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5.2.2 同角三角函数的基本关系
第五章 三角函数
数学
学习目标
①能根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式.
②掌握同角三角函数的基本关系式，并能根据一个角的三角函数值,求其他三角函数值.
③已知一个角的三角函数值，求其他三角函数值时,进一步树立分类讨论的思想.
④灵活运用同角三角函数的基本关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力.
学习重难点
重点：
同角三角函数的基本关系式的推导及其应用.
难点：
同角三角函数的基本关系式的变式应用.
课堂导入
复习情境
1.任意角的三角函数的定义
sin α=y，cos α=x,tan α=.
2.诱导公式一
sin(α+2kπ)=sin α，
cos(α+2kπ)=cos α,
tan(α+2kπ)=tan α,
其中,k∈Z.
探究　同角三角函数的基本关系
课堂探究
思考　公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，
那么,同一个角的三角函数值之间是否也有某种关系呢
x
设角α的终边一点P(x，y),
则r=.
sin 2α+cos 2α==1,
=tan α.
课堂探究
同角三角函数的基本关系
平方关系：
sin 2α+cos 2α=1.
商数关系:
tan α=.
语言叙述:
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于同角的正切.
归纳新知
课堂探究
思考1　对于平方关系 sin 2α+cos 2α=1 可作哪些变形
sin 2α=1 cos 2α，
cos 2α=1-sin 2α,
(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α.
探究　同角三角函数的基本关系
课堂探究
思考2　对于商数tan α=可作哪些变形
sin α=cos αtan α，
cos α=.
探究　同角三角函数的基本关系
课堂探究
注意
(1)基本关系成立的前提是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函数关系,但并非不同的角这两个关系一定不成立,sin230°+cos2150°=1也成立,不过这种关系不具有一般性.
(2)“同角”指的是广义上的,与表达形式无关,30和30是同角,α和α也是同角.
(3) sin2 α是(sin α)2的缩写,读作“sin α的平方”,不能写成sin α2 .
探究　同角三角函数的基本关系
探究　同角三角函数基本关系　
课堂探究
等价变形：
(1) sin2α=1 cos2α， sin α=
(2) cos2α=1 sin2α, cos α=
(3) sin α=cos α·tan α, cos α=.
课堂探究
解 ∵sin α=， 由sin2α+cos 2α=1可得cos 2α=1 sin 2α=1 .
又α是第二象限角, ∴cos α<0.
∴cos α= ,
∴tan α== .
例1　已知sin α=，且α是第二象限角,求cos α,tan α的值.
课堂探究
解 因为sin α<0，sin α≠ 1,所以α是第三或第四象限角.
由sin 2α+cos 2α=1得cos 2α=1 sin 2α=1 .
如果α是第三象限角,那么cos α<0.
于是cos α= = ,
从而tan α== )× )=.
如果α是第四象限角,那么cos α=,tan α= .
例2　已知sin α= ，求cos α,tan α的值.
课堂探究
证明 由cos x≠0，知sin x≠ 1,所以1+sin x≠0,
于是左边=
=
=
==右边,
所以,原式成立.
例3　求证：.
评价反馈
1. 若α是第二象限角，则下列各式成立的是(　　)
A.tan α=
B.cos α=
C.sin α=
D.tan α=
B
评价反馈
2. 若α是第四象限角，cos α=,则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
B
解析 由已知得
sin α=
=
= .
评价反馈
3. 若sin α=， 则 sin4α cos4α 的值为(　　)
A. B. C. D.
B
解析 sin4α cos4α
=(sin2α+cos2α)(sin2α cos2α)
=sin2α cos2α
=2sin2α 1
= .
评价反馈
4. 若3sin α+cos α=0，则tan α=　　　　　.

解析 由题意得 3sin α= cos α≠0，
则 tan α== .
课堂小结
1.同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
2.已知sin α（或cos α）求其它
归纳总结
课堂小结
3.已知tan α， 求sin α,cos α
与联立求解
4.注意分象限讨论
归纳总结
布置作业
完成教材第185页习题5.2第6.(2)、(3)，11题.
谢谢大家

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