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5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
数学
学习目标
①能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.
②了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.
学习重难点
重点：
体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.

难点：
了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.
课堂导入
情境
学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.
【和角公式】S(α+β)，C(α+β)，T(α+β)
【差角公式】 S(α?β)，C(α?β)，T(α?β)
【二倍角公式】 S(2α)，C(2α)，T(2α)
探究一　半角公式
例1　试以cos α表示sin2????2，cos2????2，tan2????2.
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课堂探究
解 α是????2的二倍角.
在倍角公式cos 2α=1?2sin2α中，以α代替2α，以????2代替α，
得cos α=1?2sin2????2，所以sin2????2=1?cos????2. ①
在倍角公式cos 2α=2cos2α?1中，以α代替2α，以????2代替α，得cos α=2cos2????2?1，
所以cos2????2=1+cos????2. ②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2????2=1?cos????1+cos????.
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以上三个公式称为半角公式，符号由????所在象限决定.
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【问题】 tan????2与 sin????，cos????之间有什么关系?
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【记忆方法】半角公式带根号，是正是负看半角；
加或者减余弦，根号分母都是 2.
课堂探究
由例1的结果，可以得到：
sin????2=±1?cos????2 cos????2=±1+cos????2 tan????2=±1?cos????1+cos????，
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tan?????2=sin????1+cos?????=1?cos?????sin????
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探究一　半角公式
例2　求证：
(1)sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α?β)]；
(2)sin θ+sin φ=2sin????+????2cos?????????2.
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课堂探究
证明 (1)因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α?β)=sin αcos β?cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α+β)+sin(α?β)=2sin αcos β，①
即sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α?β)].
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探究二　简单的三角恒等变换
例2　求证：
(1)sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α?β)]；
(2)sin θ+sin φ=2sin????+????2cos?????????2.
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课堂探究
(2)由(1)可得sin(α+β)+sin(α?β)=2sin αcos β.
设α+β=θ，α?β=φ，那么α=????+????2，β=?????????2.
把α，β的值代入①，即得sin θ+sin φ=2sin????+????2cos?????????2.
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探究二　简单的三角恒等变换
换元法
思考　如果不用(1)的结果，如何证明?
课堂探究
例2的证明用到了换元的方法.
如把α+β看作θ，α?β看作φ，
从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.
或者，把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，
则原问题转化为解方程(组)求x.
它们都体现了化归思想.
归纳总结
例3　求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)y=sin x+3cos x； (2)y=3sin x+4cos x.
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课堂探究
分析 便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y=Asin(x+φ)，
利用和角公式将其展开，可化为y=asin x+bcos x的形式.
反之，利用和(差)角公式，可将y=asin x+bcos x转化为y=Asin(x+φ)的形式，进而就可以求得其周期和最值了.
探究三　辅助角公式
课堂探究
解 (1)y=sin x+3cos x=2(12sin x+32cos x) ①
=2(sin xcosπ3+cos xsinπ3)
=2sin(x+π3).
因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为?2.
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你能说说①这一步变形的理由吗?
例3　求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)y=sin x+3cos x； (2)y=3sin x+4cos x.
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探究三　辅助角公式
课堂探究
(2)设3sin x+4cos x=Asin(x+φ)，
则3sin x+4cos x=Asin xcos φ+Acos xsin φ.
于是Acos φ=3，Asin φ=4，于是A2cos2φ+A2sin2φ=25，
所以A2=25. 取A=5，则cos φ=35，sin φ=45.
由y=5sin(x+φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为?5.
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例3　求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)y=sin x+3cos x； (2)y=3sin x+4cos x.
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探究三　辅助角公式
课堂探究
例4　如图所示，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记∠POC=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.
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分析 可先建立矩形ABCD的面积S与α之间的函数关系S=f(α)，
再求函数S=f(α)的最大值.
课堂探究
解 在Rt△OBC中，OB=cos α，BC=sin α. 在Rt△OAD中，????????????????=tanπ3=3.
所以，OA=33DA=33BC=33sin α，AB=OB?OA=cos α?33sin α.
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB·BC=(cos α?33sin α)sin α=sin αcos α?33sin2α
=12sin 2α?36(1?cos 2α)=12sin 2α+36cos 2α?36
=13(32sin 2α+12cos 2α)?36=13sin(2α+π6)?36.
由0<α<π3，得π6<2α+π6<5π6，
所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S最大=13?36=36.
因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为36.
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便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y=Asin(x+φ)，
利用辅助角公式将y=asin x+bcos x转化为y=Asin(x+φ)的形式，
就可以求得其周期和最值了.
课堂探究
辅助角公式
????sin?????+????cos?????=????2+????2sin?(????+????)（其中tan?????=????????）.
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归纳新知
课堂探究
1.在求解最大值时，要特别注意“0<α<π3”这一隐含条件.
2.应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题中.
通过三角恒等变换，把y=asin x+bcos x转化为y=Asin(x+φ)的形式，从而使问题得到简化.
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注意事项
评价反馈
1. 若cos α=23，α∈(0，π)，则cos????2的值为(　　)
A.66 B.?66
C.306 D.?306
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解析 ∵α∈(0，π)，∴????2∈(0，π2).
∴cos????2>0，cos????2=1+cos????2=306.
?
C
评价反馈
2. 若cos α=35，α∈(3π2，2π)，则sin????2等于(　　)
A.55 B.?55
C.45 D.255
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解析 ∵α∈(3π2，2π)，∴????2∈(3π4，π).
∴sin????2>0，sin????2=1?cos????2=55.
?
A
评价反馈
3. 若sin α?cos α=?54，则sin 2α的值等于(　　)
A.716 B.?716
C.?916 D.916
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解析 由sin α?cos α=?54，(sin α?cos α)2=1?2sin αcos α=1?sin 2α=2516，
所以sin 2α=?916.
?
C
评价反馈
4. 函数y=32sin 2x+cos2x的最小正周期为　　　　.?
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解析 ∵y=32sin 2x+cos2x=32sin 2x+12cos 2x+12=sin(2x+π6)+12，
∴函数的最小正周期T=2π2=π.
?
π
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5. 求证：4sin θcos2????2=2sin θ+sin 2θ.
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证明 (方法1)
左边=2sin θ·2cos2????2=2sin θ(1+cos θ)=2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin 2θ=右边，所以原式成立.
(方法2)
右边=2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ(1+cos θ)=2sin θ·2cos2????2=4sin θcos2????2=左边，
所以原式成立.
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评价反馈
6. 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大?
点拨 设∠AOB=α→建立周长l与α的关系式→求l的最大值
解 设∠AOB=α，△OAB的周长为l，
则AB=Rsin α，OB=Rcos α，
l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α=R(sin α+cos α)+R
=2Rsin(α+π4)+R.
∵0<α<π2，∴π4<α+π4<3π4.
故l的最大值为2R+R=(2+1)R，此时，α+π4=π2，即α=π4，
即当α=π4时，△OAB的周长最大.
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课堂小结
1.知识
对两角和或差的正、余弦公式，以及借助三角函数的相关性质求值.
其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图象和性质，以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和（差）角公式的综合应用，
也是函数思想的具体体现.
总结归纳
课堂小结
2.思想
通过由特殊到一般的方式把关系式y=asin x+bcos x化成y=Asin(x+φ)的形式，
可以很好地培养探究、归纳、类比的能力.
通过探究如何选择自变量建立数学关系式，
可以很好地分析问题、解决问题和进行应用应用.
总结归纳
布置作业
完成教材第228页习题5.5.
谢谢大家

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