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5.4.3 正切函数的
性质与图象
第五章 三角函数
数学
学习目标
①理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性.
②能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
③会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象.
④经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会三角函数线的作用.
学习重难点
重点：
正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性.
难点：
应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
课堂导入
问题
(1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验，应如何研究正切函数的图象与性质
(2)如何用不同的方法研究正切函数？
有了前面的知识准备， 我们可以换个角度，
即从正切函数的定义出发研究它的性质，
再利用性质研究正切函数的图象.
课堂探究
正切函数 y=tan x 的定义域是什么
探究一　正切函数的周期性
正切函数具有周期性吗
由正切函数的定义可知，它的定义域是{x|x≠+kπ，k∈Z}.
由诱导公式tan(x+π)=tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z可知，
正切函数是周期函数，周期是π.
课堂探究
正切函数具有奇偶性吗
由诱导公式tan( x)= tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z可知，正切函数是奇函数.
你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助
可以先考察函数y=tan x，x∈[0，)的图象与性质，
然后再根据奇偶性、周期性进行拓展.
探究二　正切函数的奇偶性
课堂探究
如何画出函数y=tan x，x∈[0，)的图象
如图①，设x∈[0，)，
在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B(x0，y0).
过点B作x轴的垂线，垂足为M；
过点A(1，0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，
则tan x==AT.
图①
探究三　正切函数的图象
课堂探究
如何画出函数y=tan x，x∈[0，)的图象
由此可见，当x∈[0，)时，
线段AT的长度就是相应角x的正切值.
我们可以利用线段AT画出函数y=tan x，x∈[0，)
的图象，如图②所示.
图②
探究三　正切函数的图象
课堂探究
如何画出函数y=tan x，x∈[0，)的图象
观察图②可知，当x∈[0，)时，
随着x的增大，线段AT的长度也在增大，
而且当x趋向于时，AT的长度趋向于无穷大.
相应地，函数y=tan x，x∈[0，)的图象从左向右
呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x=.
图②
探究三　正切函数的图象
课堂探究
你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗
根据正切函数是奇函数，只要画y=tan x，x∈[0，)的图象关于原点的对称图形，就可得到y=tan x，x∈( ，0]的图象；
根据正切函数的周期性，只要把函数y=tan x，x∈( )的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，就可得到正切函数y=tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线.
探究三　正切函数的图象
课堂探究
探究三　正切函数的图象
正切函数的图象有怎样的特征
从图可知，
正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线x=+kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
课堂探究
正切函数和正弦余弦函数一样，都可以画出一个周期内的函数图象，
然后进行左右平移，就可以得到全部的图象．
或者也可以类比正弦余弦函数用三点两线．
探究三　正切函数的图象
正切函数的图象有怎样的特征
①图象关于原点对称；
②图象在轴上方的部分下凹；在轴下方的部分上凸；
③图象被相互平行的直线隔开，无限接近这些直线，但永不相交.
课堂探究
探究四　正切函数的单调性
观察正切曲线可知，正切函数在区间( )上单调递增.
由正切函数的周期性可得，
正切函数在每一个区间( +kπ，+kπ) (k∈Z)上都单调递增.
课堂探究
探究五　正切函数的值域
当x∈( )时，tan x在( ∞，+∞)内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值.
正切函数的值域是实数集R.
课堂探究
探究六　正切函数的对称性
由正切函数是奇函数，可以得到它的图象关于原点对称．
结合图象，还能发现其它的对称中心吗 有对称轴吗？
正切函数的图象有无数个对称中心，
包括图象与横轴的交点和渐近线与横轴的交点.
正切函数不是轴对称图形，没有对称轴.
课堂探究
例题　求函数y=tan(x+)的定义域、周期及单调区间.
分析 利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.
解 自变量x的取值应满足x++kπ，k∈Z，即x≠+2k，k∈Z.
所以函数的定义域是{x|x≠+2k，k∈Z}.
设z=x+，又tan(z+π)=tan z，所以=.
即 =
因为，都有 =，
所以，函数的周期为2.
由+kπ因此，函数的单调递增区间为(+2k，+2k)，k∈Z.
课堂探究
1.求与正切函数有关的函数的定义域
除了要满足函数定义域的一般要求外，
还要保证正切函数y=tan x有意义，即x≠+kπ，k∈Z.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，
若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；
若其关于原点对称，再看f( x)与f(x)的关系.
方法总结
课堂探究
3.求函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间
由kπ <ωx+φ当ω<0时，可先用诱导公式把ω化为正值.
方法总结
评价反馈
解析 根据函数的单调性可得.
1. 函数y=tan x( ≤x≤，且x≠0)的值域是 (　　)
A.[ 1，1]
B.[ 1，0)∪(0，1]
C.( ∞，1]
D.[ 1，+∞)
B
评价反馈
解析 由题意知x+≠kπ+(k∈Z)，即x≠+kπ(k∈Z).
故定义域为 {x| x≠+kπ， k∈Z}，
且.
2. 函数f(x)＝tan的定义域是_____________________，f＝______.
评价反馈
解析 因为在相同区间上，
y=tan x与y=tan x的单调性相反，
所以y=tan x的单调递减区间是(+kπ，+kπ)(k∈Z).
3. 函数y= tan x的单调递减区间是　 　　　　.
(+kπ，+kπ)(k∈Z)
评价反馈
解析 作出y=|tan x|的图象，如图所示.
由图可知，函数y=|tan x|的最小正周期是π.
4. 函数y=|tan x|的最小正周期是　　　　　.
π
评价反馈
5. (1)求函数的单调区间；
(2)比较与的大小.
解 (1)由kπ x 得2kπ 所以函数的单调递增区间是.
评价反馈
(2)由于，
，又0<，
而在上单调递增，
所以，，
即
5. (1)求函数的单调区间；
(2)比较与的大小.
课堂小结
问题思考
让我们回顾这节课的学习过程，你主要的收获有哪些
知识
正切函数图象和性质及简单应用.
思想方法
类比思想，整体代换思想.
课堂小结
函数
定义域
值域 R
周期性
奇偶性 奇函数
单调性
对称性
知识归纳
正切函数的性质
布置作业
完成教材第213~214页习题5.4.
预习下节课内容.
谢谢大家

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