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(共34张PPT)
5.3 诱导公式
第五章 三角函数
数学
学习目标
①借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式.
②能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题.
③了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想.
学习重难点
重点：
诱导公式的记忆、理解、运用.
难点：
诱导公式的推导、记忆及符号的判断.
课堂导入
复习情境
1.任意角的三角函数的定义
设角α是一个任意角，α∈R,它的终边与单位圆交于点P(x,y).
(1)y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α；
(2)x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α；
(3)叫做α的正切,记作tan α,即=tan α(x≠0).
课堂导入
复习情境
2.诱导公式一
sin(α+2kπ)=sin α，
cos(α+2kπ)=cos α,
tan(α+2kπ)=tan α,
其中,k∈Z.
终边相同的角的同一三角函数的值相等.
课堂探究
思考1　
(1)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系
相等.
(2)角 α与α的终边有何位置关系
终边关于x轴对称.
(3)角π α与α的终边有何位置关系
终边关于y轴对称.
(4)角π+α与α的终边有何位置关系
终边关于原点对称.
问题引入
课堂探究
思考2　已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y),请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标分别是什么
点P(x,y)关于原点的对称点P1的坐标是( x, y),
点P(x,y)关于x轴的对称点P2的坐标是(x, y),
点P(x,y)关于y轴的对称点P3的坐标是( x,y).
问题引入
课堂探究
探究一　诱导公式二
如图，角π+α的三角函数值与α的三角函数值之间有什么关系
角π+α与角α的终边关于原点O对称，
sin α=y, sin(π+α)= y,
cos α=x, cos(π+α)= x,
tan α=, tan(π+α)=.
x
y
O
课堂探究
x
y
O
公式二
归纳新知
sin(π+α)= sin α，
cos(π+α)= cos α,
tan(π+α)=tan α.
课堂探究
探究二　诱导公式三
如图，角α与 α的三角函数值之间有什么关系
角 α与角α的终边关于x轴对称，
sin α=y, sin( α)= y,
cos α=x, cos( α)=x,
tan α=, tan( α)== .
x
y
O
课堂探究
归纳新知
公式三
x
y
O
sin( α)= sin α，
cos( α)=cos α,
tan( α)= tan α.
课堂探究
探究三　诱导公式四
如图，根据上两组公式的推导,你能否推导出角π α与α的三角函数值之间的关系
角π α与角α的终边关于y轴对称，
sin α=y, sin(π α)=y,
cos α=x, cos(π α)= x,
tan α= tan(π α)== .
x
y
O
课堂探究
归纳新知
公式四
x
y
O
sin(π α)=sin α，
cos(π α)= cos α,
tan(π α)= tan α.
课堂探究
思考3　诱导公式一、二、三、四有什么规律
sin(α+2kπ)=sin α，
cos(α+2kπ)=cos α,
tan(α+2kπ)=tan α,
其中,k∈Z.
sin(π+α)= sin α，
cos(π+α)= cos α,
tan(π+α)=tan α.
sin( α)= sin α，
cos( α)=cos α,
tan( α)= tan α.
sin(π α)=sin α，
cos(π α)= cos α,
tan(π α)= tan α.
公式一
公式二
公式四
公式三
α+k·2π(k∈Z)， α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
函数名不变，符号看象限
课堂探究
例1　求下列三角函数值：
(1)cos 225°； (2)sin；
(3)sin( )； (4)tan( 2 040°).
解 (1)cos 225°=cos(180°+45°)= cos 45°= .
(2)sin=sin(2π+)=sin=sin(π )=sin.
(3)sin( )= sin= sin(5π+)= ( sin)=.
(4)tan( 2 040°)= tan 2 040°= tan(6×360° 120°)=tan 120°=tan(180° 60°)= tan 60°= .
课堂探究
思考4　通过例题，你对诱导公式一、二、三、四有什么进一步的认识 你能归纳把任意角的三角函数化为锐角三角函数的步骤吗
利用公式一~公式四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：
上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归思想方法.
任意负角的
三角函数
任意正角的
三角函数
的角的三角函数
锐角的三角函数
用公式
三或一
用公式一
用公式
二或四
课堂探究
例2　化简：.
解 原式== cos α.
课堂探究
探究四　 诱导公式五
如图，作点P(x,y)关于直线y=x的对称点P1(y,x),以OP1为终边的角γ与角α有什么关系 角γ与角α的三角函数值之间有什么关系
γ=2kπ+( α) (k∈Z).
公式五
sin( α)=cos α，
cos( α)=sin α.
课堂探究
探究五　 诱导公式六
如图，作点P1(y,x)关于y轴的对称点P2,又能得到什么结论
公式六
sin(+α)=cos α，
cos(+α)= sin α.
课堂探究
思考5　你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗
±α的正弦(余弦)函数值，等于α的余弦(正弦)函数值,
前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
课堂探究
思考6　诱导公式可统一为±α(k∈Z)的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式
sin( α)=cos α，
cos( α)=sin α.
sin(+α)=cos α，
cos(+α)= sin α.
sin(α+2kπ)=sin α，
cos(α+2kπ)=cos α,
tan(α+2kπ)=tan α
sin(π+α)= sin α，
cos(π+α)= cos α,
tan(π+α)=tan α.
sin( α)= sin α，
cos( α)=cos α,
tan( α)= tan α.
sin(π α)=sin α，
cos(π α)= cos α,
tan(π α)= tan α.
口诀：奇变偶不变，符号看象限.
课堂探究
口诀的意义：
k·±α(k∈Z)的三角函数值，
(1)当k为偶数时,
等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
(2)当k为奇数时,
等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号.
课堂探究
例3　证明：
(1)sin( α)= cos α；
(2)cos( α)= sin α.
证明 (1)sin( α)=sin= sin( α)= cos α.
(2)cos( α)=cos= cos( α)= sin α.
课堂探究
例4　化简：
.
解 原式=
==
= tan α.
课堂探究
例5　已知sin(53 α)=，且 270<α< 90,求sin(37+α)的值.
解 因为 270<α< 90，所以143<53 α<323.
又因为sin(53 α)>0,
所以143<53 α<180 ,
所以cos(53 α)= ,
所以sin(37+α)=sin[90 (53 α)]=cos(53 α)= .
评价反馈
1. 下列各式不正确的是(　　)
A.sin(α+180°)= sin α
B.cos( α+β)= cos(α β)
C.sin( α 360°)= sin α
D.cos( α β)=cos(α+β)
B
解析 cos( α+β)=cos [ (α β)]=cos(α β)，故B项错误.
评价反馈
2. sin 600°的值为(　　)
A. B.
C. D.
D
解析 sin 600°=sin(720° 120°)
= sin 120°= sin(180° 60°)
= sin 60°= .
故选D.
评价反馈
3. cos 1 030°= (　　)
A.cos 50° B. cos 50°
C.sin 50° D. sin 50°
A
解析 cos 1 030°=cos(3×360° 50°)
=cos( 50°)
=cos 50°.
评价反馈
4. 若sin<0，且cos>0,则θ是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
B
解析 因为sin=cos θ<0，
cos=sin θ>0,
所以θ是第二象限角,
故选B.
评价反馈
5. 已知sin φ=，求cos+sin(3π φ)的值.
解 ∵sin φ=，
∴cos=cos(6π +φ)=cos( +φ)=cos( φ)=sin φ=,
∴cos+sin(3π φ)=+sin(π φ)=+sin φ=.
课堂小结
1.诱导公式.
2.诱导公式的记忆.
3.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤.
我们今天都学习了哪些知识
思考问题
课堂小结
三角函数的简化过程图：
归纳总结
任意负角的
三角函数
任意正角的
三角函数
的角的三角函数
锐角的三角函数
用公式
三或一
用公式一
用公式
二或四
三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小,化到锐角为终了.
诱导公式记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限.
布置作业
完成教材第194195页习题5.3第4，6题.
谢谢大家

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