5x+15的y值相等
y=x +5，
y=0.5x+15，
x-y=-5 ，
0.5x-y=-15 ，
解得
x=20 ，
y=25.
即：当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
即
解：根据题意可得：
(2) 在某个时刻两个气球能否位于同一个高度？若能，这时气球上升了多长时间，位于什么高度？
方法二：
如图为一次函数y=x +5和y=0.5x+15的图象，两直线的交点坐标为(20 , 25)，
此点说明当上升 20 min 时，两气球都位于海拔 25 m 的高度.
一般地，因为每个含有未知数 x和 y的二元一次方程，都可以改写为 y=kx+ b( k， b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标( x， y)都是这个二元一次方程的解.
一次函数与二元一次方程的关系：
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．
y
x
O
P(x1, y1)
y=k1x +b1
y=k2x+b2
数：二元一次方程组 的解
形：直线y=k1x+b1 与直线y=k2x+b2 交点的横纵坐标
k1x +b1=0 (k1≠ 0) 解得： x=x1
k2x+b2=0 (k2≠ 0)
y=y1
一次函数与二元一次方程组的关系：
(x1，y1)是对应的二元一次方程组的解
所以交点坐标是（2，1）.
x+y=3，
2x+y=5，
x=2，
y=1.
解：解法1：将直线 y=-x+3 和直线 y=-2x+5 转化为一个二元一次方程组，
即
例3 求直线 y=-x+3 和直线 y=-2x+5 的交点坐标.
解得
解法2：在同一平面直角坐标系中画出一次函数 y=-x+3和 y=-2x+5 的图象.
由图象可知交点坐标是（2，1）.
y
x
O
y=-x+3
y=-2x+5
（2，1）
5
3
3
1
2
思考2
1.不等式3x + 2＞x + 2的解集？
2.不等式3x + 2＜x + 2的解集？
y=x + 2
x＞0
x＜0
3.求不等式组 的解集.
解：直线y=3x +2与x轴的交点坐标为( , 0)，
y=x+2
∴不等式组的解集为：
-2 ≤ x ≤
归纳总结
P
y
x
O
y1=k1x+b1
y2=k2x+b2
直线 y1=k1x+b1 与直线y2=k2x+b2 的交点的横坐标即是方程 k1x+b1=k2x+b2的解；
直线 y1=k1x+b1 与直线y2=k2x+b2 的交点坐标即是二元一次方程组 的解；
不等式 y1>y2（或 y1k1x +b1=0 (k1≠ 0)
k2x+b2=0 (k2≠ 0)
例（2024 山西）如图，一次函数y＝mx＋n的图象与正比例函数
y＝ax的图象交于点P(2，4)．
(1)若直线y＝mx＋n与x轴交于点(－1，0)，则关于x的方程mx＋n＝0的解为________；
(2)关于x，y的方程组 的解为________；
(3)不等式mx＋n≤ax的解集为________.
x＝－1
x≥2
1.如图所示，直线 l1 ：y=x+6 与直线 l2 ：y=-x-2 交于点 P（-2，3），不等式 x+6 > -x-2 的解集是（ ）
C. x<-2
A
D. x≤-2
A. x>-2
B. x≥-2
不等式 x+6 > -x-2的解集就是直线 l1 在直线 l2上方部分对应的 x 的取值范围.
随堂练习
x
y
3
-2
O
l
l
2.二元一次方程组 的解为_______.
分析：
方法一：两个式子矛盾，无解；
方法二：将方程组中的两个方程转化为两个一次函数，其自变量x的系数都为-1，且b不相等，说明两条直线平行，即图象无交点，所以二元一次方程组无解.
x+y=1，
x+y=3
y
x
O
y=1-x
y=-x+3
3
3
1
1
无解
3.考虑下面两种移动电话计费方式：
方式一 方式二
月租费/（元\月） 30 0
本地通话费/（元\min） 0.30 0.40
请用函数方法解答：何时两种计费方式费用相等.
解：由题意可得，
方式一：y=0.3x+30，
方式二：y=0.4x；
令0.3x+30=0.4x，
解得，x=300，即通话300分钟时两种计费方式费用相等.
4.求一次函数 l1： y=2x+2，l2 ：y=-x+5 的图象与 x 轴围成的三角形的面积.
求三角形三个顶点的坐标
利用面积公式求三角形的面积
直线 l1 与 x 轴的交点坐标
直线 l2 与 x 轴的交点坐标
直线 l1 与 l2 的交点坐标
分析：
解：如图，画出函数图象,
设直线 l1，l2 交于点 A，两直线分别与 x 轴交于点 B，C.
令一次函数 y=2x+2=0，即 2x+2=0，
解得 x=-1，
∴ B (-1，0).
令一次函数 y=-x+5=0，即 -x+5=0，
解得 x=5，
∴C (5，0).
y=2x+2
y=-x+5
由 得
∴ A (1，4).
由图象易知 BC=6，
BC 边上的高，即为点 A 对应的纵坐标为 4，
故S△ABC= BC·yA= ×6×4=12.
一次函数
与二元一次方程组
课堂小结
一次函数与
二元一次方程(组)
一次函数与
二元一次不等式(组)
数：二元一次方程组 的解
形：直线y1=k1x+b1 与y2=k2x+b2 交点的横纵坐标
不等式 y1>y2（或 y1谢谢
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