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3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）
3.2 双曲线
复习回顾
双曲线的概念及其标准方程
定义：一般地，我们把平面内与两个定点 , 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间距离叫做双曲线的焦距.
焦点在 轴上：
焦点在 轴上：
复习回顾
双曲线的简单几何性质
图形
性 质 范围
对称性 顶点
渐近线
离心率
环节一：实际问题，建模双曲线
例4
双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).
环节一：实际问题，建模双曲线
例4
双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).
例4
双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径都平行于x轴，且 |CC'|=13×2 , |BB'|=25×2.
环节一：实际问题，建模双曲线
例4
双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).
设双曲线的方程为
点C的坐标为(13，y),则点B的坐标为(25，y-55).
因为直径AA'实轴，所以a=12.又B，C两点都在双曲线上，所以
①
②
环节一：实际问题，建模双曲线
例4
双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).
由方程②，得 (负值舍去).
代入方程①，得
化简得 19b2+275b-18150=0. ③
解方程 ③，得 b≈25（负值舍去）
因此所求双曲线的方程为
环节一：实际问题，建模双曲线
归纳总结
解决和双曲线有关的实际问题的思路：
（1）转化：将冷却塔问题抽象成双曲线问题并作简图；
（2）建系：根据要求合理建立平面直角坐标系，并求出相关点坐标；
（3）求解：利用待定系数法求解双曲线问题；
（4）解释：通过结果对冷却塔问题进行解释、说明.
环节一：数学建模，实际应用
环节二：探索发现，再识双曲线
例5
动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求动点 的轨迹.
F
O
x
y
l
d
M
H

环节二：探索发现，再识双曲线
概念新知
环节二：探索发现，再识双曲线
双曲线的第二定义：
平面内，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为常数 （e>1），那么点M的轨迹为双曲线，
其中定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，
常数e是双曲线的离心率.
思考
通过上述分析，对比上一单元椭圆的一般结论，得到什么猜想？
环节二：探索发现，再识双曲线
例6 动点M(x, y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线l : 的距离的比是常数
求动点M的轨迹.
例5
环节二：探索发现，再识双曲线
圆锥曲线的统一定义：
例6
如图，过双曲线 的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，求 .
环节三：类比研究，探索发现
归纳总结
求弦长问题的方法:
（1）如果交点坐标易求,可直接用两点间的距离公式代入求弦长；
（2）有时为了简化计算,常采用设而不求法,运用韦达定理来处理.
环节三：类比研究，探索发现
变式
若将例6中直线的斜率改为2，求 ，请你先画图.
解：设直线AB的方程为
设A,B的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则
与双曲线方程联立消去y,得
由弦长公式得
环节三：类比研究，探索发现
O
x
y
思维上升
直线与双曲线位置关系：
环节三：类比研究，探索发现
X
Y
O
题型三：求弦长
思维上升
判断直线与双曲线位置关系的处理程序：
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交(一个交点)
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
本节小结
1、双曲线的第二定义；
2、直线双曲线的位置关系；
3、数学思想方法：待定系数法，方程的思想、数形结合思想；
4、数学核心素养：数学建模、数学抽象和数学运算素养.
课后作业
必做 1.课本 P127页：第3题 P127页习题3.2：第6题，综合运用第7、9、10题
探究作业：
设动点M与定点F(c,0) (c>0)的距离和它到定直线l: 的距离的比是常数 (c> a> 0), 求动点M的轨迹方程, 并说明轨迹的形状. 结合教科书第116页“用信息技术探究点的轨迹: 椭圆”,
你还能提出什么问题
感谢
T H A N K S !
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