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(共45张PPT)
2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（六）课件
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.若,则 的虚部为( )
A. B. C. D.任意实数
[解析] 由题得
,所以的虚部为 .故选B.
√
2.已知集合,,且,则 ( )
A.2 B. C.1 D.
[解析] 因为,所以,解得,此时, ,符合
条件.故选B.
√
3.双曲线 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 的渐近线方程是,即 .故选C.
√
4.已知函数的部分图象如图所示,则 的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由图象关于轴对称,即为偶函数,排除C；当 , .选项A,D
中,当 , ,故排除A,D；选项B中,当 , .故选B.
√
5.在平行四边形中,,若,则四边形 的面积为( )
A.2 B. C.4 D.
[解析] 因为,所以平分,所以平行四边形 为菱形,由
两边平方,得,所以,所以 ,因为
,所以四边形的面积为 .故选B.
√
6.已知椭圆的左、右焦点分别为,,为第一象限内 上一点,
若,,则 的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 在中,由正弦定理得 .故
选B.
√
7.已知函数若函数 恰有4个不同的零点，
则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 或
.当时， ，则
，所以当 时，
，单调递减；当 时，
， 单调递增，所以
，且当 时，
，当 时， ；
结合图象可知，只有1个实根，此时有1个零点，因为 恰有4个不同的
零点，所以关于的方程有3个不同的实根，结合图象可得 .故选C.
当时，单调递减，所以，且当
时，，作出 的图象如图所示，
8.从球外一点作球表面的四条不同的切线,切点分别为,,, （按顺时针方向排列,
且位于同一个平面内）,若,,,当四边形 的面积
取最大值时,球的表面积为,则 ( )
A.4 B. C. D.
√
[解析] 根据圆的切线长定理, ,因为
,,所以, ,所以
为直角三角形,其外接圆的半径为 ,当四边形
的面积最大时,, ,所以
,作出截面如图所示, ,
,,则,,又,则 ,所以
,所以 .故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.若,,,, ,则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以,所以A正确；因为,所以,因为 ,
所以,所以B错误；因为,,所以,所以C正确；令 ,
,,,满足,,,,,但 ,
,此时,所以D错误.故选 .
√
√
10.若函数 ,则( )
A.的振幅为2 B.的初相为
C.为奇函数 D.在 上单调递增
[解析] A显然正确；对于B,的初相为 ,B错误；对于C,
为奇函数,C正确；对于
D,,,因为在 上单调递增,所以由复合函
数单调性的判断法则,得在上单调递增,D正确.故选 .
√
√
√
11.设定义在上的函数与的导函数分别为和 ,且
,,且的图象关于点 对称,则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为的图象关于点对称,所以,令 ,可得
,所以A错误；因为,所以 ,所以
,又,所以 ,所以
,所以B正确；因为,所以 ,所
以（为常数）,因为 ,所以
,所以,令,可得 ,所以
,所以,故C正确；由,得 的图象
关于直线对称,则为周期为4的周期函数,则 ,因为
,所以 ,所以
,所以,故函数 为
周期为4的周期函数,所以,所以D正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若,,则 _ ___.
[解析] 因为,,所以 .
13.若,,,, 五人准备去甲、乙、丙、丁四个目的地旅游,且每个人只去一个目的地,则
不同的选择方案种数是_______,这五个人恰好选择了其中的两个目的地的方案种数是
_____.（用数字作答）（本题第一空2分,第二空3分）
1 024
180
[解析] 不同的选择方案种数是 ,这五个人恰好选择了其中的两个目的地的方
案种数是 .
14.对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有 成立，
那么就把这样的一类数列称为周期数列，其中是数列 的一个周期，已知数列
是周期数列，其中一个周期为3，其前项和记为，且,, ，若不
等式对一切正整数恒成立，则 的取值范围为________.（用区间表示）
[解析] 因为数列是周期为3的周期数列，且,, ，所以
,，因为对一切正整数 恒成立，所以
,当时，，故只需 即可；当
时，，故只需即可；当 时，
，故只需即可.综上，的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且 .
（1）求 ；
解:因为 ，
所以 ，
所以 ，（4分）
因为 ，
所以 .（6分）
（2）若 .
（ⅰ）求 外接圆的半径;
[答案] 设的外接圆半径为 ，
由正弦定理得 ，（7分）
因为， ，
所以的外接圆半径 .（9分）
（ⅱ）若，求 的面积.
[答案] 由余弦定理得 ,
即 ,
解得 ，
所以的面积为 .（13分）
16.（本小题满分15分）
如图,在正六棱柱中,为
的中点,,的中点分别为, .
（1）证明:平面 ；
解:因为,的中点分别为, ,
所以 ,（3分）
因为,,, 不共面,
所以 平面 ,
因为 平面 ,
所以平面 .（6分）
（2）若,,求直线与平面 所成角的正弦值.
解:连接 ,
易得 ,
以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,, ,
,, ,（9分）
设平面的法向量为 ,
则 ,
令,则, ,
所以 ,（12分）
设直线与平面所成的角为 ,
则, ,
所以直线与平面所成角的正弦值为 .（15分）
17.（本小题满分15分）
小张准备参加某公司的招聘考试，该公司的（人力资源部）准备了难度相当的
卷和卷.卷、 卷的选择用“抽小球”的方式决定:现有一个箱子，里面装有质地、大小
完全相同的3个标有字母的球和2个标有 字母的球，从中任取3个小球，若小张取出的
球比球多，则用卷，否则用卷.卷又有,两套，从中选一套进行测试； 卷也
有,两套，从中选一套进行测试.若小张选择了卷，选用 卷对小张测试的概率
为，若小张选择了卷，选用 卷对小张测试的概率为0.6.
（1）设小张同学抽到球的个数为，求的分布列及数学期望 ；
解:由题得 的可能取值为3，2，1，（1分）
，
，
，（4分）
所以 的分布列为:
3 2 1
故 .（6分）
（2）求小张使用 卷进行测试的概率；
解:设事件表示使用卷，则表示使用 卷，
由题意得 ，
所以小张使用卷进行测试的概率为 .（9分）
（3）求小张使用卷或 卷进行测试的概率.
解:设事件表示选用卷或 卷，
由题得 ，
则小张抽得卷后选用卷的概率为 ，
小张抽得卷后选用卷的概率为 ，（12分）
所以小张使用卷或 卷进行测试的概率为
，
所以小张使用卷或卷进行测试的概率为 .（15分）
18.（本小题满分17分）
已知函数， .
（1）若在区间上单调递增，求 的取值范围；
解:由题得 ，
因为在区间 上单调递增，
所以在区间 上恒成立，
即在区间 上恒成立，（2分）
当时， ，
所以 ，
即的取值范围为 .（3分）
（2）令，为的导函数.若在区间 上恰有两
个不等的实根, .
解:由题得 .
（ⅰ）求 的取值范围；
[答案] 由已知得 ，
设 ，
则 ，
当时，，则单调递减，即 单调递减，
当时，，则单调递增，即 单调递增，
故 ，（7分）
当时， ;当 时， ,
因为在上有两个不同的解, ，
所以，解得 ，
即的取值范围为 .（9分）
（ⅱ）证明: .
[答案] 不妨设 ，
则， ，
即, ，（10分）
要证 ，
即证 ，
设 ，
则 ，（11分）
设 ，
则 ，
所以在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以在 上单调递减，
因为 （1） （1） ，
所以 ，
即，其中 ，（13分）
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，（15分）
因为 ，
所以 ，
又，由①中在 上单调递增，
得 ，
即 得证.（17分）
19.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中,抛物线的方程为 ,直线
与交于,两点.构造点列如下:设的坐标为 ,直
线,与的另一个交点分别为,,直线与 轴的交点为
,设点的坐标为 .
（1）的面积是否可以为 ？请说明理由；
解:由题得经过的焦点 ,
设, ,
联立,得 ,
,
则, ,（1分）
所以
,
当且仅当时,的面积取得最小值为 ,
所以的面积不可以为 .（3分）
（2）用,表示直线 的方程；
解:由题可知, ,
当时,两式作差可得 ,
即 ,
即 ,
所以直线的方程为 ,
整理得 ；（5分）
当时, ,
此时直线的方程为 ,
把代入 中,
得 ,
所以 ,
综上,直线的方程为 .（7分）
（3）设的面积为,求 的最大值.
解:不妨设在轴上方,在 轴下方,
同理得的方程为 ,
的方程为 ,
令,可得 ,（9分）
由,可知 ,
在的方程 中,
令,可得 ,
因为 ,
所以 ,（12分）
由 ,
得 ,
因为, ,
所以
,
所以 ,（15分）
对 两边同时取对数,
得 ,
即 ,
由题可知,所以 ，
所以数列 是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以 ,
解得 ,（16分）
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 .（17分）

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